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重难点专训02 镶嵌函数及零点问题
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................2
题型一：“
与
”型无参数型..................................................................................2
题型二：“
与
”解析式含参型..............................................................................5
题型三：“
与
”零点方程含参型..........................................................................9
题型四：“
”或者“
”型.....................................................................13
题型五：“
”或“y=f [ g( x)]+kg ( x)+m”型.....................................15
题型六：二次镶嵌型因式分解..........................................................................................................................18
题型七：二次镶嵌型根的分布..........................................................................................................................22
题型八：类周期型的零点问题..........................................................................................................................25
题型九：高斯取整型的零点问题......................................................................................................................28
重难专题分层过关练..........................................................................................................................31
巩固过关...............................................................................................................................................................31
创新提升...............................................................................................................................................................37
一、解决镶嵌函数的零点问题
核心是先拆解 “镶嵌” 结构，明确内外层函数的关系。首先识别外层函数和内层函数（如
中，
为外层，
为内层），将镶嵌函数零点问题转化为 “外层函数零点→内
层函数方程解” 的两步问题。
先求外层函数
的所有解
；再分别求解内层方程
，
统计所有方程的解的总数（需注意函数定义域对解的限制）。
若涉及参数，需结合内层函数的单调性、最值等性质，分析每个方程
解的个数与参数的关系，
进而根据零点总数要求列不等式（组），求解参数范围。
二、解决类周期函数的零点问题
首先需明确其“放大/缩小”与“平移”特性：先判断函数是从左往右还是从右往左进行“放大/缩
小”，同时关注变换过程中是否伴随上下平移，这直接决定函数图像的延伸方向与位置。
分析零点时，先找出基础周期内的零点分布，再依据类周期变换规则，推导后续区间内的零点情况，
特别注意变换过程中是否存在函数值为0 的点（即零点是否因变换而保留或消失）。
若涉及参数求临界值，需结合函数图像的“切线”状态分析，通过求导确定函数在变换关键点的斜率，
避免因计算失误导致临界条件判断偏差，最终结合零点存在性定理统计零点个数，匹配题目要求求解。
题型一：“
与
”型无参数型
典例1-1．已知函数
，则函数
的零点个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【详解】求函数
的零点个数，即求方程
的不同实数根的个数，
如图，作出函数
的大致图象，
令
，则
，解得
，
，
．
当
时，
，则
，此时方程无解；
当
时，
，则
，此时方程有3 个不同实数根；
当
时，
，则
，此时方程有2 个不同实数根．
综上可知，函数
的零点个数为5．
故选：A．
典例1-2．已知函数
，则方程
实数根的个数为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．5
【答案】C
【详解】设
，则
，
若
，则
，解得
或
，
则
或
，
当
时，
，不合题意，
则
，
或
，
解得
，此时方程
仅一个根；
若
，则
，解得
或
，即
或
，
当
时，
或
，
方程
即
在
仅一个根，
方程
，即
，
，且
，
，两根均为负，合题意，
当
时 ，
，解得
或
，方程有两根，
综上，方程
的实根个数为6.
故选：C.
变式1-1．已知函数
，则方程
实数根的个数为（ ）
A．6
B．7
C．10
D．11
【答案】D
【详解】因为
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
；
当
时
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，又
；
作出函数
的图象，如图所示：
令
，则有
，
易得此时有4 个解，分别为
，
，
，
，
结合图象可得：
当
时，即
，此时有1 个解；
当
，即
时，有4 个解；
当
，即
有3 个解；
当
，即
有3 个解；
所以原方程共有
个解．
故选：D
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于令
，将题意转化为方程
的实数根个数，画出函
数图象，结合图象求解.
变式1-2．已知函数
，则函数
的零点个数为 .
【答案】7
【详解】函数
的零点个数即为方程
的根的个数，
令
，则
，
如图所示，
，
则
，
作出
的图像，如图所示，
，
则一共有7 个交点，所以方程有7 个根，
即函数零点个数为7，
故答案为：7
【点睛】方法点睛：嵌套函数的常用解决方法为设
，然后对函数图像二次利用（或者画两个），
将分别作为横坐标和纵坐标通过图像来解决根的相关问题.
题型二：“
与
”解析式含参型
典例2-1．已知函数
，若函数
有8 个零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】⑴ 当
，
时，
，对称轴为
，
所以
在
单调递增，函数图象如下：
令
，
，解得
或
，
即
或
，根据图象
有2 个解，
有1 个解，
所以此时
有3 个零点，不符合题意；
当
，
时，
，对称轴为
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，函数图像如下：
令
，
，解得
或
或
，
根据图象
有2 个解，
有3 个解，
又
有8 个零点，所以
要有3 个解，
即
，解得
，
故选：D.
典例2-2．已知函数
，若函数
所有零点的乘积为1，则实数
的取值范围
是 .
【答案】
【详解】当
时，可得
；
当
时，可得
，当且仅当
时，等号成立，
即函数
有且仅有1 个零点1，
若函数
有零点，则
，
显然
，可得
，
假设方程
有根，可知方程
有两个不相等根，
设为
，且
，
则
，可得
，即
，
假设方程
有根，可知方程
有且仅有1 个根，设为
，
结合题意可知：方程
有根，方程
无根，
即
与
无交点，与
有2 个交点，
结合图象可知：
或
，解得
或
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
变式2-1．已知函数
，若
有6 个零点，则
的取值范
围为
【答案】
【详解】由题可得函数图象，当
或
时，
有两个解；
当
时，
有4 个解；当
时，
有3 个解；
当
时，
有1 个解；因为
最多有两个解.
因此，要使
有6 个零点，则
有两个解，设为
，
.则存在下列几种情况：
有2 个解，
有4 个解，即
或
，
，显然
，则此时应满足
，即
，解得
，
有3 个解，
有3 个解，设
即
，
，
则应满足
，
.综上所述，
的取值范围为
.
故答案为：
变式2-2．已知函数
，若
有6 个零点，则
的取值范
围为 .
【答案】
【详解】
由题可得函数图象，
当
或
时，
有两个解；
当
时，
有4 个解；
当
时，
有3 个解；
当
时，
有1 个解；
因为
最多有两个解.
因此，要使
有6 个零点，则
有两个解，
设为
，则存在下列几种情况：
有2 个解，
有4 个解，即
或
，显然
，
则此时应满足
，即
，解得
，
有3 个解，
有3 个解，设
即
，
则应满足
，无解，舍去，
综上所述，
的取值范围为
.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
题型三：“
与
”零点方程含参型
典例3-1．已知函数
为
上的奇函数，当
时，
，若函数
满足
，且
有10 个不同的解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】∵函数
为
上的奇函数，当
时
，
令
，则
，则
，
又
∴
，则
，
设
，作出函数
的图象，由图知：
对于A，当
时，函数
没有实数根，不满足题意；
对于B，当
时，函数
没有实数根，不满足题意；
对于C，当
时，函数
有六个根
，
其中
,
，
，
，
，
；
作出
与
、
、
、
、
与
的图象，如图，
显然这6 个函数与
恰有10 个交点，则
有10 个不同的解，故C 正确；
对于D，当
时，函数
有两个根
，其中
，
，
与选项C 同理可知
与
、
各有一个交点，
则
只有2 个不同的解，不满足题意，故D 错误．
故选：C．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解．
典例3-2．已知函数
的定义域为
，对于
，满足
，且当
时，
.若函数
恰有两个不同的零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
，
，则
，
∵
在
上单调递减，∴
在
上单调递减，
∵
，满足
，∴
在
上单调递增，
∵
，
，
，
，
，
由
得，
，
令
，则
，令
则
，
图象如图所示，结合图象得
中需提供一个根，且该根位于
之间，故
，
又∵
，∴
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把问题转化为
中需提供一个根，且该根位于
之
间，数形结合可求出实数
的取值范围.
变式3-1．（多选）已知函数
，
，则下列结论正
确的是（ ）
A．当
时，
有1 个零点
B．当
时，
有4 个零点
C．
可能有6 个零点
D．当
的零点个数最多时，
的取值范围为
【答案】BCD
【详解】A：
的零点个数等价于关于
的方程
的解的个数，令
，函数
，
的图象如图，
当
时，
无解；当
时，
的解为，则
有两个解，故A 错误；
B：当
时，设方程
的解为，
，易得
，
，
则
，
均有两个根，所以
有
个解，即
有
个解，故B 正确.
C：当
时，易得方程
的解为
，
，，则
，
，
，均有
个解，所
以
有
个解，即
有
个解，故C 正确.
D：当
时，设方程
的解为
，
，
，易得
，
，
，
则
，
均有
个解，
最多有
个解，所以
最多有个解，
当
有
个解时，则
，即
，
所以当
的解最多时，
的取值范围为
，故D 正确.
故选：BCD.
变式3-2．已知函数
，
，若方程
有4 个实数根，求实数
的取值范围.
【答案】
【详解】令
，则原方程化为
，因为方程
有4 个实数根，
且
，故当
时，方程
有2 个不同的解.
则原方程有4 个解等价于函数
，
与
的图象有2 个不同的交点，因为
时，
，当且仅当
，即
时等号成立，
故可作出函数
，
的图象如下图所示：
由图象可知，当
时，函数
，
的图象与
的图象有2 个不同的交点.
故实数
的范围为
.
题型四：“
”或者“
”型
典例4-1．设函数
．若方程
有解，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
，
【答案】A
【详解】设
，则
，则方程
等价为
，即
，
，即
，
在
时有解，
即
，
在
时成立，
设
，
当
时，
取得最大值
，
，即
，
故选：
．
变式4-1．（多选）若
和
都是
上的函数，且方程
有实数解，则
的解析式
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】设方程
有实数解
，则
，
因为
和
都是
上的函数，所以有
，
令
，则有
，从而可知方程
至少有一个解是，
对于A，令
，此方程有解，故A 符合题意；
对于B，令
，此方程无解，故B 不符合题意；
对于C，令
，此方程有解，故C 符合题意；
对于D，令
，此方程有解，故D 符合题意．
故选：ACD.
变式4-2．（多选）若
和
都是R 上的函数，且
有实数解，则
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】设
有实数解
，则
，
因为
和
都是R 上的函数，
所以有
，再令
，
则有
，从而可知
至少有一个解是，
对于A，由
，此方程有解，故A 正确；
对于B，由
，此方程无解，故B 错误；
对于C，由
，此方程有解，故C 正确；
对于D，由
，此方程有解，故D 正确；
故选：ACD.
题型五：“
”或“y=f [ g( x)]+kg ( x)+m”型
典例5-1．已知函数
，则函数
的零点个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【详解】当
时，易知
单调递增，则
；
当
时，
，则
，
令
，解得
，令
，解得
，
当
时，
，令
，
令
，由函数
与函数
在
上单调递增，
则函数
在
上单调递增，所以
，
故函数
在
上无零点；
当
时，
，
令
，则
，化简可得
，
，由对称轴
，
当
时，
，当
时，
，
所以方程
在
有两个不相等的实数根，
故函数
在
上有两个零点；
当
时，
，令
，
整理可得
，易知该函数在
上单调递减，则
，
可得
，由函数
与函数
在
上单调递增，
则
在
上单调递增，所以
，
故
在
上无零点.
综上所述，函数
在其定义域内有两个零点.
故选：C.
典例5-2．已知函数
，
，则
，若方程
的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是 .
【答案】 1
【详解】
，则
令
，则
的实根个数即
函数
与函数
图像交点个数
当
时，函数
与函数
图像有1 个交点，且交点横坐标大于1，
即
，函数
与函数
有2 个交点，
则方程
有两根，且两根和为2，不符合题意；
当
时，函数
与函数
图像有2 个交点，
即
或
，则
或
或
，
则方程
有3 个根，且3 根和为3，不符合题意；
当
时，函数
与函数
图像有2 个交点，
即
或
，
函数
与函数
无交点，不符合题意；
函数
与函数
有4 个交点，且4 个交点横坐标之和为4，
则方程
有4 个根，且4 根和为4，符合题意
综上，实数m 的取值范围是
故答案为：1；
变式5-1．已知函数
若方程
有三个不等的实根，则实数
的取值范围是
；函数
的零点个数是 .
【答案】
【详解】作出
大致图象如下：
若方程
有三个不等的实根，由图象可得实数
的取值范围是
；
令
，则
，可得
，
且
，
结合图象可知方程
的一个根
，另一个根
，
当
时，
与
的图象有1 个交点，所以
有1 个实根，
当
时，
与
的图象有3 个交点，所以
有3 个实根，
综上所述：
共有4 个零点.
故答案为：
；4.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，
见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确
把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
变式5-2．已知函数
方程
有两个不同的根，分别是
则
（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
【答案】B
【详解】由题意得：
为R 上的增函数，且
当
时，
，
，
当
时，
，
，
方程
有两个不同的根等价于函数
与
的图象有两个交点，
作出函数
与
的图象如下图所示：
由图可知
与
图象关于
对称，
则
两点关于
对称，中点
在
图象上，
由
，解得：
.
所以
.
故选：B
题型六：二次镶嵌型因式分解
典例6-1．已知函数
，
，若关于x 的方程
有19 个不等实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】原方程可化为
，
而
的解为
或
或
，若
，则
或
或，
由图象可知此时有10 个实数解．当
时，显然
无解，
当
时，
，此时有3 个实数解，不合题意．
当
时，显然
有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然
．
当
时，
有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意．
当
时，
有三解，此时对于满足
的解，易知其满足
，
故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当
时，
注意到
，且
，
故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意.
故选：B
典例6-2．已知函数
且
在R 上为单调函数.若方程
有4 个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可知：
为单调函数，
当
时，
单调递减;
故当
时，
也是单调递减，故
要确保
在R 上单调递减，则
，
解得：
，
所以满足
在R 上单调递减时，实数a 的取值范围为
当
时，
，
又
在
上单调递减，
，
所以
，
即
在
上的值域为
令
，则
或3，
即
或
，
要使得
有4 个不同的实数解，
则
，
解得：
综上，实数a 的取值范围为：
，即
故选：C.
变式6-1．已知函数
若方程
有且仅有5 个不同实数根，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意作出函数
的图像，
由
，令
，有
，
即
，化简得
，
解得
或
，若方程
有且仅有5 个不同实数根，
所以
或
，解得
或
，
即
，所以
，
故答案为：
.
变式6-2．已知函数
.
(1)判断并用定义证明
在
上的单调性；
(2)若函数
恰有4 个零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
在
上单调递增，证明见解析
(2)
【详解】（1）
在
上单调递增.
证明如下：当
时，
.设
，
则
.
因为
，所以
，
，
所以
，即
，
所以
在
上单调递增.
（2）
的图象如图所示.
因为函数
恰有4 个零点，
所以方程
恰有4 个解.
即
或
共有4 个解.
由图知
，且
或
或
，
解得
或
或
，
即实数
的取值范围为
.
【点睛】关键点点睛：，第2 小问的解题关键为：将函数有4 个零点转化为方程
有4 个实根，进一步转化为函数
的图象与直线
及
有4 个交点，数形结合求解即可.
题型七：二次镶嵌型根的分布
典例7-1．已知函数
，
，若关于
的方程
有3 个不同的
实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意，作出函数
的大致图象，如图．
令
，由图可知，当
时，关于
的方程
有2 个不同的实数根；
当
时，关于
的方程
无实数根；
当
或
时，关于
的方程
只有1 个实数根．
因为关于
的方程
有3 个不同实数根，
所以关于
的方程
的一个根在
内，
另一个根在
内，或一个根为0，另一个根在
内．
当
为方程
的根时，
，且方程的另一根为
．
当
时，方程的另一个根为
，不符合题意；
当
时，方程的另一个根为
，不符合题意．
当
为方程
的根时，有
，则
或
．
当
时，方程的另一个根为
，不符合题意；
当
时，方程的另一个根为
，不符合题意．
所以关于
的方程
的一个根在
内，另一个根在
内．
令
，
则
即
解得
．
综上所述，实数的取值范围是
．
故选：B.
变式7-1．已知
设
，
，若关于
的不等式
恰有一
个整数解，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】作出函数
的图像，如图所示，
有
，
，
当
时，令
，即
，
设
为方程
的两个根，且
，
由于
，则有
，
当
时，
，则必有
，
则
必包含在不等式的解中，由图可知
的解为
，
此时不等式的解中有2 个整数，不符合题意，
当
时，
，
由图象可知，当
时，对应的
值唯一，
因为
的解恰有一个整数，所以这个整数为
，
则
，当
时，
有最小值为
，即
有最大值为，
当
时，
，此时
，
即
；
故答案为：
.
变式7-2．设函数
，若关于
的函数
恰好有5 个零点，
则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】作出函数
的图象，如图，
令
，则方程
化为
，
由韦达定理可知该方程的两根之积为3，
要使关于
的方程
恰好有有5 个零点，
则方程
有5 个不同的实数解，
结合图象可知，
，
，此时方程
有4 个不同的实数解，不合题意；
，
，此时方程
有6 个不同的实数解，不合题意；
当
，
，虽说满足方程
有5 个不同的实数解，但是
无解；
所以
，
，
此时方程
在
和
内各有一个实数根，
令
，则
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
题型八：类周期型的零点问题
典例8-1．已知函数
若函数
在区间
内有3 个零点，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【详解】当
时，
；当
时，
；
又
时，
，所以可作出函数在
的图像如下：
函数
在区间
内有3 个零点，
所以函数
与
在区间
内有3 个不同交点，
由图像可得
或
,即
或
.
故选：C.
典例8-2．定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则函数
在
上的零点个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【详解】当
时，
，且
，
则当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
可作出
与
的图像：
函数
的零点即
与
的交点，故在
上的零点个数为7.
故选：C
变式8-1．已知函数
，若方程
在区间
有三个不等实根，实
数
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设
，结合图象可知要使方程
在区间
有3 个不等实根，则直线
应位于与
之间或直线
的位置，再计算即可得实数
的取值范围．
【详解】解：由
，
作出函数
在区间
上的图象，如图所示，
设
，由图象可知要使方程
在区间
有3 个不等实根，
则直线
应位于与
之间或直线
的位置，
所以实数
的取值范围为
或
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查分段函数，函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
变式8-2．定义在R 上的函数
满足
，且当
时，
．若对任意
，都有
，则t 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为当
时，
，所以
，
因为
，当
时，即
时，
由
，所以
，
同理可得
依此类推，作出函数
的图象，如图所示：
由图象知：当
时，令
，则
，
对任意
，都有
，则
故的取值范围为
，
故答案为：
题型九：高斯取整型的零点问题
典例9-1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数
称为
高斯函数，其中
，
表示不超过x 的最大整数，例如：
，
，则方程
的所有大于零的解之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，使
，则
，
于是
，
，
若k 为奇数，则
，
，
，则
，解得
，
或
，
当
时，
，
，
，
，解得
，
当
时，
，
，
，
，解得
；
若k 为偶数，则
，则
，
，则
，解得
，
或
，
当
时，
，
，
，
，解得
，
当
时，
，
，
，
，解得
，
所以所有大于零的解之和为
.
故选：D
【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后
根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但
是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，
以不变应万变才是制胜法宝.
典例9-2．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设
，用符号
表示不大于
的最大整数，
如
，
，称函数
为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看
到它的身影，则函数
的零点有 个.
【答案】
【详解】由题意
，则
，
所以
，
令
，则
，所以
，
由
可得
，解得
或
，
由
可得
，解得
，
所以，
或
，
当
时，
，此时，
，
由
可得
或
（舍去）；
当
时，
，此时，
，
由
可得
或
（舍去）；
又因为
，
综上所述，函数
的零点有个.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据
，得出关于
的范围，再结合
的范围得出
的可能取值，结合代数法求解即可.
变式9-1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛
顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设
，用
表示不超过
的最大整数，
则
称为高斯函数，如：
．若函数
有且仅有2 个零点，则实
数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】由
，得
，因为
，所以
，
令
，
，画出两图象如图所示，
由图象结合题意得
，即
，
即
的取值范围是
.
故答案为：
变式9-2．高斯是德国天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，
如高斯函数
，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[x].如
记函数
，若函数
有两个零点，则实
数a 的取值范围为 .
【答案】
【详解】由
，得
，
在同一坐标系中画出
与
的图象，
因为
有两个零点，故需
与
的图象有两交点，
由图象知，当
时，函数
与
的图象有两个交点，
即函数
有两个零点，
故实数a 的取值范围为
,
故答案为：
巩固过关
1．享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，
被称为“高斯函数”，其
中
表示不超过
的最大整数，例如：
，设
为函数
的
零点，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【详解】因为函数
在
上单调递增，且
，
，
则存在唯一零点
，使得
，由高斯函数的定义可知，
.
故选：B.
2．已知函数
，若函数
恰有6 个零点，则m 的取值范围为
．
【答案】
【详解】令
，则
恰有
个零点，
等价于
有三个不同的解
，
，
，
且对应
有
个实数根，
由函数
的图象，如图，
所以
，
，
要满足
有
个实数根，则需
即
，解得
．
故m 的取值范围为
．
故答案为：
．
3．高斯函数也称取整函数，记作
，其中
是指不超过
的最大整数，例如
，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.若函数
，则函数
的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】令
，则
，即
，
令
，
，则
与
的交点个数即为
的零点个数，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
……
注意到，
，
，
所以可作出
与
的图像如图，
.
所以
与
有两个交点，故
的零点个数为
.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是对
进行分类讨论，从而将
具体化，得到
的解析式，从而
作出图像得解.
4．（多选）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设
，用
表示不超过
的
最大整数，则
称为高斯函数，例如：
，
.已知函数
，
，则
关于函数
的叙述中正确的是（ ）
A．
B．函数
的值域为
C．
在R 上为增函数
D．函数
在区间
有12 个零点
【答案】AB
【详解】
画出
的图象，
根据“高斯函数”的定义
，故 A 正确；
由图象可得函数
的值域为
，故B 正确；
由图象可得
在R 上不是增函数，故C 错误；
由函数
在区间
有13 个零点，故D 错误.
故选：AB.
5．已知函数
，若函数
有3 个零点，则实数a 的取值范围为
．
【答案】
或
【详解】当
时，由
得
，解得
或
，
当
时，由
得
，解得
（舍），
作出
的图象，如图，
由
得
或
，
即
或
，
当
，即
时，
无实根，此时
，
最多两个实根，与题意不符；
当
，即
时，
有一个实根，
有两个实根，符合题意；
当
，即
时，
有两个实根，此时
，
少有两个实根，
不符合题意；
当
，即
时，
有三个实根，
至少有一个实根，不符合题意：
当
，即
时，
有两个实根，此时
，
有一个实根，
符合题意：
当
，即
时，
有两个零点，
有一个零点，符合题意
综上所述，
有3 个零点时，
或
.
【点睛】方法点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解；
（3）转化为两熟悉的函数图象的问题．
6．已知
，则函数
的零点个数是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】A
【详解】函数
的零点，
即方程
和
的根，
函数
的图象如下图所示：
由图可得方程
和
共有5 个根，
即函数
有5 个零点，
故选：A
7．（多选）已知函数
，若关于
的方程
有4 个不同的
实根，则实数
可能的取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】由
得
或
，
根据二次函数和指数函数图象得到
图象，当
时，
，
并在同一坐标系中画出
，与图象有
个交点，
要使得关于
的方程
有4 个不同的实根，则直线
与图象有
个交点，
且两条直线不重合，
根据图象可知
且
，解得
且
，所以ACD 符合，
故选：ACD.
8．定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，当
时，
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由函数
满足
，且当
时，
当
时，可得
；
当
时，可得
，
所以在区间
上，可得
，
作函数
的图象，如图所示，
所以当
时，
，
故选：B.
9．已知函数
若函数
恰有5 个零点，则实数m 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，则
，
故
或
，
令
，则
或
，故
或
，
故
有3 个不同的解，且解异于
.
故
有一个解且
有两个解且解不为
，
故
，且
，
，解得
.
故选：B.
【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点问题，应该利用换元法转化内外两个方程的解的问题，先考虑外方程
的解，再考虑内方程的解，结合总的解的个数，考虑内方程中参数的变化形式即可.
10．已知函数
，若函数
恰有5 个零点，则实数m
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由函数
恰有5 个零点，
得方程
有5 个根，
在平面直角坐标系中作出函数
的图象，
令
，观察图象知，当
时，直线
与
的图象有3 个交点，
当
时，直线
与
的图象有2 个交点，
令
，
由函数
有5 个零点，得
有两个不等实根
，且
，
，
因此
或
，解得
或
，
所以实数m 的取值范围是
.
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
创新提升
1．（多选）设
，用
表示不超过x 的最大整数，例如，
．已知函数
，下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．当
时，
D．方程
在实数范围内有9 个不同的实数根
【答案】BCD
【详解】由于
，
所以
，
由此画出函数图象如下图所示，
由图可知，
是非奇非偶函数，A 选项错误；
是周期为1 的周期函数，B 选项正确；
当
时，
，C 选项正确；
方程
在实数范围内的实数根的个数可以转化为
与
交点的个数，
如图可得方程
在实数范围内有9 个不同的实数根，D 选项正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：解题的主要方法是图象法数形结合得出函数的奇偶性及根的个数.
2．已知函数
，则
；若
恰有三个不同的
零点
，
，
，则
．
【答案】
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
设
，
函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
当
时，
，
又
，
所以函数
为偶函数，
所以函数
图象关于
轴对称，故函数
图象关于直线
对称，
当
时，
，
，
令
可得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
又
，
，
当
时，
，当
，且
时，
，
所以函数
的图象如下：
设
，由图象可得
当
时，方程
的根为
，
当
时，方程
有两个根，
当
时，方程
有四个根，
当
或
时，方程
没有根，
因为函数
有个不同的零点
，
所以方程
有个不同的根
，
所以方程
有两个根
或
，
不妨设
，
则
的根为
，
，
方程
的根为
，
，
，
，
所以
.
故答案为：
；
.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析函数
的性质，作出函数的图象，结合图象分析
的解与的关系，由此将条件转化为方程
的解为
或
，再结合图
象求方程的根，由此可得结论.
3．（多选）已知函数
函数
，则（ ）
A．
B．
C．若
恒成立，则实数
的取值范围是
D．若
，则函数
恰好有5 个零点，且5 个零点之和的取值范围是
【答案】ACD
【详解】AB 选项，画出
的图象，如下：
不妨设
，则
，
要想使得
，只需考虑
，
令
，解得
，
令
，解得
，
且
，故不存在
，使得
，B 错误，A 正确；
C 选项，
，
恒成立，即
，
恒成立，
由函数图象可知
，要想
恒成立，
需满足
，解得
，
则实数
的取值范围是
，C 正确；
D 选项，若
，令
，
即
，故
或
，
显然
对应两个解，
，令
得
，
对应三个解，即
，
且
，
，
故
，
则函数
恰好有5 个零点，且5 个零点之和的取值范围是
故选：ACD
【点睛】方法点睛：函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代
数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数
函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点
之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
4．已知函数
，则函数
的零点个数不可能为（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】A
【详解】令
得
，
令
，则
，
其中
，
当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
当
时，
为单调递增函数，
，
令
得
，令
得
，
故当
时，
有三个解，
分别为
，
，
，
其中
，画出图象如下：
令
，若
，则
有0 个零点，
若
，则
有1 个零点，
若
，则
有两个零点，
观察图象，
与
均有两个零点，
综上，
的零点个数可能为
，
可能为
，可能为
，
当
时，
有2 个解，分别为
，
，
观察图象，
与
均有两个零点，
此时
共有4 个零点，
综上，不可能为3 个零点.
故选：A
5．设
，已知函数
，
，若方程
有两个实数解，则实
数
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为
,
所以
，即
，
整理得
．
因为方程
有两个实数解，所以方程
有两个实数解.
令
，
则函数
与
的图象有两个交点.
①当
时，
，由图象可知，两函数有4 个交点，故
不合题意；
②当
时，易知
，且
，
令
,得
,
，令
,
得
,
若
与
的图象有两个交点，需满足
，解得
．
③当
时，易知
．
由②的分析可得，若
与
的图象有两交点，需满足
解得
．
综上，实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
