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第09 讲函数的概念、定义域与值域
（知识清单+5 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
定义域（分式/对数型）、值域（单调性）、函数概念
单选、多选
5 分/6 分
定义域（偶次根式/指数型）、换元法求值域
单选、填空
5 分
基础定义域、简单值域求解
单选、填空
5 分
含参定义域、导数结合单调性求值域
单选、解答
题
5 分/10 分
【知识点01】函数的概念
一般地,设A,B 是非空的实数集,如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B 中都有唯一
确定的数y 和它对应,那么就称f：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y＝f(x),x∈A.
【例1】判断下列对应关系是否为函数：
（1）A ={x| x ≥0}，B = R，对应关系f : x→y =± ❑√x；（2）A = R，B ={ y | y ≥0}，对应关系f : x→y = x
2。
【知识点02】函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是
同一个函数.
【例2】已知函数f ( x)= ❑√x−2+
1
x−3，求其定义域。
【知识点03】函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
【例3】已知函数f ( x)=2 x−1，用三种表示法表示该函数（定义域为{1,2,3,4}）。
【知识点04】分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
【例4】已知分段函数f ( x)={
x
2, x ≥0
2 x +1, x<0，求f (−1)、f (2)及函数值域。
【题型一】函数概念辨析
【例1】（2025·全国二卷·高考真题）若
是函数
的极值点，则
___________
【例2】（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线
，
与函数
的图象的交点个数为
（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．0 或1 或2
【例3】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数
，且
，则
____
【变式1】（2025·江西萍乡·三模）已知定义在
上的函数
满足对于任意实数x，y 均有
，且
，则
（ ）
A．675
B．1350
C．2025
D．4050
【变式2】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数
的定义域为
，当
时，有
，对
，都有
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2025
D．2026
【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转
后得到的曲线仍为一个函数的图
象的有______（写出对应编号）．
①
； ②
；
③
； ④
．
【题型二】定义域求解
【例4】（2024·上海·高考真题）函数
的定义域为_______.
【例5】（2026·广西桂林·模拟预测）若集合
，函数
的定义域为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】（2024·浙江·模拟预测）若分式
不论x 取何值总有意义，则点
关于x 轴的对称点在
第______象限．
【变式1】（2025·安徽合肥·一模）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（2025·陕西·模拟预测）下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是
__________．
【题型三】值域求解
【例7】（2026·四川达州·二模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】（2025·上海长宁·一模）函数
的值域为
，则集合
___________．
【例9】（2025·河北·模拟预测）已知函数
的定义域和值域相同．．
(1)求a；
(2)记
的导函数为
，求
的极小值．
【变式1】（2026·江西上饶·二模）若函数
的定义域为
，则此函数的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·陕西宝鸡·二模）若一个函数的定义域为
，值域为
，则它的解析式可能为：_______．
【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的值域；
(2)若不等式
在
上恒成立，求
的取值范围；
(3)当
时，函数
的值域为
，求正数
的取值范围．
【题型四】分段函数相关计算
【例10】（2025·贵州·模拟预测）已知函数
则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【例11】（多选）（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）设函数
，若
，则
的
值可能是（ ）
A．
B．
C．1
D．
【例12】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
，则
______．
【变式1】（2026·浙江·二模）已知函数
若
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·河北唐山·一模）已知
，若
，则
______.
【变式3】（2024·吉林·模拟预测）师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决
定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）
与投入的成本
（单位：元）满足如下关系：
，已知这种水果的市场售价为10 元/千克，
且供不应求.水果树单株获得的利润为
（单位：元）.
(1)求
的函数关系式；
(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?
【题型五】函数表示法
【例13】（2025·浙江·二模）下列可以作为方程
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例14】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，边长为1 的正方形
，其中边
在
轴上，点
与坐标原点重
合，若正方形沿
轴正向滚动，先以
为中心顺时针旋转，当
落在
轴上时，再以
为中心顺时针旋转，如此继续，
当正方形
的某个顶点落在
轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点
滚动时形成的曲线为
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．
【例15】（多选）（2024·广西来宾·模拟预测）已知定义在R 上的函数
满足
，
且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
不存在零点
D．
【变式1】已知函数
的对应值图如表所示，则
等于（ ）
函数
的对应值表
0
1
2
3
4
5
3
6
5
4
2
7
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式2】如图所示是一个无水游泳池，
是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得
到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变），水面与
的交点为
，则
的
高度随时间变化的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知定义在R 上的函数
不是常值函数，且同时满足：①
；②对任意
，均存在
使得
成立；则函数
______．（写出一个符合条件的答案即可）
【解题大招01】定义域求解“分类限制法”
技巧核心：按“分式、偶次根式、对数、零次幂”等不同限制条件分类列不等式（组），求解交集即为定义域，
避免漏解。
【例1】求f ( x)=
❑√x−1
log2 ( x−2)的定义域。
【解题大招02】值域求解“单调性法”
技巧核心：先判断函数在定义域内的单调性（一次、二次、对数函数可直接判断），再根据单调性求端点值，
端点值（或极值）即为值域的最值。
【例2】求f ( x)= x
2−2 x +3（x∈[0,3]）的值域。
【解题大招03】值域求解“换元法”
技巧核心：令复杂根式、指数式为新变量t，转化为二次函数、一次函数求值域，注意新变量t的取值范围（换元
必求范围）。
【例3】求f ( x)=2❑√x−1+ x（x ≥1）的值域。
解析：令t = ❑√x−1≥0，则x =t
2+1，代入得：
f (t )=2t +t
2+1=t
2+2t +1=(t +1)
2
因t ≥0，(t +1)
2单调递增，最小值为(0+1)
2=1，值域为[1,+ ∞)。
【解题大招04】分段函数“分段求解法”
技巧核心：分段函数的定义域、值域、求值，均按“区间分段”处理，最后整合结果；求值时先判断x所属区间，
再代入对应解析式。
【例4】已知f ( x)={2 x−1, x<0
x
2, x ≥0
，求f (f (−1))及函数值域。
【解题大招05】函数概念“唯一性判断法”
技巧核心：判断对应关系是否为函数，只需验证“任意一个x，是否有唯一的y对应”，可结合图像（垂直于x轴
的直线与图像至多一个交点）。
【例5】判断f ( x)={ x , x ≥0
−x , x<0与x = y
2是否为函数。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
2．（2026·广东清远·二模）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·河北保定·三模）已知函数
则
（ ）
A．0
B．1
C．2 026
D．2 027
二、多选题
4．（2024·云南·模拟预测）已知定义在
上的函数
，对任意的
满足
，下列说法正确的是（ ）
A．若
为一次函数，则
B．若
为一次函数，则
C．若
不是一次函数且
，则
D．若
不是一次函数且
，则
三、填空题
5．（2026·河南周口·二模）已知函数
，则
____________.
6．（2024·河南信阳·一模）已知不等式
的解集为
，则函数
的定义域为
__________.
7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
，则
的最小值为______．
四、解答题
8．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知集合
，函数
的定义域为集合
．
(1)当
时，求
；
(2)设命题p：
，命题q：
，若p 是q 的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若函数
，则
（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
2．（2026·浙江·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·河南洛阳·模拟预测）下列选项中说法正确的是（ ）
A．函数
的单调减区间为
B．幂函数
过点
，则
C．函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
D．若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
三、填空题
4．（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数
的定义域为
，且
，则
的值域为
__________.
5．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数
，则
的值域为__________．
四、解答题
6．（2024·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10 万元，每生产一千件需另投入2.7 万元，设
该公司年内共生产该品牌服装
千件并全部销售完，销售收入为
万元，且
（注：
年利润
年销售收入
年总成本）
(1)写出年利润
（万元）关于年产量
（千件）的函数解析式；
(2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知集合
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2025·山西太原·一模）已知函数
，若
，且
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
4．（2026·河北沧州·三模）函数
若
，则
________．
四、解答题
5．已知函数
.
(1)求
的最小值；
(2)若
对任意
恒成立，求k 的取值范围.
