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第05 讲 三角函数的图象与性质
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
1．（湖北省恩施州2024-2025 学年高一下学期期末质量监测数学试卷）已知函数
，若函数
在
处取得最小值，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高一下·上海·期中）关于函数
的最大值和最小值，表述正确
的选项为（ ）
A．最大值是
，最小值是
B．最大值是，最小值是
C．最大值是
，最小值是
D．没有最大值，最小值是
4．（山东省潍坊市2024-2025 学年高一下学期期末质量监测数学试题）已知函数
，则（ ）
A．
在定义域内是增函数
B．
是奇函数
C．
的最小正周期为
D．
图象的一个对称中心是
5．（辽宁省锦州市2024-2025 学年高一下学期期末考试数学试卷）已知函数
的最小正周期为
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．函数
在
上为减函数
C．直线
是函数
图象的一条对称轴
D．点
是函数
图象的一个对称中心
6．（河北省保定市高中2024-2025 学年高二下学期7 月期末调研考试数学试题）若函数
在
上单调递减，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高二下·安徽蚌埠·期末）函数
在
上
的最大值和最小值之和为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．4050
8．（24-25 高二下·广东揭阳·期末）已知函数
是
的一个零点，则当
时，
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）（24-25 高一下·广东揭阳·期末）设函数
，则下列结论正
确的是（ ）
A．
是
的一个周期
B．
的图象关于直线
对称
C．
的一个零点为
D．
在区间
上单调递减
10．（多选）（24-25 高二下·云南·期末）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于
轴对称
C．
的值域为[0,2]
D．将函数
的图象向上平移2 个单位长度可以得到
的图象
11．（24-25 高一下·北京平谷·期末）将函数
图像向左平移
个单位长
度，得到的图像关于点
中心对称，则
的一个取值为
12．（24-25 高一下·湖北武汉·期末）若点
是函数
图像的一个对称中
心，则
的最小值为 .
13．（24-25 高一下·四川成都·期末）设函数
，
.
(1)求函数
的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数
在区间
上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值.
14．（24-25 高一下·云南楚雄·期末）将函数
的图象向右平移
个单位长
度，得到函数
的图象．
(1)求
的解析式；
(2)求
的单调递减区间；
(3)求
在
上的值域．
15．（25-26 高三上·全国·阶段练习）已知函数
．
(1)画出该函数图象的简图．
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
(3)判断函数
的奇偶性．
B 相遇高考
1．（2025·全国一卷·高考真题）若点
是函数
的图像的一个对称
中心，则a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数
和
，下
列说法中正确的有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
C 素养提升
1．（24-25 高一下·北京西城·期末）已知函数
的定义域为
．若存在周期均为
的两
个不同的偶函数
，
，使得
，则称
具有性质P．
(1)判断
，
是否具有性质P，并说明理由；
(2)已知
具有性质P，且
不恒为0．设
．证
明：若M 为有限集，则M 中的元素个数为偶数．
2．（24-25 高一下·江西抚州·期末）已知函数
，若存在实数
，
，使得对
于定义域内的任意实数
，均有
成立，则称函数
为“可
平衡”函数；有序数对
称为函数
的“平衡”数对．
(1)若
，求函数
的“平衡”数对；
(2)若
，判断
是否为“可平衡”函数，并说明理由；
(3)若
，且
、
均为函数
的“平衡”数对，
求
的取值范围．
3．（24-25 高一下·上海徐汇·阶段练习）已知函数
，函数
，设
.
(1)求证：
是函数
的一个周期；
(2)当
时，求：
在区间
上的最大值；
(3)若函数
在区间
内恰好有奇数个零点，请直接写出所有满足条件的实数k 的值.
