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重难点专训02 镶嵌函数及零点问题
解题方
及
法
技巧提炼............................................................................................................................1
解题方
及
法
技巧提炼............................................................................................................................2
题型
“
一：
与
”型无参数型..................................................................................2
题型
“
二：
与
”解析式含参型..............................................................................2
题型
“
三：
与
”零点方程含参型..........................................................................3
题型
“
四：
”或者“
”型.......................................................................4
题型
“
五：
”或“y=f [ g( x)]+kg ( x)+m”型.......................................4
题型
镶嵌型
式
解
六：二次
因
分
............................................................................................................................5
题型
镶嵌型
七：二次
根的分布............................................................................................................................5
题型
型
零点问题
八：类周期
的
............................................................................................................................6
题型
型
零点问题
九：高斯取整
的
........................................................................................................................6
重难专题分层过关练............................................................................................................................7
巩固过关.................................................................................................................................................................7
创新提升.................................................................................................................................................................8
一、解决镶嵌函数的零点问题
核心是先拆解
镶嵌
结构，明确内外层函数的关系。首先识别外层函数和内层函数（如
“
”
中，
为外层，
为内层），将镶嵌函数零点问题转化为
外层函数零点内层
“
→
函数方程解
的两步问题。
”
先求外层函数
的所有解
；再分别求解内层方程
，
统计所有方程的解的总数（需注意函数定义域对解的限制）。
若涉及参数，需结合内层函数的单调性、最值等性质，分析每个方程
解的个数与参数的关系，
进而根据零点总数要求列不等式（组），求解参数范围。
二、解决类周期函数的零点问题
首先需明确其
放大
“
/缩小
与
平移
特性：先判断函数是从左往右还是从右往左进行
放大
”
“
”
“
/缩
小
，同时关注变换过程中是否伴随上下平移，这直接决定函数图像的延伸方向与位置。
”
分析零点时，先找出基础周期内的零点分布，再依据类周期变换规则，推导后续区间内的零点情况，
特别注意变换过程中是否存在函数值为0 的点（即零点是否因变换而保留或消失）。
若涉及参数求临界值，需结合函数图像的
切线
状态分析，通过求导确定函数在变换关键点的斜率
“
”
，
避免因计算失误导致临界条件判断偏差，最终结合零点存在性定理统计零点个数，匹配题目要求求解。
题型一：“
与
”型无参数型
典例1-1．已知函数
，则函数
的零点个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
典例1-2．已知函数
，则方程
实数根的个数为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．5
变式1-1．已知函数
，则方程
实数根的个数为（ ）
A．6
B．7
C．10
D．11
变式1-2．已知函数
，则函数
的零点个数为 .
题型二：“
与
”解析式含参型
典例2-1．已知函数
，若函数
有8 个零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2-2．已知函数
，若函数
所有零点的乘积为1，则实数
的取值范围
是 .
变式2-1．已知函数
，若
有6 个零点，则
的取值范
围为
变式2-2．已知函数
，若
有6 个零点，则
的取值范
围为 .
题型三：“
与
”零点方程含参型
典例3-1．已知函数
为
上的奇函数，当
时，
，若函数
满足
，且
有10 个不同的解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3-2．已知函数
的定义域为
，对于
，满足
，且当
时，
.若函数
恰有两个不同的零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．（多选）已知函数
，
，则下列结论正
确的是（ ）
A．当
时，
有1 个零点
B．当
时，
有4 个零点
C．
可能有6 个零点
D．当
的零点个数最多时，
的取值范围为
变式3-2．已知函数
，
，若方程
有4 个实数根，求实数
的取值范围.
题型四：“
”或者“
”型
典例4-1．设函数
．若方程
有解，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
，
变式4-1．（多选）若
和
都是
上的函数，且方程
有实数解，则
的解析式
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．（多选）若
和
都是R 上的函数，且
有实数解，则
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：“
”或“y=f [ g( x)]+kg ( x)+m”型
典例5-1．已知函数
，则函数
的零点个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
典例5-2．已知函数
，
，则
，若方程
的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是 .
变式5-1．已知函数
若方程
有三个不等的实根，则实数
的取值范围是
；函数
的零点个数是 .
变式5-2．已知函数
方程
有两个不同的根，分别是
则
（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
题型六：
镶嵌型
式
解
二次
因
分
典例6-1．已知函数
，
，若关于x 的方程
有19 个不等实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例6-2．已知函数
且
在R 上为单调函数.若方程
有4 个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-1．已知函数
若方程
有且仅有5 个不同实数根，则实数
的取值范围为 .
变式6-2．已知函数
.
(1)判断并用定义证明
在
上的单调性；
(2)若函数
恰有4 个零点，求实数
的取值范围.
题型七：二次镶嵌型根的分布
典例7-1．已知函数
，
，若关于
的方程
有3 个不同的
实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-1．已知
设
，
，若关于
的不等式
恰有一
个整数解，则
的取值范围是 .
变式7-2．设函数
，若关于
的函数
恰好有5 个零点，
则实数
的取值范围是 ．
题型八：
型
零点问题
类周期
的
典例8-1．已知函数
若函数
在区间
内有3 个零点，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
典例8-2．定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则函数
在
上的零点个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
变式8-1．已知函数
，若方程
在区间
有三个不等实根，实
数
的取值范围为 ．
变式8-2．定义在R 上的函数
满足
，且当
时，
．若对任意
，都有
，则t 的取值范围是 ．
题型九：
型
零点问题
高斯取整
的
典例9-1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有
数学王子
的美誉
“
”
.函数
称为
高斯函数，其中
，
表示不超过x 的最大整数，例如：
，
，则方程
的所有大于零的解之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例9-2．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设
，用符号
表示不大于
的最大整数，
如
，
，称函数
为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看
到它的身影，则函数
的零点有 个.
变式9-1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有
数学王子
的称号，他和阿基米德
“
”
､牛
顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的
高斯函数
为：设
“
”
，用
表示不超过
的最大整数，
则
称为高斯函数，如：
．若函数
有且仅有2 个零点，则实
数
的取值范围是 .
变式9-2．高斯是德国天才数学家，享有
数学王子
的美誉，以
高斯
命名的概念、定理、公式很多
“
”
“
”
，
如高斯函数
，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[x].如
记函数
，若函数
有两个零点，则实
数a 的取值范围为 .
巩固过关
1．享有
数学王子
称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，
“
”
被称为
高斯函数
，其
“
”
中
表示不超过
的最大整数，例如：
，设
为函数
的
零点，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．已知函数
，若函数
恰有6 个零点，则m 的取值范围为
．
3．高斯函数也称取整函数，记作
，其中
是指不超过
的最大整数，例如
，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.若函数
，则函数
的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（多选）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的
高斯函数
为：设
“
”
，用
表示不超过
的
最大整数，则
称为高斯函数，例如：
，
.已知函数
，
，则
关于函数
的叙述中正确的是（ ）
A．
B．函数
的值域为
C．
在R 上为增函数
D．函数
在区间
有12 个零点
5．已知函数
，若函数
有3 个零点，则实数a 的取值范围为
．
6．已知
，则函数
的零点个数是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
7．（多选）已知函数
，若关于
的方程
有4 个不同的
实根，则实数
可能的取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，当
时，
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
若函数
恰有5 个零点，则实数m 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
，若函数
恰有5 个零点，则实数m
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
创新提升
1．（多选）设
，用
表示不超过x 的最大整数，例如，
．已知函数
，下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．当
时，
D．方程
在实数范围内有9 个不同的实数根
2．已知函数
，则
；若
恰有三个不同的
零点
，
，
，则
．
3．（多选）已知函数
函数
，则（ ）
A．
B．
C．若
恒成立，则实数
的取值范围是
D．若
，则函数
恰好有5 个零点，且5 个零点之和的取值范围是
4．已知函数
，则函数
的零点个数不可能为（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
5．设
，已知函数
，
，若方程
有两个实数解，则实
数
的取值范围为 ．
