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重难点1-2 利用基本不等式求最值
三年考情分析
考题统计
2026 年考向预测
近三年高考中，不等式是一个重
点考查的知识点，主要涉及大小
判断、求最值和求最值范围等问
题。而基本不等式求最值是高考
中的常考点，通常出现在选择题
和填空题中，难度不大
2022 年新Ⅱ卷，12 题，5 分
2021 年乙卷，8 题，5 分
2020 年天津卷，14 题，5 分
不等式是常考点，预计在2026 年
的高考中仍将保持其重要地位，
考查形式和难度可能会与近几年
的趋势保持一致．主要考查基本
不等式求最值、大小判断，求取
值范围问题．
一、基本不等式
：
a+b
2 ≥√ab
如果
，那么
，当且仅当
时，等号成立．其中，
叫作
的算术平均
数，
叫作
的几何平均数．即正数
的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若
，则
，当且仅当
时取等号；
基本不等式2：若
，则
（或
），当且仅当
时取等号．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求
最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．
二、基本不等式的变形与拓展
：
1．(1)若a,b∈R ,则a2+b2≥2ab ；(2)若a,b∈R ,则
ab≤a2+b2
2
（当且仅当a=b 时取“=”）．
2．(1)若
,则
a+b
2 ≥√ab
；(2)若
,则a+b≥2√ab （当且仅当a=b 时取“=”）；
(3)若
,则
ab≤(
a+b
2 )
2
（当且仅当a=b 时取“=”）．
3．若
,则
（当且仅当
时取“=”）；若
,则
（当且仅当
时
取“=”）；若
,则
,即
或
（当且仅当a=b 时取“=”）．
4．若ab >0 ,则
a
b + b
a≥2
（当且仅当a=b 时取“=”）；若
,则
,即
或
（当且仅当a=b 时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：
．
6．函数
图象及性质
(1)、函数
f ( x)=ax + b
x
(a、b>0)
图象如右图所示：
(2)、函数
f ( x)=ax + b
x
(a、b>0)
性质：
①值域：
；
②单调递增区间：
；单调递减区间：
．
秒杀技巧与性质一：
，当且仅当
时等号成立；
秒杀技巧与性质二：
，当且仅当
时等
号成立；
秒杀技巧与性质三：
，当且仅当
时等号成立；
秒杀技巧与性质四：
，当且仅当
时等号成立．
重难点题型【一】、基本不等式的证明及其应用
1．（2025·北京·高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·四川眉山·模拟预测）已知
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．《几何原本》卷2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依
据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所
示图形，点
在半圆
上，点
在直径
上，且
，设
，
，则该图形可以完成的
无字证明为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，
在等腰直角三角形
中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设
，
，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．
B．
C．
D．
重难点题型【二】、“直接法”求最值
1．（2025·山西吕梁·模拟预测）若
且
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．16
2．（2025·四川南充·一模）设
，若直线
平分圆
的周长，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
3．（2025·海南·一模）已知
，且
，则xy 的最大值为 .
4．（2025·四川·模拟预测）已知
，则
的最小值为 ．
重难点题型【三】、“配凑法”求最值
1．（2025·浙江台州·一模）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．3
D．2
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
4．（2025·广东梅州·模拟预测）已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
重难点题型【四】、“常数1 的代换”求最值
1．（25-26 高三上·陕西商洛·月考）若
，且满足
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．18
C．
D．9
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若
，且
，则
的最小值是（ ）
A．16
B．25
C．4
D．5
3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）正项等差数列
中，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．5
C．
D．6
4．已知离散型随机变量X 服从二项分布
，且
，
，则
的最小值为
.
5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数
为
上的单调递增函数，且当
时，
，则
的最小值为 .
6．（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0 的等差数列
中，若
是
与
的等差中项，则
的
最小值为 ．
重难点题型【五】、基本不等式的综合应用（恒成立问题）
1．已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
，若直线
过点
，且不等式
恒成立，则实数m 的最大值为
（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
3．若两个正实数
满足
，且不等式
有解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·陕西咸阳·一模）已知实数
，满足
，若不等式
对任意的正
实数
恒成立，那么实数m 的最大值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
5．（2025·河南郑州·模拟预测）若对任意正数
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
重难点题型【六】、利用基本不等式解决实际应用问题
1．如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地
形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200 元，池壁每平方米的造价为180 元
（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为
，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高
应为
（ ）
A．
B．3
C．
D．4
2．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30 年的隔热层，据当年
的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9 万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30 年间每年的
能源消耗费用
（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：
．
经测算知道，如果不建造隔热层，那么30 年间每年的能源消耗费用为10 万元．设
为隔热层的建造费
用与30 年间的能源消耗费用的总和，则
的最小值是 万元．
3．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200 元，房屋侧面每
平方米的造价为800 元，屋顶的造价为5800 元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房
屋的总造价最低为 元．
4．（2025 高三·全国·专题练习）如图，某小区要在一个直角边长为
的等腰直角三角形空地上修建一个
矩形花园．记空地为
，花园为矩形
．根据规划需要，花园的顶点
在三角形的斜边
上，
边
在三角形的直角边
上，顶点
到点
的距离是顶点
到点
的距离的2 倍．
(1)设花园的面积为（单位：
），
的长为
（单位：
），写出关于
的函数解析式；
(2)当
的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．
5．（25-26 高三上·湖北·期中）为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间
的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4 小时内，药物在白鼠血液内的浓度
与时间满足关系式：
为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓
度
与时间满足关系式：
，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和
口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4 小时内意思是小于或等于4 小时）
(1)若
，求4 小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？
(2)若使小白鼠在用药后4 小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数
的取值范围.
一、单选题
1．（2025·重庆·一模）已知
，则使
成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·浙江温州·一模）若a，
，且
，则ab 的最小值为（ ）
A．5
B．17
C．25
D．36
3．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角
，
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．2
B．
C．
D．
4．设
，
，若
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．9
C．
D．18
5．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数
，
满足
，且不等式
有解，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
，或
C．
D．
，或
6．（2024·山东·模拟预测）已知
，
，且
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知点
为
的重心，
分别是
边上一点，
三点共线，
为
的中点，若
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．
D．
8．（23-24 高三上·浙江宁波·期末）设实数
满足
，
，不等式
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．12
B．24
C．
D．
9．要建造一个容积为9 立方米，深为1 米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100 元，水池
的壁每平方米的造价为90 元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（ ）
A．2100 元
B．1980 元
C．1870 元
D．1760 元
二、填空题
10．（2025·河南·模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
，若
，
则该三角形内切圆面积的最大值为 .
11．（2025 高一上·湖南岳阳·专题练习）如图，已知点
是反比例函数
图象上一动点，点
，则
的面积的最小值为 ．
12．（2025·湖北·模拟预测）已知随机变量
，a、b 是正实数，满足
，则
的最小值为 .
13．（2025·重庆·模拟预测）若
，且
，则
的最小值为 ．
14．已知
，
，且
，则
的最小值是 .
15．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数
，
满足
，则
的最小值是 ．
16．（25-26 高三上·江苏常州·期中）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某直线折
叠，现有一张长方形纸
（
）．若将长方形纸
对折，使得
重合，得到新的长
方形，发现长边与短边的长度比保持不变．若将长方形纸
的顶点
折到边
上，设折痕所在直线
与
的夹角为
，当折痕最短时，
．
三、解答题
17．（25-26 高三上·上海·期中）某工厂某种产品的年固定成本为300 万元，每生产
件，需另投入成本为
（万元），当年产量不足80 件时，
（万元）；当年产量不小于80 件时，
（万元）.每件产品售价为50 万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润
（万元）关于年产量
（件）的函数解析式；
(2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？
18．（25-26 高三上·陕西咸阳·月考）生态环境保护和经济发展是辩证统一､相辅相成的，建设生态文明､推
动绿色低碳循环发展，不仅可以满足人民日益增长的优美生态环境需要，而且可以推动实现更高质量､更
有效率､更加公平､更可持续､更为安全的发展，走出一条生产发展､生活富裕､生态良好的文明发展道路.某
果树培育公司响应国家的号召，决定采用一种新型绿色肥料进行果树栽培，经多次试验发现：一棵果树果
实的产量
（单位：百千克）与新型绿色肥料的费用
（单位：百元）满足关系
，且投入的新
型绿色肥料的费用不超过5 百元，此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）
百元.已知这种果
树果实的市场售价为25 元/千克（即25 百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记栽培一棵该果树一年
获得的利淘为
（单位：百元）
(1)求利润函数
的函数关系式，并写出定义域.
(2)当投入的新型绿色肥料的费用为多少时，栽培一棵该果树一年获得的利润最大？最大利润是多少？
