十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—极坐标与参数方程
目录
题型一：极坐标与普通方程互化...........................................................1
题型二：极坐标方程的应用...................................................................3
题型三：参数方程与普通方程互化......................................................11
题型四：参数方程的应用.....................................................................13
题型五：极坐标与参数方程的综合应用..............................................21
题型一：极坐标与普通方程互化
1．(2023 年全国甲卷理科·第22 题)已知点
，直线
(t 为参数)，
为的倾斜角，
l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A，B 两点，且
．
(1)求
；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)因为与
轴，
轴正半轴交于
两点，所以
，
令
，
，令
，
，
所以
，所以
，
即
，解得
，
因为
，所以
．
(2)由(1)可知，直线的斜率为
，且过点
，
所以直线的普通方程为：
，即
，
由
可得直线的极坐标方程为
．
2．(2021 年高考全国甲卷理科·第22 题)在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
．
(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A
直角坐标为
，M 为C 上的动点，点P 满足
，写出Р 的轨迹
的参数
方程，并判断C 与
是否有公共点．
【答案】(1)
；(2)P 的轨迹
的参数方程为
(
为参数)，C
与
没有公共点．
解析：(1)由曲线C 的极坐标方程
可得
，
将
代入可得
，即
，
即曲线C 的直角坐标方程为
；
(2)设
，设
，
，
则
，即
，
故P 的轨迹
的参数方程为
(
为参数)
曲线C 的圆心为
，半径为
，曲线
的圆心为
，半径为2，
则圆心距为
，
，
两圆内含，
故曲线C 与
没有公共点．
3．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第22 题)[选修4–4：坐标系与参数方程](10 分)在直角坐标系
中，
曲线
的方程为
．以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐
标方程为
．
(1)求
的直角坐标方程；
(2)若
与
有且仅有三个公共点，求
的方程．
【答案】解析：(1)由
，
得
的直角坐标方程为
．
(2)由(1)知
是圆心为
，半径为
的圆．
由题设知，
是过点
且关于
轴对称的两条射线．记
轴右边的射线为
，
轴左边的射线
为
．由于
在圆
的外面，故
与
有且仅有三个公共点等价于
与
只有一个公共点且
与
有两个公共点，或
与
只有一个公共点且
与
有两个公共点．
当
与
只有一个公共点时，
到
所在直线的距离为
，所以
，故
或
．
经检验，当
时，
与
没有公共点；当
时，
与
只有一个公共点，
与
有两个公
共点．
当
与
只有一个公共点时，
到
所在直线的距离为
，所以
，故
或
．
经检验，当
时，
与
没有公共点；当
时，
与
没有公共点．
综上，所求
的方程为
．
4．(2015 高考数学江苏文理·第23 题)已知圆
的极坐标方程为
，求圆
的半径．
【答案】(C)
分析：先根据
将圆C 的极坐标方程化成直角坐标方程，再根据
圆的标准方程得到其半径．
解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点
，以极轴为
轴的正半轴，建立直角坐标系
．
圆
的极坐标方程为
，
化简，得
．
则圆
的直角坐标方程为
，
即
，所以圆
的半径为
．
题型二：极坐标方程的应用
1．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第22 题)在直角坐标系
中，曲线C 的参数方程为
，
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为
．
(1)写出l 的直角坐标方程；
(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
解析：【小问1 详解】
因为l：
，所以
，
又因为
，所以化简为
，
整理得l 的直角坐标方程：
【小问2 详解】
联立l 与C 的方程，即将
，
代入
中，可得
，
所以
，
化简为
，
要使l 与C 有公共点，则
有解，
令
，则
，令
，
，
对称轴为
，开口向上，
所以
，
，
所以
m 的取值范围为
．
2．(2020 江苏高考·第22 题)在极坐标系中，已知点
在直线
上，点
在圆
上(其中
，
)．
(1)求
，
的值
(2)求出直线与圆
的公共点的极坐标．
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)以极点为原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
，因为点
为直线
上，故其直角坐标方程为
，
又
对应的圆的直角坐标方程为：
，
由
解得
或
，
对应的点为
，故对应的极径为
或
．
(2)
，
，当
时
；
当
时
，舍；即所求交点坐标为当
3．(2019·全国Ⅲ·理·第22 题)如图，在极坐标系
中，
，
，
，
，弧
，
AM
FM
=AE
FO
= 1
5
3
=3
5，
所在圆的圆心分别是
，
，
，曲线
是弧
，曲线
是弧
AM
FM
=AE
FO
= 1
5
3
=3
5，曲线
是弧
．
(1)分别写出
，
，
的极坐标方程；
(2)曲线
由
，
，
构成，若点
在
上，且
，求
的极坐标．
【答案】
(1)
,
,
；
(2)
或
或
或
【官方解析】
(1)由题设可得，
所在圆的极坐标方程分别为
．
所以
的极坐标方程为
，
的极坐标方程为
，
的极坐标方程为
．
(2)设
，由题设及(1)知
若
，则
，解得
；
若
，则
，解得
或
；
若
，则
，解得
．
综上
的极坐标为
或
或
或
．
【点评】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．
4 ．(2019· 全国Ⅱ· 理· 第22 题) 在极坐标系中，
为极点，点
在曲线
上，直线过点
(4,0)
A
且与
垂直，垂足为
．
当
时，求
及的极坐标方程；
当
在
上运动且
在线段
上时，求
点轨迹的极坐标方程．
【答案】
，的极坐标方程为
；
.
【官方解析】
因为
在
上，当
时，
.
由已知得
.
设
为上除
的任意一点.在
中
，
经检验，点
在曲线
上.
所以，的极坐标方程为
.
设
，在
中，
，即
.
因为
在线段
上，且
，故
的取值范围是
.
所以，
点轨迹的极坐标方程为
.
【分析】
先由题意，将
代入
即可求出
；根据题意求出直线的直角坐标方程，
再化为极坐标方程即可；
先由题意得到
点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.
【解析】
因为点
在曲线
上，
所以
0
0
4sin
4sin
2 3
3
；即
，所以
，
因为直线过点
且与
垂直，所以直线的直角坐标方程为
，
即
；因此，其极坐标方程为
，即的极坐标方程为
；
设
，则
，
，由题意，
，所以
，故
，整理得
，因为
在线段
上，
在
上运动，所以
，
，
所以，
点轨迹的极坐标方程为
，即
.
【点评】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.
5．(2019·江苏·第22 题)在极坐标系中，已知两点
，直线l 的方程为
.
(1)求
两点间的距离；(2)求点
到直线的距离.
【答案】见解析
【解析】(1)设极点为
.在
中，
，
，
由余弦定理，得AB=
.
(2)因为直线l 的方程为
，
则直线l 过点
，倾斜角为
．
又
，所以点B 到直线l 的距离为
.
6．(2018 年高考数学江苏卷·第23 题)[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10 分)
在极坐标系中，直线l 的方程为
，曲线C 的方程为
，求直线l 被曲线C 截得的
弦长．
【答案】直线l 被曲线C 截得的弦长为
．
解析：因为曲线C 的极坐标方程为
，
所以曲线C 的圆心为(2，0)，直径为4 的圆．
因为直线l 的极坐标方程为
，
则直线l 过A(4，0)，倾斜角为
，
所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=
．
连结OB，因为OA 为直径，从而∠OBA=
，
所以
．
因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为
．
7．(2015 高考数学新课标2 理科·第23 题)(本小题满分10 分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，曲线
( 为参数，
)，其中
，在以
为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
，曲线
．
(Ⅰ)．求
与
交点的直角坐标；
(Ⅱ)．若
与
相交于点
，
与
相交于点
，求
的最大值．
【答案】(Ⅰ)
和
；(Ⅱ)
．
解析：(Ⅰ) 曲线
的直角坐标方程为
，曲线
的直角坐标方程为
．联立
解得
或
所以
与
交点的直角
坐标为
和
．
(Ⅱ) 曲线
的极坐标方程为
，其中
．因此
得到极坐标为
，
的极坐标为
．所以
，当
时，
取得最大值，最大值为
．
8．(2015 高考数学新课标1 理科·第23 题)(本小题满分10 分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中。直线
:
，圆
：
,以坐标原点为极点，
轴
的正半轴为极轴建立极坐标系。
(Ⅰ)求
，
的极坐标方程；
(Ⅱ)若直线
的极坐标方程为
，设
与
的交点为
,
,求
的面积
【答案】(Ⅰ)
,
(Ⅱ)
分析：(Ⅰ)用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得
，
的极坐标方程；(Ⅱ)将将
代入
即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出
的面积．
解析：(Ⅰ)因为
，
∴
的极坐标方程为
，
的极坐标方程为
．……5 分
(Ⅱ)将
代入
，得
，解得
=
，
=
，|MN|=
－
=
，
因为
的半径为1，则
的面积
=
．
9．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第22 题)[选修4-4：坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
1
C 的极坐标方
程为
cos
4
．
(1) M 为曲线
1
C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|
| |
| 16
OM
OP
,求点P 的轨迹
2
C 的直角
坐标方程；
(2)设点A 的极坐标为
(2,
)
3
，点B 在曲线
2
C 上，求OAB
面积的最大值．
【答案】【命题意图】坐标系与参数方程，求动点的轨迹方程，三角函数
【基本解法】(1)解法一：设P 点在极坐标下坐标为
,
由
16
OM
OP
可得M 点的坐标为
16 ,
，代入曲线
1
C 的极坐标方程，得：
16 cos
4
，即
4cos
，两边同乘以，化成直角坐标方程为：
2
2
4
x
y
x
，由题意知
0
，所以检验得
2
2
4 (
0)
x
y
x x
．
解法二：设P 点在直角坐标系下坐标为
,x y ，曲线
1
C 的直角坐标方程为
4
x
，因为
, ,
O P M 三点
共线，所以M 点的坐标为
4
4,
y
x
，代入条件
16
OM
OP
得：
2
2
2
2
16
16
16
y
x
y
x
，因为
0
x
，化简得：
2
2
4 (
0)
x
y
x x
．
(2) 解法一：由(1) 知曲线
2
C 的极坐标方程为
4cos
，故可设B 点坐标为(4cos , )
，
2
1 2 4cos
sin(
)
2 3 cos
2sin
cos
3 cos2
sin 2
3
2
3
OAB
S
2sin(2
)
3
3
由
2
2
得
2
3
OAB
S
，即最大值为2
3
．
解法二：在直角坐标系中，A 点坐标为(1, 3) ，直线OA 的方程为3
0
x
y
．
设点B 点坐标( , )
x y ，则点B 到直线OA 的距离
3
2
x
y
d
所以
3
1 2
2
2
OAB
x
y
S
d
，又因为点B 坐标满足方程
2
2
(
2)
4
x
y
，由柯西不等式得：
2
2
2
2
2
(
2)
3
( 1)
3(
2)
x
y
x
y
，即4
3(
2)
4
x
y
即4
2 3
3
4
2 3
x
y
由
3
2
OAB
x
y
S
得，
2
2 3
OAB
S
．
解法三：前面同解法二，
3
1 2
2
2
OAB
x
y
S
d
，又因为点B 坐标满足方程
2
2
(
2)
4
x
y
，故可设
B 的坐标(2
2cos
,2sin
)
，即
4sin(
)
2 3
2 3 cos
2 3
2sin
3
2
3
2
2
OAB
S
．
题型三：参数方程与普通方程互化
1．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第22 题)在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
为
参数．以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
(1)当
时，
是什么曲线？
(2)当
时，求
与
的公共点的直角坐标．
【答案】(1)曲线
表示以坐标原点为圆心，半径为1 的圆；(2)
．
【解析】(1)当
时，曲线
的参数方程为
为参数)，
两式平方相加得
，
所以曲线
表示以坐标原点为圆心，半径为1 的圆；
(2)当
时，曲线
的参数方程为
为参数)，
所以
，曲线
的参数方程化为
为参数)，
两式相加得曲线
方程为
，
得
，平方得
，
曲线
的极坐标方程为
，
曲线
直角坐标方程为
，
联立
方程
，
整理得
，解得
或
(舍去)，
，
公共点的直角坐标为
．
2．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第22 题)已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：
(θ 为参数)，
C2：
(t 为参数)．
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2
交点为P，求圆心在极轴上，且
经过极点和P 的圆的极坐标方程．
【答案】(1)
；
；(2)
．
解析：(1)由
得
的普通方程为：
；
由
得：
，两式作差可得
的普通方程为：
．
(2)由
得：
，即
；
设所求圆圆心的直角坐标为
，其中
，
则
，解得：
，
所求圆的半径
，
所求圆的直角坐标方程为：
，即
，
所求圆的极坐标方程为
．
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化
极坐标方程等知识，属于常考题型．
3．(2016 高考数学江苏文理科·第23 题)[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系
中，已知直线的参数方程为
，椭圆
的参数方程为
，设直线与椭圆
相交于
两点，求线段
的长．
【答案】
；
【官方解答】椭圆
的普通方程为
．
将直线参数方程
代入
，
得
，即
，解得
．
所以
．
民间解答：
直线方程化为普通方程为
，
椭圆
方程化为普通方程为
，
联立得
，解得
或
，
因此
．
题型四：参数方程的应用
1．(2019·全国Ⅰ·理·第22 题)在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
( 为参数)．以
坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
．
(1)求
和的直角坐标方程；
(2)求
上的点到距离的最小值．
【答案】解：(1)因为
，且
，
所以
的直角坐标方程为
．的直角坐标方程为
．
(2)由(1)可设
的参数方程为
(
为参数，
)．
上的点到的距离为
．
当
时，
取得最小值7，故
上的点到距离的最小值为
．
2．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第22 题)【选修4—4：坐标系与参数方程】(10 分)
在直角坐标系
中，
的参数方程为
(
为参数)，过点
，且倾斜角为
的
直线与
交
两点．
(1)求
的取值范围；
(2)求
中点
的轨迹的参数方程．
【答案】【官方解析】(1)
的直角坐标方程为
当
时，与
交于两点；
当
时，
，则的方程为
与
交于两点当且仅当
，解得
或
，即
或
．
综上可知
的取值范围为
(2) 的参数方程为
( 为参数，
)
设
对应的参数分别为
，则
，且
，
满足
于是
，
，又点
的坐标
满足
所以点
的轨迹的参数方程是
(
为参数，
)
【民间解析】(1)由
的参数方程
，消去参数
，可得
：
当
时，直线
显然与
：
有两个交点
当
时，可设直线
由直线与
交
两点，可得
，解得
，所以
或
又
，且
，所以
或
综上可知
的取值范围为
(2)法一：记
，设
，连结
，则有
所以
，所以
即
即
①
此外点
必须在圆
：
内
所以
②
所以
，即
所以
中点
的轨迹方程为
所以
中点
的轨迹方程的参数方程为
，(
为参数，且
)
法二：可设
，
，
联立
，消去
，
整理可得
由根与系数的关系得
，所以
所以
所以点
的轨迹的参数方程为
(其中
为参数，且
)．
3．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第22 题)[选修4－4：坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
(
为参数) ，直线
的参数方程为
( 为参数)．
(1)求
和的直角坐标方程；
(2)若曲线
截直线所得线段的中点坐标为
，求的斜率．
【答案】解析：(1)曲线
的直角坐标方程为
．
当
时，的直角坐标方程为
，
当
时，的直角坐标方程为
．
(2)将的参数方程带入
的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线
截直线所得线段的中点
在
内，所以①有两个解，设为
，
，则
．
又由①得
，故
，于是直线的斜率
．
4．(2014 高考数学辽宁理科·第23 题)(本小题满分10 分)选修4-4：坐标系与参数方程
将圆
上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2 倍，得曲线C．
(1)写出C 的参数方程；
(2)设直线
与C 的交点为
，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标
系，求过线段
的中点且与垂直的直线的极坐标方程．
【答案】(1)
(0≤θ＜2π，θ 为参数)；(2)
．
解析：
(1)在曲线C 上任意取一点(x，y)，由题意可得点(x，
)在圆x2+y2=1 上，
∴x2+
=1，即曲线C 的方程为 x2+
=1，化为参数方程为
(0≤θ＜2π，θ 为参数)．
(2)由
，可得
，
，不妨设P1(1，0)、P2(0，2)，
则线段P1P2的中点坐标为(
，1)，
再根据与l 垂直的直线的斜率为
，故所求的直线的方程为y-1=
(x-
)，
即x-2y+
=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα-2ρsinα+
=0，即
．
5．(2014 高考数学课标2 理科·第23 题)(本小题满分10)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方
程为
，
．
(Ⅰ)求C 的参数方程；
(Ⅱ)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线
垂直，根据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定
D 的坐标．
【答案】解析：(Ⅰ)
代入
得
又因为
，所以
，C 的普通方程
所以C 的参数方程为
(Ⅱ)设点D
，由(Ⅰ)知曲线C 是以
为圆心，以为半径的上半圆，C 在D 处的切线
与直线
垂直，则
，所以D 的坐标为
．
6．(2014 高考数学课标1 理科·第23 题)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C :
2
2
1
4
9
x
y
+
=
,直线l :
2
2
2
x
t
y
t
(t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;
(2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为
o
30 的直线,交l 于点A ,求|
|
PA 的最大值与最小值．
【答案】解析:(1)曲线C 的参数方程为:
2cos
3sin
x
y
q
q
=
=
(为参数),
直线l 的普通方程为:2
6
0
x
y
+ -
= ．
(2)在曲线C 上任意取一点
(2cos ,3sin )
P
q
q 到l 的距离为
5 4cos
3sin
6
5
d
q
q
=
+
-
,
则
(
)
0
2 5
|
|
5sin
6
sin30
5
d
PA
q a
=
=
+
-
,其中为锐角且
4
tan
3
a =
．
当
(
)
sin
1
q a
+
=- 时,|
|
PA 取得最大值,最大值为
22 5
5
;
当
(
)
sin
1
q a
+
= 时,|
|
PA 取得最小值,最小值为
2 5
5
．
7．(2014 高考数学江苏·第23 题)【选修4- 4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为
(t 为参数)，直线l 与抛物线y2＝4x
相交于A，B 两点，求线段AB 的长．
【答案】[选修4—4：坐标系与参数方程]
解析：解法一：将直线的参数方程
代入抛物线方程
，
得
． 解得
．
所以
．
解法二：将直线的参数方程化为直角坐标方程为
，
联立方程组
解得
或
即交点
分别为
和
，
所以
解法三：将直线的参数方程化为直角坐标方程为
，
联立方程组
消去
有
，则
．
所以
8．(2014 高考数学福建理科·第22 题)(本小题满分7 分)选修4—4：极坐标与参数方程
已知直线的参数方程为
，( 为参数)，圆
的参数方程为
，(
为常
数)．
(I)求直线和圆
的普通方程；
(II)若直线和圆
有公共点，求实数
的取值范围．
【答案】选修
：坐标系与参数方程
解析：(I)直线的普通方程为：
．
圆
的普通方程为
．
(II)因为直线与圆
有公共点，
故圆
的圆心到直线的距离
．
解得
．
9．(2015 高考数学陕西理科·第23 题)(本小题满分10 分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，直线的参数方程为
( 为参数)．以原点为极点，
轴正半轴为极
轴建立极坐标系，
的极坐标方程为
．
(Ⅰ)写出
的直角坐标方程；
(Ⅱ)
为直线上一动点，当
到圆心
的距离最小时，求
的直角坐标．
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)
．
分析：(Ⅰ) 先将
两边同乘以
可得
，再利用
，
可得
的直角坐标方程；(Ⅱ)先设
的坐标，则
，再利用二次函数的性
质可得
的最小值，进而可得
的直角坐标．
解析：(Ⅰ)由
，得
，
从而有
，所以
．
(Ⅱ)设
，又
，则
，
故当
时，
取最小值，此时
点的直角坐标为
．
10．(2015 高考数学湖南理科·第17 题)已知直线
( 为参数)，以坐标原点为极点，
轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
(1)将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M 的直角坐标为
，直线与曲线
的交点为
，
，求
的值．
【答案】分析：(1)利用ρ2=x2+ y2
，ρcosθ=x 即可将已知条件中的极坐标方程转化直角坐标方
程；(2)
联立直线的参数方程与圆的直角方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解．
解析：(1)ρ=2cosθ 等价于ρ2=2 ρcosθ ①，将ρ2=x2+ y2
，ρcosθ=x 代入①，记得曲线C
的直角坐标方程为x2+ y2−2 x=0 ②；(2)将{x=5+√3
2
t¿¿¿¿
代入②，得t2+5√3t+18=0 ，设这个
方程的两个实数根分别为t1，t2 ，则由参数的几何意义即知，|MA|⋅|MB |=|t1t2|=18．
11．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第22 题)[选修4―4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲
线C 的参数方程为
3cos
sin
x
y
(为参数),直线l 的参数方程为
4
1
x
a
t
y
t
．
(1)若
1
a ,求C 与l 的交点坐标;
(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17 ,求a ．
【答案】(1)C 与l 的交点坐标为
3,0 ,
21 24
,
25 25
;(2)
8
a
或
16
a
．
【分析】(1)先将曲线C 和直线l 化成普通方程,然后联立求出交点坐标;(2)直线l 的普通方程为
4
4
0
x
y
a
,设C 上的点(3cos ,sin )
,l 的距离为
| 3cos
4sin
4 |
17
a
d
．对a 进行
讨论,分
4
a 和
4
a 两种情况,求出a 的值．
【解析】(1)曲线C 的普通方程为
2
2
1
9
x
y
．
当
1
a 时,直线的普通方程为
4
3
0
x
y
．
由
2
2
4
3
0
1
9
x
y
x
y
解得
3
0
x
y
或
21
25
24
25
x
y
．
从而C 与的交点坐标为(3,0) ,
21 24
(
,
)
25 25
．
(2)直线的普通方程为
4
4
0
x
y
a
,故C 上的点(3cos ,sin )
到的距离为
| 3cos
4sin
4 |
17
a
d
．
当
4
a 时,d 的最大值为
9
17
a
．由题设得
9
17
17
a
,所以
8
a
;
当
4
a 时,d 的最大值为
1
17
a
．由题设得
1
17
17
a
,所以
16
a
．
综上,
8
a
或
16
a
．
12．(2017 年高考数学江苏文理科·第23 题)[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为
x
8
2
t
t
y
(t 为参数),曲线C 的参数方程为
2
2
,
2 2
x
s
y
s
( s
为参数)．设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值．
【答案】
4 5
5
解析:解:直线l 的普通方程为
2
8
0
x
y
．
因为点P 在曲线C 上,设
2
(2
,2 2 )
P
s
s ,
从而点P 到直线l 的距离
2
2
2
2
2
4 2
8
2(
2)
4
5
( 1)
( 2)
s
s
s
d
,
当
2
s
时,
min
4 5
5
d
．
因此,当点P 坐标为(4,4) 时,曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值
4 5
5
．
题型五：极坐标与参数方程的综合应用
1．(2023 年全国乙卷理科·第22 题)在直角坐标系
中，以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，曲线
：
(
为参数，
)．
(1)写出
的直角坐标方程；
(2)若直线
既与
没有公共点，也与
没有公共点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)因为
，即
，可得
，
整理得
，表示以
为圆心，半径为1 的圆，
又因为
，
且
，则
，则
，
故
．
(2)
因为
(
为参数，
)，
整理得
，表示圆心为
，半径为2，且位于第二象限的圆弧，
如图所示，若直线
过
，则
，解得
；
若直线
，即
与
相切，则
，解得
，
若直线
与
均没有公共点，则
或
，
即实数
的取值范围
．
2．(2021 年高考全国乙卷理科·第22 题)在直角坐标系
中，
的圆心为
，半径为1．
(1)写出
的一个参数方程;
(2)过点
作
的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条
切线的极坐标方程．
【答案】(1)
，(
为参数)；(2)
或
．
解析：(1)由题意，
的普通方程为
，
所以
参数方程为
，(
为参数)
(2)由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为
，即
，
由圆心到直线的距离等于1 可得
，
解得
，所以切线方程为
或
，
将
，
代入化简得
或
【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的
数学运算能力，是一道基础题．
3．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第22 题)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
(t 为
参数且t≠1)，C 与坐标轴交于A、B 两点．
(1)求
；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)令
，则
，解得
或
(舍)，则
，即
．
令
，则
，解得
或
(舍)，则
，即
．
；
(2)由(1)可知
，
则直线
的方程为
，即
．
由
可得，直线
的极坐标方程为
．
【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题．
4．(2015 高考数学福建理科·第22 题)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中，圆C 的参数方程为
为参数)．在极坐标系(与平面直角坐
标系
取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以
轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为
(Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．
【答案】(Ⅰ)
，
；(Ⅱ)
．
解析：(Ⅰ)消去参数t，得到圆的普通方程为
,
由
，得
,
所以直线l 的直角坐标方程为
．
(Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即
解得
5．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第22 题)在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为
2
x
t
y
kt
(t 为
参数)，直线2l 的参数方程为
2
x
m
m
y
k
(m 为参数)．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹
为曲线C ．
(1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
3 :
cos
sin
2
0
l
，M 为3l
与C 的交点，求M 的极径．
【答案】(Ⅰ)
2
2
4
0
x
y
y
;(Ⅱ) 5
(1)由直线1l 的参数方程为
2
x
t
y
kt
(t 为参数)，可得
1 :
2
l
y
k x
由直线2l 的参数方程为
2
x
m
m
y
k
(m 为参数)，可得
2
2
:
x
l
y
k
联立1l ，2l 的方程，消去参数k 可得：
2
2
4
y
x
即
2
2
4
x
y
当
0
y
时，
0,
0
m
t
，此时两直线没有交点
所以曲线C 的普通方程为：
2
2
4
x
y
0
y
．
(2)法一：将
cos
sin
x
y
代入
2
2
4
x
y
，可得曲线C 的极坐标方程为：
2 cos
sin
cos
sin
4
联立曲线C 与3l 的极坐标方程
2 cos
sin
cos
sin
4
cos
sin
2
0
cos
sin
2 2
cos
sin
2
2
2
2
2
cos
sin
cos
sin
10
整理可得
2
2
10
5
所以点M 的极径长为5 ．
法二：将
cos
sin
x
y
代入
3 :
cos
sin
2
0
l
，可得3 :
2
l
x
y
联立方程
2
2
4
2
x
y
x
y
2 2
2
x
y
x
y
3 2
2
2
2
x
y
故M 的直角坐标为
3 2
2
,
2
2
，所以
2
2
3 2
2
5
2
2
OM
．
故点M 的极径为5 ．
6．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第23 题)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,以
轴的
正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)写出
的普通方程和
的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点
在
上,点
在
上,求
的最小值及此时
的直角坐标.
【答案】(Ⅰ)
的普通方程为
,
的直角坐标方程为
;(Ⅱ)
.
【解析】(Ⅰ)
的普通方程为
,
的直角坐标方程为
.
(Ⅱ)由题意,可设点
的直角坐标为
,因为
是直线,所以
的最小值,
即为
到
的距离
的最小值,
.
当且仅当
时,
取得最小值,最小值为
,此时
的直角坐标为
.
7．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第23 题)(本小题满分10 分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直线坐标系
中，圆
的方程为
．
(1)以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求
的极坐标方程；
(2)直线的参数方程是
( 为参数)，与
交于
两点，
，求的斜率．
【答案】(1)
；(2)
．
【官方解答】(1)由
可得圆
的极坐标方程
．
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
．
设
所对应的极径分别为
，将的极坐标方程代入
的极坐标方程得
于是
，
由
得
，
．
所以的斜率为
或
．
【民间解答】
(1)由
可知圆
的极坐标方程为
．
(2)记直线的斜率为
，则直线的方程为
，
由垂径定理及点到直线距离公式知：
，
即
，整理得
，则
．
8．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第23 题)(本小题满分10 分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系
中，曲线
的参数方程为
( 为参数，
)．在以坐标原点为极
点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
．
(I)说明
是哪一种曲线，并将
的方程化为极坐标方程；
(II)直线
的极坐标方程为
，其中
满足
，若曲线
与
的公共点都在
上，
求
．
【答案】 (I)
为以
为圆心，
为半径的圆．
(II)
【官方解答】(I)消去参数得到
的普通方程
是以
为圆心，
为半径的圆．
将
代入
的普通方程中，得到
的极坐标方程为
∴
(II)曲线
，
的公共点的极坐标满足方程组
若
，由方程组的
由已知
，可得
从而
，解得
(舍去)，
当
时，极点也为
，
的公共点，在
上
所以
．
【民间解答】(I)
( 均为参数)
∴
①
∴
为以
为圆心，
为半径的圆．方程为
∵
∴
即为
的极坐标方程
(II)
两边同乘
得
即
②
：化为普通方程为
由题意：
和
的公共方程所在直线即为
①—②得：
，即为
∴
，∴
．
