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重难专攻（十九）求圆锥曲线的离心率及离心率的取值范围
重难点题型1 求椭圆的离心率
1．（2025·云南丽江·模拟预测）设椭圆
的左、右焦点分别为
，P 是椭圆C 上
一点，若点
关于
的角平分线l 的对称点恰好是点P，且
，则C 的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、平面向量数量积
的定义及辨析
【分析】根据给定条件，利用对称特征及余弦定理、数量积定义列式求出离心率.
【详解】由
关于
的角平分线l 的对称点恰好是点P，得
，
目录●重难点题型分布
由椭圆的定义得
，设
，
在
中，由余弦定理得
，
由
，得
，则
，
整理得：
，即
，又
，所以
.
故选：A
2．（2025·广东广州·三模）已知椭圆
的左、右焦点为
，过点
的直线与E 交
于M，N 两点．若
，
，则椭圆E 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】设
的平分线交
于点D，设
先求出
，可得
，再利用椭圆
的定义，结合余弦定理可得
，从而可得结果.
【详解】设
的平分线交
于点D，设
则
，
所以
，
而
设
，则
，于是
﹐
所以
，
在
，由余弦定理可得：
﹐
则
，则
，
所以椭圆离心率
，
故选：C．
3．（2025·湖南·模拟预测）已知椭圆
的右焦点为F，上顶点为P，过点F 的直线与
C 交于A，B 两点（点A 在x 轴下方）.若
，
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据直线与椭圆相交，所得弦长列关于
的齐次方程，从而求椭圆的离心率.
【详解】如图：
易知：
，
，所以
.
因为
，所以直线
的斜率为：
.
又直线
经过点
，所以直线
的方程为：
.
将
代入椭圆方程：
，得
，
整理得：
.
设
，
，则
，
.
所以
.
所以
.
所以
.
又
，
所以
.
化简得：
所以
，即
.
所以
，即椭圆的离心率为
.
故选：A
4．（2025·辽宁·二模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，上顶点为
，直线
与
交于另一点
，若
与
（
为原点）的面积之比为
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、向量的线性运算的几
何应用
【分析】根据题意易得
，可得
，进而设
，列方程求解即可.
【详解】由题意，
，
，所以
，则
，
所以
，由
，
，设
，
则
，
，
则
，解得
，
，即
，
因为点
在椭圆
上，所以
，化简得
，
所以
．
故选：B．
5．（2025·广东广州·三模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，椭圆
上存在
一点
，使得
为等腰三角形，且
为钝角，则椭圆
的离心率的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题
【分析】不妨设点
在第一象限，根据题意求出
的取值范围，结合椭圆方程可得出
的取值范围，
由此可得出关于
、的齐次不等式，即可解出椭圆的离心率的取值范围.
【详解】设椭圆
的半焦距为，则
，
，
因为
为等腰三角形，且
为钝角，则
，
设点
，则
，
，
则
，可得
，又因为
，故
，
所以
，
所以
，化简得出
.
故答案为：
.
6．（2025·湖南岳阳·三模）已知
是椭圆
的一个焦点，
分别是椭圆
的长轴
与短轴的一个端点，若以
为直径的圆经过
的中点，则椭圆
的离心率为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据题意，求得以
为直径的圆为
，把
的中点
代入圆的
方程，整理得到
，结合
，得到
，即可求解.
【详解】如图所示，由椭圆
，可得
，
则
的中点为
，且
，
所以以
为直径的圆为
，
又由
的中点
在以
为直径的圆上，可得
，
整理得
，
因为
，所以
，即
，
等式两边同除以
，可得
，解得
，
又因为
，所以椭圆
的离心率为
.
故答案为：
.
重难点题型2 求双曲线的离心率
1．（2025·安徽蚌埠·三模）设双曲线
：
（
，
）的右焦点为
，过
作双曲线的一
条渐近线的垂线，垂足为
，若
（
为坐标原点），则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由题意作图，根据直线倾斜角与锐角三角函数，利用平面向量数量积的定义式，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
由双曲线
，则渐近线方程为
，右焦点
，
，
易知
，
，在
中，
，
∵
，
∴
，∴离心率
.
故选：D.
2．（2025·河南信阳·模拟预测）设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过坐标
原点的直线与
交于A，B 两点，且
，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】先根据双曲线的对称性和已知条件得出
与
的关系，再利用向量的运算求出
，最后
根据双曲线的定义求出离心率.
【详解】因为双曲线关于原点对称，且直线过原点与双曲线交于
，
两点，所以
，
.
已知
，所以
.
由双曲线的定义可知
，将
代入可得：
，
解得
，则
.
因为
，且
，
，所以
，则
.
在
中，根据余弦定理
可得：
，即
.
因为
为AB，
的中点，所以
，
.
，
，则
.
又因为
，
，所以
，则
.
双曲线的离心率
（
），由
可得
，则
.
双曲线
的离心率为
.
故选：B
3．（2025·山东威海·三模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
的直线
与
的右支交于
两点，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】利用双曲线的定义和余弦定理可求答案.
【详解】设
，则
，
；
因为
，所以
，
在
中，
，解得
；
在
中，
，解得
，所以离心率为
.
故选：C
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点M
在C 的右支上，线段
与y 轴交于点N，
，O 为坐标原点，过
作
，垂足为Q，
线段
交OM 于P，且
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】设
，
，则题意得P 为
的重心，则Q 为
的中点，可得
，
结合双曲线的定义和已知条件可求出
，
，
，在
中利用余弦定理列方程化简，可求
出双曲线的离心率.
【详解】如图所示，设
，
，因为O 为
的中点，
，
所以P 为
的重心，所以Q 为
的中点，
又
，所以
，
由双曲线的定义可知，
，所以
，
因为
，所以
，
.
在
中，
，
在
中，由余弦定理得，
，
化简得
，所以
，解得
（
舍去），
故C 的离心率为
，
故选：A.
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 与双曲线
的左右两支分别交于M，N 两点，E 是线段MN 的中点，P 是x 轴上一点，且
，
，
则C 的离心率为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、垂直关系的向量表示
【分析】根据向量关系得出
，结合
得出
，最后利用点差法即可求出.
【详解】因
是线段
的中点，
，则
，故
，
又
，则
，即
，
设
，则
，
过E 作x 轴的垂线，垂足为R，则
，
，
则
，则
，
设
，则
，
两式作差得，
，即
，
即
，
故C 的离心率为
．
故答案为：
6．（2025·云南·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，若
，
与
，
所围成的四边形面积为4，该四边形的内切圆半径为
，则双曲线的离心率为
．
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】首先根据题意画出图象，然后根据四边形面积求出
，然后利用内切圆半径求出
，
联立方程可求得
的值，从而求出双曲线的离心率.
【详解】由题意，
，因为四边形面积为4，
所以
，所以
①.
因为
，所以四边形
为菱形.
通过三角形面积相等
，
所以
，因为
，所以
②.
①②联立解得
或者
，因为
，所以
.
所以双曲线的离心率为
.
故答案为：
.
重难点题型3 借助平面几何图形中的不等关系求离心率
1．如图，已知椭圆
的左右焦点分别为
､
，过椭圆左焦点
的直线与椭圆
相
交于
两点，
，
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】
设出关键线段长度，余弦定理构建齐次方程求解即可.
【详解】
设椭圆
的焦距为
，有
，
在
中，由余弦定理有
，有
，
可得
，有
.
在
中，由余弦定理有
，
可得
.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出
，代入公式
；
②只需要根据一个条件得到关于
的齐次式，结合
转化为
的齐次式，然后等式(不等式)
两边分别除以
或
转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．
2．（2025 高三·全国·月考）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于
圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面倾斜，可得到椭圆.如图，现有一个轴截面为等腰
的圆锥PO，过点A 及线段PB 的中点M 的某平面截圆锥PO，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、圆锥中截面的有关计算
【分析】根据题意，椭圆长轴长
，取线段AM 的中点
，连接
并延长交AB
于点Q，过Q 作
交底面圆于点E，F，连接PE，PF 分别交椭圆于点G，H，则椭圆短轴长
，由相似三角形求得
，从而可解离心率.
【详解】如图，
圆锥的轴截面
是等腰直角三角形，
于点O，过点A 作平面截该圆锥，
不妨设
，则
，
，
所以椭圆长轴长
，
取线段AM 的中点
，连接
并延长交AB 于点Q，过Q 作
交底面圆于点E，F，
连接PE，PF 分别交椭圆于点G，H，则椭圆短轴长
，
由椭圆的对称性可知
，取BQ 的中点N，连接MN，
则
，
，
，
因此
，即
，
显然Q，N 是线段AB 的两个三等分点，即
，
，
由相交弦定理得
，解得
，
于是
，
，
所以椭圆的离心率
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：取线段AM 的中点
，连接
并延长交AB 于点Q，过Q 作
交底面圆于
点E，F，连接PE，PF 分别交椭圆于点G，H，则椭圆短轴长
，构建相似三角形求解.
3．（2025·广西柳州·模拟预测）如图1 所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲
线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线
的左、右
焦点分别为
，从
发出的光线经过图2 中的A，B 两点反射后，分别经过点
和
，且
，则
的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线与反光镜的设计问题、利用定义解决双曲线中
焦点三角形问题
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设
，用
表示
，先在
中由
求出
，再在
中由
即可求解.
【详解】由题意可知直线
，
都过点
，如图，
则有
，
，
设
，则
，
所以
，故
，
所以
，
因此
，
在
，
，
即
，
整理得
即
，解得
，
所以
，
令双曲线半焦距为c，
在
中，
，即
，
解得
，
所以
的离心率为
.
故选：B
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：
①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a，c 的值，根据离心率的定义求解离心率e；②齐次式法，由
已知条件得出关于a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特
殊值或特殊位置，求出离心率.
4．（2024·辽宁·二模）已知椭圆
的右焦点是
，过点
作直线交椭圆于点A，
B，过点
与直线垂直的射线交椭圆于点
，
，且三点
共线（其中O 是坐标原点），
则椭圆的离心率为 .
【答案】
/
【难度】0.4
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】先证明四边形
是矩形，然后利用已知条件求出
三边的比例，再利用椭圆的定义求出
和
与
的关系式，最后利用
即得离心率.
【详解】设椭圆的左焦点为
. 由于
三点共线，故由椭圆的对称性知
，而
，
故四边形
是平行四边形.
又因为
，，故四边形
是矩形.
由于四边形
是矩形，故
，
.
从而可设
，
，
，此时
.
这得到
，所以
，
.
最后由
得到
，即
，故
.
从而椭圆的离心率
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用矩形的性质和椭圆的定义研究
的三边，从而避免直接
直线与椭圆联立导致繁杂的计算.
重难点题型4 借助题干中的不等信息求离心率
1．（24-25 高三上·甘肃庆阳·阶段练习）已知双曲线
的上、下焦点分别为
、
，
是
的上支上的一点（不在
轴上），
与
轴交于点
，
的内切圆在边
上的切点为
，若
，则
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据给定条件，利用切线长定理，结合双曲线的对称性可得
，再建立不等关系求出离心
率的范围.
【详解】设该内切圆在
、
上的切点分别为
、
，
由切线长定理可得
，
，
，
又
，
，则
，
即
，解得
，
由
，即
，得
，所以
．
故选：A.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
①定义法：通过已知条件列出方程组，求得
得值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法：由已知条件得出关于
的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
2．已知双曲线
的焦距为
，过右焦点且垂直于
轴的直线与双曲线交于
，
两
点.设
，
到双曲线的同一条渐近线的距离分别为
和
，且
，则双曲线的离心率的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】任取双曲线的一条渐近线为直线
，由点到直线的距离公式，构造
，
，结合题目已知条件列不等式即可求出双曲线离心率
的
范围.
【详解】由题意可知，直线
经过双曲线的右焦点，且垂直于
轴，不妨设
，
代入椭圆方程
，又
，所以
，
所以
，
，任取双曲线的一条渐近线为直线
，
由点到直线的距离公式可得点
到渐近线的距离
，
点
到渐近线的距离
，
所以
，因为
，
所以
，因
，所以
，即
，
所以
，所以
，
因为双曲线离心率
，所以
，
所以双曲线的离心率的取值范围为
.
故选：C.
3．（2025·广东·模拟预测）已知双曲线
，点
的坐标为
，若
上的任意一
点
都满足
，则
的离心率取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解即可.
【详解】设
，
，
由
，代入不等式中，
化简，得
恒成立，
则有
，
解得
，而
，所以
故选：A
【点睛】方法点睛：一般求双曲线的离心率的方法是：根据已知的等式或不等式，构造关于
中任意
两个量的双齐次方程或不等式，再结合双曲线的离心率大于1 进行求解即可.
4．（2025·湖南长沙·模拟预测）设椭圆
的左，右焦点分别为
，点
在
上运
动，点
在圆
：
上运动，且
恒成立，则
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、点与圆的位置关系求参数
【分析】由椭圆定义，结合图形可得当
四点共线时
，据此可得离心率
范围.
【详解】由题可得圆半径为
，因
恒成立，
则
.由椭圆定义，可得
，
如图，当
三点共线时，
最大，为
，又对于圆外一点P，
当
三点共线时最大，又
，则
，
即
，取最值时，
四点共线.
则
，即
，所以
，即
.
故选：C
5．设
，椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，若
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由双曲线的离
心率求参数的取值范围、由椭圆的离心率求参数的取值范围
【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，
根据
及
即可求得
的范围．
【详解】解：由题意知椭圆的
，双曲线的
，
则椭圆与双曲线共焦点，设
，则
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
解得
，即
，
又
，且
，
，
故
的取值范围是
．
故答案为：
6．（2024·辽宁·一模）已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
、
，点
、
在椭圆C
上，满足
，
，若椭圆C 的离心率
，则实数λ 取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围
【分析】先写出点
、
的坐标，再利用
求得点
的坐标，将点
的坐标代入椭圆C 方程即可
化简出实数λ 与离心率的关系，从而得到实数λ 取值范围.
【详解】根据题意知
，由
得
，
不妨设点
在第一象限，则点
的坐标为
.
由
知
，且
，
从而得到点
的坐标为
.
将点
的坐标代入椭圆C 方程得
，
整理得
，即
，
所以
.
又因为
，所以
，即实数λ 取值范围为
.
故答案为：
.
重难点题型5 借助函数的值域求离心率
1．（2025·河南焦作·模拟预测）已知点
为双曲线
的右焦点，过
作一条渐近线的
垂线，垂足为
，若
(点
为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率
，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由双曲线的离心率求参数的取值范围
【分析】先求出
再根据
(点
为坐标原点)的面积为2，即得
，解不等式
即得解.
【详解】解：取双曲线的渐近线为
，即
的方程为
，
直线
的方程为
，
联立
，解得
，即
，
又
解得
的取值范围为
故选：D.
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法：（1）公式法（求出
代入离心率的公式即得解）；
（2）方程法（由已知得到关于的方程，解方程即得解）.要根据已知条件选择合适的方法求解.
2．（2025·湖北·模拟预测）已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，点
（不在
上）为
轴上一点，线段
与
交于点
，
，
内切圆的直径为
，则椭圆
的离心率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】利用切线长定理可得出
，再由椭圆定义可求出
、
，结合勾股定理可得出
关于
、
、的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值.
【详解】设
的内切圆
分别切该三角形三边于点
、
、
，如下图所示：
由切线长定理可得
，
，
，
所以，
，
因为
，则
，
由圆的几何性质可得
，
，故四边形
为正方形，且其边长为
，
由对称性可知
，由椭圆定义可得
①，
又因为
，即
②，
联立①②可得
，
，
由勾股定理可得
，即
，
整理可得
，即
，即
，整理可得
，
因此，该椭圆的离心率为
.
故选：A.
3．（2025·河南·一模）已知
为椭圆
的左、右焦点，
为椭圆
的上顶点，
为椭圆
的右顶点，连接
交椭圆
于另一点
，若
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】利用平行线的性质得到
，利用相似三角形的性质得到
，再结合余
弦定理得到
，进而得到
，最后构建齐次方程求解离心率即可.
【详解】如图，连接
，因为
为椭圆
的上顶点，所以
，
因为
，所以
，故
，
解得
，设
，
，则
，
，由余弦定理有
，
即
，解得
，
因为
，所以
，
化简得
，即
，
整理得
，解得
，故B 正确.
故选：B．
4．（2025·安徽池州·二模）已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，
是
的右
支上一点，
在
轴上的射影为
，
为坐标原点.若
，则
的离心
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、数量积的坐标表示、垂直关系的向量表示
【分析】设
与
交于点
，根据条件可得
，
，求出点
的坐标，由
关系求出点
的坐标，利用
得到
关系，运算得解.
【详解】如图，设
与
交于点
，
由
，且
是
的中点，
所以
，又
，
所以
，又
，易得
，
，
则
，代入双曲线方程可得
，
设点
，则
，
，
又设
，由
可得
，即
，
由
，得
，即
，
化简整理得
，
，解得
或
，
又
，
，解得
.
故选：D.
5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
、
，且
它们在第二象限的公共点为点
，点
与右焦点
的连线交
轴与点
，且
平分
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、椭圆中焦点
三角形的其他问题
【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得出
，
，设
，结合余弦定理、锐
角三角函数的定义与角平分线的性质定理，用两种方式表达
，从而建立关于
的方程，解之即可.
【详解】由椭圆的定义可知，
，
，
由双曲线的定义可知，
，所以，
，
，
设
，因为
交
轴于点
，且
平分
，
所以，
，
在
中，由余弦定理可知，
，
设
，则
，
由角平分线定理可知，
，即
，解得
，
在
中，
，
整理可得
，因为
，解得
，
因此，双曲线的离心率为
.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得
、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于
、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆
与双曲线
有相同的左右焦点
，若点
是
与
在第一象限内的交点，且
，设
与
的离心率分
别为
，则
的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】椭圆定义及辨析、由双曲线的离心率求参数的取值范围、由椭圆的离心率求参数的取值范围、
双曲线定义的理解
【分析】设椭圆与双曲线的焦距
，
，由题意可得
，用
表示出
，结合二次
函数的性质即可得答案.
【详解】设椭圆与双曲线的焦距
，
，
由题意可得：
，
，
，
，
，
，
，
，
.
，
，设
，则
，
，
.
故答案为：
.
重难点题型6 借助圆锥曲线的基本性质或基本不等式求离心率
1．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点和上顶点分别为
，
，
，直线
与椭圆的另一个交点为
．若
内切圆的面积为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】利用直线与椭圆方程联立，再结合
内切圆的面积为
，即可求解.
【详解】因为
，所以
，
，所以椭圆方程为
，
由题意，得直线
的方程为
，
与椭圆方程联立，得
，解得
．
所以
，
因为
内切圆的面积为
，所以半径为，
由椭圆的定义可知
的周长为
,
所以
，所以
，解得
．
故选：B．
2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线
与椭圆
的焦点重合，离
心率互为倒数，设
分别为双曲线
的左，右焦点，
为右支上任意一点，则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的焦点、焦距、利用双曲线定义求点到焦点的距
离及最值、根据离心率求双曲线的标准方程
【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出
，根
据双曲线的定义可得
，将其代入
，利用基本不等式即可求出其最小值.
【详解】因为椭圆
的焦点为
，离心率为
，
所以可知双曲线
，解得
.
因为
为双曲线右支上任意一点，
所以
，即
，
又因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为．
故选：C
3．（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆
上不同两点
，如果以线段
为直径
的圆过原点
，且
到直线
的距离是
，则（ ）
A．
B．
C．
D．点
在椭圆
上
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
【分析】由题意知
，设点
，由
在已知椭圆上，
即
到直线
的距离，可得
，利用其可判断各个选项.
【详解】根据题意易知
，故设点
，
由于
均在已知椭圆
上，则
，
所以
，
同理可得
，
所以
，即
，
又由于
到直线
的距离是
，所以
，
即
，所以
，
由于
，故点
在椭圆外，故D 错误；
由于
，所以
，所以
，
即
，故C 错误；
由于
，可得
，又
，则
，即得
，
即
，解得
，故A 正确，B 错误．
故选：A.
4．（2025·河北·三模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
为
右支上
一点，射线
是
的外角平分线，其与
轴的交点为点
的角平分线与直线
交于点
，
若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】过
作
于点
于点
于点
，利用角平分线的性质，得到
，从而可得
，再结合条件，可得
，即可
求解.
【详解】不妨设点
在第一象限，由于点
为角平分线的交点，
过
作
于点
于点
于点
，
则
，且
，
所以
，
则
，
所以
（*），因为
，所以
，
所以
，代入（*）式得
.
故选：C.
5．（2025·浙江温州·三模）已知双曲线
的左、右焦点分别是
、
，
在第二象
限且在双曲线的渐近线上，
，线段
的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】作出图形，证明出
，可得出
，求得
的
值，结合余弦定理可得出关于
、的齐次等式，即可解得该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示：
因为
，
、
分别为
、
的中点，则
，
又因为
，
，故
，
所以
，
由题意可知
，故
为钝角，
所以，
，
故
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理可得
，
解得
．
故选：A.
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知为双曲线
（
，
）上的任意一点，过分别引其
渐近线的平行线，分别交
轴于点
，
，交
轴于点
，
，若
恒成立，
则双曲线离心率的取值范围为
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】设点
，由双曲线的渐近线斜率为
，求出点与渐近线平行的直线方程，解
得点
坐标，进而得
，利用
恒成立即可求解.
【详解】设点
，双曲线的渐近线斜率为
，
过点与一条渐近线平行的直线方程为
，
令
得
，令
得
，
同理过点与另一条渐近线平行的直线方程为
，
令
得
，令
得
，
所以
，
所以
，
，
由
恒成立，
所以
恒成立，所以
，即
，
所以
，
所以双曲线离心率的取值范围为
.
故答案为：
.
7．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲
线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种
灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点
发出的互为反向的光线，经双曲线上的点
P，Q 反射，反射光线的反向延长线交于点M，且
，
．制
作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ．
【答案】
/
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线与反光镜的设计问题、正弦定理解三角形、双
曲线定义的理解
【分析】结合双曲线的光学性质可知，
为双曲线的左焦点，进而结合正弦定理可设
，
，
，
，再根据双曲线的定义可得
，进而得到
，再结合勾股
定理可得
，进而求解即可.
【详解】由双曲线的光学性质可知，直线
，
的交点
为双曲线的左焦点，
在
中，由正弦定理得
，
则
，设
，
，
在
中，由正弦定理得
，
在
中，由正弦定理得
，
两式作商得
，
设
，
，
由双曲线的定义可知，
，
，
解得
，则
，
，
，
，
所以
，则
，即
，
在
中，
，
则
，则
，即
，
所以双曲线的离心率为
.
故答案为：
.
