重点07 对数不等式与集合
目录
1
知识点01 对数与对数运算........................................................................2
2
知识点02 对数不等式................................................................................2
3
知识点03 对数与集合的交并补................................................................4
4
题型一、对数的运算.................................................................................5
5
题型二、对数不等式.................................................................................9
6
题型三、对数与集合的交并补...............................................................15
1 知识点01 对数与对数运算
(1)
对数的定义
一般地，如果a
x = N (a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作
x = loga N ( N >0)，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数
( N >0)．
(2)
常见对数
①一般对数：以a(a>0且a≠1)为底，记为loga
N( N >0)，读作以a为底N的对
数；
②常用对数：以10为底，记为lg N；( N >0)
③自然对数：以e为底，记为ln N；( N >0)
(3)
对数运算公式
①loga
1=0；其中a>0且a≠1
②loga
a=1；其中a>0且a≠1
③a
loga
N❑= N (其中a>0且a≠1，N >0)
④对数换底公式：logab= logcb
logc a
⑤loga( MN )= loga M + loga N
⑥loga
M
N = loga M - loga N
⑦loga
mb
n= n
m logab(m，n∈R)
⑧a
logab=b
⑨logaa
b=b
⑩logab=
1
logba
2 知识点02 对数不等式
(1)
底数a>1
【例题1】log2 x ≤1
对数要求真数大于0，故： x>0
换底，底数变为相同： log2 x ≤log22
底数a>1，不等号不用变方向，解得： x ≤2
最后令x>0和x ≤2取交集得到不等式得解集：0< x ≤2
【例题2】log2( x -2)≥0
对数要求真数大于0，故： x -2>0⇒x>2
换底，底数变为相同： log2( x -2)>log22
底数a>1，不等号不用变方向： x -2>2⇒x>4
最后令x>2和x>4取交集得到不等式得解集：x>4
【例题3】lg x>0
对数要求真数大于0，故： x>0
换底，底数变为相同：lg x>lg1
底数a>1，不等号不用变方向，解得： x>1
最后令x>0和x>1取交集得到不等式得解集：x>1
【例题4】lg x<1
对数要求真数大于0，故：x>0
换底，底数变为相同： lg x<lg10
底数a>1，不等号不用变方向，解得： x<10
最后令x>0和x>1取交集得到不等式得解集：0< x<10
【例题5】lg( x -2)>0
对数要求真数大于0，故： x -2>0⇒x>2
换底，底数变为相同： lg( x -2)>lg1
底数a>1，不等号不用变方向： x -2>1⇒x>3
最后令x>2和x>3取交集得到不等式得解集：x>3
【例题6】ln x ≥1
对数要求真数大于0，故：x>0
换底，底数变为相同：ln x ≥ln e
底数a>1，不等号不用变方向： x ≥e
最后令x>0和x ≥e取交集得到不等式得解集：x ≥e
【例题7】ln( x -1)≥0
对数要求真数大于0，故： x -1>0⇒x>1
换底，底数变为相同： ln( x -1)≥ln1
底数a>1，不等号不用变方向x -1≥1⇒x ≥2
最后令x>1和x ≥2取交集得到不等式得解集：x ≥2
(2)
底数0<a<1
【例题8】log1
2
x>0
对数要求真数大于0，故：x>0
换底，底数变为相同：log1
2
x>log1
2
1
底数0<a<1，不等号变方向： x<1
最后令x>0和x<1取交集得到不等式得解集：0< x<1
【例题9】log1
2
(x -1)>1
对数要求真数大于0，故： x -1>0⇒x>1
换底，底数变为相同：log1
2
(x -1)>log1
2
1
2
底数0<a<1，不等号变方向：x -1< 1
2 ⇒x< 3
2
最后令x>0和x<1取交集得到不等式得解集：1< x< 3
2
3 知识点03 对数与集合的交并补
【例题10】已知A ={x |2
x -16≤0}，B ={x|log2(x -1)≥1}，
则A ∩B =（ ）
A．[3,4 ]
B．
C．[-2,+∞)
D．[2,3]
【详解】因为A ={x |2
x -16≤0}= {x | x ≤4}
B ={x|log2(x -1)≥1}= {x| x -1≥2}= {x| x ≥3}
所以A ∩B = {x|3≤x ≤4}.
故选：A.
【例题11】已知集合M ={x |log4 x <1}，N = {2,4}，则集合M ∩N是（ ）
A．{1,2}
B．{1,2,3}
C．{2}
D．{2,4}
【详解】由题意，M ={x|0< x<4 }，而N = {2,4}，
∴M ∩N ={2}.
故选：C
【例题12】设集合M ={x|
1
x <1}，N ={x|log2(x -1)<1}，则（ ）
A．M ⊆N
B．M ∩N =∅
C．N ⊆M
D．M ∪N = R
【详解】∵M ={x|
1
x <1}={x|x>1或x<0}，
N ={x|log2(x -1)<1}={x|0< x -1<2}={x|1< x<3}
∴N ⊆M，故C 正确，A 错误
M ∩N ={x|1< x<3}，故B 错误
M ∪N ={x|x<0或x>1}，故D 错误
故选：C
【例题13】已知集合P ={x|log 1
3
x<-1}，Q ={x|2 x -12<0}，
则P∩Q =（ ）
A．(0,3)
B．(0, 1
3)
C．
D．(3,6)
【详解】解：易知P ={x|log 1
3
x<-1}={x|x>3}，Q ={x|x<6}，
所以P∩Q ={x|3< x<6}.
故选：D.
4 题型一、对数的运算
1．求下列各式的值：
(1)log327；
(2)log 1
2
8；
(3)ln 1
e +lg ❑√10.
【答案】(1)3；(2)-3；(3)- 1
2
【分析】根据对数的运算性质计算即可.
【详解】
（1）log327 = log33
3=3 log33=3.
（2）log 1
2
8= log2
-12
3= 3
-1 log22=-3.
（3）ln 1
e +lg ❑√10=lne
-1+lg10
1
2 =-1+ 1
2 =- 1
2.
2．求下列各式的值：
(1)log525；
(2)log 1
3
27；
(3)log4
❑√2；
(4)2
log23.
【答案】(1)2；(2)-3；(3)1
4；(4)3
【分析】利用对数的运算性质，换底公式，对数恒等式等性质计算即可.
【详解】
（1）log525= log55
2=2log55=2.
（2）根据换底公式，log 1
3
27= ln27
ln 1
3
= 3ln3
- ln3 =-3.
（3）根据换底公式，log4
❑√2= ln ❑√2
ln 4 =
1
2 ln2
2ln2 = 1
4
.
（4）根据对数恒等式，2
log23=3.
3．求下列各式的值：
(1)log48- log 1
9
3- log❑√24；
(2)2
log65×3
log65；
(3)(lg50)
2+lg2×lg50
2+(lg2)
2.
【答案】(1)-2；(2)5；(3)4
【分析】利用指数幂的运算和对数恒等式求解；
【详解】
（1）原式= ln 8
ln 4 - ln3
ln 1
9
- ln 4
ln ❑√2 = 3ln2
2ln2 -
ln3
-2ln3 - 2ln2
1
2 ln2
= 3
2 + 1
2 - 4 =-2
（2）原式=(2×3)
log65=6
log65=5
（3）原式=(lg50)
2+lg2×2×lg50+(lg2)
2=(lg50+lg2)
2(lg100)
2= 4
4．求下列各式的值：
(1)log33
2；
(2)log35+ log3
3
5；
(3)log1050- log105．
【答案】(1)2；(2)1；(3)1
【分析】根据对数的运算计算即可.
【详解】
（1）log33
2=2log33=2．
（2）log35+ log3
3
5 = log3(5× 3
5)= log33=1．
（3）log1050- log105= log10
50
5 = log1010=1．
5．计算求值：
(1)log4
25
9 +log23-log0.5
1
5.
(2)ln ❑√e+ log535- log514 + log254.
(3)(lg2)2+lg5×lg20+(
1
2)
log25
.
【答案】(1)0；(2) 3
2；(3)6
5
【分析】根据对数的运算性质即可解出.
【详解】
(1)原式=log2
2(
5
3)
2
+log23-log2
-15
-1=log2
5
3 +log23-log25
=log25-log23+log23-log25=0.
(2)原式= 1
2 + log5 5
2 + log52= 1
2 + log55= 3
2.
(3)原式=(lg2)
2+lg5×(lg5+2lg2)+(
1
2)
log 1
2
1
5 =(lg2+lg5)
2+ 1
5 = 6
5.
6．计算求值：
(1)lg 5
2 +2lg2+ log25×log54；
(2)2log525-3log232+lg2+lg5；
(3)2
1+ log23- log43×log38+lg
1
1000.
【答案】(1)3；(2)-10；(3)3
2
【分析】由对数运算法则计算即可；
【详解】
（1）原式
=lg 5
2 +lg2
2+ log25×log52
2=lg(
5
2 ×4)+2log25×log52=lg10+2=1+2=3.
（2）原式=2log25
2-3 log22
5+lg(2×5)=4 -15+1=-10
（3）原式=2×2
log23- lg3
2lg2 × 3lg2
lg3 -3=6- 3
2 -3= 3
2.
7．计算下列各式：
（1） log35⋅log59-2
log25;
（2） (lg5)
2+lg5⋅lg20+ 1
2 lg16.
（3）log3
4√27+lg25+lg 4 -7
log72；
【答案】（1）-3；（2）2；(3)3
4；
【分析】根据对数运算求得正确答案.
【详解】
（1）原式= log39-5= log33
2-5=2-5=-3.
（2）原式=lg5(lg5+lg20)+ 1
2 lg2
4=(lg5)×lg(5×20)+2lg2
=(lg5)×lg10
2+2lg2=2(lg5+lg2)=2lg(5×2)=2.
（3）原式=log33
3
4 +(lg25+lg 4)-2= 3
4 +2-2= 3
4.
8．计算下列各式的值.
(1)lg ❑√5+lg ❑√20+lg 1
4 -lg25
(2)log3
❑√27+lg25+lg 4 -7
log73+log38⋅log4
3√3.
(3)log25log254 -lg50-lg2+ log22
9.
(4)lne+lg 5
2 +2lg2+3
log32.
【答案】 (1)-1；(2)1；(3)8；(4)4
【分析】根据指对运算性质求解.
【详解】
（1）原式==lg(❑√5×❑√20)+lg
1
4×25 =lg10+lg10
-2=1-2=-1.
（2）原式== 3
2 +lg(25×4)-3+ 3lg2
lg3
⋅
1
3 lg3
2lg2 = 3
2 +2-3+ 1
2 =1.
（3）原式= log25log5
22
2-lg 100
2 -lg2+9log22= log25log52-(2-lg2)-lg2+9
=1-2+lg2-lg2+9=8.
（4）原式=1+lg 5
2 +lg 4 +2=3+lg(
5
2 ×4)=3+1= 4.
9．计算下列各式：
(1)2log525-3 log264 .
(2)log216- log42+ log26- log23．
(3)计算2lg2+lg25-e
ln2.
(4)log327 -(lg 4 +lg25)- log58⋅log25+7
log72.
【答案】(1)-14；(2)9
2；（3）0；(4)0
【分析】根据对数的概念和运算法则进行计算.
【详解】
（1）原式=2log55
2-3log22
6=2×2-3×6=-14.
（2）原式= 4 - 1
2 + log2(
6
3)= 4 - 1
2 +1= 9
2．
（3）原式=lg2
2+lg25-e
ln2=lg(2
2×25)-2=lg100-2=2lg10-1=0.
（4）原式== log33
3-lg(4×25)- log52
3⋅log25+2
=3-lg100-3⋅log52⋅log25+2
=3-2-3+2
=0.
5 题型二、对数不等式
1.解不等式：log2 x<1
【答案】0< x<2
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：x>0
由底数a>1得：log2 x<1⇒log2 x<log22⇒x<2
故不等式得解为：0< x<2
2.解不等式：log2 x<2
【答案】0< x<4
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：x>0
由底数a>1得：log2 x<2⇒log2 x<log24⇒x<4
故不等式得解为：0< x<4
3.解不等式：log2(x -1)<0
【答案】1< x<2
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：x -1>0⇒x>1
由底数a>1得：log2(x -1)<0⇒log2(x -1)<log21⇒x -1<1⇒x<2
故不等式得解为：1< x<2
4.解不等式：log2( x -1)≥1
【答案】x ≥3
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：x -1>0⇒x>1
由底数a>1得：log2( x -1)≥1⇒log2( x -1)≥log22⇒x -1≥2⇒x ≥3
故不等式得解为：x ≥3
5.解不等式：log4 x<1
【答案】0< x<4
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：x>0
由底数a>1得：log4 x<1⇒log4 x<log4 4⇒x<4
故不等式得解为：0< x<4
6.解不等式：ln x>0
【答案】x>1
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：x>0
由底数a>1得：ln x>0⇒ln x>ln1⇒x>1
故不等式得解为：x>1
7.解不等式：ln( x -1)≥0
【答案】x ≥2
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：x -1>0⇒x>1
由底数a>1得：ln( x -1)≥0⇒ln( x -1)≥ln1⇒x -1≥1⇒x ≥2
故不等式得解为：x ≥2
8.解不等式：ln (1- x)<0
【答案】0< x<1
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：1- x>0⇒x<1
由底数a>1得：ln (1- x)<0⇒ln (1- x)<ln1⇒1- x<1⇒x>0
故不等式得解为：0< x<1
9.解不等式：ln( x -2022)>0
【答案】x>2023
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：x -2022>0⇒x>2022
由底数a>1得：ln( x -2022)>0⇒ln( x -2022)>ln1⇒x -2022>1⇒x>2023
故不等式得解为：x>2023
10.解不等式：ln (3-2 x)<0
【答案】1< x< 3
2
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：3-2 x>0⇒x< 3
2
由底数a>1得：ln (3-2 x)<0⇒ln (3-2 x)<ln1⇒3-2 x<1⇒x>1
故不等式得解为：1< x< 3
2
11.解不等式：log2(x +1)≤1
【答案】-1< x ≤1
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：x +1>0⇒x>-1
由底数a>1得：log2(x +1)≤1⇒log2(x +1)≤log22⇒x +1≤2⇒x ≤1
故不等式得解为：-1< x ≤1
12.解不等式：lg x<1
【答案】0< x<10
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：x>0
由底数a>1得：lg x<1⇒lg x<lg x⇒x<10
故不等式得解为：0< x<10
13.解不等式：log2(3- x)≤1
【答案】1≤x<3
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：3- x>0⇒x<3
由底数a>1得：log2(3- x)≤1⇒log2(3- x)≤log22⇒3- x ≤2⇒x ≥1
故不等式得解为：1≤x<3
14.解不等式：lg(x
2+ x +8)>1
【答案】x<-2或x>1
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：x
2+ x +8>0⇒x∈R
由底数
a>1得：lg(x
2+ x +8)>1⇒lg(x
2+ x +8)>lg10⇒x
2+ x +8>10⇒x <-2或x >1
故不等式得解为：x<-2或x>1
15.解不等式：ln 1
x >0
【答案】0< x<1
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：1
x >0⇒x>0
由底数a>1得：ln 1
x >0⇒ln 1
x >ln1⇒1
x >1⇒0< x<1
故不等式得解为：0< x<1
16.解不等式：log 1
2
(3 x - 4)>0
【答案】4
3 < x< 5
3
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：3 x - 4>0⇒x> 4
3
由底数
a<1得：log 1
2
(3 x - 4)>0⇒log 1
2
(3 x - 4)>log 1
2
1⇒3 x - 4<1⇒3 x<5⇒x< 5
3
故不等式得解为：4
3 < x< 5
3
17.解不等式：log 1
3
x<-1
【答案】x>3
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：x>0
由底数a<1得：log 1
3
x<-1⇒log 1
3
x<log 1
3
3⇒x>3
故不等式得解为：x>3
18.解不等式：log 1
5
( x -2)>0
【答案】2< x<3
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：x -2>0⇒x>2
由底数a<1得：log 1
5
(x -2)>0⇒log 1
5
(x -2)>log 1
5
1⇒x -2<1⇒x<3
故不等式得解为：2< x<3
19.解不等式：log 1
4
(x -1)≤2
【答案】x ≥17
16
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：x -1>0⇒x>1
由底数a<1得：log 1
4
(x -1)≤2⇒log 1
4
(x -1)≤log 1
4
1
16 ⇒x -1≥1
16 ⇒x ≥17
16
故不等式得解为：x ≥17
16
20.解不等式：log 1
2
(- x)≤1
【答案】x ≤- 1
2
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：- x>0⇒x<0
由底数a<1得：log 1
2
(- x)≤1⇒log 1
2
(- x)≤log 1
2
1
2 ⇒- x ≥1
2 ⇒x ≤- 1
2
故不等式得解为：x ≤- 1
2
21.解不等式：log3( x +1)<1
【答案】x ≤- 1
2
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：- x>0⇒x<0
由底数a<1得：log 1
2
(- x)≤1⇒log 1
2
(- x)≤log 1
2
1
2 ⇒- x ≥1
2 ⇒x ≤- 1
2
故不等式得解为：x ≤- 1
2
22.解不等式：log 1
2
(3- x)≤0
【答案】x ≤2
【分析】对数不等式
【详解】由对数的定义得：3- x>0⇒x<3
由底数a<1得：log 1
2
(3- x)≤0⇒log 1
2
(3- x)≤log 1
2
1⇒3- x ≥1⇒x ≤2
故不等式得解为：x ≤2
6 题型三、对数与集合的交并补
1．已知集合A ={x|x +1≤0},B ={x|log2(x +2)<2},C ={x|x
2+2 x -3<0}，则
(∁R A)∩(B∩C)=（ ）
A．{x|-3< x ≤-1}
B．{x|-2< x ≤-1}
C．{x|-1< x<1}
D．{x|-1< x<2}
【答案】C
【分析】先分别求集合A ,B ,C，进而利用集合的交集与补集运算即可求解.
【详解】A ={x|x +1≤0}={x|x ≤-1}；
由B ={x|log2(x +2)<2}，得¿，解得-2< x<2，
所以B ={x|-2< x<2}；
C ={x|x
2+2 x -3<0}={x|-3< x<1}；
∁R A = {x|x>-1}，B∩C = {x|-2< x<1}
于是(∁R A)∩(B∩C)={x|-1< x<1}.
故选：C.
2．已知x∈R，则“-3≤x ≤4”是“lg( x
2-2 x +2)≤1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用对数不等式的解法，结合充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】由lg( x
2-2 x +2)≤1，得lg( x
2-2 x +2)≤lg10，即0< x
2-2 x +2≤10，
于是有{ x
2-2 x +2>0
x
2-2 x +2≤10，解得-2≤x ≤4，
因为“-3≤x ≤4”不能推出“-2≤x ≤4”，故充分性不成立；
因为“-2≤x ≤4”能推出“-3≤x ≤4”，故必要性成立；
所以“-3≤x ≤4”是“lg( x
2-2 x +2)≤1”的必要不充分条件.
故选：B.
3．已知集合P={x|log2 x>1},Q ={x| x -3
x +2 ≤0}，则(∁R P)∩Q =（ ）
A．[-2,2]
B．(-2,2]
C．[0,2]
D．(0,2]
【答案】B
【分析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合P ,Q，结合集合的
补集及交集的定义即可求解.
【详解】由log2 x>1，得x>2，所以P ={x| x>2}, ∁R P ={x| x ≤2}.
由x -3
x +2 ≤0，得-2< x ≤3，所以Q ={x|-2< x ≤3}，
所以(∁R P)∩Q ={x| x ≤2}∩{x|-2< x ≤3}={x|-2< x ≤2}，
故选：B.
4．集合A ={x∈N| 3
x ⩾1}，B ={x∈N|log2( x +1)≤1}，S⊆A，S∩B≠∅，
则集合S的个数为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【分析】根据分式不等式和对数不等式求出集合A和B，利用交集的定义
和集合的包含关系即可求解.
【详解】由3
x ⩾1，得0< x ≤3，
所以A ={x∈N | 3
x ⩾1}={1,2,3}.
由log2( x +1)≤1，得-1< x ≤1．
所以B ={x∈N|log2( x +1)≤1}={0,1}．
由S⊆A，S∩B≠∅，知S中必含有元素1，可以有元素2,3．
所以S只有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，即集合S的个数共4个．
故选：C.
5．已知集合A ={x|| x -1|>2}，B ={x|log4 x<1}，则A ∩B =（ ）
A．(3,4)
B．(-∞,-1)∪(3,4)
C．(1,4)
D．(-∞,4)
【答案】A
【分析】首先求出绝对值不等式和对数不等式的解集，得出集合A ,B，进
而可求出A ∩B.
【详解】由| x -1|>2，得x<-1或x>3，所以A ={x| x<-1或x>3}，
由log4 x<1，得0< x<4，所以B ={x|0< x<4}，
所以A ∩B ={x|3< x<4}.
故选：A.
6．设A ={x| x
2- 4 x +3⩽0}，B ={x|ln(3-2 x)<0}，则A ∩B =（ ）
A．(1, 3
2 )
B．(1，3]
C．(-∞, 3
2 )
D．( 3
2，3]
【答案】A
【分析】求出集合A ,B后可得A ∩B.
【详解】A ={x|1≤x ≤3}，B ={x|0<3-2 x<1}={x|1< x< 3
2 }；
∴ A ∩B =(1, 3
2 )，
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解、对数不等式的解及集合的交，解
对数不等式时注意真数恒为正，本题属于中档题.
7．设集合A ={y | y = log2 x ,0< x ≤8}，集合B ={x |2
x>1}，则A ∩B等于
（ ）
A．(0,3)
B．(0,3]
C．(-∞,3]
D．R
【答案】B
【分析】分别求出集合A，集合B，由此能求出A ∩B
【详解】因为A ={y | y = log2 x ,0< x ≤8}= {y | y ≤3}，B ={x|2
x>1}= {x| x>0}，
所以A ∩B =(0,3].
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，
考查运算求解能力，是基础题．
8．已知集合A =¿，B =¿，则(∁R A)∩B =
A．{x|-1≤x<3}
B．{x|-1≤x ≤9}
C．{x|-1< x ≤3}
D．{x|-1< x<9}
【答案】C
【分析】解出集合A、B，再利用补集和交集的定义得出集合(∁R A)∩B.
【详解】解不等式x
2-2 x -3>0，得x<-1或x>3；
解不等式lg(x +1)≤1，得0< x +1≤10，解得-1< x ≤9.
∴A =¿，B =¿，则∁R A =¿，
因此，(∁R A)∩B =¿，故选C.
【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等
式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
9．已知集合A =¿， B =¿，全集U=R,则(∁U A)∩B =
A．{x|-1＜x≤3}
B．{x|2≤x
3}
﹤
C．{x|x=3}
D．∅
【答案】B
【详解】试题分析：∵A ={x| x ≥3}，B ={x| x ≥2}，∴
(CU A )∩B ={x|2≤x<3}.
考点：1.对数不等式的解法；2.集合的交、补运算.
10．已知集合A = {x|-2<ln x ≤2}，B = {-2,-1,0,1,2,3}，则A ∩B =（ ）
A．{-1,0}
B．{1,2}
C．{-1,0,1}
D．{1,2,3}
【答案】D
【分析】由对数单调性解集合A中不等式，再求集合交集即可.
【详解】由-2<ln x ≤2可得1
e
2 < x ≤e
2，故A ={x| 1
e
2 < x ≤e
2}，
又因为B = {-2,-1,0,1,2,3}，
所以A ∩B = {1,2,3}.
故选：D
11．已知集合A =¿，B ={x|log2( x -1)≤3}，则(∁R A)∩B =（ ）
A．[3,9]
B．(1,9]
C．(1,3]
D．(1,3)
【答案】C
【分析】首先解分式不等式求出集合A，再解对数不等式求出集合B，最后
根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】由x +1
x -3 ≥0，解得x>3或x ≤-1，
所以A =¿，则∁R A =(-1,3]，
由log2( x -1)≤3，即log2( x -1)≤log22
3，所以0< x -1≤8，解得1< x ≤9，
所以B ={x|log2( x -1)≤3}= {x|1< x ≤9}=(1,9]，
所以(∁R A)∩B =(1,3].
故选：C
12．已知集合A =¿，B =¿，则A ∪B =（ ）
A．R
B．[-1,3)
C．(0,2)
D．(-1,2)
【答案】B
【分析】首先解对数不等式求出集合A，再解一元二次不等式求出集合B，
最后根据并集的定义计算可得．
【详解】由log3(
2
3 - x
3)≤0得0< 2
3 - x
3 ≤1，解得-1≤x<2，
所以A =¿．
由- x
2+3 x>0解得0< x<3，即B =¿，
所以A ∪B =[-1,3).
故选：B．
13．已知集合A ={x∈N|2
x -1<4}，集合B ={x|log3( x +1)<1}，则A ∩B =
（ ）
A．(-∞,3)B．(-1,3) C．{0,1}
D．{0,1,2}
【答案】C
【分析】首先解指数、对数不等式求出集合A、B，再根据交集的定义计算
可得.
【详解】由2
x -1<4，即2
x -1<2
2，即x -1<2，解得x<3，
所以A ={x ∈N|2
x -1<4}= {x ∈N| x <3}= {0,1,2}，
由log3( x +1)<1，即log3( x +1)<log33，即0< x +1<3，解得-1< x<2，
所以B ={x|log3( x +1)<1}= {x|-1< x<2}，
所以A ∩B = {0,1}.
故选：C
14．已知集合M = {x|ln x>0}，N = {x|-1< x<5}，则M ∩N =（ ）
A．{x| x>0}
B．{x|0< x<5}
C．{x|1< x<5}
D．{x| x ≥5}
【答案】C
【分析】首先解对数不等式求出集合M，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由ln x>0，解得x>1，所以M = {x|ln x>0}= {x| x>1}，
又N = {x|-1< x<5}，所以M ∩N ={x|1< x<5}.
故选：C
15．若集合A = {-1,0,1}，集合B =¿，则A ∩B等于（ ）
A．{-1,0,1}B．{0,1}
C．{1}
D．(-1,+∞)
【答案】C
【分析】首先解对数不等式求出集合B，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由lg(x +1)>0，即lg(x +1)>lg1，所以x +1>1，解得x>0，
所以B =¿，又A = {-1,0,1}，
所以A ∩B = {1}.
故选：C
16．设集合A =¿，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．[-2,3]
B．[3,+ ∞)
C．(-∞,-2]∪(1,+ ∞)
D．(1,+∞)
【答案】B
【分析】首先解不等式求出集合A、B，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由x
2- x -6≥0，即(x +2)(x -3)≥0，解得x ≥3或x ≤-2，
所以A =¿，
由lg x>0，即lg x>lg1，解得x>1，所以B =¿，
所以A ∩B =[3,+ ∞).
故选：B
17．已知集合A =¿，B ={x ∣log2 x <1}，则A ∩(∁R B)=（ ）
A．[-1,2)
B．[2,3]
C．[-1,0]∪[2,3]
D．[-1,3]
【答案】C
【分析】化简集合A ,B，再由补集与并集运算可得.
【详解】由题意得A =¿，B =¿,
则∁R B =¿，或x ≥2}，
则A ∩(∁R B)=¿，或2≤x ≤3}，
故选：C.
18．已知集合A =¿，B =¿，则A ∪B =（ ）
A．[-2,2]
B．[-2,3)
C．(-2,1]
D．[2,3)
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质求出集合A，再根据一元二次方程求出集合B，
最后根据并集的定义计算可得.
【详解】解：由log0.2( x -2)>0，即0< x -2<1，解得2< x<3，所以A =¿，
由x
2≤4，即(x -2)(x +2)≤0，解得-2≤x ≤2，所以B =¿，
所以A ∪B = {x|-2≤x<3}.
故选：B
19．已知集合P ={x|log❑1
3 x <-1}，Q ={x|2 x -12<0}，则P∩Q =（ ）
A．(0,3)
B．(0, 1
3)
C．(
1
3 ,6)
D．(3,6)
【答案】D
【解析】先分别求出集合P，Q，再求出P∩Q即可.
【详解】解：易知P ={x|log 1
3
x<-1}={x|x>3}，Q ={x|x<6}，所以
P∩Q ={x|3< x<6}.
故选：D.
20．已知A ={x∈N *|- x
2+3 x⩾0}，B ={x|log 1
2
x⩽0}，则A ∩B =
A．[3，+ ∞)
B．[0，1]
C．[1，3]
D．{1，2，3}
【答案】D
【解析】利用一元二次不等式的解法与对数不等式的解法，可以求出集合
A，B，然后进行交集的运算即可．
【详解】∵A ={x∈N *|- x
2+3 x⩾0}={x∈N *|0⩽x⩽3}={1，2，3}，
B ={x|log 1
2
x⩽0}={x| x⩾1}，
∴A ∩B ={1，2，3}．
故选：D．
【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，对
数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
21．如图，已知R 是实数集,集合
A ={x|log 1
2
(x -1)>0},B ={x| x (2 x -3)<0},则阴影部分表示的集合是( )
A．[0,1]
B．[0,1)
C．(0,1)
D．(0,1]
【答案】D
【分析】先化简集合A、B，再写出阴影部分表示的集合∁B( A ∩B)即可.
【详解】log 1
2
(x -1)>0，则0< x -1<1，解得1< x<2，
∴A ={x|1< x<2},
B ={x| x (2 x -3)<0}={x|0< x< 3
2 }
图中阴影部分表示的集合为∁B( A ∩B)
A ∩B ={x|1< x< 3
2 }，
∴∁B( A ∩B)= (0,1].
故选：D
22．已知集合A = {0,1,2,3}，B =¿，则A ∩B的真子集的个数为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．7
【答案】B
【分析】解对数不等式得到集合B，然后求得A ∩B，由A ∩B的元素个数求
得其真子集个数.
【详解】由0≤log2 x< 3
2，得1≤x<2❑√2，所以B =¿，
又A = {0,1,2,3}，所以A ∩B = {1,2}，所以A ∩B的真子集的个数为2
2-1=3.
故选：B．
23．已知 A ={x∈N | y =
6
x +2 , y ∈N),B ={x|log 1
2
x<-1}．则 A ∩B =
（ ）
A．(2,6]
B．{0,1}
C．(2,6)
D．{4}
【答案】D
【分析】首先求出集合A,B，再利用交集的概念及运算求答案即可.
【详解】由题意知A ={0,1,4 },B ={x| x>2}，
则A ∩B ={4}，
故选：D.
