文档文本内容
微专题拓展02 利用五大经典代数不等式求最值参考答案
目录
01
题
解
方法总结.............................................................................................................................2
知识点1、柯西不等式（Cauchy 不等式）........................................................................................2
知识点2、权方和不等式.....................................................................................................................2
知识点3、排序不等式.........................................................................................................................2
知识点4、切比雪夫不等式.................................................................................................................2
知识点5、琴生不等式.........................................................................................................................3
02
题
重难点
型梳理........................................................................................................................ 4
题型一：柯西不等式求最值................................................................................................................4
题型二：反柯西不等式求最值............................................................................................................6
题型三：权方和不等式求最值............................................................................................................8
题型四：排序不等式求最值..............................................................................................................10
题型五：切比雪夫不等式求最值...................................................................................................... 11
题型六：琴生不等式求最值..............................................................................................................12
03
拓展
课后
精练...........................................................................................................................19
知识点1、柯西不等式（Cauchy 不等式）
（1）二元柯西不等式：对于任意的
，都有
．
（2 ）
元柯西不等式：
，取等条件：
或
（
）．
知识点2、权方和不等式
（1）二维形式的权方和不等式
对于任意的
，都有
．当且仅当
时，等号成立．
（2）一般形式的权方和不等式
若
，
，
，则
，当
时等号成立．
知识点3、排序不等式
给定两组实数
．如果
．那么
其中
是
的一
个排列．
知识点4、切比雪夫不等式
对于两个实数数列
，若有
，
则有
，
类似地，若有
，则有
．
知识点5、琴生不等式
凹函数的定义
设连续函数
的定义域为
，对于区间
内任意两点
，都有
，则称
为
上的凹函数.
（1）琴生不等式：若
是区间
上的凹函数，则对任意的点
，有
（当且仅当
时取“=”）．
（2）加权琴生不等式：若
在
上为凹函数，则对任意
，有
题
不等式求最值
型一：柯西
例1．（2026·高三·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德
国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
，当且仅当
时等号成立.根据柯西不等式，已知
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得
，即
，
由
，得
，则
，
由
，
，得
，
由柯西不等式得
，
因此
，当
，即
时取等号，
所以
的最大值为
.
故选：C
例2．柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．
二维柯西不等式为
，当且仅当
时等号成立．已知
，直线
与曲线
相切，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设直线
与曲线
相切的切点为
，
由
得
，则
，即
，
则
，得
，
所以
，代入
得
，
因为
，所以
，
因为
，
所以
，当且仅当
，即
等号成立.
故选：B.
例3．（2026·高三·全国·二轮复习）柯西不等式的三元形式如下：对实数
和
，有
，当且仅当
等号成立，已知
，请
你用柯西不等式，求出
的最大值是（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
【答案】A
【解析】因为
，
根据题目中柯西不等式的三元形式可知
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最大值是
，
故选：A
变式1．（2026·北京朝阳·模拟预测）函数
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】
，由
，解得
，
当
时，
，当
，
，
当
，则
，
此时
且
，
由柯西不等式可得
，
当且仅当
，即
时取等号，此时
，即
，
所以函数
的最大值为2.
故选：C.
变式2．（2026·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的流数
“
”
问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一
不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数
和
，有
等号成立当且仅当
已知
，请你用
柯西不等式，求出
的最大值是（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
【答案】A
【解析】由题干中柯西不等式可得
，
所以
的最大值为
，当且仅当
时取等号.
故选：A
题
不等式求最值
型二：反柯西
例4．（2026·高三·安徽·阶段检测）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设
了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是向量与不等式的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识
“
”
证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量
时，有
，即
，当且仅当
时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数
变换，得到了一个新不等式：
，当且仅当
时等号成立，并取名
为类柯西不等式．根据前面的结论可知：当
“
”
时，
的最小值是______．
【答案】
【解析】由题意得
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
即
，则
，
所以
，最小值为
，此时
．
故答案为：
.
例5．
的最小值为 ．
【答案】
【解析】
当且仅当
即
时取等号，
故
的最小值为
．
例6．函数
的最小值为 ．
【答案】
【解析】直接应用反向柯西不等式，有
当且仅当
，即
时，等号成立．故所求的最小值为
．
题
不等式求最值
型三：权方和
例7．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设
，
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立.根据权方和不等式，函数
的最小值为（ ）
A．39
B．52
C．49
D．36
【答案】B
【解析】因为
，
因为
，所以
，
，
根据权方和不等式有：
，
当且仅当
时，即
时等号成立.
所以函数
的最小值为
.
故选：B
例8．（2026·高三·全国·一轮复习）已知正实数x、y、z 的和为1，则
的最小值为
______．
【答案】
/
【解析】解法一：（柯西不等式）∵x，y，
，
，
∴
，
则
．当且仅当
时取等号．
解法二：（均值不等式）
，
，
，
所以
．
当且仅当
时取等号．
解法三：（权方和不等式）
．
当且仅当
时取等号．
故答案为：
例9．已知
是一个锐角，那么
的最小值是_____.
【答案】
【解析】应用权方和不等式，有
等号成立时
．
所以
的最小值是
．
故答案为：
.
变式3．（2026·四川·模拟预测）权方和不等式是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪
“
”
80 年代初命名的．
其具体内容为：设
，则
，当
且仅当
时，等号成立．根据权方和不等式，若
，当
取得最小值
时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
．
故选：C．
题
不等式求最值
型四：排序
例10．（2026·高三·全国·一轮复习）设
是
的一个排列，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
是
的一个排列，
由排序不等式得
，
，
∴
的取值范围是
故选：C.
例11．（2026·高三·全国·一轮复习）若
，
，其中
都是正数，则A 与B 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依序列
的各项都是正数，不妨设
，
则
为序列{xn}的一个排列.
由排序不等式，得
，
即
，当且仅当
时，取等号，
故选：C.
例12．已知数组（
）与（
）均是1，2，
，
…
n 的一个排列.则
的最
大值为__________.
【答案】
【解析】注意到，
.
由排序不等式，知当
时，和
式的值为最大.此时
.
变式4．已知
，
，
，
…
都是正整数，且
.则
的最大值是
__________．
【答案】1992
【解析】对于自然数
，
，若
，
则有
.
于是，当
的和不变的情况下，其中小数减1 而大数加1 所得的平方和增大，
由此可知：当
，
时，
最大，其最大值为
.
题
五
不等式求最值
型
：切比雪夫
例13．设
，对任意
，
，总存在
，使得
成立，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则
．
由题意，
，
，
，且
，
由绝对值不等式，得
，
∴
，即
，因此
．
故选：C．
例14．已知
对任意
成立，则不超过
的最大整数是______．
【答案】9
【解析】依题意，
因为
，依据结论3 求得
的最佳逼近直线为
，
从而可知
，1，3，5 是偏差点．
又由题意知，
，综合这两个不等式可以得到等式
．
由性质14 可知
，
，则不超过
的最大整数是9．
故答案为：9
题
不等式
型六：琴生
求最值
例15．在锐角
中，
的最小值为______．
【答案】
【解析】构造函数
，
，则
，
令
，则
，
所以函数
在
上为下凸函数．
由琴生不等式得
，
即
，当且仅当
时等号成立．
因此在锐角
中，
的最小值为
．
故答案为：
.
例16．已知函数
，则
的最小值是________.
【答案】
【解析】
定义域为R，
，
故
为奇函数，
又
，
故
是周期函数，周期
，
先考虑
，函数
，
在
上恒成立，
故
在
上是上凸函数，
由琴生不等式得
.
当且仅当
时，
.
又因为
是奇函数，所以
.
故答案为：
例17．（2026·高三·全国·一轮复习）在
中，
的最大值是（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
在区间
上是凸函数，根据琴生不等式可得，
，
得
，
当且仅当
时等号成立，
即
的最大值是
.
故选：D
变式5．（多选题）（2026·高三·安徽·期中）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对A，由
，得
，
则
，即
，当且仅当
时等号成立，故A 正确；
对B，因为
，所以
，当且仅当
时等号成立，故B 正确；
对C，因为
，
所以
，解得
，
当且仅当
时等号成立，故C 错误；
对D，由函数
的图象知，该函数为凹函数，
则根据琴生不等式有
，
即
，当且仅当
时等号成立，则D 正确．
故选：ABD．
变式6．函数的凹凸性是函数的重要性质之一，下面给出函数凹凸性的定义：
定义1：设函数
在区间
上有定义，
称为
上的下凸函数.
，
，有
，当且仅当
时等号成立.
定义2：设函数
在区间
上有定义，
称为
上的下凸函数.
，有
，当且仅当
时等号成立.将定义1 和定义2 中
的
改为
，则相应地称函数
“≤”
“≥”
为
上的下凹函数.
可以证明定义1 与定义2 等价.试运用以上信息解答下面的问题：
(1)若
，试根据定义判断
在
上的凹凸性；
(2)已知
为
上的下凸函数，设
，且
，求
的最小值；
(3)设
为大于或等于1 的实数，试根据定义证明：
.（提示：
可设
）
【解析】（1）因为
的定义域为
，
任取
，
则
.
即
，所以
在
上为下凸函数.
（2）令
，因为
在
上为下凸函数，
所以函数
，在
上为下凸函数，
依题意，
，
即
，
因此
，
当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
.
（3）设
，因为
，所以
，
要证
，
只需证明
，
下面证：
在
上为下凸函数.
设
，则
，
下面证
，即证
，
即证
，
化简得
，
即证
，
又
，所以
，所以
式显然成立，
所以
成立，
所以
在
上为下凸函数，
则
得证.
变式7．（2026·上海金山·一模）现给出“
函数的定义与性质．
”
定义：若函数
在区间
上连续，且对于区间
内任意两数
，如果都有
成立，则称函数
为区间
上的“
函数；
”
性质：若函数
为区间
上的“
函数，则对于任意
”
和满足
的正
数
，有
成立．
(1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“
函数（不需要说明理由）
”
①
；
②
．
(2)若函数
为区间
上的“
函数，求实数
”
的取值范围；
(3)若
，记
为函数
的图像与
轴所围成的图
形面积，当
且
时，求
的最小值．
【解析】（1）设
，取
则
，
，
则
，
因
，则
，
，
从而
，
，则
，
即
，当且仅当
时取等号，
则
不是定义域上的“U 函数；
”
设
，
，
，
，
，
当且仅当
时取等号，则
是定义域上的“U 函数；
”
（2）设
，因
是
上的“U 函数，
”
则对
，
，
注意到
，则
；
（3）由题可得
，
当
时，
，则
；
当
，
，则
；
当
时，
，则
；
当
，
，则
；
依次类推可得：
，
，
，
.
据此可得
大致图像如下：
则
，
则
.
设
，则
取
，
因
，则
，
，
，
，从而
，
即
为区间
上的“U 函数”.
由题干提供信息可得：取
，
则
1．（2026·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学
家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
，当且仅当
时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．12
D．20
【答案】A
【解析】由
，解得
，
所以函数
的定义域为
，
由柯西不等式得，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最大值为
.
故选：A.
2．（2026·湖北黄冈·模拟预测）柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学
家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
，当且仅当
时即
时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】该函数的定义域为
，由柯西不等式可得：
，
当且仅当
时取等号，即当
时取等号，
故选：A
3．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的流数问题时得到的一个重要不等式
“
”
,而柯西
不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量
,
,由
得到
,当且仅当
时取等号.现已知
,
,
,则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
,
令
,又
,
,
,
所以
,
当且仅当
即
时等号成立,
即
,
故选:D.
4．设a，b，c 为正数，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解法一 根据题意，有
，
其中
，令
，
解得
，
于是
，
等号当
时取得，因此所求最大值为
．
解法二 令
，其中
，则
，
等号当
时取得，因此所求最大值为
．
解法三 根据题意，有
，
等号当
，且
即
时取得，
因此所求最大值为
．
故选：A.
5．已知实数a，b，c，d，e 满足
则e 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．以上答案都不对
【答案】D
【解析】根据柯西不等式，有
，
从而
，
因此e 的取值范围是
．
故选：D.
6．若实数a，b，c，d 满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】根据题意，有
，
而
，当且仅从
时等号成立.
同理
，当且仅当
式等号成立，
记题中代数式为M，于是
，
等号当
时取得，因此所求代数式的最小值为2．
故选：B.
7．（2026·浙江·一模）若
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知
整理得
，
由柯西不等式得
，
当
时取等号，
所以
，即
，
解得
，所以
的最小值为
.
故选：C．
8．已知
，
，为非负实数，且满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由权方和不等式，可知
，
当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为2.
故选：B
9．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设
，
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立.根据权方和不等式，函数
的最小值为_____
【答案】52
【解析】因为
，
因为
，所以
，
，
根据权方和不等式有：
，
当且仅当
时，即
时等号成立.
所以函数
的最小值为
.
故答案为：
10．（2026·高三·江苏南通·阶段检测）已知正实数
、
且满足
，求
的最小值___________.
【答案】
【解析】设
，
，
，
由权方和不等式，可知
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
11．已知a，b 为正实数，
，且满足
，则
的最小值为__________.
【答案】2
【解析】由权方和不等式，可知
=
=
，
当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为2.
故答案为：2.
12．求
的最大值为______________
【答案】
【解析】
当且仅当
，即
或
时取等号
故答案为：
.
13．已知正数
，
，
满足
，则
的最小值为______________
【答案】
【解析】因为正数
，
满足
，
所以
，
当且仅当
即
时取等号.
故答案为：
.
14．设A，B，C 是
的三个内角，则
的最大值是________.
【答案】
【解析】函数
在
上是凹函数，由琴生不等式得
，
当且仅当
时取到等号，所以
.
故答案为：
15．权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授
于1985 年命名并系统研究，其二元形式为：
，其中
均为正实数，当且仅当
时，等号成立．更一般的
元形式为：
，其中
均为正实数，当且仅当
时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等
式解决下列问题：（其他方法不给分）
(1)已知
均为正实数，且
，求证：
；
(2)已知
均为正实数，且
，求
的最小值；
(3)对任意实数
，
，不等式
恒成立，求正实数a 的取值范围．
【解析】（1）证明：因为
均为正实数，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
（2）因为
均为正实数，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为36.
（3）对任意实数
，
，不等式
恒成立，
又
，则只需
，
因为
，所以
，
所以
，
设
，则
，
当且仅当
即
时，两个等号同时成立，
故
.
所以正实数
的取值范围是
.
16．某数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函
数的图象，例如函数
和
，虽然它们在
上都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通
过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．已知定义：设连续函数
的定义域
为
，如果对于
内任意两数
，
，都有
，则称
为
上的凹函
数；若
，则
为
上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小
组成员又了解到了琴生不等式：若
是区间
上的凹函数，则对任意的
，
，
，
…
，有
不等式
恒成立（当且仅当
时等号成立）．小
组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题
时，关键是构造函数．小组成员选择了反比例型函数
来研究函数的凹凸性．
(1)设
，
，
，
…
，
，且
，求
的最小值．
(2)设
，
，
，
…
为大于或等于1 的实数，证明：
．（提示：可
设
）
【解析】（1）对于函数
，首先证明其凹凸性，
，
，则
，
所以
在
上为凹函数
由琴生不等式，得
，
即
，
又
，
所以
，
即
．
所以
，当
时等号成立，
即求
的最小值为
.
（2）设
，因为
，所以
（
，2，3，
，
…
n）．
要证
，
只需证
，
即
．
由琴生不等式，只需证
在
上为凹函数
设
，
，则
，
，
下面证
，
即证
，
即证
，
化简得
，
即证
．（*）
因为
，所以
，（*）式显然成立，
所以
成立，即
在
上为凹函数，
则
得证.
17．无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震
撼，“930 烈士纪念日向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严
”
金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，
而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团
的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1 就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为六角楼，其造
“
”
型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱
交
的延长线于点
，经测量
，且
(1)写出三条正六棱台的结构特征.
(2)“六角楼一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，
”
估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：
）
(3)“小迷糊站在六角楼下，陶醉在歌声里
”
“
”
.“大聪明走过来说：数学是理性的音乐，音乐是感性的数学
”
“
.
学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数
，你看这多美妙!”
小迷糊：
“
”
“.....”
亲爱的同学们，快来帮小迷糊求一下
“
”
的最大值吧.
注：可以参考（不限于）下面公式：
①
元均值不等式：
琴生不等式：
②
若函数
在
上为凸函数，且
“
”
为
上任意
个实数，则
注：
在
是凸函数
“
”
柯西不等式：
③
注：其二元形式为
【解析】（1）类似于上下底面平行，相似，都是正六边形，侧棱等长，侧棱延长交于一点，侧面都是等
腰梯形，等等.
（2）在
中，可求
，
所以排练厅上底面为边长10 的正六边形，下底面为边长9 的正六边形，高为
，
所以
，
所以
.
（3）法1.四元均值不等式
.
当且仅当
，即
时取等号.
所以
最大值为
.
法2.琴生不等式法
，
当且仅当
，即
取等号.
所以
最大值为
.
法3.二元均值不等式推广
，
，
当且仅当
时取等号.
所以
最大值为
.
法4.柯西不等式
，根据二次函数知识可知当
取得最大值
，
所以
；
柯西不等式等号成立时与二次函数取到最值时相同，当且仅当
.
所以
最大值为
.
