2.5.1 椭圆的标准方程
课程标准
学习目标
1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养
数学抽象素养
2.借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推
理、数学运算素养
1.重点：掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实
际问题.
2.重点：掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方
程:
3.难点：理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标
准方程解决相关问题.
知识点01 椭圆的定义
1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2.焦点：两个定点F1，F2.
3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4.半焦距：焦距的一半．
【即学即练1】（23-24 高二上·吉林·阶段练习）椭圆x
2
16 + y
2
25 =1的焦点为F1, F2, P为椭圆上一点，若
|P F1|=3，则|P F2|=（ ）
A．4
B．3
C．5
D．7
【即学即练2 】（2023 高二· 全国· 专题练习）如果点P( x , y)在运动过程中，总满足关系式
√( x + 4)
2+ y
2+√( x−4)
2+ y
2=10，那么点P 的轨迹为（ ）
A．线段
B．直线
C．椭圆
D．圆
知识点02 椭圆的标准方程
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
焦点
F1( －
c ，
0)
，
F 2( c ，
0)
F1(0
，－
c ) ，
F 2(0
，
c )
a，b，c 的关系
a2＝b2＋c2
【即学即练3】（23-24 高二上·河南南阳·阶段练习）焦点在x 轴上，中心为坐标原点，经过点(1, 3
2),
(0,−√3).则椭圆的标准方程为（ ）
A．x
2
4 + y
2
3 =1
B．x
2
2 + y
2
3 =1
C．x
2
4 −y
2
3 =1
D．x
2
4 + y
2=1
【即学即练4】（23-24 高二上·全国·课后作业）过点(3,−2)且与x
2
9 + y
2
4 =1有相同焦点的椭圆方程为
（ ）
A．x
2
15 + y
2
10 =1
B．x
2
225 + y
2
100 =1
C．x
2
10 + y
2
15 =1
D．x
2
100 + y
2
225 =1
难点：和差最值、取值范围问题
示例1：（23-24 高二上·山西太原·期中）已知椭圆C : x
2
9 + y
2
5 =1的左、右焦点分别为F1, F2，点M 在C 上，
点N 的坐标为(3,√5)，则|MN|+|M F1|的取值范围为（ ）
A．[√30,4 +√6]
B．[√30,6+√6]
C．[4+√6,6+√6]
D．[6+√6,9+√6]
【题型1：椭圆定义辨析】
例1．（23-24 高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆O1与圆O2内含，且圆心O1,O2不重合，动圆C与两圆相
切，则圆心C的轨迹为（ ）
A．直线
B．圆
C．双曲线
D．椭圆
变式1．（23-24 高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆x
2
9 + y
2
4 =1上有一点P 到右焦点的距离为4，则点P 到左
焦点的距离为（ ）
A．6
B．3
C．4
D．2
变式2．（23-24 高三下·湖南长沙·阶段练习）若复数z满足| z +2i|+| z−2i|=8，则复数z在复平面内所
对应点的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．圆
D．线段
变式3．（24-25 高二上·上海·随堂练习）已知P 是椭圆x
2
100 + y
2
36 =1上的点，F1、F2是椭圆的两个焦点．
若|P F1|=6，则|P F2|= ．
变式4．（23-24 高二上·北京·期中）椭圆4 x❑
2+9 y❑
2=36的焦点F1, F2的坐标为 ，若P为椭圆上
任意一点，则|P F1|+|P F2|=
.
变式5．（23-24 高二下·上海·阶段练习）已知点F1(−3,0), F2(3,0)，有|P F1|+|P F2|=6，则点P的轨迹
是
.
变式6．（多选）（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．方程x
2+ y
2−2 x + 4 y +6=0表示的曲线是圆
B．若两条直线平行，则它们的斜率相等
C．直线2 x−y +1=0的一个法向量的坐标是(−2,1)
D．平面内到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
变式7．（多选）（23-24 高二上·河南焦作·阶段练习）下列是真命题的是（ ）
A．已知定点F1(−1,0), F2(1,0)，则满足|P F1|+|P F2|=√2的点P的轨迹为椭圆
B．已知定点F1(−2,0), F2(2,0)，则满足|P F1|+|P F2|= 4的点P的轨迹为线段
C．到定点F1(−3,0), F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点P到定点F1(−4,0), F2(4,0)的距离的和等于点M (5,3)到定点F1(−4,0), F2(4,0)的距离的和，则
点P的轨迹为椭圆
【方法技巧与总结】
椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．
【题型2：椭圆标准方程的求解】
例2．（23-24 高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是F1(−3,0)，F2(3,0)，椭圆上的点P到两
焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．x
2
64 + y
2
28 =1
B．x
2
16 + y
2
7 =1
C．x
2
16 + y
2
9 =1
D．x
2
4 + y
2
3 =1
变式1．（23-24 高二上·四川巴中·期末）已知椭圆的焦点在x 轴上，a=2，c =1，则其标准方程为
（ ）
A．x
2
4 + y
2
3 =1
B．x
2
4 + y
2=1
C．x
2
2 + y
2=1
D．x
2
4 + y
2
2 =1
变式2．（22-23 高二上·湖北武汉·阶段练习）已知F1(0,−1)，F2(0,1)是椭圆C 的两个焦点，过F2且垂
直于y 轴的直线交C 于A，B 两点，且|AB|=3，则椭圆C 的标准方程为 ．
变式3．（24-25 高二上·上海·随堂练习）已知椭圆的两个焦点为F1(−√5,0)，F2(√5,0)，M 是椭圆上一
点，若⃗M F1⊥⃗M F2
，且|⃗M F1|⋅|⃗M F2|=8，则该椭圆的方程是 ．
变式4．（24-25 高二上·上海·单元测试）已知椭圆E：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的焦距为4，平行四边形ABCD
内接于椭圆E，且直线AB 与AD 的斜率之积为−1
2
，则椭圆E 的方程为 ．
变式5．（23-24 高二下·全国·课堂例题）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别为(−3,0)，(3,0)，经过点(0,4)；
(2)经过点P(−2√3,1),Q(√3,−2)两点．
(3)过(−3,2)且与x
2
9 + y
2
4 =1有相同的焦点；．
变式6．（23-24 高二下·全国·课后作业）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过P(−2√3,1),Q(√3,−2)两点.
(2)经过点(2，3)，且与椭圆9 x
2+ 4 y
2=36有共同的焦点；
变式7．（24-25 高二上·全国·课前预习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(−2,0)，(2,0)，并且经过点(
5
2 ,−3
2)．
变式8．（23-24 高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(−4,0),(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10；
(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过(
√6
3 ,√3)
和点(
2√2
3
,1)
．
【方法技巧与总结】
求椭圆方程有两种方法：
1.用定义法求椭圆的标准方程
先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：
①b2＝a2－c2；
②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；
③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.
2.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤
【题型3：椭圆定义的应用】
例3．（24-25 高二上·福建三明·阶段练习）已知方程x
2
2−m + y
2
m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的
取值范围是（ ）
A．(0,2)
B．(0,1)
C．(2,+∞)
D．(0,1)∪(1,2)
变式1．（24-25 高二上·江西·阶段练习）若方程
x
2
1+m +
y
2
2−m =1表示椭圆，则m 的取值范围为
（ ）
A．(−1,2)
B．(−2,1)
C．(−1, 3
2)∪(
3
2 ,2)
D．(−1, 1
2)∪(
1
2 ,2)
变式2．（23-24 高二上·云南昆明·阶段练习）方程x
2
4 +m +
y
2
2−m =1表示椭圆的充要条件是（ ）
A．−4<m<−1
B．m>−1
C．−4<m<2
D．−4<m<−1或−1<m<2
变式3．（24-25 高二上·江西·阶段练习）如果方程2 x
2+k y
2=k表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取
值范围是 .
变式4．（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）方程x
2
2−k +
y
2
k −1 =1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取
值范围是 .
变式5．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知α ∈(0,π )，椭圆C :
x
2
sinα +
y
2
cosα =1的焦点在x轴上，则C
的半焦距的取值范围是 ．
变式6．（24-25 高二上·江苏徐州·阶段练习）讨论方程√(x−3)
2+ y
2＋√(x +3)
2+ y
2=m
表示的曲线.
【方法技巧与总结】
把方程写成椭圆的标准方程形式，得到
形式，要想表示：
1.焦点在
轴上的椭圆，必须要满足
，解这个不等式就可求出实数k 的取值范围．
2.焦点在x 轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数k 的取值范围
【题型4：焦点三角形问题】
例4．（23-24 高二下·上海·期末）已知椭圆y
2
25 + x
2
16 =1的焦点为F1、F2，P为该椭圆上任意一点（异于长
轴端点），则△P F1 F2的周长为（ ）
A．10
B．13
C．14
D．16
变式1．（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆C : x
2
16 + y
2
9 =1的左､右焦点分别为F1､F2，点P在
椭圆C上.若∠F1 P F2=60
∘，则△F1 P F2
的面积为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．3√3
变式2．（23-24 高二上·吉林延边·期中）点P 是椭圆x
2
16 + y
2
7 =1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且
△P F1 F2的内切圆半径为1，当点P 在第一象限时，P 点的纵坐标为（ ）
A．2
B．7
3
C．5
3
D．9
4
变式3．（23-24 高二下·天津·阶段练习）设F1, F2是椭圆4 x
2
49 + y
2
6 =1的两个焦点，P是椭圆上的点，且
|P F1|:|P F2|= 4:3，则△P F1 F2
的面积为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
变式4．（23-24 高二上·江西九江·期末）已知椭圆x
2
9 + y
2
5 =1的左、右焦点分别为F和F
'，点P在椭圆上且
在x轴的上方．若线段PF的中点Q在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则△PF F
'的面积为
（ ）
A．√15
2
B．2√3
C．√15
D．√17
变式5．（24-25 高二上·上海·课堂例题）已知椭圆x
2
4 + y
2
3 =1的两个焦点为F1、F2，过F2的直线交椭圆于
M、N 两点，则△F1 MN的周长为 ．
变式6．（24-25 高二上·上海·课堂例题）（1）已知点P 在椭圆x
2
16 + y
2
4 =1上，F1与F2分别为左、右焦点.
若∠F1 P F2= 2π
3
，则△F1 P F2的面积为 .
（2）若F 为椭圆C：x
2
25 + y
2
16 =1的右焦点，A、B 为椭圆C 上两个动点，则△ABF的周长的最大值为
.
变式7．（24-25 高二上·江西·阶段练习）已知F1
，F2
分别是椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的左、右焦点，
P 为C 上一点.
(1)若|F1 F2|=2，点P 的坐标为(0,−3)，求椭圆C 的标准方程；
(2)若P F1⊥P F2，△F1 P F2的面积为4，求b 的值.
【方法技巧与总结】
求椭圆中焦点三角形面积的方法：
①根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③利用公式
＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式
＝×|F1F2|×|yP|(yP为P 点的纵坐标)求
得面积
④结论：S∆P F1 F2=b
2tan θ
2
【题型5：和差最值问题】
例5．（23-24 高二上·福建宁德·期末）已知P是椭圆x
2
16 + y
2
12 =1上一动点，Q是圆( x +2)
2+ y
2=1上一动点，
点M (5,4)，则| PQ|−| PM |的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
变式1．（23-24 高二上·江苏南京·期末）已知点 M在椭圆 x
2
4 + y
2
3 =1上，点 A(0,−3
4)，B (1,0)，则
|MA|+|MB|的最大值为（ ）
A．11
4
B．4
C．21
4
D．5
变式2．（23-24 高二上·吉林长春·期末）已知B是椭圆x
2
3 + y
2=1的上顶点，点M是椭圆上的任意一点，则
|MB|的最大值为（ ）
A．2
B．2√2
C．3√2
2
D．9
2
变式3．（23-24 高二上·江苏南通·阶段练习）P为椭圆C：x
2
4 + y
2=1上一点，A (1,0)，则|PA|最小值为
（ ）
A．1
B．1
2
C．2
3
D．√6
3
变式4．（2024 高二下·云南曲靖·学业考试）已知椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1的左、右焦点分别为F1, F2, P ,Q在椭
圆上且关于原点对称，则
1
|P F2|
+
4
|Q F2|的最大值与最小值之和为 ．
变式5．（23-24 高二上·全国·期末）已知椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1的左､右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任
意一点，N为圆E:(x−3)
2+( y −2)
2=1上任意一点，则|MN|−|M F1|的最小值为 .
变式6 ．（23-24 高二上· 江苏徐州· 期末）已知P 是椭圆C : y
2
16 + x
2
7 =1上的一个动点，点
A(1,−1),B(0,−3)，则PA + PB的最小值为 .
变式7．（2024 高二上·全国·专题练习）设实数x , y满足x
2
5 + y
2
4 =1,√x
2+ y
2−2 y +1+√x
2+ y
2−2 x +1的
最小值为 .
【方法技巧与总结】
总体理论依据：
1.线段公理——两点之间，线段最短。
2.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点
连线的垂直平分线
3.三角形两边之和大于第三边。
4.三角形两边之差小于第三边。
5.垂直线段最短
【题型6：轨迹方程问题】
例6．（24-25 高二上·江西·阶段练习）已知圆C1：(x +3)
2+ y
2=81和C2：(x−3)
2+ y
2=1，若动圆P 与这
两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M 的方程为（ ）
A．x
2
16 + y
2
7 =1
B．x
2
25 + y
2
9 =1
C．x
2
25 + y
2
16 =1
D．x
2
16 + y
2
9 =1
变式1．（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）动点M (x , y)与定点F (4,0)的距离和M到定直线l: x = 25
4
的
距离的比是常数4
5
，则动点M的轨迹方程是（ ）
A．x
2
25 + y
2
16 =1
B．x
2
25 + y
2
9 =1
C．x
2
16 + y
2
9 =1
D．x
2
16 + y
2
7 =1
变式2．（24-25 高二上·天津红桥·阶段练习）如图：已知圆 C :(x +1)²+ y ² =25内有一点 A (1,0)，Q 是
圆C 上的任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 相交点M ，当点Q 在圆C 上运动时，点M 的轨迹方程
为
变式3．（24-25 高二上·吉林长春·阶段练习）已知点A (−2,0)和点B (2,0)，P是动点，且直线AP与BP的
斜率之积等于−3
4
，则动点P的轨迹方程为 ．
变式4．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知⊙M : x
2+2 x + y
2−35=0，过点N (1,0)且斜率不为零的直
线l交⊙M于A，B两点，过点N作NC // AM交BM于C，则|CM|+|CN|= ；点C的轨迹方程为
．
变式5．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知过点A (−3,0)的直线与x =3相交于点C，过点B (3,0)的直线
与x =−3相交于点D，若直线CD 与圆x
2+ y
2=9相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为 ．
变式6．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知定点M (4,0), N (1,0)，动点P满足⃗MN ⋅⃗MP =6|⃗PN|.设点P
的轨迹为E，则轨迹E的方程为
.
变式7．（24-25 高二上·全国·课后作业）如图所示，Rt△ABC的顶点A (−2,0)，直角顶点B(0,−2√2)，
顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．
(1)求边BC 所在直线的方程；
(2)M 为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M 的方程；
(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程．
【方法技巧与总结】
解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法：
1.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．
若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
2.方程法：直接根据条件列方程化简即可。
3.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，
只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为
相关点法．
一、单选题
1．（24-25 高二上·湖南·阶段练习）若椭圆x
2
λ + y
2
5 =1的右焦点坐标为(2,0)，则λ的值为（ ）
A．1
B．1 或3
C．9
D．1 或9
2 ．（23-24 高二上· 江苏南京· 期末）已知方程
x
2
2−m + y
2
m =1表示椭圆，则实数m的取值范围是
（ ）
A．(0,2)
B．(0,1)
C．(2,+∞)
D．(0,1)∪(1,2)
3．（23-24 高二上·湖北孝感·阶段练习）已知椭圆x
2
9 + y
2
25 =1，则椭圆的焦点坐标为（ ）
A．(±3,0)
B．(± 4,0)
C．(0,± 4)
D．(0,±3)
4．（23-24 高二下·贵州六盘水·期中）设F1，F2分别为椭圆C：x
2
16 + y
2
4 =1的两个焦点，过F1且不与坐标
轴重合的直线l椭圆C 于A，B 两点，则△AB F2的周长为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
5．（23-24 高二下·北京·阶段练习）设P 是椭圆：x
2
3 + y
2=1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之
和为（ ）
A．2√2
B．2√3
C．2√5
D．4√2
6．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）已知a∈{3,6,7},b∈{2,4,5},则方程x
2
a
2 + y
2
b
2 =1可表示焦点在x轴上的
不同椭圆的个数为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
7．（24-25 高二上·全国·随堂练习）设P为椭圆x
2
4 + y
2
9 =1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则
|P F1|⋅|P F2|的最大值是（ ）
A．4
B．6
C．9
D．12
8．（23-24 高二下·湖北·开学考试）已知F1，F2是椭圆C : x
2+ y
2
4 =1的两个焦点，点M在C上，则
|M F1|⋅|M F2|的最大值为（ ）
A．1
B．4
C．9
D．6
二、多选题
9．（23-24 高二上·云南昆明·期末）设椭圆x
2
9 + y
2
3 =1的右焦点为F，直线y =m(0<m<√3)与椭圆交于
A，B 两点，则（ ）
A．| AF |+|BF |为定值B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C．当m= √3
2
时，△ABF为直角三角形
D．当m=1时，△ABF的面积为2√6
10．（23-24 高二上·福建漳州·阶段练习）已知椭圆C：x
2
25 + y
2
4 =1的两个焦点为F1，F2，P是C上任意一
点，则（ ）
A．|P F1|+|P F2|= 4
B．|F1 F2|=2√21
C．|P F1|≤5+√21
D．|P F1|⋅|P F2|≤25
11．（23-24 高二上·河南·阶段练习）已知F1
，F2
分别是椭圆M : x
2
9 + y
2
b
2 =1(0<b<3)的左、右焦点，点P
在M上，且|P F1|= 4，sin ∠F1 P F2= √15
4
，则b的值可能为（ ）
A．√5
B．2
C．√3
D．√2
三、填空题
12．（23-24 高二下·上海宝山·期末）设P 是椭圆x
2
4 + y
2=1第一象限部分上的一点，过P 分别向x 轴、y 轴
作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN 的面积的最大值为 .
13．（23-24 高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆x
2
a
2 + y
2
12 =1(a>2√3)的左、右焦点分别为F1
，F2
，若过
F1且斜率为3
4
的直线与椭圆在第一象限交于点P，且⃗P F2⋅⃗F2 F1=0，则a的值为 ．
14．（23-24 高二下·安徽六安·开学考试）在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC顶点A (−4,0)和C (4,0)，
顶点B在椭圆x
2
25 + y
2
9 =1上，则sin A +sinC
sin B
= ．
四、解答题
15．（23-24 高二下·上海·阶段练习）已知点P(1,0)
(1)若A是直线l:ax +by +c =0上任一点，求|PA|的最小值
(2)若B是圆C :(x−a)
2+( y −b)
2=r
2(r >0)上任一点，求|PB|的最小值
(3)若E是椭圆Γ : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上任一点，求|PE|的最小值
16．（21-22 高二下·全国·期末）已知椭圆C：x
2
4 + y
2=1的左焦点为F，点A 在C 上，过点A 作AB⊥x轴，
垂足为B，其中点B 异于点A，且⃗BD =2⃗BA.
(1)求动点D 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线l与C 交于M，N 两点，与动点D 的轨迹交于P，Q 两点，求|PQ|
2−4|MN|的最大值.
17．（23-24 高二上·江西·期末）已知点F (1,0)为椭圆C : x
2
a
2 + y
2
3 =1的焦点，过F 的直线l 交C 于A，B 两
点．
(1)求C 的方程；
(2)若D 为AB的中点．
①求D 的轨迹方程；
②求|DF|的最大值．
18．（21-22 高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知圆C : x
2+ y
2= 4．
(1)直线l 过点P(1,3)且与圆C 交于A、B 两点，若|AB|=2√3，求直线l 的方程；
(2)过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m，设m 与y 轴的交点为N，若向量⃗OQ =⃗OM +2⃗ON，求动点
Q 的轨迹方程．
19．（24-25 高二上·江西赣州·阶段练习）已知椭圆C : y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1
，F2
，
O为坐标原点，Q是C上一动点，|Q F1|+|Q F2|=2√5，△Q F1 F2
的周长为 2√5+ 4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：无论动点Q在C上如何运动，|⃗Q F1|⋅|⃗Q F2|+|⃗OQ|
2恒为一个常数.
