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第 03 讲 圆的方程 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：求圆的方程
题型二：与圆有关的轨迹问题
题型三：与圆有关的最值问题
角度1：考查目标函数的几何意义求最值
角度2：利用对称性求最值
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：圆的定义和圆的方程
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中， 的圆心 的坐标为 , 半径为 , 为圆上任意一点，
可用集合表示为：
2、圆的标准方程
我们把方程 称为圆心为 半径为 的圆的标准方程.
3、圆的一般式方程
对 于 方 程 （ 为 常 数 ） ， 当 时 ， 方 程
叫做圆的一般方程.
①当 时，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆；
②当 时，方程表示一个点③当 时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：① 和 前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有
项；③ .
知识点二：点与圆的位置关系
判断点 与 ： 位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设 到圆心 的距离为 ，则
① 则点 在 外
② 则点 在 上
③ 则点 在 内
（2）代数法
将点 带入 ： 方程内
①点 在 外
②点 在 上
③点 在 内
知识点三：圆上的点到定点的最大、最小距离
设 的方程 ，圆心 ，点 是 上的动点，点 为平面内一点；记
;
①若点 在 外，则 ;
②若点 在 上，则 ;
③若点 在 内，则 ;
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：求圆的方程典型例题
例题1．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高二阶段练习）一个圆经过点 与点 ，圆心
在直线 上，求此圆的标准方程.
【答案】
【详解】线段 的中点为 ， ，
所以，线段 的垂直平分线的方程为 ，即 ，
联立 ，解得 ，故圆心为 ，
圆的半径为 ，
因此，所求圆的标准方程为 .
例题2．（2022·安徽宿州·高二期中）求下列圆的方程
(1)圆 经过坐标原点， 和 ；
(2)圆 的圆心在 轴上，并且过 和 两点．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设圆 的方程为 ，
依题意可得 ，解得 ，
所以圆 的方程为 ，即 .
（2）解：根据题意，设圆心坐标为 ，半径为 ，
则其标准方程为 ，
由于点 和 在圆 上，则有 ①，
②，
解可得 ， ，
故圆 的标准方程为 ；
例题3．（2022·吉林·长春市文理高中有限责任公司高二阶段练习）已知 三个顶点的坐标分别是
， ， ，过 点的直线 把 面积平分.(1)求直线 的方程；
(2)求 的外接圆的方程.
【答案】(1)
(2)
（1）
取AC的中点坐标 ，由题意，可得直线 为直线 ，则该直线的斜率 ，
则直线方程为 ，即直线 .
（2）
设 ，由题意，圆必过 、 、 三点，
则 ，解得 ，
故 ABC的外接圆的方程： .
例△题4．（2022·全国·高三专题练习）已知一个圆过 ,求这个圆的方程．
【答案】
【详解】设圆的一般方程为 ,则
解得
所以圆的方程为
同类题型归类练
1．（2022·河北师范大学附属中学高二阶段练习）平面直角坐标系 中，圆C过点 ，和点
，且圆心C在直线 上，求圆C的标准方程．
【答案】
【详解】设圆C的圆心为 ，半径为 ，
则圆C标准方程为 ，
由题意，则 ，解得 ，
故圆C的标准方程为 .
2．（2022·北京市玉渊潭中学高二期中）求满足下列条件的圆的方程.
(1)经过点 ，圆心为点 ；
(2)经过点 ，且圆心在 轴上.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为 ，即圆的半径 ，
又圆心为 ，所以圆的方程为 .
（2）解：设圆心坐标为 ，半径为 ，
所以圆的方程为 ，
因为圆经过点 ， ，
所以 ，解得 ，
所以圆的方程为 .
3．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习） 的三个顶点分别是 、 、 .
(1)求边 上的中线所在直线的方程；
(2)求 的外接圆的方程.
【答案】(1)
(2)
（1）
解：线段 的中点为 ， ，
所以，边 上的中线所在直线的方程为 ，即 .（2）
解：设 的外接圆的方程为 ，
则 ，解得 ，
因此， 外接圆的方程为 .
4．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆 经过点 ， ， ．求圆 的方程．
【答案】 ．
【详解】设圆的一般方程为 ，
把 ， ， 三个点代入得：
，解得
所以圆的方程为
即 ．
题型二：与圆有关的轨迹问题
典型例题
例题1．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）已知 是圆 上的动点， 是圆的
切线， ，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为圆 ，所以圆心 ，半径 ，由勾股定理得 ，所以
，所以 的轨迹为以 为圆心 为半径的圆，所以 的轨迹方程是 .
故选：A
例题2．（2022·江苏连云港·高二期中）己知点 和点 ，动点 与点 的距离是它与点
的距离的 倍，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设点 ，由题意可得 ，即 ，化简可得
即点 的轨迹方程为 ，
故选:D
例题3．（2022·湖南·长沙市实验中学高二阶段练习）当点 在圆 上运动时，连接点 与定
点 ，则线段 的中点 的轨迹方程为________.
【答案】
【详解】设点 ，因M是线段 的中点，则点 ，
于是得 ，即 ，
所以点M的轨迹方程为 .
故答案为：
例题4．（2022·山东省青岛第十九中学高二期中）已知圆 的圆心在直线 上，并经过点
，与直线 相切．
(1)求圆C的方程；
(2)已知 ，动点 到圆 的切线长等于 的2倍，求出点 的轨迹 方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设圆心坐标为 ，
故 ，解得： ，
故圆心为 ，半径为 ，
故圆C的方程为 ；
（2）设 ，
则 ，故动点 到圆C的切线长为 ，
，
所以 ，化简得： ，
故点 的轨迹方程为： .
例题5．（2022·河南·商城县观庙高级中学高二阶段练习（理））已知圆 经过点 、 ，
且它的圆心在直线 上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)若点 为圆 上任意一点，且点 ，求线段 中点 的轨迹方程.
【答案】(1) ；
(2) .
（1）
由题可设圆C的标准方程为 ，则
，
解之得 ，
所以圆C的标准方程为 ；
（2）
设M（x，y），D ，则，由E(3，0)及M为线段ED的中点得： ，解得
又点D在圆C： 上，
所以有 ，
化简得： ．
故所求的轨迹方程为 ．
同类题型归类练
1．（2022·云南西双版纳·二模（文））已知圆 ，圆 ，过动点P分别作
圆 、圆 的切线PA，PB（A，B为切点），使得 ，则动点P的轨迹方程为（ ）．A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由 得 ．
因为两圆的半径均为1，则 ，
则 ，即 ．
所以点P的轨迹方程为 ．
故选：D
2．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期中）已知动点 与两个定点 ， 的距离之比
为 ，则动点 的轨迹方程为______.
【答案】
【详解】设点 ，则 ，整理得 ，所以动点 的轨迹方
程为 .
故答案为： .
3．（2022·辽宁·阜新市第二高级中学高二期中）（1）已知圆C经过坐标原点和点 ，且与直线 相
切，则圆C的方程；
（2）已知 ， ，动点P满足 .求点P的轨迹方程C.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1）因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点 和 ，所以设圆心为 .又圆与直
线 相切，所以 ，
即 ，解得 ，
所以圆C的方程为 .
（2）设点 ，由 ，
得 ，
化简得 ，因此点P的轨迹方程为 .4．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））已知圆 经过点 ， ，且圆 与 轴相切．
(1)求圆 的一般方程；
(2)设 是圆 上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设圆的方程为 ，
因为圆 过点 ， ，又跟 轴相切，
圆 必在 轴右侧，且跟 轴的切点为 ，
圆心的纵坐标为 ．
，解得 ，
圆 的方程为 ，化简得 ．
（2）解：设 ．因为 为线段 的中点，所以 ，
因为点 是圆 上的动点，所以 ，即 ，
所以 的轨迹方程为 ．
5．（2022·江苏·邵伯高级中学高二阶段练习）（1）已知两定点 ，若动点P满足
，则P的轨迹方程．
（2）已知线段 的中点C的坐标是 ，端点A在圆 上运动，则线段 的端点B的轨
迹方程．
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1）设 ，又 ，则 ，
所以 .
（2）设 ，则 ， ，可得 ，
由A在圆 上，则 ，
所以B的轨迹方程为 .
题型三：与圆有关的最值问题
角度1：考查目标函数的几何意义求最值典型例题
例题1．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高二阶段练习）若实数 ， 满足条件 ，则
的范围是______.
【答案】
【详解】 的几何意义即圆上的点 到定点 的斜率，由图知斜率的范围处在圆的两条切线斜
率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，
则AB的方程为 ，
，解得 ，
故 的范围是
故答案为： .
例题2．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知实数 满足方程 .
(1)求 的最大值和最小值；
(2)求 的最大值和最小值．
【答案】(1) ；
(2) ，
【详解】（1）原方程表示以点 为圆心，以 为半径的圆，
表示圆上点 与点 连线的斜率，如图，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，
设 ，即 ，
则圆心到直线的距离为 ，解得 ，
即 的最大值为 ，最小值为 .
（2） 表示圆上的点与原点间距离的平方，由平面几何知识知，
它在原点与圆心所连直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离 ，
故
例题3．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习）已知点 在圆 上.
(1)求 的最大值和最小值；
(2)求 的最大值和最小值；
(3)求 的最大值和最小值.
【答案】(1)最大值为－2＋ ，最小值为－2－
(2)最大值为 －1，最小值为－ －1
(3)最大值为 ＋1，最小值为 －1
【详解】（1） 可视为点(x，y)与原点连线的斜率， 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的
直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即 ＝1，解得k＝－2＋ 或k＝－2－
∴ 的最大值为－2＋ ，最小值为－2－ .
（2）设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y
轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即 ＝1，
解得t＝ －1或t＝－ －1.
∴x＋y的最大值为 －1，最小值为－ －1.
（3） ＝ ，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最
值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.
又圆心到定点(－1，2)的距离为 ，
∴ 的最大值为 ＋1，最小值为 －1.
同类题型归类练
1．（2022·广东·深圳市南头中学高二期中）实数x，y，满足 ，则 的最大值是______.
【答案】 ##
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径
令 ，则 ，
则直线 与圆 有公共点
则 ，解之得
则 的最大值是
故答案为：
2．（2022·辽宁·沈阳二十中高二阶段练习）已知实数 、 满足方程 ．求：
(1) 的取值范围为______；
(2) 的取值范围；(3) 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
（1）
如图：
方程 表示以点(2，0)为圆心，以 为半径的圆.
设 ，即 ，当圆心(2，0)到直线 的距离为半径时直线与圆相切，
斜率取得最大、最小值.由 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 的最大值为 ，最小值为 ，取值范围为 .
（2）
设 ，则 ，当直线 与圆相切于第一象限时，纵轴截距b取最大值，相切于第四象
限时，纵轴截距b取最小值，
由点到直线的距离公式，得 ，即 ，
故 的取值范围为 .
（3）
是圆上点与原点距离的平方，连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于 ，如图:可知点B到原点的距离最小，点 到原点的距离最大，
此时有 ， ，
则 ， ，
故 的取值范围为 .
3．（2022·河南开封·高二阶段练习）已知 为圆 上任意一点.
(1)求 的取值范围；
(2)求 的最大值和最小值.
【答案】(1) ；
(2)最大值为 ，最小值为 .
（1）因为 圆心 ，半径 ，
设 看成直线方程，其与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离 ，解得 ，
所以所求的取值范围是 .
（2）记 ，因为 表示直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
因为直线与圆有公共点，所以 ，可得
所以 的最大值为 ，最小值为 .
角度2：利用对称性求最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 分别是直线 和圆 上的动点，圆 与 轴正半轴交于点 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，圆 的圆心为 ，半径 .
设点 关于 的对称点为 ，
则 解得 即 .
连接 ，交直线 于点 ，交圆 于点 ，
此时 取得最小值为 .
故选C.
例题2．（2022·广东·广州市第一中学高二期中）已知圆 及点 ，设 ，
分别是直线 和圆 上的动点，则 的最小值为__________．
【答案】
【详解】解：设点 关于直线 的对称点为 ，则 ，解得 ，所
以点 关于直线 的对称点为 ，
所以 ，
又 到圆上点 的最短距离为 ，
故答案为： ．同类题型归类练
1．（2021·江西·上高二中高二阶段练习（理））已知圆 及点 ，点P、Q分别是直
线 和圆C上的动点，则 的最小值为__________.
【答案】3
【详解】作出点A关于直线 的对称点 ，如图：
设点 ，则有 ，解得 ，即 ，而C(2，0)
由圆的性质知：圆外点P与圆C上点Q距离 满足 (当且仅当Q是线段PC与圆C的交点
时取“=”)，
连接 交直线 于点O，P为直线 上任意一点，连 (线段PC交圆C于点Q)，
则 ，当且仅当点P在线段 上，即与点O
重合时取“=”，
所以 的最小值为3.
故答案为：3
2．（2021·全国·高二专题练习）已知圆 ， 是圆 上的任意一点， 为直线
上任意一点， ，则 的最小值为________．
【答案】
【详解】由题意， ，如下图示， 是 关于 的对称点， ，∴ ，要使 的最小，即 共线即可，且最小值为
.故答案为：
