文档文本内容
重难点1-2 利用基本不等式求最值
三年考情分析
考题统计
2026 年考向预测
近三年高考中，不等式是一个重
点考查的知识点，主要涉及大小
判断、求最值和求最值范围等问
题。而基本不等式求最值是高考
中的常考点，通常出现在选择题
和填空题中，难度不大
2022 年新Ⅱ卷，12 题，5 分
2021 年乙卷，8 题，5 分
2020 年天津卷，14 题，5 分
不等式是常考点，预计在2026 年
的高考中仍将保持其重要地位，
考查形式和难度可能会与近几年
的趋势保持一致．主要考查基本
不等式求最值、大小判断，求取
值范围问题．
一、基本不等式
：
a+b
2 ≥√ab
如果
，那么
，当且仅当
时，等号成立．其中，
叫作
的算术平均
数，
叫作
的几何平均数．即正数
的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若
，则
，当且仅当
时取等号；
基本不等式2：若
，则
（或
），当且仅当
时取等号．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求
最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．
二、基本不等式的变形与拓展
：
1．(1)若a,b∈R ,则a2+b2≥2ab ；(2)若a,b∈R ,则
ab≤a2+b2
2
（当且仅当a=b 时取“=”）．
2．(1)若
,则
a+b
2 ≥√ab
；(2)若
,则a+b≥2√ab （当且仅当a=b 时取“=”）；
(3)若
,则
ab≤(
a+b
2 )
2
（当且仅当a=b 时取“=”）．
3．若
,则
（当且仅当
时取“=”）；若
,则
（当且仅当
时
取“=”）；若
,则
,即
或
（当且仅当a=b 时取“=”）．
4．若ab >0 ,则
a
b + b
a≥2
（当且仅当a=b 时取“=”）；若
,则
,即
或
（当且仅当a=b 时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：
．
6．函数
图象及性质
(1)、函数
f ( x)=ax + b
x
(a、b>0)
图象如右图所示：
(2)、函数
f ( x)=ax + b
x
(a、b>0)
性质：
①值域：
；
②单调递增区间：
；单调递减区间：
．
秒杀技巧与性质一：
，当且仅当
时等号成立；
秒杀技巧与性质二：
，当且仅当
时等
号成立；
秒杀技巧与性质三：
，当且仅当
时等号成立；
秒杀技巧与性质四：
，当且仅当
时等号成立．
重难点题型【一】、基本不等式的证明及其应用
1．（2025·北京·高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式比较大小
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当
时，
，故A 错误；
对于BD，取
，此时
，
，故BD 错误；
对于C，由基本不等式可得
，故C 正确.
故选：C.
2．（2025·四川眉山·模拟预测）已知
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断命题的必要不充分条件、由基本不等式证明不等关系
【分析】利用充分，必要条件的定义进行判断即可.
【详解】当
时，满足
，此时
；
由
，且
，
，得
，当且仅当
时等号成立.
故“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：A.
3．《几何原本》卷2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依
据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所
示图形，点
在半圆
上，点
在直径
上，且
，设
，
，则该图形可以完成的
无字证明为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】基本不等式的内容及辨析
【分析】利用数形结合计算出
，再在
中，利用勾股定理得
，再由
，可得结论．
【详解】设
，可得圆
的半径为
，
又由
，
在
中，可得
，
因为
，所以
，当且仅当
时取等号．
故选：D.
4．（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，
在等腰直角三角形
中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设
，
，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】基本不等式的内容及辨析
【分析】由
为等腰直角三角形，得到
，
，然后在
中，得到CD
判断.
【详解】解：由图知：
，
在
中，
，
所以
，即
，
故选：C
重难点题型【二】、“直接法”求最值
1．（2025·山西吕梁·模拟预测）若
且
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．16
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求积的最大值
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】由基本不等式可得：
，
所以
，当且仅当
时等号成立；
所以
的最大值为
；
故选：B
2．（2025·四川南充·一模）设
，若直线
平分圆
的周长，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求积的最大值、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由直线与圆的位置关系求参
数
【分析】易知直线过圆心，得
，进而
，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】由题意知，直线
过圆心.
由
，得
，
则圆心坐标为
，半径为
，
有
，即
.
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为2.
故选：D
3．（2025·海南·一模）已知
，且
，则xy 的最大值为 .
【答案】1
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求积的最大值
【分析】直接利用基本不等式即可.
【详解】因
，则
，所以
，
当且仅当
时等号成立，
则xy 的最大值为.
故答案为：
4．（2025·四川·模拟预测）已知
，则
的最小值为 ．
【答案】1
【难度】0.94
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】由
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为1.
故答案为：1
重难点题型【三】、“配凑法”求最值
1．（2025·浙江台州·一模）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】可利用配凑法与“1 的妙用”，结合基本不等式进行求解.
【详解】由题可知，
，又因为
,
则
,
当且仅当
时，即当
时，等号成立.
因此
的最小值为4，
故
的最小值为3.
故选：D.
2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用1 的代换，结合基本不等式可求最小值.
【详解】因为
，所以
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
的最小值为
.
故选：B.
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小
值、分段函数的单调性
【分析】根据函数的导数判断函数单调性，再利用函数单调性解不等式得出
的取值范围，最后通过对式
子变形，利用基本不等式求最值.
【详解】当
时，
恒成立，当
时，
恒成立，则
在
上单调递增，在
上单调递增．
又因为
，当
时，
，对
时，
0 也成立，所以
在
上单调递增．
已知正数
满足
，则
，解得
或
（负值舍去），所以
，
，
所以
，当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值为8．
故选：C.
4．（2025·广东梅州·模拟预测）已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】将已知等式变形为
，然后使用常数代换法，结合基本不等式可得.
【详解】由
得
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为8.
故选：D
重难点题型【四】、“常数1 的代换”求最值
1．（25-26 高三上·陕西商洛·月考）若
，且满足
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．18
C．
D．9
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由题设条件
可得
，利用“乘1 法”与基本不等式求最小值.
【详解】由
，
则
.
当且仅当
时取等号，即
，再结合
，
可得
，
时取等号.
故选：C
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若
，且
，则
的最小值是（ ）
A．16
B．25
C．4
D．5
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用常数代换，结合基本不等式可得.
【详解】因为
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值是5.
故选：D
3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）正项等差数列
中，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．5
C．
D．6
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】设公差为
，由
求出
，则
，由
及乘“1”法计算可得.
【详解】正项等差数列
中，设公差为
，
因为
，所以
，因为
，所以
，
所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
故选：B
4．已知离散型随机变量X 服从二项分布
，且
，
，则
的最小值为
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、二项分布的均值、二项分布的方差
【分析】随机变量
服从二项分布
，故
，
，所以
，
结合基本不等式即可得到
的最小值.
【详解】离散型随机变量
服从二项分布
，
所以有
，
，
所以
，
所以
，
当且仅当
时取得等号，此时
，
故答案为：
.
5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数
为
上的单调递增函数，且当
时，
，则
的最小值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、基本不等式求和的最小值
【分析】先根据奇函数的性质得到
与
的关系，再将所求式子进行变形，最后利用基本不等式求解最小
值.
【详解】已知
是奇函数，则
.
因为
，所以
.
又因为
在
上单调递增，所以
，即
.
由
可得
.
则
.
将
展开可得：
.
因为
，所以
，
.
根据基本不等式，则
，当且仅当
时等号成立.
所以
.
故答案为：
.
6．（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0 的等差数列
中，若
是
与
的等差中项，则
的
最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】等差中项的应用、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据等差中项性质可得
，再利用基本不等式中“1”的应用计算可得结果.
【详解】因为在公差不为0 的等差数列
中，
是
与
的等差中项，
所以
，所以
，
因此
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
．
故答案为：
重难点题型【五】、基本不等式的综合应用（恒成立问题）
1．已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由已知条件得出
，将代数式
与
相乘，展开后利用
基本不等式求出
的最小值，根据题意可得出关于
的不等式，解之即可.
【详解】因为
，
，且
，则
，
则
，
所以
，
当且仅当
时，
即当
，
时，所以
的最小值为
，
因为
恒成立，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
2．已知
，
，若直线
过点
，且不等式
恒成立，则实数m 的最大值为
（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据直线
过点
，求出
的值，得到
的取值范围，由不等式
恒成立，解出实数m 的取值范围，即可得到实数m 的最大值.
【详解】解：由题意，
，
在直线
中，过点
，
∴
，
∴
，
∵不等式
恒成立，
∴
，解得：
，
∴实数m 的最大值为9，
故选：D.
3．若两个正实数
满足
，且不等式
有解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【详解】正实数x,y 满足
，
则
，
当且仅当
取得最小值2.
由
有解,可得
，
解得m>2 或m<−1.
本题选择C 选项.
4．（2024·陕西咸阳·一模）已知实数
，满足
，若不等式
对任意的正
实数
恒成立，那么实数m 的最大值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最
值
【分析】由
根据函数的单调性求
，再由基本不等式求
的最小值，由此可求实
数m 的最大值.
【详解】设
，则
，
当
时，
，
所以函数
在
上为增函数，
∵
∴
，即
，又
，
∴
，
∴
当且仅当
时等号成立，
∵不等式
对任意的正实数
恒成立，
∴
，
故选：D.
5．（2025·河南郑州·模拟预测）若对任意正数
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式的恒成立问题、函数不等式恒成立问题
【分析】原不等式即
，再利用基本不等式求得
的最大值，可得
的范围．
【详解】依题意得，当
时，
恒成立，
又因为
，当且仅当
时取等号，
所以，
的最大值为
，
所以
，解得
的取值范围为
．
故选：B
重难点题型【六】、利用基本不等式解决实际应用问题
1．如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地
形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200 元，池壁每平方米的造价为180 元
（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为
，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高
应为
（ ）
A．
B．3
C．
D．4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】基本不等式的实际应用
【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值.
【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为
，长为5m，高为
，宽
，
，
则总造价
，
当且仅当
，即
时取等号，且
，
所以当垃圾池的高为
时，垃圾池总造价最低.
故选：C.
2．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30 年的隔热层，据当年
的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9 万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30 年间每年的
能源消耗费用
（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：
．
经测算知道，如果不建造隔热层，那么30 年间每年的能源消耗费用为10 万元．设
为隔热层的建造费
用与30 年间的能源消耗费用的总和，则
的最小值是 万元．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式的实际应用
【分析】由题可得
，然后由基本不等式可得答案.
【详解】因为不建造隔热层，那么30 年间每年的能源消耗费用为10 万元，
则
，又由题可得
.
当且仅当
，即
时取等号.
故答案为：
3．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200 元，房屋侧面每
平方米的造价为800 元，屋顶的造价为5800 元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房
屋的总造价最低为 元．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】基本不等式的实际应用
【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案.
【详解】设房屋底面一边长为
m，则另一边长为
m，
所以房屋的总造价为
，
因为
，所以
，
当且仅当
即
时等号成立.
故答案为：
.
4．（2025 高三·全国·专题练习）如图，某小区要在一个直角边长为
的等腰直角三角形空地上修建一个
矩形花园．记空地为
，花园为矩形
．根据规划需要，花园的顶点
在三角形的斜边
上，
边
在三角形的直角边
上，顶点
到点
的距离是顶点
到点
的距离的2 倍．
(1)设花园的面积为（单位：
），
的长为
（单位：
），写出关于
的函数解析式；
(2)当
的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．
【答案】(1)
(2)当
的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为150
.
【难度】0.65
【知识点】基本不等式的实际应用
【分析】（1）根据矩形面积公式即可求解，
（2）根据基本不等式即可求解.
【详解】（1）由
则
，
，
所以
.
（2）
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故当
的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为150
.
5．（25-26 高三上·湖北·期中）为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间
的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4 小时内，药物在白鼠血液内的浓度
与时间满足关系式：
为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓
度
与时间满足关系式：
，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和
口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4 小时内意思是小于或等于4 小时）
(1)若
，求4 小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？
(2)若使小白鼠在用药后4 小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
时，最大值
(2)
【难度】0.65
【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本不等
式的实际应用
【分析】（1）求得
，进而得小白鼠血液中药物的浓度
，根据二次函数的性质与基本不等
式求出最大值；
（2）由题意
，分段讨论，根据函数的单调性及二次函数的性质求解.
【详解】（1）
时，
，
则小白鼠血液中药物的浓度
，
当
时，
，
当
即
时，
；
当
时，
，
当
即
时，
，
由于
，故小白鼠在
时，浓度最高，达到
.
（2）
.
当
时，可得
，
在
时单调递减，
则
；
当
时，可得
，
，
则当
，即
时，
，
又
，
.
一、单选题
1．（2025·重庆·一模）已知
，则使
成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、基本（均值）不等式的应用、由基本不等式证明不等关系、基本
不等式求和的最小值
【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义逐项分析判断即得.
【详解】对于A，令
，显然有
，但
，A 不是；
对于B，当
，
时，
，B 不是；
对于C，
，显然有
，但
，C 不是；
对于D，当
，则
，即
，
反过来，令
，不等式
成立，而
， D 是.
故选：D
2．（2025·浙江温州·一模）若a，
，且
，则ab 的最小值为（ ）
A．5
B．17
C．25
D．36
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值
【分析】根据给定条件，利用基本不等式，结合一元二次不等式求解即得.
【详解】由
，
，得
，
则
，解得
，因此
，
当且仅当
时取等号，所以当
时，ab 取得最小值25.
故选：C
3．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角
，
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、基本不等式求和的最小值
【分析】由条件可得
，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】由
，可得
，即
，
所以
，
则
，
当且仅当
时，即
，即
时，
也就是
时，等号成立.
故选：C
4．设
，
，若
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．9
C．
D．18
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由乘“1”法利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
，且
，
且
，
，
当且仅当
，即
且
时取等号，故
的最小值为9.
故选：B.
5．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数
，
满足
，且不等式
有解，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
，或
C．
D．
，或
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最
值
【分析】应用基本不等式求出
，不等式
有解，只需
即可.
【详解】因为正实数
，
满足
，
所以
，
所以
，
当且仅当
且
，即
时等号成立.
因为不等式
有解，
所以只需
，即
即可，
所以
或
.
故选：D
6．（2024·山东·模拟预测）已知
，
，且
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、由基本不等式比较大小、基本不
等式“1”的妙用求最值
【分析】A 选项，根据的妙用进行求解；B 选项，对原条件直接使用基本不等式，
即可
求解；C 选项，将待证明表达式消去一个字母，构造函数，利用导数知识解决；D 选项，结合B 选项的分
析可解决.
【详解】因为
，所以
，
对于A 项：
，
当且仅当
时取得等号，从而在
，
时
，故A 错误；
对于B 项：因为
，所以
，
，当
时取得等号，此时
，故B 错误；
对于C 项：因为
，所以
，所以
，
于是
等价于
，等价于
，
构造函数
，
，
所以
在
上单调递增；
所以
恒成立，所以不等式
成立，故C 正确；
对于D 项：根据B 选项的分析，
，
则
，即
，
当
时取得等号，此时
，故D 错误.
故选：C
7．已知点
为
的重心，
分别是
边上一点，
三点共线，
为
的中点，若
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据重心性质可得
，再由三点共线得出
，根据“1”的变形技
巧利用均值不等式求最值.
【详解】由点
为
的重心，
为
的中点知，
,
所以
，
因为
三点共线，
分别是
边上一点，
所以
，即
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故选：A
8．（23-24 高三上·浙江宁波·期末）设实数
满足
，
，不等式
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．12
B．24
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题
【分析】原不等式可转化为
，利用均值不等式求
最小值即可.
【详解】由
，
变形可得
，
，
令
，
，
则
转化为
，即
，
其中
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以不等式
恒成立，只需
，
故选：B
9．要建造一个容积为9 立方米，深为1 米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100 元，水池
的壁每平方米的造价为90 元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（ ）
A．2100 元
B．1980 元
C．1870 元
D．1760 元
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式的实际应用
【分析】设水池底部长宽分别为
米，根据已知有
、总造价
，应用基本不等式
求最小值，注意取值条件.
【详解】设水池底部长宽分别为
米，则
，
所以水池总造价为
，
当且仅当
时等号成立，故总造价最小值为
元.
故选：B
二、填空题
10．（2025·河南·模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
，若
，
则该三角形内切圆面积的最大值为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、基
本不等式求积的最大值
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求得
，进而求得三角形内切
圆半径的关系式，利用基本不等式求出最大值即可.
【详解】在
中，由正弦定理及
，得
，
则
，
整理得
，而
，即
，
因此
，
，设该三角形内切圆半径为，
则
，又
，于是
，由
，得
，
当且仅当
时取等号，因此
，
所以该三角形的内切圆面积的最大值为
.
故答案为：
11．（2025 高一上·湖南岳阳·专题练习）如图，已知点
是反比例函数
图象上一动点，点
，则
的面积的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、函数
【分析】设
，结合反比例函数的几何性质，用
表示出
的面积，再用基本不等式求
最小值即可.
【详解】如图：
过点
作
轴的垂线
，垂足为
，过
作
轴的垂线，垂足为
.
结合题意可设点
，
则
，
.
所以
，
，
.
所以
，
当且仅当
即
时取等号.
故答案为：
12．（2025·湖北·模拟预测）已知随机变量
，a、b 是正实数，满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、根据正态曲线的对称性求参数
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性可得
，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由随机变量
，且
，得
，而
，
则
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
13．（2025·重庆·模拟预测）若
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用已知条件构造
，利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
【详解】由
，可知
，
，
所以
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
．
故答案为：
14．已知
，
，且
，则
的最小值是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用“1”的代换化简
式子中的3 和1，进而利用基本不等式即可.
【详解】由题意可得，
，
等号成立时
，即
.
故
的最小值是.
故答案为：
15．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数
，
满足
，则
的最小值是 ．
【答案】
/0.25
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的
妙用求解.
【详解】方法一
设
，
，则
，
，
，
当且仅当
，
，即
，
时取等号，
．
方法二
，
，
，
当且仅当
，
时取等号，
．
故答案为：
16．（25-26 高三上·江苏常州·期中）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某直线折
叠，现有一张长方形纸
（
）．若将长方形纸
对折，使得
重合，得到新的长
方形，发现长边与短边的长度比保持不变．若将长方形纸
的顶点
折到边
上，设折痕所在直线
与
的夹角为
，当折痕最短时，
．
【答案】
/
【难度】0.4
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、基本不等式的实际应用
【分析】画图，研究各种不同情形，借助于直观的判断和平均值不等式求得各种情况下的最小值，进而比
较得出折痕最小的条件，进一步求得对应的角的正弦值.
【详解】设
中点为
,
中点依次记为
,
中点记为
,连接
.
设
,因为
在
上，所以
的中点在线段
上.
折痕为
过
,且
,情况分三种，如图1，2，3.
由题意，
,得
.
情形1：
如图1，折痕
.
情形2：
如图2，
，
,
,
所以
.
情形3：
如图3.当
与
重合时，
取得最小值.
如图4，此时
.
由
,得
,所以
.
故当折痕最短时，
.
故答案为：
三、解答题
17．（25-26 高三上·上海·期中）某工厂某种产品的年固定成本为300 万元，每生产
件，需另投入成本为
（万元），当年产量不足80 件时，
（万元）；当年产量不小于80 件时，
（万元）.每件产品售价为50 万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润
（万元）关于年产量
（件）的函数解析式；
(2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？
【答案】(1)
，其中
(2)100 件
【难度】0.65
【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、利润最大问题、基本不等式的实际应
用
【分析】（1）根据题意分别写出当
与
时的函数解析式即可；
（2）利用二次函数求最值与基本不等式求最值分析即可得出.
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
，
所以
，其中
.
（2）当
时，
当
时，
取得最大值900 万元；
当
时，
，
当且仅当
，即
时，
取得最大值950 万元，
所以当产量为100 件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为950 万元
18．（25-26 高三上·陕西咸阳·月考）生态环境保护和经济发展是辩证统一､相辅相成的，建设生态文明､推
动绿色低碳循环发展，不仅可以满足人民日益增长的优美生态环境需要，而且可以推动实现更高质量､更
有效率､更加公平､更可持续､更为安全的发展，走出一条生产发展､生活富裕､生态良好的文明发展道路.某
果树培育公司响应国家的号召，决定采用一种新型绿色肥料进行果树栽培，经多次试验发现：一棵果树果
实的产量
（单位：百千克）与新型绿色肥料的费用
（单位：百元）满足关系
，且投入的新
型绿色肥料的费用不超过5 百元，此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）
百元.已知这种果
树果实的市场售价为25 元/千克（即25 百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记栽培一棵该果树一年
获得的利淘为
（单位：百元）
(1)求利润函数
的函数关系式，并写出定义域.
(2)当投入的新型绿色肥料的费用为多少时，栽培一棵该果树一年获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
，
(2)当投入的新型绿色肥料的费用为400 元时，栽培一棵该果树获得的利润最大，最大利润是11400 元.
【难度】0.65
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值、基本不等式的实际应用
【分析】（1）由题意求出利润
的函数解析式，即可得解；
（2）由（1），利用基本不等式求解.
【详解】（1）
，定义域为
.
（2）由（1）知，
.
因为
，所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
.
答：当投入的新型绿色肥料的费用为400 元时，栽培一棵该果树获得的利润最大，最大利润是11400 元.
