文档文本内容
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11.1.2 构成空间几何体的基本元素
课程标准
学习目标
（1）借助长方体，认识空间点、直线、平面的位
置关系；
（2）能用符号语言和图形语言描述空间点、直
线、平面之间的位置关系；
（3）理解直线与平面垂直的含义，了解点面距、
线面距、面面距的定义.
（1）以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本
元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关
系；
（2）初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平
面与平面间的位置关系；
（3）理解平面的无限延展性，学会判断平面的方
法.
（4）掌握文字、符号、图形语言之间的转化。
知识点01 空间中的点、线、面
1、构成几何体的基本元素
（1）构成空间几何体的基本元素：点、线、面。
（2）从运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体。
2、平面
（1）平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的
2
（2）平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；
（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分。
（3）平面的画法：
①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2 倍；
②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。
（4）平面的表示方法：
①一个希腊字母：如
，
，
等；
②两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；
③四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点。
【即学即练1】（23-24 高一下·全国·专题练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．三角形是平面图形 B．四边形是平面图形
C．四边相等的四边形是平面图形 D．所有的平面都是无限延展的
知识点02 空间中点、线、面的位置关系
1、点与直线、点与平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
点
在直线上
点
不在直线上
点
在平面
上
点
不在平面
上
2、直线与直线的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
两直线平行
两直线异面
且
不平行
两直线相交
3、直线与平面的位置关系
位置关系
直线a 在平面α 内
直线a 在平面α 外
直线a 与平面α 相交
直线a 与平面α 平行
3
公共点
无数个公共点
一个公共点
没有公共点
符号表示
a⊂α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
4、两个平面的位置关系
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示
α∥β
α∩β＝l
图形表示
【即学即练2】（23-24 高一下·全国·课后作业）在正方体
中，判断下列直线、平面间的位
置关系：
①
与
； ②
与
；
③
与平面
； ④
与平面
；
⑤平面
与平面
； ⑥平面
与平面
.
知识点03 直线与平面垂直
1、线面垂直定义
一般地，如果直线与平面
相交于一点
，且对平面
内任意一条过点
的直线
，都有
，则称
直线与平面
垂直（或是平面
的一条垂线，
是直线的一个垂面），记作
，其中
为垂足。
2、点到平面的距离
给定空间一个平面
及一个点
，过点
可以作且只可以作平面
的一条垂线。如果记垂足为
，则称
为
在平面
内的射影（也称为投影），线段
为平面
的垂线段，
的长为点
到平面
的距
4
离。
3、线面、面面之间的距离
直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；
当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离。
【即学即练3】（23-24 高二上·山东日照·月考）同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平
面一定存在直线与笔所在的直线
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直
【题型一：空间几何体的基本元素】
例1．（23-24 高一下·全国·课后作业）下列不属于构成空间几何体的基本元素的是（ ）
A．点
B．线段
C．曲面
D．多边形（不包括内部的点）
变式1-1．（23-24 高一下·全国·课后作业）指出构成如图所示的各几何体的基本元素.
变式1-2．（23-24 高一下·湖北宜昌·练习）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正
四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体（Platonic solids）．某些病毒，如疱疹病毒
就拥有正二十面体的外壳．正二十面体是由20 个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数
棱数+面数=2，则正二十面体的顶点的个数为（ ）
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A．30
B．20
C．12
D．10
变式1-3．（22-23 高三上·甘肃张掖·月考）碳60（
）是一种非金属单质，它是由60 个碳原子构成的分
子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的
凸多面体，共32 个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为 .
【方法技巧与总结】
构成空间几何体的基本元素：点、线、面，其中线有直线（段）和曲线（段）之分，面有平面（部分）和
曲面（部分）之分。
【题型二：三种语言之间的转化】
例2．（22-23 高一下·北京·月考）“点
在直线
上，
在平面
内”可表示为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
变式2-1．（22-23 高一下·新疆·月考）下列关于点、线和面的关系表示错误的是（ ）
A．点
平面
B．直线
平面
C．直线
平面
D．平面
平面
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变式2-2．（22-23 高一下·山西晋中·月考）如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
变式2-3．（23-24 高一下·全国·课后作业）用符号语言表示下列语句.
（1）三个平面
交于一点
，且平面
与平面
交于直线
，平面
与平面
交于直线
，平面
与平面
交于直线
；
（2）平面
与平面
相交于直线
，平面
与平面
相交于直线
.
【方法技巧与总结】
解决几何问题，三种语言之间的相互转化是一种基本技能。要注意符号语言的意义，如点在直线、点在平
面之间的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面之间的位置关系只能用“⊂”和“⊄”。用图形语言
表示点、直线、平面之间的位置关系时，要注意实现和虚线的区别。
【题型三：平面分空间区域数量】
例3．（23-24 高一下·全国·月考）空间两个平面最多将空间分成 部分.（填数字）
变式3-1．（22-23 高二上·上海浦东新·月考）正方体的6 个面无限延展后把空间分成 个部分
变式3-2．（2023·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成
个部分，则
不可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-3．（23-24 高二上·四川乐山·月考）三个平面将空间分成7 个部分的示意图是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
1、两个平面分空间有两种情形：
（1）当两个平面平行时，将空间分成三部分；（2）当两个平面相交时，将空间分成四部分；
2、三个平面分空间有五种情形：
（1）当三个平面互相平行时，将空间分成四部分；（2）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将
空间分成六部分；（3）当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分；（4）当三个平面相交于三
条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分；（5）当三个平面相交于三条直线，且三条交线相
交于同一点时，将空间分成八部分。
【题型四：空间点、线、面的位置关系】
例4．（23-24 高一下·全国·课后作业）（多选）关于直线与平面，下列说法中，正确的是（ ）
A．若一个平面内的任何直线都与另一个平面无公共点，则这两个平面平行
B．过平面外一点有且仅有一个平面和已知平面平行
C．过平面外两点不能作平面与已知平面平行
D．若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的任何平面都与已知平面平行
变式4-1．（23-24 高一下·湖南常德·期中）设
，
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列
结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
是异面直线
D．若
，则
或
，
是异面直线
变式4-2．（23-24 高一下·云南大理·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线上有无数个点不在平面
内，则
B．若直线与平面
平行，则与平面
内的任意一条直线都平行
C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D．若直线与平面
平行，则与平面
内的任意一条直线都没有公共点
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变式4-3．（23-24 高一下·安徽芜湖·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若直线与平面
不平行，则与
相交
B．若直线上有两个点到平面
的距离相等，则
C．经过两条平行直线有且仅有一个平面
D．如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行
【方法技巧与总结】
判断点、线、面的位置关系的方法：对长方体中的点、线、面的位置关系进行分析时，可通过制作几何模
型或利用身边的实际物体来帮助理解，以具体形象的实物来辅助抽象思维，让直观感知促进空间想象能力
的提升。
【题型五：异面直线的概念及辨析】
例5．（22-23 高一下·陕西安康·期末）若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是（
）
A．异面或平行
B．异面或相交
C．异面
D．相交、平行或异面
变式5-1．（23-24 高一下·河南郑州·期中）如果两条直线
和
没有公共点，那么这两条直线是（ ）
A．平行
B．平行或是异面直线
C．是异面直线
D．共面
变式5-2．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）下列说法正确的是（ ）
A．空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面
B．若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面
C．和两条异面直线都相交的两直线是异面直线
D．若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面
变式5-3．（23-24 高一下·吉林长春·月考）（多选）已知
为不同的平面，
为不同的直线，则下列
说法错误的是（ ）
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A．若
，则
与
是异面直线
B．若
与
异面，
与异面，则
与异面
C．若
不同在平面
内，则
与
异面
D．若
不同在任何一个平面内，则
与
异面
【方法技巧与总结】
一般地，空间中的两条直线，可以既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面。对于异面直线可以找到
这样一种状态，其中一条直线在某一个平面内，而另一条直线恰好与这个平面仅有一个交点，并且该交点
绝不可能落在第一条直线上。这样发现两条直线时这样一种位置关系，那么就可以肯定地说，这两条直线
一定是“异面”关系。
【题型六：点、线、面的距离问题】
例6．（23-24 高一·全国·课后作业）棱长为2 的正方体
中，P 是平面
内一点，则
点P 到平面
的距离是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
变式6-1．（23-24 高一下·全国·练习）已知正方体
的棱长为1，则平面
和平面
的距离为 .
变式6-2．（23-24 高一下·全国·课后作业）线段AB 长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm 后记为CD，将
CD 沿铅垂线方向向下移动3 cm 后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm 后记为A′B′，依次连接构
成长方体ABCDA′B′C′D′.
（1）该长方体的高为 cm；
（2）平面A′B′BA 与平面CDD′C′间的距离为 cm；
（3）点A 到平面BCC′B′的距离为 cm.
变式6-3．（23-24 高一·全国·课后作业）如图，长方体
的棱
、
的长分别为
3、4、5，求下列距离：
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（1）点B 到平面A1B1C1D1的距离；
（2）直线
到平面
的距离．
【方法技巧与总结】
无论是点到平面的距离还是两个平面间的距离，都用到了“垂直”和“垂线段”。若点
到平面
的距离是
，则线段
是点
到平面
的垂线段；若平面
到平面
的距离为
，
则线段
是两个平面的垂线段。两平面的距离指两个平行平面之间的距离。还需注意，平面外一点到平
面的距离是该点到该平面内所有点的距离的最小值。
一、单选题
1．（22-23 高一下·全国·课后作业）下面说法中正确的是（ ）
A．任何一个平面图形都是一个平面
B．平静的太平洋面是平面
C．平面就是平行四边形
D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面
2．（23-24 高二上·北京·学业考试）在空间中，若两条直线
与
没有公共点，则a 与b（ ）
A．相交
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
3．（23-24 高一下·全国·专题练）在正方体
中，既与AB 共面也与
共面的棱的条数为
（ ）
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A．3
B．4
C．5
D．6
4．（22-23 高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（ ）
A．直线在平面内
B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面
5．（22-23 高一下·河南郑州·期中）如果直线
平面
，直线
平面
，且
，则
与
的位置关
系为（ ）
A．共面
B．平行
C．异面
D．平行或异面
6．（23-24 高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线b
B．若直线a∥平面α，直线a 与直线b 相交，则直线b 与平面α 相交
C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α
D．若直线a∥平面α，则直线a 与平面α 内的任意一条直线都无公共点
7．（23-24 高一下·全国·专题练习）下列命题中的真命题是（ ）
A．若点
，点
，则直线
与
相交
B．若
，
，则a 与b 必异面
C．若点
，点
，则直线
D．若
，
，则
8．（23-24 高一下·江苏·练习）已知正方体
棱长为
，则点
到平面
的距离为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（23-24 高一下·全国·专题练习）下列说法中，正确的有（ ）
A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B．如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交
C．过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行
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D．如果一条直线上有两点到平面的距离相等且不为0，那么这条直线和这个平面可能平行，也可能相交
10．（22-23 高一下·江苏南京·月考）设为直线，
，
是两个不同的平面，下列命题中错误的是
（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
三、填空题
11．（23-24 高二上·上海长宁·期末）“平面
经过直线
”用集合符号语言可表示为 ．
12．（23-24 高一下·重庆·期中）三个平面最多可以将空间分为 部分．
四、解答题
13．（23-24 高一下·全国·专题练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系.
（1）点
与直线
； （2）点
与直线
；
（3）点
与平面
； (4)点
与平面
；
14．（23-24 高一·全国·随堂练习）用符号和图形表示下列语句：
（1）
，
两点既在平面
内，又在平面
内，则直线
是平面
与平面
的交线；
（2）两条相交直线
和
都在平面
内；
（3）直线
在平面
内，直线
在平面
外，
与
相交于一点
．
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15．（23-24 高一下·福建福州·期中）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间
的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于
与多面体在
该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率
均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3 个面角，每个
面角是
，所以正四面体在各顶点的曲率为
，故其总曲率为
．
（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数
，证明：这类多面体的总曲率是常数．
