文档文本内容
【第8 讲：函数的周期性】
一．函数周期性的判断与求解（共9 小题）
二．由函数的周期性求解函数或参数（共5 小题）
三．抽象函数的周期性（共7 小题）
四．类周期函数（共6 小题）
【知识点清单】
1．函数的奇偶性
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y 轴对
称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0 解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
2．奇函数偶函数的性质
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y 轴对
称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0 解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
3.奇偶函数图象的对称性
【知识点的认识】
奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m 时，
题型梳理
总览
f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y 轴对称，它的特点是当f（x）＝n 时，f（﹣x）＝n．
4．抽象函数的奇偶性
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数
表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y
＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
5．函数周期性的判断与求解
【知识点的认识】
函数的周期性定义为若T 为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T） 恒成立，则f（x）叫
做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数．
【解题方法点拨】
周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．
①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，
例：求f（x）=
1
f ( x−2)的最小正周期．
解：由题意可知，f（x+2）=
1
f ( x) =f（x﹣2）⇒T＝4
②与对称函数或者偶函数相结合求函数与x 轴的交点个数．如已知函数在某个小区间与x 轴有n 个交
点，求函数在更大的区间与x 轴的交点个数．
思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意
端点的值．
【命题方向】
题目包括判断和求解函数的周期性，结合周期性分析函数的性质及应用．
6．抽象函数的周期性
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数
表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y
＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】
抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题
和小题为主，要引起重视．
6．类周期函数
【知识点的认识】类周期函数是指具有类似周期性，但又不完全遵循周期性规律的函数．
【解题方法点拨】﹣分析类周期函数的形式，找到函数的近似周期．﹣利用类周期性分析函数性质，确定
类周期函数的行为．﹣综合考虑类周期函数的各部分，分析其性质和应用．
【命题方向】题目包括判断和求解类周期函数的性质，结合实际问题分析类周期函数的应用．
一．函数周期性的判断与求解（共9 小题）
1．已知函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x+2），且f（3）＝﹣1，则f（2025）＝（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
2．已知函数f（x）满足对于任意的实数x，都有f ( x +3)=
1
f ( x)，且f (3)= 1
3，则f（2025）＝（ ）
A．−1
3
B．1
3
C．﹣1
D．1
3．已知函数y＝x2f（x+1）是定义在R 上的奇函数n 且f（x﹣1）＝f（5﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝
2﹣2x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2025）＝（ ）
A．﹣2
B．0
C．2
D．﹣4050
4．已知函数f（x）满足：∀x∈R，f（x）•f（x+4）＝2，且f（1）＝2，则f（29）＝（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．已知函数f（x）满足对∀x∈R 都有f（x）＝f（x+3），f（x）+f（4﹣x）＝4，则f（2024）＝（ ）
A．1
B．2024
C．2
D．2025
6．已知定义在R 上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x）．当1≤x≤2 时，f（x）＝log2（x+7），则f
（2023）＝（ ）
A．3
B．﹣3
C．﹣5
D．5
知识讲解与常考题型
题型分类
7．已知函数f（x）是周期为2 的奇函数，且当x∈（0，1）时，f（x）＝3x+1，则f (lo g3
81
2 )的值为
（ ）
A．3
B．﹣3
C．﹣2
D．2
8．已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）+f（﹣x）＝1，f（x）的图象关于点(−π
2 ，1
2 )对称，且
f ( π
12 )= 1
4 ，则f ( 119 π
12 )=（ ）
A．−3
4
B．3
4
C．−1
4
D．1
4
9．已知f（x）是定义在R 上的奇函数，∀x∈R，恒有f（x）+f（x+2）＝0，且当x∈（0，1]时，f（x）＝
1+2x，则f（1）+f（2）+…+f（2024）+f（2025）＝ ．
二．由函数的周期性求解函数或参数（共5 小题）
10．已知定义在R 上的函数y＝f（x）满足f ( x + 4)=
1
f ( x)，当0＜x＜4 时，若f（x）＝ax+b（a＞0，b＞
0），且f（2025）＝1，则1
a + 2
b 的最小值是（ ）
A．3+ ❑√2
B．2+ ❑√2
C．3+2❑√2
D．2+3 ❑√2
11．已知定义在R 上的函数f（x）满足f（x﹣1）+f（x+1）＝0，且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2
（x+1），则3f（2023）﹣2f（2022）的值为（ ）
A．3
B．1
C．﹣1
D．﹣3
12．已知f（x+1）是周期为2 的奇函数，当﹣1≤x≤0 时，f（x）＝sinπx，则f (−4
3 )的值为（ ）
A．−1
2
B．1
2
C．−
❑√3
2
D．
❑√3
2
（多选）13．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且g（x）+f（﹣x+2）＝1，f（x）﹣g（x+1）＝
1，若y＝f（x）的图象关于直线x＝1 对称，则以下说法正确的是（ ）
A．g（x）为奇函数
B．∀x∈R，f（x）＝f（x+4）
C．f（x+2024）+f（﹣x﹣2023）＝2
D．g(−3
2 )=0
14．设函数y＝f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈（﹣1，1]时，f（x）
＝2x﹣1，则∑
k =1
2025
f (k )= ．
三．抽象函数的周期性（共7 小题）
15．已知定义在R 上的函数f（x）满足f（6﹣x）+f（x）＝0，且f（2x+1）为偶函数，则f（2023）＝（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
16．已知定义在R 上的函数f（x），对任意实数x 都有f（x+4）＝﹣f（x），若函数y＝f（x﹣1）的图象
关于直线x＝1 对称，且f（﹣1）＝2，则f（2025）＝（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
17．已知定义域均为R 的函数f（x），g（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝2，g（4﹣x）＝g（x），g（2）＝
3，若f（x）＝g（2+x）+4，则下列说法错误的是（ ）
A．f（x）的图象关于y 轴对称
B．﹣8 为f（x）的一个周期
C．f（2023）＝﹣1
D．∑
k =1
22
f（k）＝16
18．已知函数f（x）为R 上的奇函数，f（1）＝1，且∀x∈（﹣∞，0），f（x）＝xf（1﹣x），则
∑
k =0
2025
f (k +1)f (2026−k )=（ ）
A．2
2025
2026!
B．2
2026
2026!
C．2
2026
2025!
D．2
2025
2025!
19．已知定义在Z 上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy﹣1，且f（2）＝7，则（ ）
A．f（1）＝4
B．方程f（x）＝0 有解
C．f（x﹣1）＝f（﹣x）
D．f（x+1）＝f（x）
20．已知定义在R 上的函数f（x）满足f（x）+f（6﹣x）＝0，且函数y = f ( x + 3
2 )为偶函数，当0≤x ≤3
2
时，f（x）＝4x﹣2x2，则f（2026）＝（ ）
A．3
2
B．2
C．﹣2
D．0
21．已知对于∀x∈R，f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），f（x）+g（x﹣3）＝2，g（﹣3﹣x）＝g（﹣3+x），且
g（﹣3）＝1，则∑
i=0
2025
f (i)=（ ）
A．1
2
B．3
2
C．1
D．0
四．类周期函数（共6 小题）
22．函数f（x）是定义在R 上的偶函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），若x∈[0，1]，f（x）＝2x，则f（2023）
＝（ ）
A．4
B．2
C．1
D．0
23．定义在R 上的函数f（x）满足：f ( 1
2 )= 1
2，f（1）＝1，f ( x)= 1
2 f (5 x)，当0≤x1＜x2≤1 时，f（x1）
≤f（x2），则f（10）＝（ ）
A．2
B．1
C．1
2
D．0
24 ．定义在R 上的函数y ＝f （x ）的图的关于点(−3
4 ，0)成中心对称，对任意的实数x 都有
f ( x)=−f ( x + 3
2 )，且f（﹣1）＝1，f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2024）的值为（
）
A．2
B．1
C．﹣1
D．﹣2
25．已知f（x）是定义在R 上的函数，f ( x)= 1+ f ( x−2)
1−f ( x−2)，且f (2)=2+ ❑√3，则f（2022）＝（ ）
A．2−❑√3
B．❑√3−2
C．2+ ❑√3
D．−2−❑√3
26．定义在R 上的函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x）+2x+1，则下列是周期函数的是（ ）
A．y＝f（x）+x
B．y＝f（x）﹣x
C．y＝f（x）+2x
D．y＝f（x）﹣2x
（多选）27．对于函数y＝f（x）（x∈R），下列命题正确的有（ ）
A．在同一直角坐标系中，函数y＝f（1﹣x）与y＝f（x﹣1）的图像关于直线x＝0 对称
B．若f（1﹣x）＝f（x﹣1），则函数y＝f（x）的图像关于直线x＝1 对称
C．若f（1+x）＝f（x﹣1），则函数y＝f（x）是周期函数
D．若f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），则函数y＝f（x）的图像关于（0，0）对称
一、单选题
1．已知定义域为R 的函数
，满足
是奇函数，
是偶函数，则下列说法不一定正确的是
（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
C．
的一个周期为4
D．
的图象关于点
对称
课后针对训练
2．已知函数
的定义域为
为偶函数，
为奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
是定义在
上的奇函数，且满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
的定义域为
，函数
是奇函数，函数
的图象关于
直线
对称，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
D．
5．已知函数
满足
和
，且当
时，
，则
的值为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．5
6．已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
二、多选题
7．已知定义在
上的偶函数
和奇函数
满足
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
是以8 为周期的周期函数
C．
D．
8．已知函数
的定义域为
，且
，
的图象关于
对称.当
时，
，若
，则（ ）
A．
的周期为4
B．
的图象关于
对称
C．
D．当
时，
9．设函数
的定义域为R，且满足
，
为奇函数，则下列说法正确的是
（ ）
A．
为偶函数
B．
关于
对称
C．
D．
的导函数
的周期为
10．已知函数
的定义域为
，且
，曲线
的图象关于直线
对称．
若
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数
的定义域为
，
，且
，
，则下列
结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．已知函数
满足
，且
，则
；
．
13．已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，
，则
.
14．已知函数
和
的定义域均为
，且
，若
是偶函数，
，则
.
15．设
是定义在
上的函数，且
，则
．
16．设
是定义在
上的函数，且
，在区间
上，
其中
，
．若
，则
的值为 ．
四、解答题
17．已知
为偶函数，且周期为4，当
时，
，求当
时
的解析式．
18．①若
恒成立，则
有何特性？
②若
恒成立，则
有何特性？
③若
恒成立，则
有何特性？
④若
恒成立，则
有何特性？
