第二章 相交线与平行线压轴题专练
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一、与余角（补角）有关的压轴题
（
15
题）
二、与三角板旋转有关的压轴题（
15
题）
三、平行线的性质与判定（
29
题）
四、平行线的实际应用问题（
10
题）
五、平行线
+ 三角板旋转的综合问题（
1 6 题）
一、与余角（补角）有关的压轴题
1．已知：如图1，点
是直线
上一点，过点
作射线
，使
，过点
作射线
，
使
．如图2，
绕点
以每秒9°的速度顺时针旋转得
，同时射线
绕点
以每
秒3°的速度顺时针旋转得射线
，当射线
落在
的反向延长线上时，射线
和
同时停止，
在整个运动过程中，当
时，
的某一边平分
（
指不大于180°的角）．
【答案】t=2 或t=30 或t=54
【分析】本题分情况讨论，当OE' 平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'，用t 的式子表示∠MOE'，
O
MN
O
OE
1
5
EOM
EON
O
OA
90
AOM
EON
O
E ON
OA
O
OA
OA
OA
OA
E ON
t
E ON
A OM
A OM
∠A'OE'，求出t 的值，
当ON'平分∠A'OM，∠MON'=∠A'ON'，此时分为两种情况，
第一种情况：ON'没有旋转完360°，
第二种情况：ON'旋转完了360°．用t 的式子表示∠MON'，∠A'ON'，分别求出t 的值即可．
【详解】解：∵∠EOM=
∠EON，∠EOM+∠EON=180°
得：∠EOM=30° ，∠EON=150°
①OE' 平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'
∠MOE'=30+9t
∠A'OE'=60+3t-9t
∴30+9t=60+3t-9t
解得t=2，
②ON'平分∠A'OM，此时分为两种情况，
第一种情况：ON'没有旋转完360°，
∠MON'=∠A'ON'
∠MON'=9t-180
∠A'ON'=90+(9t-180)-3t
∴9t-180=90+(9t-180)-3t
解得t=30，
第二种情况：ON'旋转完了360°
1
5
∠MON'=∠A'ON'
∠MON'=180-9t+360，
∠A'ON'=180-(3t-90)-(180-9t+360)
180-9t+360=180-(3t-90)-(180-9t+360)
解得t=54，
故答案为：t=3 或t=30 或t=54
【点睛】此题主要考查角的和差，角平分线的性质与一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等
量关系求解.
2．直观想象，逻辑推理
已知点O 为直线AB 上一点．
(1)如图，过点O 作射线OC，使
，求
与
的度数；
(2)如图，射线OC 为
内部任意一条射线，射线OD、OE 分别是
、
的角平分线，求
的度数，并写出简要的推理过程；
:
3: 2
AOC
BOC
AOC
BOC
AOB
AOC
BOC
DOE
(3)写出上图中所有互余的角和互补的角．
【答案】(1)∠AOC=108°，∠BOC=72°；
(2)90°；过程见详解；
(3)互余的角为：∠AOD 和∠COE，∠AOD 和∠EOB，∠DOC 和∠COE，∠DOC 和∠EOB；互补的角为：
∠AOD 和∠DOB，∠DOC 和∠DOB，∠AOC 和∠BOC，∠BOE 和∠AOE，∠COE 和∠AOE；
【分析】（1）设∠AOC=3x，∠BOC=2x，列方程求解即可；
（2）根据角平分线的定义，求∠DOC 和∠COE 的和即可；
（3）根据余角和补角的定义，等角的余角（补角）相等，结合图形解答；
【详解】（1）解：设∠AOC=3x，∠BOC=2x，由图可得：3x＋2x=180°，
5x=180°，
x=36°，
∴∠AOC=3×36°=108°，∠BOC=2×36°=72°；
（2）解：由题意可得：∠AOD=∠DOC=
∠AOC，∠BOE=∠EOC=
∠BOC，
∵∠AOC＋∠BOC=180°，
∴
（∠AOC＋∠BOC）=90°，
∴∠DOC＋∠COE=90°，
∴∠DOE=90°；
（3）解：由（2）的条件和结论可得：
∵∠AOD＋∠COE=90°，∠AOD＋∠EOB=90°，∠DOC＋∠COE=90°，∠DOC＋∠EOB=90°，
∴互余的角为：∠AOD 和∠COE，∠AOD 和∠EOB，∠DOC 和∠COE，∠DOC 和∠EOB；
∵∠AOD＋∠DOB=180°，∠DOC＋∠DOB=180°，∠AOC＋∠BOC=180°，∠BOE＋∠AOE=180°，∠COE
＋∠AOE=180°，
∴互补的角为：∠AOD 和∠DOB，∠DOC 和∠DOB，∠AOC 和∠BOC，∠BOE 和∠AOE，∠COE 和
∠AOE；
【点睛】此题考查了一元一次方程方程的应用，角平分线的定义（平分所在的角）；等角的余角（补角）；
余角的定义：若两角和为90°则这两个角互余；补角的定义：若两角和为180°则这两个角互补；掌握定义
结合图形是解题的关键．
3．已知直线
与
相交于点O．
1
2
1
2
1
2
AB
CD
（Ⅰ）如图1，若
，
平分
，则
_________．
（Ⅱ）如图2，若
，
，
平分
，求
的大小；
（Ⅲ）如图3，若
，
，
平分
，求
的大小（用含
的式子表
示）．
【答案】（Ⅰ）135°；（Ⅱ）54°；（Ⅲ）
【分析】（Ⅰ）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；
（Ⅱ）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=
∠CON，再根据∠BOM
列出方程求解x，然后求解即可；
（Ⅲ）与（2）的解法相同．
【详解】解（Ⅰ）
，
平分
，
，
，
，
即
的度数为
；
（Ⅱ）
设
，
，
，
平分
，
，
，
，
，
即
的度数为
；
（Ⅲ）
90
AOM
OC
AOM
AOD
90
AOM
4
BOC
BON
OM
CON
MON
AOM
4
BOC
BON
OM
CON
MON
540
3
5
1
2
90
AOM
OC
AOM
1
1
90
45
2
2
AOC
AOM
180
AOC
AOD
180
180
45
135
AOD
AOC
AOD
135
4
BOC
NOB
NOB
x
4
BOC
x
4
3
CON
COB
BON
x
x
x
OM
Q
CON
1
3
2
2
COM
MON
CON
x
3
90
2
BOM
x
x
36
x
3
3
36
54
2
2
MON
x
MON
54
4
BOC
NOB
设
，
，
，
平分
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键，
（2）（3）难点在于根据∠BOM 列出方程．
4．如图，已知点O 为直线
上一点，
，
是
的平分线．
(1)如图1，若
，求
的度数；
(2)如图2，
是
的平分线，求
的度数；
(3)在（2）的条件下，
是
的一条三等分线，若
，求
的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】（1）由互余得
度数，进而由角平分线得到
度数，根据
可得
度数；
（2）由角平分线得出
，
，继而由
得出结论．
（3）
，结合已知
和
可求
，
再由
，根据
是
的一条三等分线，分两种情况来讨论，即可解答．
【详解】（1）解：
，
，
，
NOB
x
4
BOC
x
4
3
CON
COB
BON
x
x
x
OM
Q
CON
1
3
2
2
COM
MON
CON
x
3
180
2
BOM
x
x
360
2
5
x
3
360
2
540
3
2
5
5
MON
AB
90
COD
OE
AOD
55
COE
BOD
OF
BOC
EOF
OP
BOD
AOC
DOF
EOF
FOP
110
45
35
55
DOE
AOD
180
BOD
AOD
BOD
1
1 (
90 )
2
2
AOE
AOD
AOC
1
1 (
90 )
2
2
BOF
BOC
BOD
180
EOF
AOE
BOF
1
45
2
DOF
BOD
AOC
DOF
EOF
90
AOC
BOD
60
BOD
FOP
DOF
DOP
OP
BOD
90
COD
55
COE
35
DOE
COD
COE
是
的平分线，
，
；
答：
的度数为
．
（2）解：
是
的平分线．
，
是
的平分线，
，
，
，
，
答：
的度数为
．
（3）解：由（2）得
；
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
当
，
，
，
当
，
，
OE
AOD
2
70
AOD
DOE
180
180
70
110
BOD
AOD
BOD
110
OE
AOD
1
1 (
90 )
2
2
AOE
AOD
AOC
OF
BOC
1
1 (
90 )
2
2
BOF
COF
BOC
BOD
1
180
90
2
EOF
AOE
BOF
AOC
BOD
180
90
90
AOC
BOD
1
90
90
45
2
EOF
EOF
45
45
EOF
45
AOC
DOF
EOF
45
DOF
AOC
1
90
(
90 )
2
DOF
COD
COF
BOD
1
45
2
BOD
1
45
45
2
AOC
BOD
1
2
AOC
BOD
90
AOC
BOD
30
AOC
60
BOD
45
30
15
DOF
1
3
DOP
BOD
20
DOP
15
20
35
FOP
DOF
DOP
2
3
DOP
BOD
40
DOP
，
故
的度数为：
或
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关
系是解此题的关键．
5．如图①，将两块直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起，
．
(1)若
，求
和
的度数；
(2)试猜想
与
的数量关系，并说明理由；
(3)如图②，是两个同样的直角三角尺
锐角的顶点重合叠放在一起，
，若
平分
，试判断
是否平分
，并说明理由；并直接写出
与
的数量关系．
【答案】(1)
，
(2)
，理由见详解
(3)
平分
，理由见详解；
【分析】（1）可得
，由
即可求解；
（2）可得
，
，从而可得
，
即可求解；
（3）可求
，由
可得
，即可求解；可得
，
，由
，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
；
15
40
55
FOP
DOF
DOP
FOP
35
55
90
ACB
DCE
35
DCB
BCE
ACE
DCB
ACE
60
90
C
G
AF
BAC
AC
FAG
FAC
BAG
55
BCE
145
ACE
180
DCB
ACE
AC
FAG
120
FAC
BAG
BCE
DCE
DCB
ACE
ACB
BCE
180
ACB
DCE
ACB
ACD
DCB
180
DCB
ACD
DCE
1
30
2
CAE
BAC
CAG
GAF
BAF
CAF
CAG
120
BAC
FAG
BAC
BAF
FAC
120
FAC
FAG
BAF
BCE
DCE
DCB
90
35
55
ACE
ACB
BCE
90
55
145
（2）解：
，理由如下：
因为
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
；
（3）解：
平分
，理由如下：
因为是两个同样的直角三角尺
锐角的顶点重合叠放在一起，
所以
，
因为
平分
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
平分
；
，
理由：
因为
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差运算，理解定义，正确表示出角的和差是解题的关键．
6．已知：
平分
，
和
互为补角．
180
DCB
ACE
90
ACB
DCE
180
ACB
DCE
ACB
ACD
DCB
180
ACD
DCB
DCE
180
DCB
ACD
DCE
180
DCB
ACE
AC
FAG
60
60
BAC
FAG
AF
BAC
1
30
2
CAF
BAC
CAG
GAF
CAF
60
30
30
CAF
CAG
AC
FAG
120
FAC
BAG
60
BAC
FAG
120
BAC
FAG
BAC
BAF
FAC
120
FAC
FAG
BAF
120
FAC
BAG
OD
AOB
AOC
BOC
(1)如图，求
的度数；
(2)如图
，
平分
，求证：
；
(3)如图，在（
）的条件下，连接
，
，
，求
的度数．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)
．
【分析】（1）由
平分
得到
，再根据
和
互为补角即可得到
的度数；
（2）由
平分
得到
，再根据
和
互为补角得到
，
从而得到
，最后根据
即可完成证明；
（3）在(
)的条件下可得到
，
，由
得到
，最后由
和
可求得
的度数．
【详解】（1）∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
；
（2）∵
平分
，
1
DOC
2
OE
AOC
2
BOC
DOE
3
2
AE
30
EAO
BOC
2
AEO
BOE
BOE
90°
DOC
18°
BOE
OD
AOB
2
AOB
BOD
AOC
BOC
DOC
OE
AOC
1
2
AOE
AOC
AOC
BOC
180
AOC
BOC
1
1
90
2
2
COE
AOC
BOC
90
COE
DOE
2
2
60
3
BOC
BOE
1
60
3
AOE
BOC
BOE
BOE
30
EAO
BOC
2
30
90
3
EAO
BOC
BOE
2
AEO
BOE
180
AOE
EAO
AEO
BOE
OD
AOB
2
AOB
BOD
180
AOC
BOC
2
180
BOD
BOC
BOC
2
180
BOD
BOC
2
180
DOC
90
DOC
OE
AOC
∴.
，
∵
，
∴
，
∴
，
由( )知：
，即
，
∴
，
∴
，
∴
；
（3）在(2
)的条件下，
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点睛】此题考查了求角的度数和证明角相等的问题，掌握角平分线的性质和互为补角的关系是解题的关
键．
7．如图1，
是直线
上的一点，
，
平分
．
1
2
COE
AOE
AOC
180
AOC
BOC
180
AOC
BOC
1
1
90
2
2
COE
AOC
BOC
1
90
DOC
90
COE
DOE
1
90
90
2
BOC
DOE
1
2
BOC
DOE
2
BOC
DOE
2
1
2
COE
AOE
AOC
1
1
90
2
2
COE
AOC
BOC
AOE
COE
BOC
BOE
1
90
2
BOC
BOC
BOE
2
60
3
BOC
BOE
1
60
3
AOE
BOC
BOE
BOE
30
EAO
BOC
2
30
90
3
EAO
BOC
BOE
2
AEO
BOE
180
AOE
EAO
AEO
1
2
60
90
2
180
3
3
BOE
BOE
BOE
5
30
3
BOE
18
BOE
O
AB
OC
OD
OE
BOC
(1)若
，求
的度数；
(2)将图1 中的
绕顶点
顺时针旋转至图2 的位置．
①探究
和
的度数之间的关系，并说明理由；
②在
的内部有一条射线
，
内部有一条射线
，且
，试确定
与
的度数之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①
，理由见解析；②
【分析】（1）由垂线的定义得
，从而得到
，由邻补角的定义计算可
得
，最后由角平分线的性质即可得到答案
（2）①先分别表示出
和
，再找出其中的关系即可；②根据题意得出
，
，代入
得到
，再将
，
代入进行
计算即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
，
平分
，
；
（2）解：①
，
理由如下：
根据题意可得：
，
，
，
35
AOD
BOE
DOC
O
AOC
DOE
AOC
OF
BOE
OM
3
2
13
AOD
AOF
MOE
COE
AOF
FOM
DOE
62.5
1
2
DOE
AOC
2
5
540
FOM
DOE
90
COD
90
55
AOC
AOD
180
125
BOC
AOC
DOE
AOC
90
2
AOD
COE
180
2
AOF
COE
COF
3
2
3
AOD
AOF
MOE
COE
AOF
2
2
90
3
COF
MOE
COE
FOM
COF
COE
MOE
90
DOE
COE
OC
CD
90
COD
35
AOD
90
90
35
55
AOC
AOD
180
180
55
125
BOC
AOC
OE
BOC
1
1 125
62.5
2
2
BOE
BOC
1
2
DOE
AOC
180
AOC
BOC
OC
CD
90
COD
平分
，
，
，
；
②画出图如图所示：
，
则
，
，
，
整理得：
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、垂线的定义、与余角和补角有关的计算、角的计算，熟练掌握
角平分线的性质、垂线的定义，准确进行计算是解题的关键．
8．定义：从
（
）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将
分得的两个角
中有一个角与
互为余角，则称该射线为
的“分余线”．
OE
BOC
1
2
COE
BOC
1
1
1
90
90
180
2
2
2
DOE
COE
BOC
BOC
AOC
1
2
DOE
AOC
180
180
90
90
90
2
AOD
BOD
BOC
BOC
COE
180
180
2
AOF
AOC
COF
BOC
COF
COE
COF
3
2
3
AOD
AOF
MOE
COE
AOF
3 90
2
180
2
2
3
180
2
COE
COE
COF
MOE
COE
COE
COF
2
2
90
3
COF
MOE
COE
FOM
COF
COE
MOE
2
90
3
FOM
COE
COE
2
5
90
FOM
COE
90
DOE
COE
2
5 90
90
FOM
DOE
2
5
540
FOM
DOE
45
90
(1)如图1，
，
，请判断
是否为
的“分余线”，并说明理由；
(2)若
平分
，且
为
的“分余线”，则
______ ；
(3)如图2，
，在
的内部作射线
，
，
，使
为
的平分线，
为
的“分余线”．当
为
的“分余线”时，请直接写出
的度数．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
(3)
或
或100°
【分析】（1）利用
求出
的度数，进而得到
，即可得证；
（2）根据角平分线平分角，以及“分余线”的定义，列式求解即可；
（3）如图，分
和
，两种情况，每种情况再分
和
两种情况，进行讨论求解．
【详解】（1）解：是；理由如下：
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
是
的“分余线”；
（2）解：∵
平分
，
∴
，
∵
为
的“分余线”，
∴
，
∴
；
故答案为：
；
（3）解：∵
为
的平分线，
∴
；
由图可知：
，
70
AOB
50
AOC
OC
AOB
OC
AOB
OC
AOB
AOB
155
AOB
AOB
OC
OM
ON
OM
AOC
ON
BOC
OC
MON
AOC
60
88
AOC
77 5
.
AOB
AOC
BOC
90
AOB
BOC
3
90
BOC
4
90
BOC
3
90
MON
2
90
MON
70
AOB
50
AOC
20
AOB
A
BOC
OC
70
20
90
AOB
BOC
OC
AOB
OC
AOB
1
2
AOC
BOC
AOB
OC
AOB
3
90
2
AOB
AOC
AOB
BOC
AOB
60
AOB
60
OM
AOC
1
1
2
2
AOC
2
3
,
3
4
MON
BOC
∵
为
的“分余线”，
①当
时，即：
，
当
为
的“分余线”时，
、当
时，即：
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
、当
时，即：
，
∴
，
∴
，即：
，
∴
；
②当
时，即：
，
∴
当
为
的“分余线”时，
、当
时，即：
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
ON
BOC
3
90
BOC
2 3
4
90
OC
MON
a
3
90
MON
2 3
2
90
2 3
4
90
1
2
1
2
4
1
2
3
4
155
AOB
3
3 4
155
3
155
3 4
2 3
4
2 155
3 4
4
90
4
44
1
2
4
44
2 1
88
AOC
b
2
90
MON
2 2
3
90
2 2
3
2 3
4
90
2 2
3
4
AOC
BOC
1
77.5
2
AOC
BOA
4
90
BOC
3
2 4
90
3
90
2 4
OC
MON
a
3
90
MON
2 3
2
90
1
2
90
2 3
90
2 90
2 4
4 4
90
1
2
3
4
155
AOB
2 4 4
90
90
2 4
4
155
4
35
1
2
4 4
90
50
∴
；
、当
时，即：
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，即：
，
∴
，
此时：
，故这种情况不存在；
综上：当
为
的“分余线”时，
或
或100°．
【点睛】本题考查角的和差计算．理解并掌握“分余线”的定义，是解题的关键．注意分类讨论．
9．点O 为直线l 上一点，射线
均与直线l 重合，如图1 所示，过点O 作射线
和射线
，使
得
，作
的平分线
．
(1)求
与
的度数；
(2)作射线
，使得
，请在图2 中画出图形，并求出
的度数；
(3)如图3，将射线
从图1 位置开始，绕点O 以每秒
的速度逆时针旋转一周，作
的平分线
当
时，求旋转的时间．
【答案】(1)
，
(2)
或
(3)8 秒或
秒
【分析】（1）根据
，
，即可得出
的度数，根据角平分线的定义得出
，然后根据
得出
的度数；
（2）根据题意得出
的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线
在
内部时；②当射线
在
外部时；分别进行计算即可；
2 1
100
AOC
b
2
90
MON
2 2
3
90
2 2
3
3
2 4
90
2
4
1
2
3
4
155
AOB
3
3 4
155
90
2 4
3 4
155
4
65
3
90
2 4
0
OC
MON
88
AOC
77 5
.
OA
OB
、
OC
OD
100
90
BOC
COD
，
AOC
OM
AOC
MOD
OP
90
BOP
AOM
＋
COP
OB
5
COD
ON，
25
MON
80
AOC
50
MOD
50
150
60
180
AOB
100
BOC
AOC
1
40
2
COM
AOC
90
COD
MOD
BOP
OP
BOC
OP
BOC
（3）根据
平分
得出
，根据题意画出图形，计算
的角度，然后计算时间即可．
【详解】（1）解：由题意可知，
，
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
；
（2）由（1）知，
，
∴
，
①当射线
在
内部时，如图2（1），
；
②当射线
在
外部时，如图2（2），
，
综上所述，
的度数为
或
；
（3）∵
平分
，
∴
，
①如图3，
，
ON
COD
45
CON
BOE
180
AOB
100
BOC
80
AOC
AOB
BOC
OM
AOC
1
40
2
COM
AOC
50
MOD
COD
COM
40
AOM
AOC
COM
90
50
BOP
AOM
OP
BOC
50
COP
BOC
BOP
OP
BOC
150
COP
BOC
BOP
COP
50
150
ON
COD
1
45
2
CON
COD
20
COM
CON
MON
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴旋转的时间
（秒）；
②如图3（1），
此时，
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴旋转的时间
（秒）；
综上所述，旋转的时间为8 秒或
秒．
【点睛】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨论是解题的关
键；第（3）问，搞清楚在射线
旋转的过程中，
和
的相对位置在不断的变化，以此进行分类画
图．
10．如图，过点
在
内部作射线
．
，
分别平分
和
，
与
互
补，
．
(1)如图1，若
，则
______°，
______°，
______°；
(2)如图2，若
平分
．
OM
AOC
2
40
AOC
COM
180
40
BOE
AOC
BOC
40
5
8
t
70
COM
CON
MON
OM
AOC
2
140
AOC
COM
180
140
40
COE
100
40
60
BOE
(360
60 )
5
60
60
OB
OM
ON
O
AOB
OC
OE
OF
AOC
BOC
AOC
AOB
AOC
a
70
a
AOB
AOF
EOF
OD
AOB
①当
时，求
度数；
②试探索：
是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
，
，
(2)①
，②是定值，
【分析】（1）根据互补的定义可得
，然后求得
，再根据角平分线的定义可得
和
,再根据角的和差可得
；
（2）①由互补的定义可得
，再根据角平分线的定义可得
，进而得到
，然后根据
得到关于a 的方程求解即可；②由①可得
，然后分别
表示出
和
，最后做商即可解答．
【详解】（1）解：∵
,
∴
∴
∵
，
分别平分
和
∴
,
∴
32
3
a
COD
EOF
1
2
AOB
COD
DOE
110
90
90
2
a
56
2
AOB
COB
BOF
EOC
EOF
180
AOB
a
1
90
2
2
a
AOD
BOD
EOF
AOB
3
90
2
a
COD
AOC
AOD
32
3
a
COD
3
90
2
a
COD
AOC
AOD
1
2
AOB
COD
DOE
180
AOC
AOB
70
AOC
180
70
110
AOB
40
BOC
AOB
AOC
OE
OF
AOC
BOC
1
20
2
BOF
FOC
BOC
1
35
2
COE
AOE
AOC
110
20
90
AOF
AOB
FOB
故答案为
，
，
．
（2）解：①∵
，
与
互补，
∴
又∵
平分
，
平分
，
平分
，
∴
∴
，解得：
∴
.
②由①得：
∴
，
∴
．
【点睛】本题主要考查了补角的定义、角平分线的应用、角的和差等知识点，灵活运用角平分线的定义是
解答本题的关键．
11．如图1，OB、OC 是∠AOD 内部两条射线．
55
EOF
COF
COE
110
90
55
AOC
a
AOC
AOB
180
AOB
a
OD
AOB
OE
AOC
OF
BOC
1
90
2
2
a
AOD
BOD
EOF
AOB
3
90
2
a
COD
AOC
AOD
32
3
90
3
2
a
a
68
a
90
56
2
a
EOF
3
90
2
a
COD
AOC
AOD
90
90
2
2
a
a
DOE
AOD
AOE
a
1
180
2
2
AOB
COD
a
1
180
2
2
2
90
AOB
COD
a
DOE
a
(1)若∠AOD 和∠BOC 互为补角，且∠AOD＝2∠BOC．求∠AOD 及∠BOC 的度数；
(2)如图2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD 的外部分别作∠COD、∠AOB 的余角∠DOM 及∠AON，请写出
∠DOM、∠AON、∠BOC 之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，已知∠AOD＝120°，射线OE 平分∠AOD，若将OB 绕O 点从OA 出发以每秒6°逆时针旋转，
OC 绕O 点从OD 出发以每秒5°顺时针旋转，OB、OC 同时运动；当OC 运动一周回到OD 时，OB、OC 同
时停止运动．若运动t（t＞0）秒后，OE 恰好是∠BOC 的四等分线，则此时t 的值为 （直接写出答
案）．
【答案】(1)60°，120°
(2)∠DOM+∠AON+∠BOC=180°
(3)
或
或
【分析】(1)设∠AOD＝2∠BOC=2x，根据∠AOD+∠BOC=180°，列方程 求 解 即 可．
(2)画出图形，根据∠AOD＝2∠BOC，则∠COD+∠BOA=∠BOC，根据互余性质，列方程 求 解 即 可．
(3)画出图形，分OB、OC 都没有转过OE 线，OB、OC 都转过OE 线和OB 转过一周后三种情况求解．
【详解】（1）设∠AOD＝2∠BOC=2x，
∵∠AOD+∠BOC=180°，
∴2x+x=180，
解得x=60°，2x=120°，
故∠AOD=120°，∠BOC=60°．
（2）画图如下：
作OM⊥OC，垂足为O，ON⊥OB，垂足为O，
120
13
t
40
3
t
840
13
t
∴∠DOM=90°-∠COD ，∠AON=90°-∠BOA，
∵∠AOD＝2∠BOC，
∴∠COD+∠BOA=∠BOC，
∴90°-∠DOM+90°-∠AON=∠BOC，
∴∠DOM+∠AON+∠BOC=180°．
（3）如图1，当OB、OC 都没有转过OE 线时，∠AOD＝120°，射线OE 平分∠AOD，
根据题意，得 ∠AOB＝6t，∠COD＝5t，∠AOE＝60°，∠DOE＝60°，
∴∠BOE=60°-6t＜∠COE=60°-5t，
∴∠BOE=60°-6t，∠BOC=120°-6t-5t=120°-11t，
∵OE 恰好是∠BOC 的四等分线，
∴∠BOC=4∠BOE，
∴120°-11t=4(60°-6t)，
解得
；
如图2，当OB、OC 都转过OE 线时，∠AOD＝120°，射线OE 平分∠AOD，
120
13
t
根据题意，得 ∠AOB＝6t，∠COD＝5t，∠AOE＝60°，∠DOE＝60°，
∴∠COE=5t-60°＜∠BOE=6t-60°，
∴∠BOC=120°-(120°-6t)-( 120°-5t)= 11t -120°，
∵OE 恰好是∠BOC 的四等分线，
∴∠BOC=4∠COE，
∴11t -120°=4(5t-60°)，
解得
；
如图3，当OB 转过一周后，
此时，∠COE=360°-5t+60°=420°-5t，∠BOE=60°-(6t-360°)= 420°-6t，
∴∠BOC=∠COE +∠BOE =840°-11t，
∴840°-11t =4(420°-6t)，
解得
；
综上所述，当
或
或
时，符合题意．
【点睛】本题考查了角的计算，互余的作图，分类计算，角的平分线，熟练掌握互余的作图，解一元一次
方程是解题的关键．
12．阅读下面材料
40
3
t
840
13
t
120
13
t
40
3
t
840
13
t
小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC 与∠BOC 互补．
小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC 在∠AOB 的外部，画出示意图，如图2 所示：然后通过构
造平角找到∠AOC 的补角∠COD．
如图3 所示：进而分析要使∠AOC 与∠BOC 互补，则需∠BOC＝∠COD．
因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA 得到射线OD，利用量角器画出∠BOD 的平分线
OC，这样就得到了∠BOC 与∠AOC 互补．
(1)根据小聪的画法可知，如图3，点O 在直线AD 上，射线OC 平分∠BOD．请说明∠AOC 与∠BOC 互补
的理由；
(2)参考小聪的画法，请在图4 中画出一个∠AOH，使∠AOH 与∠BOH 互余（保留画图痕迹）；
(3)已知∠EPQ 和∠FPQ 互余，射线PM 平分∠EPQ，射线PN 平分∠FPQ，若∠EPQ＝β（45°＜β＜
90°），直接写出锐角∠MPN 的度数是 ．
【答案】(1)理由见解析
(2)见解析
(3)45°或|β
45°|
﹣
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BOC＝∠COD，根据等角的补角相等即可求得答案；
（2）先通过分析明确射线
在
的外部，作
（或
）的垂线
，再利用量角器画出
（或
）的平分线
即可得；
【详解】（1）如图3 中，∵OC 平分∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD，
∵∠AOC+∠COD＝180°，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
即∠AOC 与∠BOC 互补；
（2）
与
互余，
，
，
射线
在
的外部，
OH
AOB
OA
OB
OC
BOC
AOC
OH
AOH
BOH
90
BOH
AOH
0
90
AOB
OH
AOB
先作
（或
）的垂线
，再利用量角器画出
（或
）的平分线
，如图所示：
或
（3）如图，
∵PM 平分∠EPQ，PN 平分∠FPQ，
∴∠MPQ＝
∠EPQ，∠NPQ＝
∠FPQ，
∵∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ
＝
∠EPQ+
∠FPQ
＝
∠EPF，
∵∠EPQ 和∠FPQ 互余，
∴∠EPQ+∠FPQ＝90°，
即∠EPF＝90°，
∴∠MPN＝45°；
如图：
∵PM 平分∠EPQ，PN 平分∠FPQ，
∴∠MPQ＝
∠EPQ，∠NPQ＝
∠FPQ，
∵∠MPN＝|∠MPQ﹣∠NPQ|＝|
∠EPQ﹣
∠FPQ|，
∵∠EPQ 和∠FPQ 互余，∠EPQ＝β，
OA
OB
OC
BOC
AOC
OH
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
∴∠FPQ＝90°﹣β，
∴∠MPN＝|
β﹣
∠（90°﹣β）|＝|β
45°|
﹣
，
故答案为：45°或|β
45°|
﹣
．
【点睛】本题考查了画垂线和角平分线、与角平分线有关的计算，较难的是题（3），正确分两种情况讨
论是解题关键．
13．已知点A，B，O 在一条直线上，以点O 为端点在直线AB 的同一侧作射线
，
，
使
．
（1）如图①，若
平分
，求
的度数；
（2）如图②，将
绕点O 按逆时针方向转动到某个位置时，使得
所在射线把
分成两个角．
①若
，求
的度数；
②若
（n 为正整数），直接用含n 的代数式表示
．
【答案】（1）
；（2）①
；②
．
【分析】（1）依据角平分线的定义可求得
，再依据角的和差依次可求得
和
，根
据邻补角的性质可求得结论；
（2）①根据角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD，再根据比例关系可得
，最后依据角的和差和
邻补角的性质可求得结论；
②根据角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD，再根据比例关系可得
，最后依据角的和差和邻补角
的性质可求得结论．
【详解】解：（1）∵
平分
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）①∵
，
∴∠EOC+∠COD=∠BOD+∠COD，
1
2
1
2
OC
OD
OE
60
BOC
EOD
OD
BOC
AOE
EOD
OD
BOC
:
1: 2
COD
BOD
AOE
:
1:
COD
BOD
n
AOE
90
AOE
80
AOE
60
(120
)
1
n
AOE
n
30
COD
EOC
BOE
BOD
BOD
OD
BOC
60
BOC
EOD
1
30
2
COD
BOC
30
EOC
EOD
COD
90
BOE
EOC
BOC
180
90
AOE
BOE
BOC
EOD
∴∠EOC=∠BOD，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
②∵
，
∴∠EOC+∠COD=∠BOD+∠COD，
∴∠EOC=∠BOD，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查邻补角的计算，角的和差，角平分线的有关计算．能正确识图，利用角的和差求得相应
角的度数是解题关键．
14．已知
为直线
上一点，射线
、
、
位于直线
上方，
在
的左侧，
，
．
（1）如图1，
，当
平分
时，求
的度数．
（2）如图2，若
，且
，求
（用
表示）．
（3）若
，点
在射线
上，若射线
绕点
顺时针旋转
（
），
，
平分
，当
时，求
的值．
【答案】（1）50°；（2）
；（3）168 或72．
【分析】（1）利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠BOC 和∠EOC，再利用角的和差即可求得
∠BOE；
（2）先根据已知数量关系求得∠DOE，再利用角的和差即可得出结论；
60
BOC
:
1: 2
COD
BOD
2
60
40
3
BOD
40
EOC
BOD
100
BOE
EOC
BOC
180
80
AOE
BOE
BOC
EOD
60
BOC
:
1:
COD
BOD
n
60
60
(
)
1
1
n
n
BOD
n
n
60
(
)
1
n
EOC
BOD
n
60
(
60)
1
BOE
EOC
BOC
n
n
180
60
(120
)
1
AOE
BO
n
E
n
O
AB
OD
OC
OE
AB
OD
OE
120
AOC
DOE
70
OD
AOC
EOB
2
DOC
AOD
80
EOB
90
F
OB
OF
O
n
0
180
n
2
FOA
AOD
OH
EOC
120
FOH
n
140
EOB
（3）设
，分①若
在
的内部，②当
在射线
的两侧时两种情况，利用角
的和差列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵
，
平分
，
∴
，
，
又
，
∴
，
∴
；
（2）∵
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
；
（3）①如图，若
在
的内部
设
则依题意有：
，
∵
，
，
∴
，
又∵
平分
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
；
②当
在射线
的两侧时如图
BOF
n
DOE
AOC
DOE
OC
120
AOC
OD
AOC
60
AOD
DOC
60
BOC
70
DOE
70
60
10
COE
60
50
BOE
COE
120
AOC
2
DOC
AOD
1
40
3
AOD
AOC
80
DOC
60
BOC
80
EOC
60
80
140
EOB
BOC
EOC
DOE
AOC
BOF
n
1
1
1
180
90
2
2
2
AOD
FOA
n
n
120
AOC
90
DOE
120
90
30
AOD
EOC
AOC
DOE
OH
EOC
1
1 30
2
2
EOH
EOC
AOD
1
1
1
30
90
30
2
2
4
n
n
120
FOH
1
1
180
90
90
30
120
2
4
n
n
n
168
n
DOE
OC
设
，则依题意有
，
∵
，
，
∴
，
又
平分
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∴综上所述
顺时针旋转的角度为168 或72．
【点睛】本题考查邻补角的有关计算，角平分线的有关计算，角的和差，一元一次方程的应用．（3）中
能分类讨论画出图形，结合图形利用角的和差列出方程是解题关键．
15．如图（1）所示，线段
与线段
重合，点
是它们的中点，保持
不动，将
绕点
顺时针
旋转
）；射线
从与射线
重合开始，绕点
逆时针旋转
（至多旋转到与射线
重
合为止）．
在此基础上，我们给出如下定义：比较
与
的大小，若
，则将其中较小角的度
数定义为
对
的“迷你角度”；若
，则将
或
的度数定义为
对
的“迷你角度”．
BOF
n
1
1
90
2
2
AOD
AOF
n
120
AOC
90
DOE
1
90
120
60
2
COE
AOD
n
OH
EOC
1
1
30
2
4
EOH
EOC
n
120
FOH
1
1
30
90
90
120
4
2
n
n
n
72
n
OF
AM
BN
O
AM
BN
O
0
180
m
m
OP
OM
O
n
ON
POA
POB
POA
POB
OP
AOB
POA
POB
POA
POB
OP
AOB
(1)当
时，
①如图（2）所示，若
，求
对
的“迷你角度”是多少度；
②若
对
的“迷你角度”为
，请借助图（3）和图（4）进行分析，求出
的值是多少．
(2)若
时，
对
的“迷你角度”是
，请直接写出
的值，不用说明理由．
【答案】(1)①
②
；
(2)
或
【分析】（1）①根据“迷你角度”的定义计算即可；②分为当
是
对
的“迷你角
度”时和当
是
对
的“迷你角度”时，分别画图计算即可；
（2）分为当
是
对
的“迷你角度”和当
是
对
的“迷你角
度”， 当
时，分别计算即可；
【详解】（1）
，
①如图（2）所示，若
，
则
，
对
的“迷你角度”是
；
②若
对
的“迷你角度”为
，
则
或
，
当
是
对
的“迷你角度”时，如图，
，
；
60
m
138
n
OP
AOB
OP
AOB
65
n
:
:
1 2
m n
OP
AOB
42
m
18
55
n
245
n
46
m =
111
65
POB
OP
AOB
65
AOP
OP
AOB
42
POB
OP
AOB
42
AOP
OP
AOB
42
POA
POB
60
m
60 ,
AOB
180
60
120 ,
MOB
138
n
138 ,
MOP
138
120
18 ,
60
18
42 ,
POB
AOP
POB
AOP
Q
OP
∴
AOB
18
OP
AOB
65
65
POB
65
AOP
65
POB
OP
AOB
120
65
55
MOP
55
n
当
是
对
的“迷你角度”时，如图，
，
；
综上，
或
；
（2）
设
则
对
的“迷你角度”是
，
①当
是
对
的“迷你角度”，
在
之间时，
如图，
，
，
，
则
，
，符合要求；
当
是
对
的“迷你角度”，
在
之间时，
65
AOP
OP
AOB
180
65
245
MOP
245
n
55
n
245
n
:
1: 2,
m n
Q
,
2 ,
m
x n
x
,
2 ,
AOB
m
x
MOP
n
x
OP
AOB
42
42
POB
OP
AOB
OP
MOB
2
42
180
x
x
46
x
46
m =
42 ,
46
42
88
POB
POA
POB
POA
42
POB
OP
AOB
OP
AOB
如图，
，
，
，
则
，
，不符合要求；
②当
是
对
的“迷你角度”，
在
之间时，如图，
，
，
；
则
，
，故符合题意；
当
是
对
的“迷你角度”，
在
之间时，
如图，
，
；
则
，
，故不符合题意；
③当
时，
对
的“迷你角度”是
，
2
42
180
x
x
74
x
74
m =
42 ,
74
42
32
POB
POA
POB
POA
42
AOP
OP
AOB
OP
AON
2
42
180
x
111
x
111
m =
42 ,
111
42
153
POA
POB
POA
POB
42
AOP
OP
AOB
OP
AOB
2
42
180
x
x
x
69
x
42 ,
69
42
27
POA
POB
POA
POB
42
POA
POB
OP
AOB
42
此时
，不符合题意；
综上，
或
．
【点睛】该题主要考查了角度计算的动点问题以及一元一次方程的应用，解题的关键是进行分类讨论解题
思想解答．
二、与三角板旋转有关的压轴题（15 题）
16．一副三角板ABC、DBE，如图1 放置，（
、
），将三角板
绕点B 逆时针旋
转一定角度，如图2 所示，且
，有下列四个结论：
①在图1 的情况下，在
内作
，则
平分
；
②在旋转过程中，若
平分
，
平分
，
的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成
的次数为3 次；
④
的角度恒为
．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断．
【详解】①如图可得
，所以
平分
，①正确；
②当
时，设
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
当
时，设
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
2
84
2 84
168
m
POA
n
，
46
m =
111
30
D
45
BAC
DBE
0
90
CBE
DBC
DBF
EBF
BA
DBF
BM
DBA
BN
EBC
MBN
90
DBC
ABE
105
15
DBA
ABF
BA
DBF
0
45
CBE
DBM
x
BM
DBA
x
ABM
DBM
60
2
ABE
x
45
60
2
2
15
EBC
x
x
7.5
EBN
x
60
2
7.5
52.5
MBN
x
x
x
45
90
CBE
DBM
x
BM
DBA
x
ABM
DBM
60
2
ABE
x
2
15
EBC
x
60
MBE
x
∴
，
∴
，故②正确；
③
时
，
时
，
时
故③正确；
④当
时
，当
时
，故④错误；
综上所述，正确的结论为①②③；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算．
17．如图1，点O 为直线
上一点，将两个含
角的三角板
和三角板
如图摆放，使三角板的
一条直角边
在直线
上，其中
．
(1)将图1 中的三角板
绕点O 按逆时针方向旋转至图2 的位置，使得边
在
的内部且平分
，此时三角板
旋转的角度为 度；
(2)三角板
在绕点O 按逆时针方向旋转时，若
在
的内部．试探究
与
之间满足
什么等量关系，并说明理由；
(3)如图3，将图1 中的三角板
绕点O 以每秒
的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板
绕点O
以每秒
的速度按逆时针方向旋转，将射线
绕点O 以每秒
的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线
记为
，射线
平分
，射线
平分
，当射线
重合时，射线
改为绕点O
以原速按顺时针方向旋转，在
第二次相遇前，当
时，直接写出旋转时间t 的值．
【答案】(1)
(2)当
在
外部时，
，当
在
内部时，
，理由
见解析
(3)
或
或
或
【分析】（1）先根据
平分
得到
，即可求出
；
（2）根据题意可得
，作差即可求解；
7.5
EBN
CBN
x
60
7.5
52.5
MBN
x
x
30
CBE
BD
BC
45
CBE
AB
DE
75
CBE
DB
AB
0
45
CBE
105
DBC
ABE
45
90
CBE
105
DBC
ABE
AB
60
MON
OPQ
OM
OP
、
AB
60
OMN
POQ
OPQ
OP
MON
MON
OPQ
OPQ
OP
MON
MOP
NOQ
MON
2
OPQ
3
OB
5
OB
OE
OC
MON
OD
POQ
OC
OD
、
OE
OC
OD
、
13
COE
135
OQ
MON
30
MOP
NOQ
OQ
MON
30
MOP
NOQ
122
7
148
7
182
3
208
3
OP
MON
PON
BOP
90
,
60
MOP
POQ
NOQ
POQ
（3）先求出旋转前
的夹角，然后再求出
第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在
第二次相遇前，当
时，需要旋转时间为t，再分
在
的左侧和
在
的右侧
两种情况讨论解答即可．
【详解】（1）解：
平分
，
，
三角板
旋转的角∶
，
故答案为：
．
（2）当
在
外部时，
，理由如下∶
，
，
，
当
在
内部时，
，理由如下∶
，
；
（3）
射线
平分
，射线
平分
，
，
旋转前
，
旋转前
与
的夹角为：
，
与
第一次相遇的时间为：
秒，
此时
旋转的角度为：
此时OC 与
的夹角为：
与OD 第二次相遇的时间为：
(秒)，
设在
与
第二次相遇前，当
时，需要旋转时间为，
①
，
OC
OD
、
OC
OD
、
OC
OD
、
13
COE
OE
OC
OE
OC
OP
MON
4
1
2
5
PON
MON
OPQ
135
BOP
PON
NOB
135
OQ
MON
30
MOP
NOQ
90 ,
60
MON
POQ
90
MOP
POQ
60
NOQ
POQ
90
MOP
NOQ
POQ
60
30
POQ
OQ
MON
30
MOP
NOQ
90 ,
60
MON
POQ
30
MOP
NOQ
OC
MON
OD
POQ
45 ,
30
NOC
POD
90
NOP
OC
OD
165
COD
NOC
NOP
POD
OC
OD
165
2
3
33
OB
33 5
165 ,
OE
165
180
45
2
33
96 ,
OC
360
2
3
72
OC
OD
13
COE
t
(2
5)
45
90 13
t
解得∶
，
②
，
解得∶
，
③
，
解得∶
，
，
④
，
解得∶
，
．
在OC 与OD 第二次相遇前，当
时，旋转时间为
或
或
或
．
【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补
角等概念才能在求解角度时需要合理运用“等量代换”；求解角的旋转时会出现多种情况运用“分类讨论
思想”．本题难点在于旋转后的多种情况的分析，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相
同，”是解题关键．
18．将一副直角三角板如图1 摆放在直线
上（直角三角板
和直角三角板
，
，
，
，
），保持三角板
不动，将三角板
绕点O 以每秒
的速度顺时针旋转直至
边第一次重合在直线
上
(1)当
秒时，
平分
；
(2)①如图2，旋转三角板
，使得
、
同时在直线
的异侧，则
与
数量关系为 ；
②如图3，继续旋转三角板
，使得
、
同时在直线
的右侧，猜想
与
有怎样
的数量关系？并说明理由．
(3)若在三角板
开始旋转的同时，另一个三角板
也绕点O 以每秒
的速度顺时针旋转，当
旋
122
7
t
(2
5)
45
90
13
t
148
7
t
(5
2)
96 13
t
3
3
8
t
83
182
33
3
3
(5
2)
96 13
t
9
3
10
t
33
3
3
109
208
13
COE
t
122
7
148
7
182
3
208
3
AD
OBC
MON
90
OBC
45
BOC
90
MON
30
MNO
OBC
MON
6
OM
AD
t
OM
AOC
MON
OM
ON
OC
NOC
AOM
MON
OM
ON
OC
NOC
AOM
MON
OBC
3
OM
转至直线
上时同时停止．请直接写出在旋转过程中
与
的关系．
【答案】(1)
(2)①
，②
(3)
【分析】（1）根据
，
平分
，可得
，结合运动特
点可得：
，解方程即可求解；
（2）①分别表示出
，
，即有
，问题得解；
②分别表示出
，
，即有
，问题得解；
（3）分类讨论，第一种情况：
、
同时在直线
的异侧，根据运动的特点：
，
，根据
，
，可得
，即有
；第二种情况：
、
同时在直线
的右侧，同理可求出
，问题得解．
【详解】（1）解：∵
，
∴当
平分
时，
，
∴
∴
（秒）．
故答案为：
．
（2）解：①
，理由如下：
∵
，
，
∴
，
AD
NOC
AOM
3.75
45
NOC
AOM
45
NOC
AOM
1
2
45
NOC
AOM
45
AOC
BOC
OM
AOC
4
1
2
5
2
AOM
AOC
45
6
2
t
6
t
AOM
45
6
MOC
BOC
AOM
t
45
6
NOC
MON
MOC
t
6
t
AOM
6
45
MOC
AOM
BOC
t
45
6
NOC
MON
MOC
t
OM
ON
OC
6
t
AOM
3
t
AOB
AON
AOM
MON
AOC
AOB
BOC
45
3
NOC
AON
A C
t
O
1
2
45
NOC
AOM
OM
ON
OC
1
2
45
NOC
AOM
45
AOC
BOC
OM
AOC
1
22.5
2
AOM
AOC
6
22.5
t
22 5
3 75
6
.
.
t
3.75
45
NOC
AOM
6
t
AOM
45
BOC
45
6
MOC
BOC
AOM
t
∴
，
∴
；
故答案为：
；
②
，理由如下：
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
（3）解：
，理由如下：
分类讨论，
第一种情况：
、
同时在直线
的异侧，如图，
根据运动的特点：
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
；
第二种情况：
、
同时在直线
的右侧，如图，
根据运动的特点：
，
，
90
45
6
45
6
NOC
MON
MOC
t
t
45
45
6
6
NO
t
O
C
A
t
M
45
NOC
AOM
45
NOC
AOM
6
t
AOM
45
BOC
6
45
MOC
BOC
AOM
t
90
6
45
45
6
NOC
MON
MOC
t
t
45
45
6
6
NO
t
O
C
A
t
M
1
2
45
NOC
AOM
OM
ON
OC
6
t
AOM
3
t
AOB
90
6
AON
AOM
M N
t
O
45
3
AOC
AOB
B C
t
O
90
6
45
3
45
3
N
t
t
OC
AON
AOC
t
1
45
6
4
3
2
5
1
2
NOC
AOM
t
t
OM
ON
OC
6
t
AOM
3
t
AOB
∴
，
，
∴
，
∴
；
综上可知：
．
【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度
数是解题的关键．
19．如图，一副三角板的边
在直线
上，直角顶点C、M 分别在直线
的上方和下方，
．
(1)将图1 中的三角板
绕点O 逆时针旋转
，则
；
(2)将图1 中的三角板
绕点O 按逆时针方向旋转到图2 的位置，使
在
的内部，求
的度数；
(3)将图1 中的三角板
同时绕点O 按逆时针方向旋转，速度分别为每秒
和每秒
，当三角
板
第一次旋转到起始位置时，一副三角板都停止运动．设运动时间为t 秒，当直线
恰好平分
时，求t 的值．
【答案】(1)30
(2)
(3)
或
【分析】（1）由
，再根据旋转角的定义即可得到结论；
（2）由
，易得
，代入即可求
的度数；
（3）先根据已知条件设
的旋转角度为
，
的旋转角度为
，再根据直线
恰好平分
，
分三种情况列出方程即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，图1 中的三角板
绕点O 逆时针旋转
，
90
6
AON
AOM
M N
t
O
45
3
AOC
AOB
B C
t
O
90
6
45
3
45
3
N
t
t
OC
AON
AOC
t
1
45
6
4
3
2
5
1
2
NOC
AOM
t
t
1
2
45
NOC
AOM
OD
ON
、
AB
AB
45
60
COD
MON
，
MON
90
BOM
MON
OM
AOC
AON
COM
MON
COD
、
15
5
MON
OM
AOC
15
3
t
17.4
60
MON
45
60
COD
MON
，
60
,
45
AON
AOM
COM
AOM
AON
COM
OM
15 t
OC
5 t
OM
AOC
MON
90
，
，
，
故答案为：30；
（2）解：
，
；
（3）解：设
的旋转角度为
，
的旋转角度为
，
如图1，
此时：
，
解得：
；
如图2，
此时：
，
解得
；
但当
时，
，不符合实际；
如图3，
60
MON
90
BON
30
BOM
BON
MON
60
,
45
AON
AOM
COM
AOM
60
45
15
AON
COM
AOM
AOM
OM
15 t
OC
5 t
1
60
15
45
5
2
t
t
3
t
1
15
60
5
45
2
t
t
3
t
3
t
5
45
0
t
此时：
，
解得
，
综上，
或
．
【点睛】本题考查角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系是解题的关键．
20．点O 为直线
上一点，将一直角三角板
的直角顶点放在O 处，射线
平分
．
(1)如图（1），若
，则
______；
(2)将图（1）中的直角三角板
绕顶点
顺时针旋转至图（2）的位置，一边
在直线
上方，另一
边
在直线
下方．
①试探究
的结果是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，请说明理由；
②当
时，求
的度数．
【答案】(1)
(2)①
②
【分析】（1）由补角的定义可求
，再由角平分线定义可求
，由
即可求解；
（2）①由余角的定义可求
，再由补角的定义可求
，即可求解；
②设
，由角平分线的定义可得
，由补角的定义及余角的定义可求
，即可求解．
【详解】（1）解：
，
，
射线
平分
，
1
15
180
60
5
45
2
t
t
17.4
t
3
t
17.4
AB
OMN
OC
MOB
40
AOM
CON
OMN
O
OM
AB
ON
AB
AOM
BON
3
AOC
BON
BON
20
90
AOM
BON
54
140
BOM
°
70
BOC
COM
CON
MON
COM
90
BOM
BON
90
AOM
BON
BOC
x
COM
x
AOC
AOM
COM
180
x
40
AOM
180
BOM
AOM
180
40
140
OC
MOB
BOC
COM
，
，
，
故答案：
；
（2）解：①是定值，
，
理由如下：
，
，
，
，
；
②设
，
射线
平分
，
，
，
，
，
，
，
解得：
，
．
【点睛】本题考查了角平分线相关角的数量关系，角平分线的定义，补角的定义，余角的定义，一元一次
1
70
2
BOM
90
MON
CON
MON
COM
90
70
20
20
90
AOM
BON
90
MON
BOM
MON
BON
90
BON
180
AOM
BOM
180
90
BON
90
BON
AOM
BON
90
BON
BON
90
BOC
x
OC
MOB
COM
x
180
2
AOM
x
90
2
BON
x
AOC
AOM
COM
180
2x
x
180
x
3
AOC
BON
180
3 90
2
x
x
18
x
90
2 18
BON
54
方程，理解定义，能用方程思想求角度是解题的关键．
21．点
为直线
上一点，过点
作射线
，使
，将一直角三角板的直角顶点放在点
处．
(1)如图1，将三角板
的一边
与射线
重合时，则
________ ；（答案写在右边一栏答题
区域）
(2)如图2，将三角板
绕点
逆时针旋转一定角度，此时
是
的角平分线，求旋转角
的度数和
的度数；
(3)将三角板
绕点
逆时针旋转过程中，当
时，直接写出
的度数．
【答案】(1)25
(2)
(3)
或
【分析】本题考查角的计算和旋转的知识，关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的．
（1）根据
和
的度数可以得到
的度数．
（2）根据
是
的角平分线，
可以求得
的度数，由
，可得
的度数，从而可得
的度数．
（3）分两种情况，
在
左边或右边，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴
．
故答案为：25；
（2）∵
是
的角平分线，
即
；
（3）当
在
左边时，
O
AB
O
OC
65
BOC
O
MON
ON
OB
MOC
MON
O
OC
MOB
BON
CON
MON
O
1
3
NOC
AOM
NOC
40 ,
25
BON
CON
25
2
25
4
MON
BOC
MON
OC
MOB
65
BOC
BOM
90
NOM
BON
CON
ON
OC
90 ,
65
MON
BOC
90
65
25
MOC
MON
BOC
65 ,
BOC
OC
MOB
2
130 .
MOB
BOC
BON
MOB
MON
130
90
40 .
CON
COB
BON
65
40
25 .
40 ,
25
BON
CON
ON
OC
当
在
右边时，
，
，
∴
的度数为
或
．
22．一副三角板如图1 放置，点A，O，B 在直线
上，其中
，
，
(1)如图2，
平分
，
平分
，求
的度数；
(2)如图3，若三角板
绕点O 逆时针旋转
，
平分
，
平分
，求
；
(3)若三角板
绕点O 逆时针旋转
（
），（2）中其它条件不变，请求出
的度数．
【答案】(1)
；
1
,
3
NOC
AOM
Q
3
.
AOM
NOC
65 ,
BOC
Q
AOC
AOB
BOC
180
65
115 .
90 ,
MON
Q
AOM
NOC
AOC
MON
115
90
25 .
3 NOC
NOC
25 .
25;
4
NOC
ON
OC
180
AOM
BOC
NOC
MON
Q
65
90
AOM
CON
3 NOC
NOC
25 .
25 ,
2
NOC
NOC
25
2
25
4
MN
30
BOD
45
AOC
OE
DOC
OF
BOC
EOF
AOC
30
OF
BOC
OG
AOD
FOG
AOC
0
360
FOG
15
EOF
(2)
；
(3)
．
【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．
（1）利用角平分线定义求得
，
，进一步计算即可求解；
（2）同（1）利用角平分线定义求得
，
，进一步计算即可求解；
（3）分
、
和
以及
四种情况讨论，画出图形，利用
角平分线定义和角的计算即可求解．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
，
∵
平分
，
平分
，
∴
，
，
∴
；
；
（2）解：如图，
，
，
∵
平分
，
平分
，
∴
，
，
∴
；
；
（3）解：分类讨论，
当
时，如图，
37.5
FOG
37.5
FOG
52.5
COE
67.5
COF
52.5
COF
60
AOG
0
60
60
135
135
180
180
360
30
BOD
45
AOC
105
DOC
135
BOC
OE
DOC
OF
BOC
1
105
52.5
2
COE
1
135
67.5
2
COF
67.5
52.5
15
EOF
180
45
30
105
BOC
180
30
30
120
AOD
OF
BOC
OG
AOD
1
105
52.5
2
COF
1
120
60
2
AOG
37.5
FOG
AOF
AOG
AOC
COF
AOG
AOC
0
60
同理，
；
当
时，如图，
；
当
时，如图，
1
1
45
2
2
FOG
COF
COG
BOC
AOD
1
1
180
45
180
30
45
2
2
37.5
60
135
1
1
45
2
2
FOG
COF
COG
BOC
AOD
1
1
180
45
45
180
30
2
2
37.5
135
180
FOG
AOF
AOG
AOB
BOF
AOG
1
1
180
45
180
30
180
2
2
1
1
1
1
180
45
180
30
180
2
2
2
2
，
当
时，如图，
，
综上，
．
23．已知
是直线
上的一点，射线
在直线
的上方，
，将一个直角三角板
的直
角顶点放在
处，且直角三角板在直线
的上方．
(1)如图，若直角三角板的边
在
的内部，请直接写出
与
之间的数量关系；
(2)若
恰好平分
，求
和
的度数；
(3)将图
中的三角板绕点
以每秒
的速度顺时针旋转
，设运动时间为秒，是否存在值，使
？若存在，请求出的值，并求出此时
的度数．
【答案】(1)
(2)
，
37.5
180
360
FOG
BOF
BOG
BOF
DOG
DOB
1
1
45
180
180
30
30
2
2
1
1
1
1
1
1
45
180
180
30
30
2
2
2
2
2
2
1
1
45
30
30
2
2
37.5
37.5
FOG
O
AB
OC
AB
50
BOC
DOE
O
AB
1
OD
BOC
COE
BOD
OE
AOC
COE
BOD
2
O
6
180
t
t
1
9
COD
AOE
t
BOD
40
COE
BOD
40
25
(3)
【分析】（1）根据角的和差求解；
（2）根据角的平分线的意义及角度和差求解；
（3）分类讨论，根据角的和差列方程求解．
【详解】（1）
，
，
；
（2）
，
，
平分
，
，
由
得：
，
；
（3）情况一：
，
，
，
，
，
，
；
情况二：
，
，
，
15
45
2
t
s
，
50
90
BOC
DOE
，
90
50
COD
COE
COD
BOD
，
40
COE
BOD
50
BOC
180
180
50
130
AOC
BOC
OE
AOC
1
65
2
COE
AOC
1
40
COE
BOD
40
25
BOD
COE
50
BOC
180
180
50
130
AOC
BOC
90
EOD
130
90
40
AOE
COD
AOC
EOD
1
9
AOE
COD
36
4
AOE
COD
，
36
6
6
4
50
54
t
s
BOD
，
50
BOC
180
180
50
130
AOC
BOC
1
9
AOE
COD
，
，
由
得：
，
，
，
解得
，
．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角的和差倍分运算，掌握角的和差和分类讨论思想是解题的关
键．
24．小明利用三角尺进行数学探究活动：
如图，
为直线
上一点，将一三角尺
的直角顶点放在点
处，
平分
．
(1)如图①，若
，求
的度数；
(2)如图②，若
平分
，求
的度数；
(3)当
时，
绕点
以每秒
的速度按逆时针方向旋转秒
，请探究
和
之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】（1）由补角及直角的定义可求得
的度数，结合角平分线的定义可求解
的度数；
（2）由角平分线的定义可得
，进而可求解；
9
AOE
COD
130
9
EOC
AOC
AOE
COD
1
40
COE
BOD
40
130
9
40
90
9
BOD
COE
COD
COD
90
9
50
BOC
BOD
COD
COD
COD
5
9
45
COD
AOE
COD
，
15
45
6
90
9
45
2
t
s
BOD
COD
，
O
AB
COD
O
OE
BOC
40
AOC
DOE
OF
BOD
EOF
40
AOC
COD
O
5
t
(0
36)
t
AOC
DOE
20
DOE
45
EOF
2
AOC
DOE
2
360
AOC
DOE
BOD
DOE
1
2
EOF
COD
（3）可分两种情况：①
时，
时，分别计算可求解．
【详解】（1）解：
，
．
，
．
平分
，
．
．
（2）解：
平分
，
平分
，
，
．
．
，
．
（3）解：①当
时，如图①所示．
由题意得
，
．
平分
，
．
．
．
②当
时，如图②所示．
0
8
t
8
36
t
40
AOC
180
140
BOC
AOC
90
COD
140
90
50
BOD
BOC
COD
OE
BOC
1
70
2
BOE
BOC
70
50
20
DOE
BOE
BOD
OE
BOC
OF
BOD
1
2
BOE
BOC
1
2
BOF
BOD
1
1
2
2
EOF
BOE
BOF
BOC
BOD
COD
90
COD
45
EOF
0
8
t
(40
5 )
AOC
t
180
180
(40
5 )
(140
5 )
BOC
AOC
t
t
OE
BOC
1
1 (140
5 )
2
2
COE
BOC
t
1
5
90
(140
5 )
20
2
2
DOE
COD
COE
t
t
2
AOC
DOE
8
36
t
由题意得
，
．
平分
，
．
．
．
【点睛】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关
键．
25．如图1，直线
上有一点
，过点
在直线
上方作射线
，
，将一直角三角板
的直角顶点放在点
处，一条直角边
在射线
上，另一边
在直线
上方，将直角三角板绕
着点
按每秒
的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒．
(1)当直角三角板旋转到如图2 的位置时，
恰好平分
，求此时
的度数；
(2)若射线
的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线
、
、
中的某一条
射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出的取值，若不存在，请说明理由；
(3)若在三角板开始转动的同时，射线
也绕
点以每秒
的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时
间，射线
平分
．直接写出的值．（本题中的角均为大于
且小于
的角）
【答案】(1)
(2)存在，
或4 或16
(3)
或
或
(5
40)
AOC
t
180
180
(5
40)
(220
5 )
BOC
AOC
t
t
OE
BOC
1
1 (220
5 )
2
2
COE
BOC
t
DOE
COD
COE
1
5
90
(220
5 )
200
2
2
t
t
2
360
AOC
DOE
DE
O
O
DE
OC
140
COE
AOB
O
OA
OD
OB
DE
O
20
t
OA
COD
BOC
OC
OA
OC
OD
t
OC
O
25
OC
BOD
t
0
180
70
BOC
1
t
1
3
37
3
35
2
【分析】（1）先根据补角定义求出
的度数，再根据角平分线的定义求出
的度数，最后根据
余角定义即可求出
的度数；
（2）分三种情况讨论，①当
平分
时，②当
平分
时，③当
平分
时，可分别
求出t 的值；
（3）设运动时间为t，分三种情况分别画出图形进行讨论，利用角平分线的定义列方程即可求出t 的值．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
又∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
；
（2）存在，
当
平分
时，
，
即
，
解得：
；
当
平分
时，
，
即
，
解得：
；
当
平分
时，
，
即
，
COD
COA
BOC
OA
COD
OC
AOD
OD
AOC
140
COE
180
40
COD
COE
OA
COD
1
20
2
AOC
COD
90
AOB
90
70
BOC
AOC
OA
COD
20
AOD
AOC
20
20
t
1
t
OC
AOD
40
AOC
DOC
20
40
40
t
4
t
OD
AOC
40
AOD
COD
360
20
40
t
解得：
；
综上所述：
或4 或16；
（3）∵
平分
，
∴
，
①设运动时间为t，如图，
，
，
∴
时，
解得：
，
②如图，
，
，
∴
，
解得：
，
③当
回到起始位置后，
∵
平分
，
∴
，
，
∴
，
所以t 的值为
或
或
．
【点睛】本题考查了补角，余角及角平分线的定义，一元一次方程的应用，角的动态定义的理解，掌握分
类讨论思想是关键．
26．将一副直角三角板如图1 摆放在直线
上（直角三角板
和直角三角板
，
，
16
t
1
t
OC
BOD
BOC
COD
90
20
BOD
t
40
25
COD
t
90
20
2 40
25
t
t
1
3
t
360
40
25
320
25
COD
t
t
270
20
BOD
t
270
20
2 320
25
t
t
37
3
t
OC
OC
BOD
40
BOC
COD
80
BOD
360 10
35
20
2
t
1
3
37
3
35
2
AD
OBC
MON
90
OBC
45
BOC
90
MON
30
MNO
OBC
MON
10
，
，
），保持三角板
不动，将三角板
绕点O 以每秒
的速度顺时针旋转直至
边第一次重合在直线
上，整个过程时间记为t 秒．
(1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了 秒；
(2)如图2，旋转三角板
，使得
、
在直线
的异侧，请直接写出
与
数量关系；
如图3，继续旋转三角板
，使得
、
同时在直线
的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成
立？并说明理由．
(3)若在三角板
旋转的同时，另一个三角板
也绕点O 以每秒
的速度顺时针旋转，当
边第
一次重合在直线
上时两三角板同时停止．
①试用字母t 分别表示
与
；
②在旋转的过程中，当t 为何值时
平分
．
【答案】(1)9
(2)
；成立，证明见解析
(3)①
，
；②
【分析】（1）根据
即可解决问题；
（2）①结论：
；由
，
，可得
；
②如图3 中，结论仍然成立．证明方法类似；
（3）①
，
；
②由
平分
，可得
，由此列出方程
，即可解决问题；
45
BOC
90
MON
30
MNO
OBC
MON
10
ON
AD
MON
OM
ON
OC
CON
AOM
MON
OM
ON
OC
MON
OBC
12
ON
AD
AOM
AOC
OM
AOC
45
CON
AOM
10
AOM
t
12
45
AOC
t
45 s
8
90
NOD
45
CON
AOM
90
CON
COM
45
AON
COM
90
45
45
CON
AOM
COM
COM
10
AOM
t
12
45
AOC
t
OM
AOC
2
AOC
AOM
12
45
2
10
t
t
【详解】（1）解：如图1 中，
∵
，
∴
．
故答案为9．
（2）①结论：
；
理由：如图2 中，
∵
，
，
∴
；
②如图3 中，结论仍然成立．
理由：∵
，
，
∴
．
90
MON
NOD
90
9s
10
t
45
CON
AOM
90
CON
COM
45
AOM
COM
90
45
45
CON
AOM
COM
COM
90
CON
COM
45
AOM
COM
90
45
45
CON
AOM
COM
COM
（3）①
，
；
②∵
平分
，
∴
，
∴
，
解得：
，
∴当t 为
时，
平分
．
【点睛】本题考查三角形综合题、直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
27．如图，O 为直线
上一点，将一副直角三角尺（分别含
和
的角）按图中方式
放在点O 处，使
．将三角尺
绕点O 以每秒
的速度顺时针旋转，旋转
后停止设运
动时间为t 秒．
(1)当
时，
__________ ；
(2)若在三角尺
开始旋转的同时，三角尺
也绕点O 以每秒
的速度逆时针旋转，当三角尺
停止旋转时，三角尺
也停止旋转．
①在线段
与
第一次相遇前，t 为何值时，
平分
；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使
．若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①
②存在，
或
10
AOM
t
12
45
AOC
t
OM
AOC
2
AOC
AOM
12
45
2
10
t
t
45
8
t
45S
8
OM
AOC
MN
45 45 90
、、
30 60 90
、、
150
AOC
AOB
5
180
5
t
BOC
AOB
COD
10
AOB
COD
OA
OC
OA
COD
2
AOD
BOC
80
9
t
4
t
22
3
t
【分析】（1）如图1，记
旋转后的位置为
，先计算旋转前的
的值，求解
时的旋转的角度
，然后根据
计算求解即可；
（2）①如图2，记
旋转后的位置分别为
，在线段
与
第一次相遇前，
平分
，则有
，
，即
，
计算求解即可；②由题意知，
，
，当
，分
三种情况求解：情况一：如图
，当
在
左侧，
在
左侧；情况二：如图
，当
在
右侧，
在
左侧；情况三：如图
，当
在
右侧，
在
右侧；分别表示出
，
，然后令
，计算求解满足要求的值即可；
【详解】（1）解：如图1，记
旋转后的位置为
，
由题意知，
，
∵
，
∴
，
当
时，此时
，
∴
，
故答案为：
；
（2）解：①如图2，记
旋转后的位置分别为
，
∵线段
与
第一次相遇前，
平分
，
B
B
BOC
5
t
BOB
B OC
BOC
BOB
A
C
D
，，
A
C
D
，
，
OA
OC
OA
COD
1
30
15
2
D OA
A OC
150
AOA
A OC
COC
5
15
10
150
t
t
180
36
5
t
120
AOD
AOC
DOC
2
A OD
B OC
ⅱ
ⅱ
3 1
B
C
A
D
3
2
B
C
A
D
3 3
B
C
A
D
A OD
B OC
2
A OD
B OC
ⅱ
ⅱ
t
B
B
45
AOB
150
AOC
105
BOC
AOC
AOB
5
t
5 5
25
BOB
105
25
80
B OC
BOC
BOB
80
A
C
D
，，
A
C
D
，
，
OA
OC
OA
COD
∴
，
∴
，即
，
解得
，
∴在线段
与
第一次相遇前，
时，
平分
；
②解：存在，
或
；
由题意知，
，
，当
，分三种情况求解：
情况一：如图
，当
在
左侧，
在
左侧时，
，
；
令
，即
，解得
；
情况二：如图
，当
在
右侧，
在
左侧时，
，
；
令
，即
，解得
；
情况三：如图
，当
在
右侧，
在
右侧时，
1
30
15
2
D OA
A OC
150
AOA
A OC
COC
5
15
10
150
t
t
9
t
OA
OC
9
t
OA
COD
4
t
22
3
t
180
36
5
t
120
AOD
AOC
DOC
2
A OD
B OC
ⅱ
ⅱ
3 1
B
C
A
D
120
5
10
120
15
A OD
AOD
A OA
DOD
t
t
t
105
5
10
105
15
B OC
BOC
B OB
COC
t
t
t
2
A OD
B OC
ⅱ
ⅱ
120
15
2 105
15
t
t
4
t
3
2
B
C
A
D
120
5
10
120
15
A OD
AOD
A OA
DOD
t
t
t
5
10
105
15
105
B OC
B OB
COC
BOC
t
t
t
2
A OD
B OC
ⅱ
ⅱ
120
15
2 15
105
t
t
22
3
t
3 3
B
C
A
D
，
；
令
，即
，解得
（不合题意，舍去）；
综上所述，存在，当
或
时，使
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线，三角板中的角度计算等知识，解题的关键在于准确表示出旋
转后的角．
28．现有一副三角尺，将
和
重合于点
放置，且
，
，
．将三角尺
绕点
逆时针旋转一周（旋转过程中
和
均是指小于
的
角），分别作出
、
的平分线
、
(1)将三角尺旋转到如图1 的位置时，点
在
上，直接写出图1 中
______度；
(2)将三角尺旋转到如图2 位的置时，点
在
的延长线上，直接写出图2 中
______度
(3)将三角尺旋转到图3 所示的位置时，若
，
①
______．（用含
的代数式表示）
②请求出
的度数．
【答案】(1)
(2)
5
10
120
15
120
A OD
A OA
DOD
AOD
t
t
t
5
10
105
15
105
B OC
B OB
COC
BOC
t
t
t
2
A OD
B OC
ⅱ
ⅱ
15
120
2 15
105
t
t
22
6
3
t
4
t
22
3
t
2
AOD
BOC
ABC
ADE
V
A
90
BAC
D
45
ABC
C
60
DAE
ADE
A
BAD
CAE
180
BAD
CAE
AM
AN
B
AE
MAN
B
EA
MAN
BAE
x
NAE
x
MAN
75
75
(3)①
；②
【分析】（1）根据三角板得到
，
，根据角平分线的定义求出
，
，
相加可得结果；
（2）求出
、
，利用角平分线的定义得到
，
，
最后根据
得出结果；
（3）①求出
，根据角平分线的定义可得结果；②求出
，根据角平分线的定义求出
，再加上
和
即可得解．
【详解】（1）解：如图所示：
，
，
∵
、
分别平分
、
，
∴
，
，
∴
；
（2）∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∵
、
分别平分
、
，
∴
，
，
∴
；
（3）①∵
，
，
∴
，
∵
平分
，
∴
；
②∵
，
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角板中的角度运算，角的和差，解题的关键是仔细分析，得出每
1
45
2 x
75
60
BAD
90
CAE
BAN
∠
EAM
BAD
CAE
1
60
2
DAM
BAD
1
45
2
CAN
CAE
MAN
DAM
CAN
CAD
CAE
60
BAD
x
1
30
2
BAM
x
NAE
BAE
60
BAD
90
CAE
AM
AN
BAD
CAE
1
45
2
BAN
CAE
1
30
2
EAM
BAD
75
MAN
BAN
EAM
60
BAC
=90
DAE
180
60
90
30
CAD
90
30
120
BAD
60
30
90
CAE
AM
AN
BAD
CAE
1
60
2
DAM
BAD
1
45
2
CAN
CAE
75
MAN
DAM
CAN
CAD
90
CAB
BAE
x
90
CAE
CAB
BAE
x
AN
CAE
1
90
1
45
2
2
2
x
NAE
CAE
x
60
DAE
BAE
x
60
BAD
DAE
BAE
x
AM
BAD
1
1
30
2
2
BAM
BAD
x
1
1
45
30
75
2
2
MAN
NAE
BAM
BAE
x
x
x
个小问中的
的构成．
29．以直线
上一点O 为端点，在直线
的上方作射线
，使
，将一个直角三角板
的直角顶点放在O 处，即
，直角三角板
可绕顶点O 转动，在转动的过程中，直角三角板
所有部分始终保持在直线
上或上方．
(1)如图1，若直角三角板
的一边
在射线
上，则
______；
(2)将直角三角板
绕点O 转动后，使其一边
在
的内部，如图2 所示，
①若
恰好平分
，求此时
的度数；
②若
，求此时
的度数；
(3)直角三角板
在绕点O 转动的过程中，
与
之间存在一定的数量关系，请直接写出来，
不必说明理由．
【答案】(1)40°；
(2)①
，②
；
(3)
【分析】（1）根据两个角互为余角，求出
的度数；
（2）①根据平角定义先求出
，根据角平分线的定义得
，进而求出
；
②如图，先求出
，
，然后代入计算即可．
（3）根据题意，分成两种情况进行分析：当
在
内部时；当
在
外部时，分别求出答
案即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
故答案为：40°；
（2）解：①∵
，
∴
，
MAN
AB
AB
OC
50
BOC
DOE
90
DOE
DOE
DOE
AB
DOE
OE
OA
COD
DOE
OD
BOC
OE
AOC
BOD
1
3
COD
AOE
BOD
DOE
COE
BOD
25
BOD
30
BOD
40
COE
BOD
COD
AOC
1
2
COE
AOE
AOC
BOD
50
COD
BOD
90
AOE
BOD
OD
BOC
OD
BOC
90
DOE
90
DOB
50
BOC
40
COD
50
BOC
180
50
130
AOC
∵
恰好平分
，
∴
，
∴
；
②如图，当
在
的内部时，
∵
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
；
（3）解：当
在
内部时，如图所示，
∵
，
，
∴
．
当
在
外部时，如图所示，
∵
，
，
∴
；
综合上述，则
；
OE
AOC
1
65
2
COE
AOE
AOC
180
25
BOD
AOE
DOE
COD
BOC
COD
BOC
BOD
50
BOC
50
COD
BOD
180
AOE
DOE
BOD
90
DOE
90
AOE
BOD
1
3
COD
AOE
1
50
90
3 (
)
BOD
BOD
30
BOD
OD
BOC
90
COE
COD
50
BOD
COD
(90
)
(50
)
40
COE
BOD
COD
COD
OD
BOC
90
COE
COD
50
BOD
COD
(90
)
(50
)
40
COE
BOD
COD
COD
40
COE
BOD
【点睛】本题考查了作图——复杂作图、余角和补角，几何图形中的角度计算，角平分线的定义等知识的
综合运用，运用分类讨论的思想进行分析是解题的关键．．
30．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB 的直角顶点O 放在
互相垂直的两条直线
、
的垂足O 处，并使两条直角边落在直线
、
上，将
绕着点O 顺
时针旋转
．
(1)如图2，若
，则
______，
______；
(2)若射线
是
的角平分线，且
．
①
旋转到图3 的位置，
______．（用含
的代数式表示）
②
在旋转过程中，若
，则此时
______．
【答案】(1)
；
(2)①
；②
或
【分析】（1）根据
，以及角的和差计算即可；
（2）①先求
，再利用
得出结论；
②分两种情况讨论：当
旋转到
左侧时；当
旋转到
右侧时，解答即可．
【详解】（1）解：
，
∴
，
∵
，
∴
，
PQ
MN
PQ
MN
AOB
0
180
26
BOP
AOM
BOQ
OC
BOM
POC
AOB
BON
AOB
2
AOC
AOM
64
180
2
60
36
180
BOP
AOB
AOQ
BOP
BON
BOP
PON
OB
OP
OB
OP
MN
PQ
90
MOQ
MOP
26
26
AOQ a
∵
，
∴
；
∵
，
，
∴
；
故答案为：
；
．
（2）解：①∵
，
，
∴
，
∵射线
是
的角平分线，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
故答案为：
；
②当
旋转到
左侧时，如图所示：
∵
是
的角平分线，
∴
，
∵
，
∴
，
90
AOB
180
180
90
26
64
BOP
AOB
AOQ
90
26
64
AOM
MOQ
AOQ
90
26
116
BOQ
AOB
AOQ
64
116
180
AOM
BOQ
64
180
90
MOP
POC
90
MOC
OC
BOM
2
2 90
180
2
BOM
MOC
b
b
90
90
180
2
2
90
BOP
BOM
b
b
90
PON
2
90
90
2
BON
BOP
PON
b
b
2
OB
OP
OC
BOM
BOC
MOC
2
AOC
AOM
AOM
MOC
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
当
旋转到
右侧时，如图所示：
设
，
∵
，
∴
，
∵
是
的角平分线，
∴
，
∵
，
∴
，
解得：
，
∴
，
∴
；
综上分析可知，
的值为：
或
．
故答案为：
或
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键．
三、平行线的性质与判定（30 题）
31．如图，
，
，点
是射线
上一点，连接
，将
沿着
翻折得
，
点
的对应点为点
，若
，那么
．
BOC
MOC
AOM
90
BOC
MOC
AOM
30
BOC
MOC
AOM
90
30
60
POC
MOP
MOC
OB
OP
AOM
x
2
2
AOC
AOM
x
3
MOC
AOM
AOC
x
OC
BOM
3
BOC
MOC
x
90
AOC
BOC
AOB
2
3
90
x
x
18
x
3
54
MOC
x
90
36
POC
MOC
60
36
60
36
AB
CD
∥
60
C
E
CD
AE
AEC
△
AE
AEF
△
C
F
2
EAF
FAB
AEC
【答案】
或
/
或
【分析】分
在
上方和
在
下方，两种情况进行讨论，设
，根据平行线的性质和翻折
得出角的关系，列出方程即可得出答案．
【详解】解：分两种情况：
①如图，当
在
上方时，
设
，
将
沿着
翻折得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：
，
；
②如图，当
在
下方时，
40
7272
40
AF
AB
AF
AB
BAF
x
AF
AB
BAF
x
AEC
△
AE
AEF
△
2
EAF
FAB
2
CAE
EAF
x
EAB
x
3
CAB
CAE
EAB
x
AB
CD
∥
60
C
180
BAC
C
AEC
EAB
180
180
60
120
CAB
C
3
120
x
40
x
40
AEC
EAB
AF
AB
设
，
将
沿着
翻折得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：
，
，
，
综上所述，
或
，
故答案为：
或
．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质，掌握平行线的性质及分类讨论的数学思想是解决问题的关
键．
32．已知直线
，点
、
分别在
、
上，如图所示，射线
按顺时针方向以每秒
的速度
旋转至
便立即回转，并不断往返旋转；射线
按顺时针方向每秒
旋转至
停止．此时射线
也
停止旋转，若射线
先转
秒，射线
才开始转动，当射线
旋转的时间为 秒时，
．
【答案】
或
或
【分析】分三种情况：①当
时，②当
时，③当
时，根据平行线的性质，
得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间．
【详解】解：①当
时，如图
，则
，
BAF
x
AEC
△
AE
AEF
△
2
EAF
FAB
2
CAE
EAF
x
3
EAB
x
5
CAB
CAE
EAB
x
AB
CD
∥
60
C
AEC
EAB
180
180
60
120
CAB
C
5
120
x
24
x
3
24
72
EAB
72
AEC
EAB
40
AEC
72
40
72
AB
CD
P
Q
AB
CD
PB
5
PA
QC
1
QD
PB
QC
60
PB
PB
PB
QC
∥
15
50
105
0s
36s
t
36s
54s
t
54s
120s
t
t
0s
36s
t
2
4
45
BPB
t
CQC
t
，
∵
，
∴
，
即
，
解得，
（）；
②当
时，如图
，则
，
∵
，
∴
，
即
，
解得，
（）；
③当
时，如图
，则
，
∵
，
∴
，
即
，
AB
CD
PB
QC
∥
，
∥
BPB
PEC
CQC
5
60
t
t
15
t
s
36s
54s
t
3
5
180
60
APB
t
CQC
t
，
AB
CD
PB
QC
∥
，
∥
180
APB
PED
CQC
5
180
180
60
t
t
50
t
s
54s
120s
t
4
5
360
60
BPB
t
CQC
t
，
AB
CD
PB
QC
∥
，
∥
BPB
PEC
CQC
5
360
60
t
t
解得，
（）；
综上，当射线
旋转的时间为
秒或
秒或
秒时，
．
故答案为：
或
或
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是作平行线，分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
33．如图1，
，点
为直线
间一点，点E，F 分别是直线
上的点，连接
.
(1)【证明推断】求证：
，请完善下面的证明过程，并在（ ）内填写依据.
证明：过点P 作直线
，
（已作），
（______），
又
，
（已知）
______，（______）
，
______.
(2)如图2，若
的平分线与
的平分线交于点
.
①【类比探究】试猜想
与
之间的关系，并说明理由；
②【结论运用】若
，求
的度数.
(3)【拓展认知】如图3，直线
，点P，H 为直线
间的点，请直接写出
，
，
，
的数量关系：______.
【答案】(1)两直线平行，内错角相等；
；平行于同一直线的两直线平行；
(2)①
，理由见解析；②
(3)
【分析】（1）过点P 作直线
，根据平行线的性质即可得到答案；
（2）①分别过点P，Q 作
，
，由平行线的性质和角平分线的定义得
105
t
s
PB
15
50
105
PB
QC
∥
15
50
105
AB
CD
∥
P
AB
CD
，
AB
CD
，
EP
FP
，
EPF
AEP
CFP
MN
AB
∥
MN
AB
∥
AEP
EPN
MN
AB
∥
AB
CD
∥
CFP
FPN
AEP
CFP
EPN
FPN
AEP
PFC
Q
EPF
EQF
240
BEP
DFP
EQF
AB
CD
∥
AB
CD
、
AEP
PHF
EPH
HFD
MN
CD
∥
EPF
2
EPF
EQF
60
AEP
FHP
EPH
DFH
+
+
MN
AB
∥
PH
AB
QG
AB
1
1
2
2
AEQ
QFC
AEP
PFC
EPF
EPF
AEP
CFP
，进而即可求解；②结合平角的定义和
即可得到答案；
（3）过点P、H 作
，可得
，进而即可得到结论．
【详解】（1）证明：过点
作直线
，
（已作），
（两直线平行，内错角相等）
又
，
（已知），
，（平行于同一直线的两直线平行），
，
；
（2）解：①
.
理由：如图1，分别过点P，Q 作
，
.
的平分线与
的平分线交于点
，
，
.
.
同（1）可证得
，
②
，
，
.
又
，
1
1
2
2
AEQ
QFC
AEP
PFC
EPF
EPF
AEP
CFP
m
n
AB
∥∥
1
2
3
4
AEP
DFH
，
，
P
MN
AB
MN
AB
AEP
EPN
MN
AB
AB CD
MN
CD
CFP
FPN
AEP
CFP
EPN
FPN
EPF
2
EPF
EQF
PH
AB
QG
AB
AEP
PFC
Q
1
2
AEQ
AEP
1
2
CFQ
PFC
1
1
(
)
2
2
AEQ
QFC
AEP
PFC
EPF
EQF
AEQ
CFQ
2
.
EPF
EQF
180
AEP
BEP
180
PFC
DFP
360
AEP
BEP
PFC
DFP
360
360
240
120
AEP
PFC
BEP
DFP
EPF
AEP
CFP
1
1 (
)
60
2
2
EQF
EPF
AEP
PFC
（3）过点P、H 作
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，即
故答案为：
【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键．
34．已知：直线
，点A，B 在直线a 上，点C，D 在直线b 上，
(1)连接
，
，
平分
，
平分
，且
，
所在直线交于点
．
①如图1，若
，
，则
的度数为 ；
②如图2，设
，
，则
的度数为 （用含有α，β 的式子表示）．
(2)如图3，
平分
，
平分
，
，则
和
的数量关系是 ．
(3)如图4，若
，
，且
平分
，
平分
，猜想
的结果并且证明你的结论；
【答案】(1)①
；②
m
n
AB
∥∥
AB
CD
∥
m
n
AB
CD
∥∥
∥
1
2
3
4
AEP
DFH
，
，
3
4
1
2
AEP
DFH
+
+
+
+
AEP
FHP
EPH
DFH
+
+
AEP
FHP
EPH
DFH
+
+
a
b
∥
AD
BC
BE
ABC
DE
ADC
BE
DE
E
60
ABC
70
ADC
BED
ABC
ADC
BED
EF
MEN
NP
END
EQ
NP
∥
FEQ
BME
2
5
BAP
BAC
2
5
DCP
ACD
AE
BAP
CF
DCP
E
F
65
1
1
180
2
2
(2)
(3)
，证明见解析
【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义及等式的性质，添加辅助线是解题的关键．
（1）①如图1 所示，过点
作
，根据
，
，由平行线性质及角平分线定义
即可求出
的度数；
②如图2 所示，过点
作
，
，
，由平行线性质及角平分线定义即可求出
的度数．
（2）根据（1）的结论，再利用角平分线的定义求解；
（3）根据（1）的结论，再利用等式的性质求解求解．
【详解】（1）解：①过点
作
，如图1 所示：
，
，
∴
，
，
，即
，
平分
，
平分
，
，
，
，
，
；
故答案为：
；
②过点
作
，如图2 所示：
，
2
BME
FEQ
108
E
F
E
EF
AB
∥
60
ABC
70
ADC
BED
E
EF
AB
∥
ABC
ADC
BED
E
EF
AB
∥
BEF
EBA
∥
AB
CD
EF
CD
∥
FED
EDC
BEF
FED
EBA
EDC
BED
EBA
EDC
BE
ABC
DE
ADC
60
ABC
70
ADC
1
30
2
EBA
ABC
1
35
2
EDC
ADC
65
BED
EBA
EDC
65
E
EF
AB
∥
180
BEF
EBA
，
，
∴
，
，
，即
，
平分
，
平分
，
，
，
，
，
．
故答案为：
；
（2）解：∵
平分
，
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
由（1）中的结论得：
，
∴
，
故答案为：
；
（3）解：∵
平分
，
平分
，
∴
，
，
由（1）的结论得：
①，
②，
180
BEF
EBA
∥
AB
CD
EF
CD
∥
FED
EDC
180
BEF
FED
EBA
EDC
180
BED
EBA
EDC
BE
ABC
DE
ADC
ABC
ADC
1
1
2
2
EBA
ABC
1
1
2
2
EDC
ADC
1
1
180
180
2
2
BED
EBA
EDC
1
1
180
2
2
EF
MEN
NP
END
2
2
MEN
FEN
END
ENP
，
EQ
NP
∥
QEN
ENP
2
2
MEN
FEN
BME
END
BME
ENP
2
BME
QEN
2
2
2
BME
FEN
QEN
FEN
QEN
2 FEQ
2
BME
FEQ
AE
BAP
CF
DCP
1
1
2
5
BAE
BAF
BAC
1
1
2
5
FCD
ECD
ACD
1
2
5
5
E
BAE
ECD
BAC
ACD
1
2
5
5
F
BAF
FCD
BAC
ACD
得：
．
35．已知：如图，
，直线
分别交
于点G，H，点P 为直线
上的点，连接
．
(1)如图1，点P 在线段
上时，请你直接写出
，
，
的数量关系；
(2)如图2，点P 在
的延长线上时，连接
交
于点Q，连接
，若
，
求证：
；
(3)在（2）的条件下，如图3，
平分
，
平分
，
与
交点K，连接
，若
，
，
，求
的大小．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【分析】（1）过P 作
，根据平行线的传递性得出
，再根据两直线平行，内错角相等即
可解答；
（2）过点Q 作
，证出
，根据平行线的传递性即可证明；
（3）根据三角形内角和即可算出
，再根据角平分线定义以及已知条件即可得出
，结合（2）即可解出
，过K 作
，证出
根据平行线性质得出
即可得
，
即可求解；
①
②
3
3
5
5
E
F
BAC
ACD
3
3 180
5
5
BAC
ACD
108
AB
CD
∥
EF
AB
CD
，
EF
AP
CP
，
GH
BAP
DCP
APC
HG
CP
AB
HQ
AC
，
ACP
PHQ
CQH
AC
EF
∥
CK
ACP
GK
AGP
GK
CK
AK
4
2
PQH
PCK
PHQ
CKG
CHQ
159
AKC
KAC
BAC
APC
BAP
DCP
78
PN
AB
∥
PN
CD
∥
QN
AC
∥
2
PHQ
1
21
4 2
2 5
84
2 5
PQH
5
18
KM
AC
∥
1
3
21
3,
CKG
,
EGA
EHC
3
5
21
18
21
39
【详解】（1）过P 作
，
，
，
，
，
；
（2）过点Q 作
，
，
，
，
；
（3）
平分
，
平分
，
，
，
，
，
PN
AB
∥
1
BAP
AB
CD
∥
PN
CD
∥
2
DCP
1
2
APC
BAP
DCP
QN
AC
∥
1
ACP
,
ACP
PHQ
CQH
Q
1
2
,
CQH
2
PHQ
QN
EF
∥
AC
EF
∥
CK
ACP
GK
AGP
1
2,
3
4
159
AKC
KAC
Q
1
180
159
21
Q
4
2
4 2
2 5
84
2 5
PQH
PCK
PHQ
由（2）知
，
即
，
，
过K 作
，
∵
，
，
，
即
，
，
，
【点睛】本题考查平行线的性质“两直线平行内错角相等”、角平分线的定义、平行线的传递性“两条直
线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行”等，解题的关键是会添加常用辅助线(即过“拐点”作平
行线，一般而言，有几个 “拐点”就需要作几条平行线)，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题．
36．如图，
，点
，
，
，
不在同一条直线上．
ACP
PHQ
CQH
42
5
180
PQH
180
42
5
84
2 5,
5
18
KM
AC
∥
AC
EF
∥
KM
AC
EF
∥
∥
1,
3.
CKM
GKM
1
3
21
3.
CKG
,
AB
CD
CKG
CHQ
Q
∥
,
EGA
EHC
2 3
5
5
5
3
21
CHQ
CKG
3
5
21
18
21
39
AC
EF
∥
2 3
78 .
BAC
EGA
AB
CD
∥
A
E
B
C
(1)如图，求证：
(2)如图
，直线
，
交于点
，且
，
．
①试探究
与
的数量关系；
②如图
，延长
交射线
于点
，若
，
，则
的度数为 用
含
的式子表示．
【答案】(1)见解析
(2)①
；②
【分析】（1）过E 作
，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）①设
，由（1）知，
，过P 作
，根据平行线的性质即可得到结论；
②过P 作
，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图1，过E 作
，
，
，
，
，
∴
，即
；
（2）解：∵
，
，
∴设
，由（1）知，
，
如图2，过P 作
，
1
180
E
C
A
2
FA
CP
P
1
3
BAF
BAE
1
3
DCP
DCE
E
APC
3
CE
PF
Q
AE
PC
∥
α(0
α
22.5 )
BAQ
PQC
(
α
)
180
3
E
APC
180
8a
EF
AB
∥
3
3
BAF
x
BAE
x
DCP
y
DCE
y
，
，
，
180
180
3
E
C
A
y
x
PG
CD
PG
CD
EF
AB
∥
AB
CD
∥
AB
EF
CD
∥
∥
AEF
A
180
C
FEC
180
E
AEF
FEC
A
C
180
E
C
A
1
3
BAF
BAE
1
3
DCP
DCE
3
3
BAF
x
BAE
x
DCP
y
DCE
y
，
，
，
180
180
3
E
C
A
y
x
PG
CD
，
，
，
，
，即
；
②如图3，过P 作
，
，
，
，
，由①知，
，
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的计算，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
37．如图1，
，
为
、
之间一点．
(1)若
平分
，
平分
．求证：
；
(2)如图2，若
，
，且
的延长线交
的角平分线于点
，
的延长
线交
的角平分线于点
，猜想
的结果并且证明你的结论；
AB
CD
∥
AB
PG
∥
GPA
BAF
x
GPC
PCD
y
APC
y
x
180
3
180
3
E
y
x
APC
PG
CD
BAQ
2
QAE
AE
PC
∥
2
QAE
APC
180
3
180
6
AEC
APC
180
6
2
180
8
PQC
AEC
QAE
180
8a
AB
CD
G
AB
CD
GE
AEF
GF
EFC
EG
FG
2
5
AEP
AEF
2
5
CFP
EFC
FP
AEP
M
EP
CFP
N
M
N
(3)如图3，若点
是射线
之间一动点，
平分
，
平分
，过点
作
于点
，
请猜想
与
的关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)
，见解析
(3)
，见解析
【分析】（1）根据平行线的性质可得
，再利用角平分线的定义可求解
，进而证明结论；
（2）分别过
，
作
，
，根据平行线的性质可得
，再根据角平分线的定义结合
，
，可求解；
（3）根据垂线的定义可求得
，再根据角平分线的定义可求解
．
【详解】（1）
，
，
平分
，
平分
，
，
，
，
即
；
（2）
分别过
，
作
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
H
EB
FG
EFH
MF
EFC
G
GQ
FM
Q
EHF
FGQ
108
1
2
FGQ
EHF
180
AEF
CFE
90
FEG
GFE
M
N
MG
AB
∥
NH
AB
∥
EMF
ENF
AEM
MFC
AEN
NFC
2
5
AEP
AEF
2
5
CFP
EFC
90
FGQ
GFQ
1
2
FGQ
EHF
∥
AB
CD
180
AEF
CFE
∴
GE
AEF
GF
EFC
1
2
AEG
FEG
AEF
1
2
CFG
GFE
CFE
90
FEG
GFE
EG
FG
M
N
MG
AB
∥
NH
AB
∥
∥
AB
CD
AB
MG
NH
CD
∥
∥
∥
AEM
EMG
GMF
MFC
AEN
ENH
HNF
NFC
EMF
AEM
MFC
ENF
AEN
NFC
同理：
，
，
平分
，
平分
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）
．
证明：
，
，
，
，
平分
，
平分
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，灵活运用平行线的性质及角平分线
的定义是解题的关键．
38．已知
．
知识回顾（1）如图，点
在两平行线之间，试说明：
．
EPF
AEP
PFC
EMF
ENF
AEM
MFC
AEN
NFC
EM
AEN
FN
MFC
1
2
AEM
AEN
1
2
NFC
MFC
1
1
3
2
2
2
EMF
ENF
AEN
MFC
MFC
AEN
MFC
AEN
2
5
AEP
AEF
2
5
CFP
EFC
2
2
180
72
5
5
MFC
AEN
AEF
EFC
3
3
72
108
2
2
EMF
ENF
MFC
AEN
1
2
FGQ
EHF
∥
AB
CD
180
EHF
CFH
GQ
MF
90
FGQ
GFQ
FG
EFH
MF
EFC
1
2
GFE
EFH
1
2
QFE
CFE
1
1
1
180
90
2
2
2
GFQ
CFH
EHF
EHF
1
1
90
90
2
2
FGQ
EHF
EHF
AB
CD
[
]
1
E
BED
ABE
EDC
知识应用（2）如图
，
、
分别平分
、
，利用
中的结论，试说明：
；
（3）如图
，直接写出
、
、
、
四个角之间的数量关系．
知识拓展（4）如图
，若
，
，
、
分别平分
、
，那么
______
；只要直接填上正确结论即可
（5）如图
，若
、
、
三个角的和是
，
、
分别平分
、
，那么
______
用含
的式子表示
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
；（4）
【分析】
过点
作
，利用猪脚模型进行计算，即可解答；
利用
的结论可得得：
，
，再利用角平分线的定义可
得
，
，然后进行计算即可解答；
根据角平分线的定义可得
，
，再利用
的结论，从而进行计算可得
，再利用
的结论可得
，然后进行计算即可解答；
过点
作
，过点
作
，从而可得
，然后利用平行线的性质可得
，从而可得
，再利用平行线的性质可得
，
，从而可得
，最后利用角平分线的定义可得
，
，从而利用
的结论可得
，进行计算即可
解答；
过点
作
，过点
作
，过点
作
，利用
的解题思路进行计算即可解
答．
[
]
2
BP
DP
ABE
EDC
1
1
2
BPD
BED
2
BPD
BED
PBE
PDE
[
]
3
145
BEF
135
EFD
BP
DP
ABE
CDF
BPD
(
)
4
BEF
EFG
FGD
n
BP
DP
ABE
CDG
BPD
(．
n
)
50
1
180
2 n
1
E
EM
AB
∥
2
1
BED
ABE
CDE
BPD
ABP
CDP
1
2
ABP
ABE
1
2
CDP
CDE
3
1
2
EBP
ABE
1
2
EDP
CDE
1
1
2
PBE
PDE
BED
2
1
2
BPD
BED
4
E
//
EM
AB
F
FN
AB
AB
EM
FN
CD
180
MEF
NFE
100
BEM
DFN
ABE
BEM
CDF
DFN
100
ABE
CDF
1
2
ABP
ABE
1
2
CDP
CDE
1
1
2
BPD
ABP
CDP
ABE
CDE
5
E
EM
AB
∥
F
FN
AB
G
GH
AB
∥
4
【详解】解：
过点
作
，
，
，
，
，
，
；
由
得：
，
，
、
分别平分
、
，
，
，
，
即
；
，
理由：
、
分别平分
、
，
，
，
1
E
EM
AB
∥
ABE
BEM
∥
AB
CD
CD
EM
CDE
DEM
BED
BEM
DEM
BED
ABE
CDE
2
1
BED
ABE
CDE
BPD
ABP
CDP
BP
DP
ABE
EDC
1
2
ABP
ABE
1
2
CDP
CDE
BPD
ABP
CDP
1
1
2
2
ABE
CDE
1
2
ABE
CDE
1
2
BED
1
2
BPD
BED
3
BPD
PBE
PDE
BED
BP
DP
ABE
EDC
1
2
EBP
ABE
1
2
EDP
CDE
1
1
2
2
PBE
PDE
ABE
CDE
1
2
ABE
CDE
，
由
得：
，
，
即
；
过点
作
，过点
作
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
、
分别平分
、
，
，
，
，
故答案为：
；
1
2
BED
2
1
2
BPD
BED
1
1
2
2
BPD
PBE
PDE
BED
BED
BED
BPD
PBE
PDE
BED
4
E
EM
AB
∥
F
FN
AB
∥
AB
CD
AB
EM
FN
CD
EM
FN
∥
180
MEF
NFE
145
BEF
135
EFD
100
BEM
DFN
BEF
EFD
MEF
NFE
AB
EM
FN
CD
ABE
BEM
CDF
DFN
100
ABE
CDF
BP
DP
ABE
CDF
1
2
ABP
ABE
1
2
CDP
CDE
BPD
ABP
CDP
1
1
2
2
ABE
CDE
1
2
ABE
CDE
1 100
2
50
50
过点
作
，过点
作
，过点
作
，
，
，
，
，
，
，
，
，
、
分别平分
、
，
，
，
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题
的关键．
39．如图1，已知两条直线
被直线
所截，交点分别为
交
于点
，且
，
．
5
E
EM
AB
∥
F
FN
AB
G
GH
AB
∥
∥
AB
CD
AB
EM
FN
GH
CD
EM
FN
∥
FN
GH
∥
180
MEF
NFE
180
NFG
HGF
BEF
EFG
FGD
n
360
BEM
DGH
BEF
EFG
FGD
MEF
NFE
NFG
HGF
n
BP
DP
ABE
CDG
1
2
ABP
ABE
1
2
CDP
CDG
BPD
ABP
CDP
1
1
2
2
ABE
CDG
1
2
ABE
CDG
1
360
2 n
1
180
2 n
1
180
2 n
,
AB CD
MN
,
,
M N MP
CD
P
AB
CD
∥
PMN
MPN
(1)判断
是否平分
，并说明理由．
(2)如图2，点
是射线
上一动点（不与点
重合），
平分
交
于点
，过点
作
交
于
，
①当点
在线段
上时，若
，求
的度数；
②当点
在运动过程中，设
和
之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说
明理由．
【答案】(1)
平分
，理由见解析
(2)①
，②
或
【分析】（1）根据平行线的性质得出
，等量代换得到
，即可解答；
（2）①易得
，设
，则
，推出
，
，最后根据
，即可求解；②用和①一样的方法，进行
分类讨论：当点
在线段
上时；当点
在
延长线上时；即可解答．
【详解】（1）解：
平分
，理由如下：
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，即
平分
；
（2）解：①∵
，
，
MP
AMN
E
PD
,
P N
MF
EMN
CD
F
F
FQ
MP
∥
AB
Q
E
PN
40
MFQ
MEN
E
,
,
MEN
MFQ
MP
AMN
80
2
2
180
AMP
MPN
P
PMN
AM
40
M
PMF
FQ
EMN
x
1
2
EMF
NMF
x
1
40
2
PME
x
1
40
2
AMP
x
PMN
AME
AMP
PMN
E
PN
E
PN
MP
AMN
AB
CD
∥
AMP
MPN
PMN
MPN
P
PMN
AM
MP
AMN
FQ
MP
∥
40
MFQ
∴
，
设
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
，
由（1）可得：
，
∴
；
∵
，
∴
；
②情况一：当点
在线段
上时，
∵
，
，
∴
，
设
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
，
由（1）可得：
，
∴
；
∵
，
，
∴
，即
；
情况二：当点
在
延长线上时，
∵
，
，
∴
，
设
，
40
M
PMF
FQ
EMN
x
MF
EMN
1
2
EMF
NMF
x
1
40
2
PME
PMF
EMF
x
1
40
2
PMN
PMF
NMF
x
1
40
2
AMP
x
PMN
1
1
40
40
80
2
2
AME
AMP
PMN
x
x
AB
CD
∥
80
MEN
AME
E
PN
FQ
MP
∥
MFQ
M
PMF
FQ
EMN
x
MF
EMN
1
2
EMF
NMF
x
1
2
PME
PMF
EMF
x
1
2
PMN
PMF
NMF
x
1
2
AMP
x
PMN
1
1
2
2
2
AME
AMP
PMN
x
x
AB
CD
∥
MEN
2
MEN
AME
2
E
PN
FQ
MP
∥
MFQ
M
PMF
FQ
EMN
x
∵
平分
，
∴
，
∵
，
，
由（1）可得：
，
∴
；
∵
，
，
∴
，即
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，
内错角行动，同旁内角互补；以及根据图形，得出角度之间的数量关系．
40．【问题解决】
如图①，
，点
是
，
内部一点，连接
，
．若
，
，求
的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；
解：过点
作
（________________）
，
（已知）
（________________）
（________）（________________________）
又
（________________）
（________________）
，
（已知）
（等量代换）
【问题迁移】
请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题：
MF
EMN
1
2
EMF
NMF
x
1
2
PME
PMF
EMF
x
1
2
PMN
PMF
NMF
x
1
2
AMP
x
PMN
1
1
2
2
2
AME
AMP
PMN
x
x
AB
CD
∥
MEN
2
180
MEN
AME
2
180
AB
CD
∥
E
AB
CD
BE
DE
40
ABE
60
CDE
BED
E
EF
AB
∥
ABE
BEF
EF
AB
∥
AB
CD
∥
EF
CD
CDE
BED
BEF
DEF
BED
ABE
CDE
40
ABE
60
CDE
100
BED
ABE
CDE
如图③，
，射线
与直线
，
分别交于点
，
，射线
与直线
，
分别交于点
，
，点
在射线
上运动，连接
，
，设
，
．
（1）如图③，当点
在
，
两点之间运动时（点
不与点
，
重合），写出
，和
之间满足
的数量关系，并说明理由；
（2）当点
在
，
两点外侧运动时（点
不与点
，
重合），请画出图形，并直接写出
，
和
之间满足的数量关系；
【答案】问题解决：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；
；两直线平行，
内错角相等；角的和与差；等量代换；
问题迁移：（1）
，理由见解析；（2）
或
【分析】问题解决：根据过程填写依据即可；
问题迁移：（1）过点
作
，可证
，
，由
即可求解；
（2）①当
在
上时，过点
作
，同理可证：
，
， 由
，即可求解；②当
在
上时，过点
作
，同理可证：
，
，由
，即可求解．
【详解】问题解决：
解：过点
作
（两直线平行，内错角相等）
（已知）
（平行于同一条直线的两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
又
（角的和与差）
AB
CD
∥
OM
AB
CD
A
C
ON
AB
CD
B
D
P
ON
AP
CP
BAP
DCP
P
B
D
P
B
D
APC
P
B
D
P
B
D
APC
DEF
APC
a
APC
APC
P
PQ
AB
∥
APQ
BAP
CPQ
DCP
APC
APQ
CPQ
∠
∠
∠
P
BN
P
PQ
AB
∥
APQ
BAP
CPQ
DCP
APC
CPQ
APQ
P
OD
P
PQ
CD
∥
APQ
BAP
CPQ
DCP
APC
APQ
CPQ
E
EF
AB
∥
ABE
BEF
AB
CD
∥
EF
CD
CDE
DEF
BED
BEF
DEF
（等量代换）
，
（已知）
（等量代换）
问题迁移：
（1）解：
理由：过点
作
（两直线平行，内错角相等）
（已知）
（平行于同一直线的两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
又
（角的和与差）
（等量代换）
，
（已知）
（等量代换）
（2）如图所示
解：①如图，当
在
上时，
，
理由：过点
作
，
由（1）同理可证：
，
BED
ABE
CDE
40
ABE
60
CDE
100
BED
ABE
CDE
APC
a
P
PQ
AB
∥
APQ
BAP
AB
CD
∥
PQ
CD
∥
CPQ
DCP
APC
APQ
CPQ
∵∠
∠
∠
APC
BAP
DCP
BAP
DCP
APC
P
BN
APC
P
PQ
AB
∥
APQ
BAP
，
，
，
，
，
；
②如图，当
在
上时，
，
理由：过点
作
，
由（1）同理可证：
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质综合运用，角的和差等，掌握判定方法及性质，并能作出恰当的
辅助线是解题的关键．
41．如图1，
，点
、
分别在
、
上，点
在直线
、
之间，且
．
(1)求
的值；
(2)如图2，直线
分别交
、
的角平分线于点
、
，直接写出
的值；
CPQ
DCP
APC
CPQ
APQ
APC
DCP
BAP
BAP
DCP
APC
P
OD
APC
P
PQ
CD
∥
APQ
BAP
CPQ
DCP
APC
APQ
CPQ
APC
BAP
DCP
BAP
DCP
APC
AB
CD
∥
E
F
AB
CD
O
AB
CD
80
EOF
BEO
OFD
MN
BEO
OFC
∠
M
N
EMN
FNM
(3)如图3，
在
内，
；
在
内，
，直线
分别交
、
分别于点
、
，且
，直接写出
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）如图1，过点
作
，利用两直线平行，同旁内角互补的性质分别求得
，
，再根据
，即可求出
的值；
（2）如图2，过点
作
，过点
作
，利用两直线平行，内错角相等的性质，得到
，再根据角平分线的性质，得到
，
，进而可求出
的值；
（3）如图3，设直线
交
于点
，
与
相交于点
，由
得到
，根据
三角形外角与内角关系得到
，进而得到
，
再由三角形外角与内角关系求得
，即可得到
与
的关系，即
，
再由题意可求得
，
，然后由
，化简可得方程
，求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过点
作
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图2，过点
作
，过点
作
，
EG
AEO
AEG
m OEG
FH
DFO
DFH
m OFH
MN
EG
FH
M
N
80
FMN
ENM
m
280
50
4
m
O
OT
AB
∥
180
BEO
EOT
180
OFD
TOF
80
EOF
BEO
OFD
M
MK
AB
∥
N
NI
CD
∥
EMN
FNM
EMK
INF
1
2
EMK
BEM
BEO
1
1 (180
)
2
2
INF
NFC
CFO
OFD
EMN
FNM
﹣
FH
AB
H
FH
GE
P
AB
CD
∥
AHF
DFH
AHF
EPH
PEH
EPH
AEG
DFH
EPH
AEG
80
EPH
DFH
AEG
80
DFH
AEG
1
180
(1
)
CFO
DFH
m
1
(1
)
AEO
AEG
m
360
(
)
80
AEO
CFO
BEO
OFD
1
(1
) 80
100
m
O
OT
AB
∥
AB
CD
∥
AB
OT
CD
∥
∥
180
BEO
EOT
180
TOF
OFD
180
BEO
EOT
180
OFD
TOF
EOT
TOF
EOF
80
EOF
180
180
360
280
BEO
OFD
EOT
TOF
EOF
M
MK
AB
∥
N
NI
CD
∥
，
，
，
，
，
，
平分
，
平分
，
，
，
又由（1）得
，
．
（3）解：如图3，设直线
交
于点
，
与
相交于点
，
，
，
，
，
，
，
即
，
，
在
内，
，
，
，
，
，
AB
CD
∥
AB
MK
NI
CD
∥
∥
∥
BEM
EMK
KMN
MNI
INF
NFC
(
)
EMN
FNM
EMK
KMN
MNI
INF
EMK
INF
EM
BEO
NF
OFC
∠
1
2
EMK
BEM
BEO
1
1 (180
)
2
2
INF
NFC
CFO
OFD
280
BEO
OFD
1
1 (180
)
2
2
EMN
FNM
BEO
OFD
1[(
) 180 ]
2
BEO
OFD
1 (280
180 )
2
50
FH
AB
H
FH
GE
P
AB
CD
∥
AHF
DFH
AHF
EPH
PEH
EPH
AEG
DFH
EPH
AEG
80
EPH
NPM
FMN
ENM
80
DFH
AEG
80
DFH
AEG
AEG
m OEG
FH
DFO
DFH
m OFH
1
1
180
180
180
(1
)
CFO
OFH
DFH
DFH
DFH
DFH
m
m
1
1
(1
)
AEO
AEG
OEG
AEG
AEG
AEG
m
m
280
BEO
OFD
180
180
360
(
)
80
AEO
CFO
BEO
OFD
BEO
OFD
，
即
，
，
解得
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质、角平
分线的性质及三角形的外角性质并正确作出辅助线是解题关键．
42．如图，直线
，直线
与直线
，
分别交于点
，
，点
在射线
上运动（点
不与点
，
重合），
是直线
上的一个定点，连接
，过点
作直线
，在直线
上取一点
，使得
．
(1)若直线
，则
的度数是______；
(2)若直线l 与a 相交于点D，完成以下问题：
①当
时，猜想
与
之间有怎样的数量关系，并写出证明过程；
②当
时，判断①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出它们之间
的数量关系．
【答案】(1)
(2)①
，证明见解析；②不成立，
【分析】（1）根据平行线的性质得出
，进而利用等腰直角三角形的性质解答；
（2）①过
作
，根据两直线平行，内错角相等和三角形内角和定理解答即可；②过
作
，
1
1
1
(1
)
180
(1
)
(1
)(
)
180
80
AEG
DFH
AEG
DFH
m
m
m
1
(1
)(
)
100
DFH
AEG
m
1
(1
) 80
100
m
4
m
a
b
∥
EF
a
b
E
F
B
EF
B
E
F
A
b
AB
B
l
AB
b
C
ABC
ACB
l
b
∥
90
BAF
BDE
90
BAF
45
2
90
BDE
2
90
BDE
180
BAC
ABD
B
BH
a
∥
B
BH
a
∥
根据两直线平行，内错角相等和三角形内角和定理解答即可．
【详解】（1）解：
直线
，
，
直线
，
，
，
，
，
，
故答案为：
；
（2）解：①
，理由如下：
过
作
，
直线
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
l
AB
90
ABD
l
b
∥
180
BAC
ABD
90
BAC
ABC
ACB
180
BAC
ABC
ACB
45
45
2
90
BDE
B
BH
a
∥
a
b
∥
BH
a
b
∥∥
BDE
DBH
HBA
BAC
ABC
ACB
180
2
BAC
(180
2 )
BDE
DBH
DBA
HBA
DBA
BAC
DBA
AB
l
90
ABC
GBC
90
DBA
90
GBC
180
DBA
ABC
GBC
90
(180
2 )
BDE
即
；
②
，理由如下：
过
作
，
直线
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
．
【点睛】本题是几何综合题，此题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定
与性质．
43．综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，直线
直线
，直线
分别交直线
、直线
于点H、G，
求证：
．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师提出新问题，请你解答．
“如图2，点N 在射线
上，点M 在射线
上，点Q 在射线
上，点P 在射线
上，连结
，
且
，探究直线
与直线
之间的位置关系并说明理由；”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在（2）的条件下，连接
，
使
平分
，
，若给出
与
一定的数量关系，则图3 中所有已
经用字母标记的角中，有些角是可以求出来的，该小组提出下面的问题，请你解答．
2
90
BDE
2
90
BDE
B
BH
a
∥
a
b
∥
BH
a
b
∥∥
BDE
DBH
HBA
BAF
ABC
ACB
2
BAF
2
BDE
DBH
DBA
HBA
DBA
BAF
DBA
AB
l
90
DBA
90
2
BDE
2
90
BDE
CD∥
AB
FE
CD
AB
180
BGE
CHG
HF
GE
HC
GA
,
NQ MP
270
NQC
APM
NQ
MP
KH
KH
NKM
180
KHE
CHE
FHC
APK
“如图3，若
，求∠PMH 的度数并说明理由．”
【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）
，理由见解析
【分析】（1）根据
等角代换即可证明；
（2）延长
，交于点K，由题意
得
，又
，可得
，又
，结合三角形外角的性质可得
，
即可求解；
（3）分别作
，
，再由平行公理的推论得
，又由
结合
平分
求得
，再由已知
，借助方程的思想
，再通过角之间的转换，由
即可求
解．
【详解】解：（1）如图1，
∵
，
17
7
FHC
APE
50
PMH
CD
AB
∥
,
NQ MP
CD
AB
∥
CHF
AGF
180
AGF
AGE
180
CHF
AGE
270
NQC
APM
90
QNH
PMG
MT
AB
∥
KR
AB
∥
MT
AB
CD
KR
∥
∥
∥
90
NKM
KH
NKM
45
MKH
NKH
17
7
FHC
APE
17 ,
7
DHG
NHC
x
MPG
APK
x
PMH
TMH
TMP
CD
AB
∥
∴
．
又∵
，
∴
．
（2）如图2，
延长
，交于点K，
∵
，
∴
．
又
，
∴
．
又∵
，
，
又
，
∴
．
∴
．
∴
．
（3）解：如图3，
过M 作
，过K 作
，
∵
，
CHG
AGE
180
AGE
BGE
180
BGE
CHG
,
NQ MP
CD
AB
∥
CHF
AGF
180
AGF
AGE
180
CHF
AGE
NQC
QNH
CHF
APM
PMG
AGE
270
NQC
APM
90
QNH
PMG
90
NKM
NQ
MP
MT
AB
∥
KR
AB
∥
CD
AB
∥
∴
．
∵
平分
，
∴
．
∵
，
∴可设
．
又
，
∴
．
∴
平分
．
∴
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
即
．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定和平行公理的推论，需要熟练掌握角之间的转化是关键．
44．如图，
，点E 在
上，点G 在
上．
(1)如图1，在
、
上分别取点M、N，连接
，点F 在
上，已知
平分
，
平分
，若
，
，求
，
的度数．
MT
AB
CD
KR
∥
∥
∥
KH
NKM
45
MKH
NKH
17
7
FHC
APK
17 ,
7
DHG
NHC
x
MPG
APK
x
180 ,
180
KHE
CHE
DHE
CHE
KHE
DHE
HE
KHD
17
KHM
DHG
x
34
KHD
x
180
34
KHQ
x
CD
KR
∥
180
34
RKH
KHQ
x
MT
AB
KR
∥
∥
7 ,
17
TMP
MKR
MPG
x
TMH
MHD
x
45
MKH
180
34
7
45
RKH
MKR
x
x
5
x
PMH
TMH
TMP
17
7
10
50
PMH
x
x
x
50
PMH
AB
CD
∥
AB
CD
AB
CD
MN
MN
FH
MFE
FK
MFG
30
AEF
42
CGF
EFG
HFK
(2)如图2，
平分
，
平分
，反向延长
交
于K，设
，请通过计算，用
含x 的代数式表示
．
(3)如图3，已知
，
，
平分
，
平分
，请直接写出
与
的数量关系_________________
【答案】(1)
；
(2)
(3)
（或
）
【分析】（1）作
，可得
，再利用角平分线求出结果；
（2）设
，求出
，再利用角平分线及平行的性质求得
，最后根据
即可求解；
（3）过点
作
，由角平分线求得
、
，最后利用
整理式子即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，作
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
平分
，
，
；
EK
FEB
GH
CGF
GH
EK
EFG
x
EKG
90
FHG
60
FGH
FK
EFH
GK
CGH
AEF
FKG
72
36
1
90
2 x
1
135
2
FKG
AEF
2
270
AEF
FKG
∥
FP
AB
72
GFE
FGH
CGH
y
180
2
FEB
x
y
90
2
x
EMG
y
EKG
EMG
MGK
F
∥
FP
AB
1
15
2
KFH
EFG
1
30
2
CGK
CGF
180
FKG
KFG
FGK
∥
FP
AB
30
EFP
AEF
AB
CD
∥
CD
FP
∥
42
GFP
CGF
30
42
72
GFE
GFP
EFP
FH
MFE
1
2
MFH
MFE
FK
MFG
1
2
MFK
MFG
1
1
1
36
2
2
2
HFK
MFK
MFH
MFG
MFE
GFE
（2）如图，设
交
于点M，
平分
，
设
，则
，
由（1）得，
，
，
平分
，
，
，
，
，
在
中，
；
（3）如图，过点
作
，
，
，
，
，
，
，
，
平分
，
平分
，
，
，
EK
CD
GH
CGF
FGH
CGH
y
2
CGF
y
2
AEF
EFG
CGF
x
y
180
(
2
180
)
2
FEB
x
y
x
y
EK
FEB
1
90
2
2
x
KEB
FEB
y
AB
CD
∥
90
2
x
EMG
KEB
y
MGK
CGH
y
GMK
△
90
90
2
2
x
x
EKG
EMG
MGK
y
y
F
∥
FP
AB
AB
CD
∥
AB
FP
CD
∥
∥
AEF
EFP
PFG
CGF
90
FHG
60
FGH
30
HFG
FK
EFH
KG
CGH
1
1
1
30
15
2
2
2
KFH
EFH
EFG
EFG
1
1
1
60
30
2
2
2
CGK
CGH
CGF
CGF
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的性质，平行线的拐角问题，角平分线的性质，掌握辅助线的作法是解决本题的
关键．
45．如图，直线
，点E、F 分别在
上，点M 为两平行线内部一点．
(1)如图1，探究
的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若
和
的角平分线交于点N，且
，直接利用（1）中的结论，求
的度数；
(3)如图3，点G 为直线CD 上一点，连接
并延长交直线
于点Q，在线段
上取一点P，连接
，
使
，在射线
取一点H，连接
，使
，设
，求
的度
数（用含
的代数式表示）．
1
1
30
30
2
2
FGK
CGK
CGF
CGF
CGF
CGF
1
1
15
30
15
2
2
KFG
KFH
HFG
EFG
EFG
180
FKG
KFG
FGK
1
1
180
15
30
2
2
EFG
CGF
1
1
180
15
30
2
2
EFG
CGF
1
135
2
EFG
CGF
1
135
2
AEF
1
135
2
FKG
AEF
AB
CD
、
AB
CD
1
2
M
、
、
MEB
MFD
100
ENF
M
GM
AB
MG
PF
2
5
PFG
MFG
PF
EH
2
5
BEH
BEM
EMF
H
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点
作
，利用平行线的性质可得
，
，由
，等
量代换可得结论；
（2）利用（1）中的结论以及角平分线的定义解答即可；
（3）设
，
，则
，
，设
交
于
．证明
，求出
即可解决问题．
【详解】（1）
，理由如下：
过点
作
，如图：
，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）中的结论可得：
，
，
，
，
，
分别平分
和
，
，
，
，
1
2
M
160
M
2
72
5
H
M
ML
AB
∥
1
3
2
4
3
4
EMF
BEH
x
PFG
y
5
2
BEM
x
5
2
MFG
y
EH
CD
K
H
x
y
x
y
1
2
M
M
ML
AB
∥
∥
AB
CD
ML
AB
∥
ML
AB
CD
∥
∥
1
3
2
4
3
4
EMF
1
2
M
M
AEM
CFM
ENF
BEN
DFN
100
ENF
100
BEN
DFN
EN
FN
MEB
DFM
2
BEM
BEN
2
DFM
DFN
2
2 100
200
BEM
DFM
BEN
DFN
M
AEM
CFM
180
180
BEM
DFM
360
BEM
DFM
360
200
，
即
；
（3）设
，
，则
，
，设
交
于
，如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质．解题的关键是作出适当的辅助线，学会利用参数解决问题．
46．如图1，直线
，直线
分别交
于
点，
，点
在线段
上（不在
端点处），点
在直线
上，点
在直线
上，连接
．
(1)如图1，点
在线段
上，若
，则
的度数为_________；
(2)如图2，点
在线段
上，点
为直线
与
之间区域的一点，点
在线段
上（不与端点重
160
160
M
BEH
x
PFG
y
5
2
BEM
x
5
2
MFG
y
EH
CD
K
∥
AB
CD
DKH
BEH
x
HFK
PFG
y
DKH
H
HFK
H
x
y
EMF
AEM
MFG
5
5
180
2
2
EMF
x
y
2
72
5
x
y
2
72
5
H
MN
PQ
∥
AB
MN
PQ
、
A B
、
90
ABP
D
BQ
C
AB
E
MN
CD
CE
、
C
AB
,
65
EC
CD
AEC
CDB
C
AB
K
MN
PQ
E
AN
合），连
．若
，求
的度数；
(3)如图3，
于点
，点
在射线
上运动（
不与
重合），
与
的角
平分线所在直线交于点
与
的角平分线所在直线交于点
与
的角平分线交于
点
，直接写出
与
的数量关系．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
，证明见解析
【分析】（1）设
延长线交
于点S，根据平行线的性质得出
，再根据余角得出
的度数即可；
（2）过点K 作
，交
于点W，设
，
，根据平行线
的性质得出
，根据四边形内角和为
求出
的值即可；
（3）过点C 作
交
于点O，根据角平分线的性质和平行线的性质得出角的关系即可．
【详解】（1）解：设
延长线交
于点S，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
是直角三角形，
∴
，
故答案为：
；
EK
KD
、
1
1
60 ,
,
3
3
ECD
NEK
CEN
KDQ
CDQ
EKD
DH
AB
,
H EC
CD
C
HA
C
H
AEC
CDB
,
G
AEC
CDQ
,
F
FGD
GFD
T
FEN
CDG
、
FGT
25
100
1
1
2
2
FGT
FEN
CDG
EC
PQ
65
CSD
AEC
CDB
KW
MN
∥
AB
1
3
NEK
CEN
a
1
3
KDQ
CDQ
b
EKD
a
b
360
a
b
CO
PQ
∥
ED
EC
PQ
MN
PQ
∥
65
AEC
65
CSD
AEC
EC
CD
CDS
90
90
65
25
CDB
CSD
25
（2）过点K 作
，交
于点W，
∴
，
，
设
，
，
∴
，
，
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
即
，
∴
的度数为
；
（3）过点C 作
交
于点O，
在四边形
中，
，
∵
与
的角平分线所在直线交于点G，
与
的角平分线所在直线交于点F，
与
的角平分线交于点T，
∴
，
，
KW
MN
∥
AB
ENK
EKW
EKD
KDQ
1
3
NEK
CEN
a
1
3
KDQ
CDQ
b
3
CEN
a
3
CDQ
b
EKD
a
b
2
CEK
a
2
CDK
b
60
ECD
360
ECD
CEK
CDK
EKD
60
2
2
360
a
b
a
b
100
a
b
EKD
100
CO
PQ
∥
ED
GDFT
GTF
TGD
TFD
GDF
AEC
CDB
AEC
CDQ
FGD
GFD
1
1
2
2
GTF
TGD
TFD
GDF
EGD
EFD
GDF
1
1
90
2
2
GDF
CDQ
CDB
∵
，
∴
，
在四边形
中，
，
∴
，
即
，
∴
，
即
．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，垂线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质和垂线的性质是解得关
键．
47．已知
，点
为平面内的一点，
，垂足为
．
(1)问题呈现
如图1，
，则
；
(2)问题迁移
如图2，点
在
的上方，请探究
，
之间的数量关系，并说明理由；
(3)联想拓展
如图3，在（2）的条件下，已知
，
，请求出
的度数．
【答案】(1)150；
(2)
，理由见解析；
(3)
【分析】（1）过
作
, 根据平行线的性质得到
，
, 根
据垂直的定义得到
, 于是得到结论；
（2）过点
作
, 根据平行线的性质和垂直的定义即可得到结论；
OC
MN
PQ
∥
∥
ECD
ECO
OCD
AEC
CDB
EGCD
1
1
2
2
ECD
EGD
AEC
CDB
1
1
2
2
AEC
CDB
EGD
AEC
CDB
1
1
2
2
EGD
AEC
CDB
FEN
CDG
1
1
1
2
2
2
FGT
EGD
FEN
CDG
1
1
2
2
FGT
FEN
CDG
AB
CD
∥
P
AP
PC
P
120
A
C
P
AB
A
C
2
QAB
QAP
2
QCD
QCP
Q
90
C
A
60
P
PF
AB
∥
180
A
APF
180
FPC
C
90
APC
P
PE
AB
∥
（3）过点
作
, 由 （2） 可知:
, 根据平行线的性质得到
, 根据角的和差倍分即可得到结论；
【详解】（1）过
作
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：150；
（2）
，
理由：过点
作
，
，
，
，
，
，
．
，
，
；
Q
MQ
CD
∥
AB
CD
MQ
∥
∥
,
QAB
MQA
QCD
MQC
P
PF
AB
∥
180
A
APF
AB
CD
∥
PF
CD
∥
180
FPC
C
360
A
APC
C
AP
PC
90
APC
360
90
120
150
C
90
C
A
P
PE
AB
∥
AB
CD
∥
AB
PE
∥
PE
CD
∥
EPC
C
EPA
A
APC
EPC
EPA
APC
C
A
AP
PC
90
APC
90
C
A
（3）过点
作
，
由（2）可知：
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）知，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，正确地作出辅助线是解题的关键
48．已知：
，EG 平分
．
(1)如图1，
，
，
，试判断EF 与CD 的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，
，
，当
时，
的度数为___________；
(3)如图2，试写出
、
、
之间满足什么关系时，
，并说明理由．
【答案】(1)
，见解析
(2)
Q
MQ
CD
∥
AB
CD
MQ
∥
∥
QAB
MQA
QCD
MQC
2
QAB
QAP
2
QCD
QCP
2
3
QCD
PCD
2
3
QAB
PAB
AQC
MQC
MQA
3
2
2
2
3
3
QCD
QAB
PCD
PAB
PCD
PAB
90
PCD
PAB
2
90
60
3
AQC
1
2
AEC
45
MAE
15
FEG
75
NCE
140
MAE
30
FEG
AB
CD
NCE
MAE
FEG
NCE
AB
CD
EF
CD
80
(3)
，见解析
【分析】（1）根据
可得
，根据角的和差关系和角平分线的性质可得
，从而得证
；
（2）根据
可得
，根据平行线的性质以及角平分线的性质可得
；
（3）根据
可得
，根据平行线的性质可得
，再根据角平分
线的性质可得
，再根据平行线的性质即可得
．
【详解】（1）结论：
，
证明：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
（2）∵
，
∴
，
∵
，
∴
∵
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
2
MAE
FEG
NCE
1
2
MB
EF
∥
75
CEF
NCE
∠
∠
EF
CD
1
2
MB
EF
∥
180
75
NCE
GEC
FEG
∠
∠
∠
1
2
MB
EF
∥
180
AEG
MAE
FEG
180
2
FEC
MAE
FEG
∠
∠
∠
2
FEG
NCE
MAE
∠
∠
∠
EF
CD
1
2
MB
EF
∥
45
AEF
MAE
45
15
60
AEG
AEF
FEG
∠
∠
∠
EG
AEC
60
CEG
AEG
60
15
75
CEF
CEG
FEG
∠
∠
∠
75
NCE
CEF
NCE
∠
∠
EF
CD
1
2
MB
EF
∥
MAE 140
＝
180
40
AEF
MAE
∠
∠
FEG
30
＝
70
AEG
AEF
FEG
∠
∠
∠
EG
AEC
70
GEC
AEG
∠
∠
70
30
100
FEG
GEC
FEG
∠
∠
AB
CD
MB
EF
∥
∴
，
∴
；
故答案为：
（3）结论：
证明：∵
∴
∴
∴
∵
平分
，即
，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
．
【点睛】本题考查了平行线的综合问题，掌握平行线的性质以及判定定理、角平分线的性质、角的和差关
系是解题的关键．
49．已知
，李想同学将
放置在这两条平行线上展开探究，其中
三边与两条平行线分别交
于点
、
、
、
．
(1)【特例探究】
如图1，
．
①
______度；
②若
与
的角平分线相交于点
，则
______度；
(2)【一般探索】
EF
CD
180
180
100
80
NCE
FEG
∠
80
2
MAE
FEG
NCE
1
2
MB
EF
∥
180
FEA
MAE
∠
∠
180
AEG
FEA
FEG
MAE
FEG
∠
∠
∠
∠
∠
EG
AEC
180
GEC
AEG
MAE
FEG
∠
∠
∠
∠
180
2
FEC
GEC
FEG
MAE
FEG
∠
∠
∠
∠
∠
,
AB
CD AB
EF
∥
∥
EF
CD
180
FEC
NCE
∠
∠
180
2
180
MAE
FEG
NCE
∠
∠
∠
2
FEG
NCE
MAE
∠
∠
∠
1
2
l
l
∥
ABC
ABC
D
E
F
G
90
C
CED
CGF
CED
CGF
P
EPG
如图2，
，
．
①若
，
，求
与
的关系；
②若
，
（
且
为整数），直接写出
与
的关系；
(3)【拓展应用】
如图3，
与
的角平分线相交于点
，
与
的角平分线相交于点
，
与
的角平分线相交于点
；……，以此类推，则
的值是多少？（直接写出结果）
【答案】(1)①
，②
(2)①
；②
(3)
【分析】（1）①利用平行线的性质证明
即可；
②证明
即可；
（2）①利用平行线的性质证明
和
即可；
②利用平行线的性质证明
和
即
可；
（3）利用（2）中的结论计算即可．
【详解】（1）①过点
作
平行于
，过点
作
平行于
C
EPG
1
3
DEP
CED
1
3
FGP
CGF
1
DEP
CED
n
1
FGP
CGF
n
2
n
n
CED
CGF
1P
1PED
1PGF
2P
2P ED
2PGF
3P
2023
360
C
EP
G
270
135
3
360
360
n
2023
2
360
CED
CGF
ACB
1
2
EPG
PED
PGF
CED
CGF
360
CED
CGF
ACB
1
3
EPG
PED
PGF
CED
CGF
360
CED
CGF
ACB
1
EPG
PED
PGF
CED
CGF
n
C
CM
1l
P
PN
1l
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
②∵
与
的角平分线相交于点
，则
______度；
∴
，
，
∴
故答案为：①
，②
；
（2）①
过点
作
平行于
，过点
作
平行于
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
，
，
∴
，
，
即
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
1
2
l
l
∥
2
CM
l
2
PN
l
∥
180
DEC
ECM
180
MCG
FGC
DEP
EPN
NPG
FGP
360
DEC
ECM
MCG
FGC
DEP
FGP
EPN
NPG
90
ECM
MCG
ECG
EPN
NPG
EPG
360
DEC
ECG
FGC
DEP
FGP
EPG
270
CED
CGF
CED
CGF
P
EPG
1
2
DEP
CED
1
2
FGP
CGF
1
135
2
EPG
PED
PGF
CED
CGF
270
135
3
360
C
CM
1l
P
PN
1l
1
2
l
l
∥
2
CM
l
2
PN
l
∥
180
DEC
ECM
180
MCG
FGC
DEP
EPN
NPG
FGP
360
DEC
ECM
MCG
FGC
DEP
FGP
EPN
NPG
360
DEC
ECG
FGC
DEP
FGP
EPG
360
360
DEC
FGC
ECG
1
3
DEP
CED
1
3
FGP
CGF
1
1
1
3
3
3
EPG
DEP
FGP
CED
CGF
CED
CGF
∴
，即
；
②
同①可得
，
∵
，
，
∴
，
∴
，即
；
（3）∵
与
的角平分线相交于点
，
与
的角平分线相交于点
，
与
的角平分线相交于点
；……，以此类推，
∴
，
∴由（2）得
∴
．
【点睛】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质、角平分线的定义，利用平行线的性质证明
和
是解决本题的关键．
50．如图1，已知直线
，线段
在直线a 上运动，C 为直线b 上一定点，D 为直线a，b 之间一定点，
E 为直线b 上C 点右侧一点．（本题中的角均为小于
的角）
(1)当线段
运动到图2 位置时，若
与
互余，求
的度数；
(2)在线段
在直线a 上运动过程中，请直接写出
，
和
之间的数量关系；
(3)当线段
运动到如图3 所示的位置时，
的平分线
交直线a 于点F，G 为直线a 上点A 左侧
一点，且
，求证：
．
1 360
3
3
360
360
n
360
360
DEC
FGC
ECG
1
DEP
CED
n
1
FGP
CGF
n
1
1
1
EPG
DEP
FGP
CED
CGF
CED
CGF
n
n
n
1 360
n
360
n
CED
CGF
1P
1PED
1PGF
2P
2P ED
2PGF
3P
2023
2023
1
2
DEP
CED
2023
2023
1
2
FGP
CGF
2023
2023
2
360
C
EP
G
2023
2023
360
2
C
EP
G
360
CED
CGF
ACB
1
EPG
PED
PGF
CED
CGF
n
a
b
∥
AB
180
AB
BAD
DCE
ADC
AB
BAD
DCE
ADC
AB
ADC
DF
AGD
ADG
1
2
FDG
DCE
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）在
左边作
，可证得
，求解即可；
（2）在
左边作
，根据（1）的思路可证得
；
（3）在
左边作
，利用（2）结论
，再推理即可．
【详解】（1）在
左边作
，则
，
∵
，
∴
，
∴
,
∵
，
∴
，
∵
与
互余，
∴
（2）在
左边作
，则
，
∵
，
∴
，
∴
,
∵
，
∴
;
（3）在
左边作
，则
，
，
90
ADC
ADC
BAD
DCE
D
DM
AB
∥
ADC
BAD
DCE
D
DM
AB
∥
ADC
BAD
DCE
D
DM
AB
∥
ADC
BAD
DCE
D
DM
AB
∥
ADM
BAD
a
b
∥
DM
b
AB
∥
∥
DCE
MDC
ADC
ADM
MDC
ADC
BAD
DCE
BAD
DCE
90
ADC
BAD
DCE
D
DM
AB
∥
ADM
BAD
a
b
∥
DM
b
AB
∥
∥
DCE
MDC
ADC
ADM
MDC
ADC
BAD
DCE
D
DM
AB
∥
AGD
GDM
180
FAD
ADM
，
∵
，
∴
，
∴
,
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
的平分线
，
∴
，
∵
，
∴
．
【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和，掌握平行线的性质定理是解题的关键．
51．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图，已知点
是
外一点，连接
、
，求
的度数．阅读并补充下
面推理过程．
解：过点
作
，所以
，
，
又因为
，
所以
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将
、
、
a
b
∥
DM
b
AB
∥
∥
DCE
MDC
ADC
ADM
MDC
180
ADC
DCE
FAD
AGD
ADG
180
2 AGD
FAD
2
D
ADC
DC
A
E
G
ADC
DF
1
1
2
2
ADF
ADC
DC
A D
E
G
FDG
ADF
ADG
1
1
2
2
FDG
AG
E
D
DCE
D
G
DC
A
A
BC
AB
AC
B
BAC
C
A
ED
BC
∥
B
C
180
EAB
BAC
DAC
180
B
BAC
C
BAC
B
C
“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图1，已知
，求
的度数；
(3)深化拓展：已知直线
，点
为平面内一点，连接
、
．
①如图2，已知
，
，请直接写出
的度数；
②如图3，请判断
、
、
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
；
(2)
(3)①
；②
，理由见解析
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等即可得出结论；
（2）过点
作
，根据两直线平行同旁内角互补得出
，
，即
可得到最后结论；
（3）①
的度数为
，过点
作
，根据平行线性质求得
，
，即可
求得
的度数；②
，过点
作
，根据平行线性质得到
，
，即可退出最后结论．
【详解】（1）解：过点
作
，
，
，
又因为
，
所以
；
（2）解：如图，过点
作
，
AB
CD
∥
B
BPD
D
AB
CD
∥
P
PA
PD
50
A
140
D
APD
PAB
CDP
APD
EAB
DAC
360
B
BPD
D
90
180
PAB
CDP
APD
P
PF
AB
∥
180
D
FPD
180
B
FPB
APD
90
P
PG
AB
∥
50
APG
40
GPD
APD
180
PAB
CDP
APD
P
PF
AB
∥
CDP
DPF
180
PAB
APE
A
ED
BC
∥
B
EAB
C
DAC
180
EAB
BAC
DAC
180
B
BAC
C
P
PF
AB
∥
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①
的度数为
；
理由：过点
作
，
，
，
，
，
，
，
；
②
，
理由：过点
作
，
，
，
，
，
，
，
，
．
AB
CD
∥
PF
CD
∥
180
D
FPD
PF
AB
∥
180
B
FPB
360
B
FPB
FPD
D
360
B
BPD
D
APD
90
P
PG
AB
∥
50
A
APG
AB
CD
∥
GP
CD
∥
180
GPD
D
140
D
180
140
40
GPD
50
40
90
APD
APG
GPD
180
PAB
CDP
APD
P
PF
AB
∥
AB
CD
∥
PF
CD
∥
CDP
DPF
PF
AB
∥
180
PAB
APE
APF
DPF
APD
180
PAB
DPF
APD
180
PAB
CDP
APD
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质进行推
理．
52．如图，直线
中
的边
与直线m 相交于D、E 两点，边
与直线n 交于F、G 两点．
(1)将
如图1 位置摆放，如果
，则
______；
(2)将
如图2 位置摆放，H 为
上一点，
，请写出
与
之间
的数量关系，并说明理由；
(3)将
如图3 位置摆放，若
，延长
交直线n 于点K，点P 是射线
上一动点，
探究
与
的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）．
【答案】(1)
(2)
，理由见解析
(3)
或
【分析】（1）过点C 作
，由
知，
，则可得
，
，再由
，求得
，进而求得
的度数；
（2）过点C 作
，则
，则
，结合已知即可求得
与
之间的数量关系；
（3）分点P 在线段
上或
的延长线上两种情况考虑即可求得．
【详解】（1）解：过点C 作
，如图，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
Rt
m
n
ABC
∥，
90
Rt
ACB
ABC
，
AC
AB
、
BC
AB
、
Rt
ABC
△
46
ADE
CFG
Rt
ABC
△
AC
180
HFG
CFG
HFG
ADE
Rt
ABC
△
140
EDC
AC
EG
PDK
DPK
，
PKG
136
CFG
90
HFG
ADE
140
PDK
DPK
PKG
140
PDK
DPK
PKG
CH
m
∥
m
n
∥
CH
m
n
∥
∥
46
ACH
ADE
180
HCB
CFG
90
ACB
HCB
CFG
CQ
m
∥
CQ
m
n
∥
∥
180
ADE
ACQ
CFG
QCF
，
HFG
ADE
EG
EG
CH
m
∥
m
n
∥
CH
m
n
∥
∥
46
ACH
ADE
180
HCB
CFG
90
ACB
∴
，
∴
；
故答案为：
；
（2）解：
，理由如下：
过点C 作
，则
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
（3）解：过点P 作
，则
；
①点P 在线段
上时，如图，
90
46
44
HCB
180
136
CFG
HCB
136
90
HFG
ADE
CQ
m
∥
CQ
m
n
∥
∥
180
ADE
ACQ
CFG
QCF
，
180
HFG
CFG
QCF
HFG
90
ACQ
QCF
90
HFG
ADE
PM
m
∥
PM
m
n
∥
∥
EG
∴
，
，
∴
，
∴
；
②点P 在线段
的延长线上时，如图，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
即
，
综上：
或
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，角的和差关系，构造平行线是本题的关键，注意分类
讨论．
53．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探
照灯．如图1 所示灯A 射线从
开始顺时针旋转至
便立即回转，灯
射线从
开始顺时针旋转至
便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯
转动的速度是每秒2 度，灯
转动的速度是每秒1 度．
假定主道路是平行的，即
，且
．
140
DPM
EDP
EDC
PDK
PDK
MPK
PKG
140
DPK
DPM
MPK
PDK
PKG
140
PDK
DPK
PKG
EG
PM
m
n
∥
∥
KPM
PKG
PDE
DPM
，
140
PDE
EDC
PDK
PDK
DPM
DPK
KPM
DPK
PKG
140
DPK
PKG
PDK
140
PDK
DPK
PKG
140
PDK
DPK
PKG
140
PDK
DPK
PKG
AM
AN
B
BP
BQ
A
B
PQ
MN
∥
:
2:1
BAM
BAN
(1)填空：
______°；
(2)若灯
射线先转动45 秒，灯
射线才开始转动，在灯
射线到达
之前，
灯转动几秒，两灯的光束
互相平行？
(3)如图2，若两灯同时转动，在灯
射线到达
之前若射出的光束交于点
，过
作
交
于点
，且
，则在转动过程中，请求出
与
的数量关系．
【答案】(1)
；
(2)当
秒或105 秒时，两灯的光束互相平行；
(3)
．
【分析】（1）根据
，
，即可得到
的度数；
（2）设
灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当
时，根据
，
可得
；当
时，根据
，可得
；
（3）设灯
射线转动时间为秒，根据
，
，即可得出
，据此可得
和
关系不会变化．
【详解】（1）解：
，
，
，
故答案为：
；
（2）设
灯转动秒，两灯的光束互相平行，
BAN
B
A
B
BQ
A
A
AN
C
C
ACD
PQ
D
120
ACD
BAC
BCD
60
45
t
2
BAC
BCD
180
BAM
BAN
:
2:1
BAM
BAN
BAN
∠
A
t
0
90
t
2
1 (45
)
t
t
45
t
90
135
t
1 (45
)
(2
180)
180
t
t
105
t
A
t
2
120
BAC
t
120
60
BCD
BCD
t
:
2:1
BAC
BCD
BAC
BCD
180
BAM
BAN
:
2:1
BAM
BAN
1
180
60
3
BAN
60
A
t
①当
时，如图1，
，
，
，
，
，
解得
；
②当
时，如图2，
，
，
，
，
解得
，
综上所述，当
秒或105 秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设灯
射线转动时间为秒，
，
，
又
，
，而
，
，
，
即
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求
解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
0
90
t
PQ
MN
∥
PBD
BDA
AC
BD
CAM
BDA
CAM
PBD
2
1 (45
)
t
t
45
t
90
135
t
PQ
MN
∥
180
PBD
BDA
AC
BD
CAN
BDA
180
PBD
CAN
1 (45
)
(2
180)
180
t
t
105
t
45
t
A
t
180
2
CAN
t
60
(180
2 )
2
120
BAC
t
t
120
ABC
t
180
180
BCA
ABC
BAC
t
120
ACD
120
120
(180
)
60
BCD
BCA
t
t
:
2:1
BAC
BCD
2
BAC
BCD
54．(1)如图1，将一副直角三角板按照如图所示的方式放置，其中点
，
，
，
在同一条直线上，两
条直角边所在的直线分别为
，
，
，
，
与
相交于点
，则
的
度数是______．
(2)将图1 中的三角板
和三角板
分别绕点
，
按各自的方向旋转至如图2 所示的位置，其中
平分
，求
的度数．
(3)将图1 位置的三角板
绕点
顺时针旋转一周，速度为每秒15°，三角板
不动，在此过程中，
经过______秒边
与边
互相平行．
【答案】(1)
；(2)
；(3)
或
【分析】（1）根据三角形尺的角度，根据三角形内角和可得
，求得
，根据对顶角相等求得
；
（2）过点
作
，根据平行线的性质，进而求得
，即可求解；
（3）根据题意分类讨论，根据平行线的性质求得
，根据旋转角度除以旋转的速度即可求解．
【详解】解：（1）
由三角板可知
，
，
故答案为：
；
（2）∵
平分
，
，
∴
，
如图，过点
作
.
∵
，
C
D
A
F
MN
PQ
30
BAC
45
DEF
AB
DE
O
BOE
ABC
DEF
B
F
BA
MBC
PFA
ABC
B
DEF
AB
DE
105
15
5
17
AOD
180 –
–
OAD
ODA
AOD
105
BOE
A
AG
MN
∥
15
FAG
1A BO
BAC
30 ,
DEF
45
30
OAD
ODA
45
ABC
60
AOD
180 –
–
OAD
ODA
180
30
45
105
BOE
AOD
105
105
BA
MBC
60
ABC
60
MBA
A
AG
MN
∥
MN
PQ
∥
∴
，
∴
，
.
∵
，
∴
，
∴
.
（3）分两种情况讨论，
①如图，
在
、
之间
由(1)可知
旋转时间为：
秒
②如图所示
在
上面，
则旋转的度数为：
旋转时间为
AG
MN
PQ
∥
∥
MBA
BAG
PFA
FAG
75
BAG
FAG
BAF
75
MBA
PFA
BAF
75
60
15
PFA
BAF
MBA
ABC
MN
PQ
105
BOE
1A B ∥DE
1
180
A BO
BOE
1
180
105
75
A BO
75 =5
15
(
)
ABC
MN
2
A B
DE
∥
2
105
A BO
BOE
360
105
255
255 =17
15
综上所述，经过
秒或
秒，
与边
互相平行．
故答案为
或
．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，三角尺中角度的计算，数形结合，分类讨论是解题的关键．
55．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转
探照灯，如图，灯A 射线自
开始顺时针旋转至
便立即回转，灯
射线自
顺时针旋转至
便立
即回转，两灯不停交叉照射巡视.若
转动的速度是
/秒，
转动的速度是
/秒，且
、
满足
，假定主道路是平行的，即
，且
．
(1)求
和
的值，并求
的度数．
(2)若灯
先转动30 秒，灯A 才开始转动，在灯
到达
之前，灯A 转动几秒，两灯的光束第一次互相平
行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A 到达
之前，若射出的光束交于点
，过
作
交
于点
，
则在转动过程中，
与
的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说
明理由．
【答案】(1)
，
，
(2)
秒时，两灯的光束互相平行
(3)
和
关系不会变化，理由见解析
【分析】（1）根据
的非负性求a，b；根据
，
，即可得到
的度数；
（2）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，易证
，即可列出
，可得
；
（3）设灯A 射线转动时间为t 秒，根据
，
，即可得出
，据此可得
和
关系不会变化．
5
17
AB
DE
5
17
AM
AN
B
BP
BQ
A
a
B
b
a
b
2
3
4
0
a
b
a
b
PQ
MN
∥
:
1:3
BAN
ABP
a
b
BAN
∠
B
B
BQ
AN
C
C
CD
AC
PQ
D
BAC
BCD
3
a
1
b
45
BAN
15
t
BAC
BCD
2
3
4
0
a
b
a
b
180
BAN
ABP
:
1:3
BAN
ABP
BAN
∠
CAM
PBD
3
1
30
t
t
15
t
3
135
3
45
BAC
t
t
2
45
BCD
t
:
3 2
BAC
BCD
:
BAC
BCD
【详解】（1）解：∵
，
，
解得
，
，
，
∵
，
；
（2）解：设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，
，
，
，
，
，
，
解得
，
答：当
秒时，两灯的光束互相平行；
（3）解：
和
关系不会变化．
理由：设灯A 射线转动时间为t 秒，
，
2
3
4
0
a
b
a
b
3
0
4
0
a
b
a
b
3
1
a
b
PQ
MN
∥
180
BAN
ABP
:
1:3
BAN
ABP
1
180
45
4
BAN
PQ
MN
∥
PBD
BDA
AC
BD
∥
CAM
BDA
CAM
PBD
3
1
30
t
t
15
t
15
t
BAC
BCD
180
3
CAN
t
，
又
，
，而
，
，
，
∴
和
关系不会变化．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求
解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
56．如图，
，
、
分别为直线
、
上两点，且
，若射线
绕点
顺时针
旋转至
后立即回转，射线
绕点
逆时针旋转至
后立即回转，两射线分别绕点
、点
不停地旋
转，若射线
转动的速度是
秒，射线
转动的速度是
秒，且
、
满足
．
（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）
(1)
，
；
(2)若射线
、射线
同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线
、射线
互相垂直．
(3)若射线
绕点
顺时针先转动18 秒，射线
才开始绕点
逆时针旋转，在射线
到达
之前，
问射线
再转动多少秒时，射线
、射线
互相平行？
【答案】(1)6，1
(2)
s
(3)射线
再转动
秒或18 秒时，射线
、射线
互相平行
【分析】（1）依据
，即可得到
，
的值；
45
180
3
3
135
3
45
BAC
t
t
t
135
ABC
t
180
180
2
BCA
ABC
BAC
t
=90
ACD
60
90
180
2
2
90
2
45
BCD
BCA
t
t
t
:
3: 2
BAC
BCD
BAC
BCD
PQ
MN
∥
A
B
MN
PQ
45
BAN
AM
A
AN
BQ
B
BP
A
B
AM
/
a
BQ
/
b
a
b
2
|
6 | (
1)
0
a
b
a
b
AM
BQ
AM
BQ
AM
A
BQ
B
BQ
BA
AM
AM
BQ
90
7
t
AM
90
7
AM
BQ
2
|
5| (
1)
0
a
b
a
b
（2）依据
，
，即可得到射线
、射线
第一次互相垂直的时
间；
（3）分两种情况讨论，依据
时，
，列出方程即可得到射线
、射线
互
相平行时的时间．
【详解】（1）
，
，
，
，
，
故答案为：6，1；
（2）设至少旋转秒时，射线
、射线
互相垂直．
如图，设旋转后的射线
、射线
交于点
，则
，
，
，
，
，
又
，
，
，
；
（3）设射线
再转动秒时，射线
、射线
互相平行．
如图，射线
绕点
顺时针先转动18 秒后，
转动至
的位置，
，
分两种情况：
①当
时，
，
，
90
ABO
BAO
180
ABQ
BAM
AM
BQ
ABQ
BAM
BQ
AM
AM
BQ
2
|
6 | (
1)
0
a
b
6
0
a
1
0
b
6
a
1
b
t
AM
BQ
AM
BQ
O
BO
AO
90
ABO
BAO
PQ
MN
∥
180
ABQ
BAM
90
OBQ
OAM
OBQ
t
6
OAM
t
6
90
t
t
90 ( )
7
t
s
AM
t
AM
BQ
AM
A
AM
AM
18
6
108
MAM
9
18
t
QBQ
t
6
M AM
t
，
，
，
当
时，
，
此时，
，
解得
；
②当
时，
，
，
，
，
，
当
时，
，
此时，
，
解得
；
综上所述，射线
再转动
秒或18 秒时，射线
、射线
互相平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用
分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．
57．如图①，点A、点B 分别在直线
和直线
上，
，
，射线
从射线
的
位置开始，绕点A 以每秒2°的速度顺时针旋转，同时射线
从射线
的位置开始，绕点B 以每秒
的
速度顺时针旋转，射线
旋转到
的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒．
45
BAN
ABQ
45
ABQ
t
6
45
BAM
M AM
M AB
t
ABQ
BAM
BQ
AM
45
6
45
t
t
90
7
t
18
27
t
QBQ
t
6
90
NAM
t
45
BAN
ABQ
45
ABQ
t
45
(6
90 )
135
6
BAM
t
t
ABQ
BAM
BQ
AM
45
135
6
t
t
18
t
AM
90
7
AM
BQ
EF
MN
EF
MN
∥
45
ABN
AC
AF
BD
BM
6
BD
BN
t
(1)
______ ；
(2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线
与射线
所在直线的夹角为
，若存在，求出t 的
值；若不存在，请说明理由；
(3)在转动过程中，若射线
与射线
交于点H，过点H 做
交直线
于点K，
的值是
否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由．
【答案】(1)135
(2)
(3)不变，
【分析】（1）运用平行线的性质直接解题即可；
（2）设射线
与射线
所在直线的交点为点
，则
，
，
，
过点P 作
，由平行线的性质可得
，分两种情况
或
时分别解题即可；
（3）由（2）可得
，由垂直可得
，又
直接求比值
解题．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
∴
，
故答案为135；
（2）解：设射线
与射线
所在直线的交点为点
，
旋转时间为秒时，
，
，
即
，
BAF
AC
BD
80
AC
BD
HK
BD
AF
AHK
ABH
20
25
t
t
，
2
3
AHK
ABH
AC
BD
P
6
MBD
t
2
FAC
t
180
6
DBN
t
PQ
EF
APB
FAC
DBN
80
APB
80
CPB
180
4
APB
t
4
90
AHK
t
6
135
ABH
t
，
EF
MN
∥
180
FAB
ABN
180
180
45
135
FAB
ABN
AC
BD
P
t
6
MBD
t
2
FAC
t
180
6
DBN
t
①如图，当
时，过点P 作
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，即
，
解得
，
②如上图，当
时，则
，
由①可知
，即
，
解得
，
综上所述，当
时，射线
与射线
所在直线的夹角为
，
（3）
的值不变，理由为：
解：如图，由（2）可知
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
【点睛】本题考查平行线的性质，作辅助线沟构造平行是解题的关键．
58．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置
了一探照灯（如图），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即
，连结
，且
．灯
射线自
顺时针旋转至
便立即回转，灯
射线自
顺时针旋转至
便立即回转，两灯不停交叉
照射巡视，若灯
转动的速度是度秒，灯
转动的速度是
度秒．
80
APB
PQ
EF
EF
MN
∥
PQ
EF
MN
2
QPA
FAC
t
180
6
QPB
DBN
t
APB
FAC
DBN
80
2
180
6
t
t
25
t
80
CPB
100
APB
APB
FAC
DBN
100
2
180
6
t
t
20
t
20
25
t
t
，
AC
BD
80
AHK
ABH
2
180
6
180
4
APB
FAC
DBN
t
t
t
HK
BD
90
90
180
4
4
90
AHK
APB
t
t
ABN
DBN
45
180
6
6
135
ABH
t
t
4
90
2
6
135
3
AHK
t
ABH
t
1
PQ ∥MN
AB
45
ABN
A
AQ
AP
B
BM
BN
A
1
/
B
3
/
(1)若两灯同时转动，在灯
射线第一次转到
之前，两灯射出的光线交于点
．
①如图，当两灯光线同时转动
秒时，求
的度数．
②如图
，当两灯光线同时转动
秒时，过
作
交
于点
，求
与
的比值．
(2)若灯
射线先转动
秒，灯
射线才开始转动，在灯
射线第一次转到
之前，
灯转动几秒，两灯
的光线互相平行？
【答案】(1)①
；②
(2)
灯转动
秒或
秒时，两灯的光束互相平行
【分析】（1）①当转动
秒时，有
，即有
，根据
，即可得解；
②过点
作
，
，
，，即有
，
，根据
，可得
，再根据
，
可得
，即问题得解；
（
）设
灯转动秒，两灯的光束互相平行，
灯先转动
秒，则
转到
还需要
（秒）即
，①当
射线第一次垂直
时，用时
（秒），此时
射线共计运动
秒，即
，即在灯
射线到达
之前，先证明
，即有：
，
即可求解；②在灯
射线到达
之后，回到
前，根据①中，同理有：
，
即有：
，即可求解；③在灯
射线回到
后，第二次到
前，
由题意得：
，即可求解，即问题得解．
【详解】（1）两灯速度为：灯
转动的速度是度秒，灯
转动的速度是
度秒．
①当转动
秒时，
，
∴
，
∴
，
B
BN
C
1
50
ABC
2
55
C
CD
BC
PQ
D
ABC
ACD
A
30
B
A
AP
B
15
3
2
A
15
82.5
50
150
MBC
180
30
CBN
MBC
ABC
ABN
CBN
C
CH
MN
∥
3
1
55
65
MBC
55
QAC
55
ACH
QAC
15
HCB
CBN
ABC
ABN
CBN
30
ABC
ACB
ACH
BCH
20
ACD
2
A
t
A
30
AQ
AP
180
30
150
150
t
0＜＜
B
MN
90
3
30
A
30
30
60
60
QAE
B
BN
MBF
QAE
3
30
t
t
B
BN
BM
30
MBF
QAE
t
3
180
FBN
t
3
180
30
180
t
t
B
BM
BN
3
360
30
t
t
A
1
/
B
3
/
50
50 3
150
MBC
180
30
CBN
MBC
45
30
15
ABC
ABN
CBN
故答案为：
；
②比值为：
，理由如下，
如图2，过点
作
，
∵
，
∴
，
两灯光线同时转动
秒时，则
，
，
∴
，
，
∴
，
即
，
又∵
，
即
，
而
，
∴
∴
．
即比值为：
；
（2）两灯速度为：灯
转动的速度是度秒，灯
转动的速度是
度秒．
设
灯转动秒，两灯的光束互相平行，
灯先转动
秒，则
转到
还需要
（秒）
即
，
①当
射线第一次垂直
时，用时
（秒），
此时
射线共计运动
秒，即
，
即在灯
射线到达
之前，如图
所示，
15
3
2
C
CH
MN
∥
PQ
MN
∥
CH
PQ
∥
55
3
1
55
65
MBC
55
QAC
55
ACH
QAC
180
3 55
15
HCB
CBN
ABC
ABN
CBN
45
15
30
ABC
ACB
ACH
BCH
55
180
165
70
ACB
90
BCD
90
20
ACD
ACB
30
3
:
20
2
ABC
ACD
3
2
A
1
/
B
3
/
A
t
A
30
AQ
AP
180
30
150
150
t
0＜＜
B
MN
90
3
30
A
30
30
60
60
QAE
B
BN
3
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
即有：
，
解得：
（秒）；
②如图4，在灯
射线到达
之后，回到
前，
根据①中，同理有：
∵
即有：
，
解得：
．
③如图5，在灯
射线回到
后，第二次到
前，
由题意得：
，解得：
（舍去）．
综上所述，
灯转动
秒或
秒时，两灯的光束互相平行．
PQ
MN
∥
BF
AE
∥
ABF
EAB
PAB
ABN
180
180
ABN
ABF
BAP
BAE
MBF
QAE
3
30
t
t
15
t
B
BN
BM
30
MBF
QAE
t
3
180
FBN
t
3
180
30
180
t
t
82.5
t
B
BM
BN
3
360
30
t
t
195
t
A
15
82.5
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系，厘清角度之间的关系并注意分类讨论是解答本
题的关键．
59．已知，
，直线
交
于点
，交
于点
，点
在线段
上，过
作射线
、
分别交直线
、
于点
、
．
(1)如图，当
时，求
的度数；
(2)如图
，若
和
的角平分线交于点
，求
和
的数量关系；
(3)如图
，在（
）的基础上，当
，且
，
时，射线
绕点
以
每秒
的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线
与
的一边互相平行时，请直接写出的值．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3) 的值为
，
，
，
，
，
秒．
【分析】（）过点
作
，利用平行线的性质可得
，
，再利用
垂直定义即可得解；
（
）过点
作
，过点
作
，根据平行线的性质及判定以及角平分线的定义即可得解；
（
）分
种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点
作
，
∴
，
∵
MN
PQ
∥
AB
MN
A
PQ
B
C
AB
C
CE
CF
MN
PQ
E
F
1
CE
CF
AEC
BFC
2
MEC
PFT
G
ECF
G
3
2
CE
CF
60
ABP
20
ACE
FT
F
5
t
FG
AEC
△
t
90
2
180
ECF
EGF
t
5
13
17
41
49
55
1
C
CH
MN
∥
AEC
ECH
BFC
HCF
2
C
CH
MN
∥
G
GL
MN
∥
3
6
C
CH
MN
∥
AEC
ECH
MN
PQ
∥
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
（2）解：如图过点
作
，过点
作
，
∵
和
的角平分线交于点
，
∴
，
，
由（）得
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
设
，则
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∵
和
的角平分线交于点
，
∴
，
，
∴
，
∴
；
（3）解：∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
CH
PQ
∥
BFC
HCF
CE
CF
90
AEC
BFC
ECF
C
CH
MN
∥
G
GL
MN
∥
MEC
PFT
G
1
2
MEG
CEG
MEC
1
2
PFG
TFG
PFT
1
BFC
AEC
ECF
BFC
PFT
180
AEC
CEM
180
ECF
PFT
CEM
GL
MN
∥
BNG
x
2
BNM
x
CH
MN
∥
MN
PQ
∥
CH
MN
PQ
∥
∥
MEG
EGL
PFG
FGT
MEC
PFT
G
1
2
MEG
CEG
MEC
1
2
PFG
TFG
PFT
TGF
180
2
2
180
2
2
2
180
2
ECF
EGT
PFT
EGF
TGF
TGF
EGF
2
180
ECF
EGF
CE
CF
90
ECF
20
ACE
180
ACE
ECF
BCF
70
BCF
60
ABP
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
当
旋转到在射线
上时，有
，
此时，
，
解得
（秒）
当
旋转到
平行于射线
时，有
，
则
，
∴
此时，
，
解得
（秒）；
当
旋转到
平行于射线
时，有
，
则
，
∴
，
此时，
，
解得
（秒）
180
50
PFT
BFC
BCF
ABP
180
50
130
PFC
FG
PFT
1
25
2
GFT
PFG
PFT
①
FG
FP
AE
FG
∥
5
25
t
5
t
②
FG
FG
CE
CE
FG
∥
90
G FT
ECF
90
65
G FG
GFT
5
65
t
13
t
③
FG
FG
CA
AC
FG
∥
60
G FP
ABP
85
G FG
G FP
GFP
5
85
t
17
t
当
旋转到在射线
上时，有
，
此时，
，
解得
（秒）
当
旋转到
平行于射线
时，有
，
此时，
，
解得
（秒）
当
旋转到
平行于射线
时，有
，
，
此时
，
解得
（秒）
④
FG
EB
AE
FG
∥
5
25 180
t
41
t
⑤
FG
FG
EC
CE
FG
∥
5
130
90
25
t
49
t
⑥
FG
FG
AC
AC
FG
∥
60
BFG
ABP
5
360
25
60
t
55
t
综上可知，的值为
，
，
，
，
，
秒．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，以及旋转的性质，熟练掌握平行线的判
定与性质及分类讨论是解题的关键．
四、平行线的实际应用问题（10 题）
60．如图，直线
上有两点A、C，分别引两条射线
、
．
，
与
在直线
异侧．
若
，射线
、
分别绕A 点，C 点以1 度/秒和6 度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t
秒，在射线
转动一周的时间内，当时间t 的值为（ ）时，
与
平行．（ ）
A．4 秒
B．10 秒
C．40 秒
D．4 或40 秒
【答案】D
【分析】分情况讨论：①
与
在
的两侧，分别表示出
与
，然后根据内错角相等两
直线平行，列式计算即可得解；②
旋转到与
都在
的右侧，分别表示出
与
，然后
根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③
旋转到与
都在
的左侧，分别表示出
与
，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：分三种情况：
如图①，
与
在
的两侧时，
∵
，
，
t
5
13
17
41
49
55
EF
AB
CD
100
BAF
CD
AB
EF
60
DCF
AB
CD
CD
CD
AB
AB
CD
EF
ACD
BAC
CD
AB
EF
DCF
BAC
CD
AB
EF
DCF
BAC
AB
CD
EF
100
BAF
60
DCF
∴
，
，
要使
，则
，
即
，
解得
；
此时
，
∴
；
②
旋转到与
都在
的右侧时，
∵
，
，
要使
，则
，
即
，
解得
，
此时
，
∴
；
③
旋转到与
都在
的左侧时，
∴
，
，
要使
，则
，
180
60
6
120
6
ACD
t
t
100
BAC
t
AB
CD
∥
ACD
BAC
120
6
100
t
t
4
t
180
60
6
20
0
20
t
CD
AB
EF
360
6
60
300
6
DCF
t
t
100
BAC
t
AB
CD
∥
DCF
BAC
300
6
00
1
t
t
40
t
360
60
6
50
20
50
t
< <
CD
AB
EF
6
(180
60
180 )
6
300
DCF
t
t
100
BAC
t
AB
CD
∥
DCF
BAC
即
，
解得
，
此时
，
而
，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t 的值为4 秒或40 秒时，
与
平行．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况
讨论．
61．如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN 上，镜面AB 的调
节角
的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG 射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线
EF）的夹角
，则反射光束GH 与天花板所形成的角
不可能取到的度数为
（ ）
A．129°
B．72°
C．51°
D．18°
【答案】C
【分析】分当
时，如图1 所示，当
时，如图2 所示，两种情况，利用
平行线的性质求解即可．
【详解】解：当
时，如图1 所示，过点G 作
，
∵
，
∴
，
∴∠PGQ =∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，
∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM，
6
30
100
0
t
t
40
t
50
t
40
50
CD
AB
ABM
30
EPG
PHG
12
60
ABM
∠
60
69
ABM
∠
12
60
ABM
∠
GQ
MN
∥
,
MN
EF MN
GQ
∥
∥
MN
EF
GQ
∥
∥
由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM，
∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，
∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM，
∴
当
时，如图2 所示，过点G 作
，
同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ，
∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM，
∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°，
∴∠PHG=150°-2∠ABM，
∴
，
综上所述，
或
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
62．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1 所示，灯A 射线从
开始顺时针旋转至
便立即
回转，灯B 射线从
开始顺时针旋转至
便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是每
54
150
PHG
∠
60
69
ABM
∠
GQ
MN
∥
12
30
PHG
∠
54
150
PHG
∠
12
30
PHG
∠
AM
AN
BP
BQ
秒2 度，灯B 转动的速度是每秒1 度，假定主道路是平行的，即
，且
．
(1)填空：
；
(2)如图2，
①若灯B 射线先转动
，灯A 射线才开始转动，灯A 射线与
交于点
，灯B 射线与
交于点
，
在灯A 射线到达
之前，设灯A 转动t 秒，则
，
；（用含t 的式子表示）
②若灯B 射线先转动
，灯A 射线才开始转动，灯A 射线与
交于点
，灯B 射线与
交于点
，
在灯B 射线到达
之前，设灯A 转动t 秒，当
，求t 的值．
(3)如图3，若两灯同时转动，在灯A 射线到达
之前．若射出的光束交于点C，过C 作
交
于
点D，且
，则在转动过程中，请探究
与
的数量关系是否发生变化？若不变，请
求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①
，
；②
或
；
(3)不发生变化，
，详见解析
【分析】（1）根据邻补角的性质，结合
的条件求出度数即可；
（2）第一小空根据图形求出度数，第二小空根据平行线的性质即可得出答案；
（3）设灯A 射线转动时间为t 秒，求出两角之间的关系即可．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
；
//
PQ MN
:
2:1
BAM
BAN
BAN
15s
PQ
'
M
MN
'P
AN
MAM
PBP
15s
PQ
'
M
MN
'P
BQ
//
AM
BP
AN
ACD
PQ
120
ACD
BAC
BCD
60
2t
15
t
15
t
115
t
2
BAC
BCD
:
2:1
BAM
BAN
180
BAM
BAN
:
2:1
BAM
BAN
1
180
60
3
BAN
（2）解：①设灯A 转动t 秒
，
则
，
，
②当
时，如图，
若
，
则
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
当
时，如图，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得：
，
综上所述：当
或
时，亮灯的光束平行；
（3）解：如图3：
(0<t<90)
2
MAM
t
PBP
15
t
0
90
t
//
AM
BP
M AB
P BA
//
PQ MN
PBA
MAB
'
PBA
P BA
MAB
M AB
'
MAM
PBP
2
15
t
t
15
t
90
150
t
//
PQ MN
PBA
MAB
//
AM
BP
M AN
BP A
180
M AN
PBP
1
15
2
180
180
t
t
115
t
15
t
115
t
不发生变化，
，理由如下：
设灯A 射线转动时间为t 秒，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，而
，
∴
，
∴
，
即
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
63．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP 上分别放置A、B 两盏激光
灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转；B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至
BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动12°，B 灯每秒转动4°．B 灯先转动12 秒，A 灯才开始转
动．当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是 ．
【答案】6 秒或19.5 秒
【分析】设A 灯旋转t 秒，两灯光束平行，B 灯光束第一次到达BQ 需要180÷4＝45（秒），推出
t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．
【详解】解：设A 灯旋转t 秒，两灯的光束平行，B 灯光束第一次到达BQ 需要180÷4＝45（秒），
∴t≤45
12
﹣
，即t≤33．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：
①如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；
2
BAC
BCD
180
2
CAN
t
60
180
2
2
120
BAC
t
t
120
ABC
t
180
180
BCA
ABC
BAC
t
120
ACD
120
120
180
60
BCD
BCA
t
t
:
2:1
BAC
BCD
2
BAC
BCD
②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t
180+4
﹣
（12+t）＝180，解得t＝19.5；
综上所述，满足条件的t 的值为6 秒或19.5 秒．
故答案为：6 秒或19.5 秒．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
64．如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆
始终和桌面
平行，灯脚
始终和桌面
垂直，
(1)当
时，求
．
(2)连杆
、
可以绕着
、
和
进行旋转，灯头
始终在
左侧，设
，
，
的度
数分别为
，
，
，请求出
，
，
之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
或
或
或
或
或
DE
FG
AB
FG
120
EDC
DCB
CBA
BC
CD
B
C
D
E
D
EDC
DCB
CBA
150
90
270
90
450
90
270
【分析】（1）过点
作
，过点
作
，则
，先根据平行线的性质
可得
，
，从而可得
，再根据平行线的性质可得
，然后根据
即可得；
（2）如图（见解析），分六种情况，参考题（1），利用平行线的判定与性质求解即可得．
【详解】（1）解：如图，过点
作
，过点
作
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
又
，
，
．
（2）解：
，
，
分以下六种情况：
①如图，过点
作
，过点
作
，
B
BM
FG
C
CN
FG
∥
DE
CN
BM
FG
∥
∥
∥
60
DCN
90
ABM
BAF
60
BCN
60
CBM
BCN
CBA
CBM
ABM
B
BM
FG
C
CN
FG
∥
DE
FG
∥
DE
CN
BM
FG
∥
∥
∥
180
180
120
60
DCN
EDC
120
DCB
60
BCN
CN
BM
∥
60
CBM
BCN
AB
FG
90
BAF
BM
FG
90
ABM
BAF
150
CBA
CBM
ABM
AB
FG
90
BAF
B
BM
FG
C
CN
FG
∥
，
，
，
，
，
又
，
，
又
，
，
，
，
即
；
②如图，过点
作
，过点
作
，
同理可得：
，
，
，
又
，
，
又
，
，
，
，
即
；
DE
FG
∥
DE
CN
BM
FG
∥
∥
∥
180
180
DCN
EDC
DCB
180
BCN
CN
BM
∥
180
CBM
BCN
BM
FG
90
ABM
BAF
180
90
90
CBA
CBM
ABM
90
90
B
BM
FG
C
CN
FG
∥
180
DCN
DCB
180
BCN
CN
BM
∥
180
CBM
BCN
BM
FG
90
ABM
BAF
180
90
270
CBA
CBM
ABM
270
270
③如图，过点
作
，过点
作
，
，
，
，
，
，
又
，
，
又
，
，
，
，
即
；
④如图，过点
作
，过点
作
，
同理可得：
，
，
，
，
，
，
B
BM
FG
C
CN
FG
∥
DE
FG
∥
DE
CN
BM
FG
∥
∥
∥
DCN
EDC
DCB
BCN
CN
BM
∥
CBM
BCN
BM
FG
180
90
ABM
BAF
90
CBA
CBM
ABM
90
90
B
BM
FG
C
CN
FG
∥
180
BCN
90
ABM
CN
BM
∥
180
360
CBM
BCN
360
90
450
CBA
CBM
ABM
450
即
；
⑤如图，过点
作
，过点
作
，
同理可得：
，
，
，
又
，
，
又
，
，
，
，
即
；
⑥如图，过点
作
，过点
作
，
同理可得：
，
，
，
又
，
450
B
BM
FG
C
CN
FG
∥
180
DCN
DCB
180
BCN
CN
BM
∥
180
CBM
BCN
BM
FG
90
ABM
90
CBA
CBM
ABM
90
90
B
BM
FG
C
CN
FG
∥
180
BCN
CN
BM
∥
180
CBM
BCN
BM
FG
，
，
，
即
；
综上，
或
或
或
或
或
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，并正确分情况讨论是解题
关键．
65．如图1 是一盏可调节台灯，图2，图3 为示意图．固定底座
于点O，
与
是分别可绕点
A 和B 旋转的调节杆．在调节过程中，灯体
始终保持平行于
，台灯最外侧光线
组成的
始终保持不变．如图2，调节台灯使光线
，此时
，且
的延长线恰好是
的角平分线，则
．如图3，调节台灯使光线
垂直
于点B，此时
，
则
．
【答案】
/80 度
/20 度
【分析】（1）过点
作
，过点
作
交
于点
，根据平行线的判定和性质，求出
的度数，利用角平分线的性质，即可得解；
（2）过点
作
，过点
作
，过点
作
交
于点
，同法（1），利用平行
线的判定和性质，进行求解即可．
【详解】解：（1）过点
作
，过点
作
交
于点
，
90
ABM
270
CBA
CBM
ABM
270
270
90
270
90
450
90
270
AO
OE
BA
CB
CD
OE
,
DM DN
MDN
DN
BA
∥
130
BAO
CD
MDN
MDN
MD
AB
120
BAO
PDN
80
20
A
AF
OE
∥
B
BG
AF
∥
DN
H
PDN
D
DK
AB
∥
A
AL
OE
∥
B
BQ
AL
∥
DK
Q
A
AF
OE
∥
B
BG
AF
∥
DN
H
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
；
∴
，
∵
的延长线恰好是
的角平分线，
∴
；
故答案为：
；
（2）由题意，得：
，
过点
作
，过点
作
，过点
作
交
于点
，
同（1）法可得：
，
∵
，
∴
，
AO
OE
90
AOE
AF
OE
∥
90
OAF
40
BAF
BAO
OAF
BG
AF
∥
40
BAF
HBA
DN
BA
∥
40
DHB
HBA
AF
OE
∥
,
CD
OE
∥
BG
AF
∥
∥
BG
CD
40
DHB
PDN
CD
MDN
80
2 P
MDN
DN
80
90
MBA
D
DK
AB
∥
A
AL
OE
∥
B
BQ
AL
∥
DK
Q
30
PDK
BQD
ABQ
BAL
BAO
OAL
DK
AB
∥
90
MDK
MBA
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造平行线．
66．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以
抽象出如图2 的数学模型：
，
，
，
分别交
、
于点E、F、
的角平分线
交
于点D，H 为线段
上一动点（不与A、B 重合），连接
交
于点
．
(1)当
时，求
．
(2)
在线段
上任意移动时，求
，
，
之间的关系．
(3)在（1）的条件下，将
绕着点
以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为
，则在旋
转过程中，当
的其中一边与
的某一边平行时，直接写出此时的值．
【答案】(1)
(2)
(3)t 为6 或12 或21 或24 或30
【分析】（1）由三角形内角和定理求出
，由
，得到
，
由
，则
，由角平分线和平行线性质得到
，即可得到答案；
（2）由
得到
，由
即可得到结论；
（3）分五种情况画图求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
90
80
10
NDQ
MDK
MDN
30
10
20
PDN
PDK
NDQ
20
∥
MN
AB
60
BAC
90
C
MN
AC
BC
BAC
AD
MN
AB
FH
AD
K
1
2
BFH
BFN
AKF
H
AB
AKF
HAK
DFH
DKF
△
F
0
36
t
t
DKF
△
CEF
△
t
75
AKF
HAK
DFH
180
30
B
BAC
C
∥
MN
AB
30
BFN
1
2
BFH
BFN
15
BFH
30
ADE
BAD
∥
MN
AB
HAK
FDK
AKF
HFD
KDF
60
BAC
90
C
180
30
B
BAC
C
∥
MN
AB
30
BFN
B
1
2
BFH
BFN
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
；
（2）∵
，
∴
，
∵
，
∴
；
（3）由（1）知，
，
，
∴
，
如图1，当
时，
，
∵
，
∴此时是旋转了
，
此时，
；
如图2，当
时，
∵
，
∴此时是旋转了
，
此时，
；
如图3，当
时，
1
30
15
2
BFH
AD
BAC
1
30
2
CAD
BAD
CAB
∥
MN
AB
30
ADE
BAD
30
15
30
75
AKF
ADE
HFD
ADE
HFB
BFN
75
AKF
∥
MN
AB
HAK
FDK
AKF
DFH
KDF
AKF
HAK
DFH
30
FDK
45
KFD
180
105
DKF
FDK
KFD
DF
CE
∥
90
CFD
ECF
30
CFE
180
30
90
60
60
5
12s
t
DK
CF
∥
30
CFD
KDF
180
30
30
120
120
5
24s
t
KF
CE
∥
∵
，
∴此时是旋转了
，
此时，
；
如图4，当
时，设
与
相交于点S，
∴
，
∴
，
∴此时是旋转了
，
此时，
；
如图5，当
时，
∴
，
∴此时是旋转了
，
此时，
；
∴当
的其中一边与
的某一边平行时，t 为6 或12 或21 或24 或30．
【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、旋转等知识，分情况讨论是解题的关键．
67．甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的
具体操作步骤如下：
第一步：将一根铁丝
在
，
，
处弯折得到如下图①的形状，其中
，
．
第二步：将
绕点D 旋转一定角度，再将
绕点E 旋转一定角度并在
上某点
处弯折，得到如下图
②的形状．
第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成
，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．
180
120
EFK
CEF
180
120
45
105
105
5
21s
t
DK
EC
∥
DK
MN
60
KSF
CEF
30
DFS
KSF
D
30
30
5
6s
t
DK
EF
∥
180
75
EFK
DKF
180
75
45
150
150
5
30s
t
DKF
△
CEF
△
AB
C
D
E
AC
DE
∥
CD
BE
∥
DE
BE
BE
F
G
请根据上面的操作步骤，解答下列问题：
(1)如图①，若
，求
；
(2)如图②，若
，请判断
，
，
，
之间的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图③，若
，
，设
，
，求
．
（用含
，
的式子表示）
【答案】(1)
(2)
，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质得出
，根据解题得出
，进而根据
，即
可求解；
（2）过点
分别作
的平行线
，根据平行线的性质得出
设
，进而根据平行线的性质得出
，
，即可
得出结论；
（3）根据（2）的结论可得
，
，根据已知
，
，可得
，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
解得：
，
∵
．
∴
；
（2）解：如图所示，
2
C
D
E
AC
BF
∥
C
D
E
F
3
ACD
DCG
3
DEF
DEG
D
x
F
y
G
x
y
60
E
C
CDE
DEF
F
2
1
3
3
G
x
y
180
C
D
60
D
CD
BE
∥
,
D E
AC
,
DN EM
MED
NDE
MED
NDE
180
C
CDE
180
DEF
F
ACD
x
DEF
y
G
ACG
F
GEF
3
ACD
DCG
3
DEF
DEG
2
2
3
3
G
ACD
DEF
y
AC
DE
∥
180
C
D
2
C
D
3
180
D
60
D
CD
BE
∥
60
E
D
过点
分别作
的平行线
，
∴
，
∴
，
设
，
又∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，；
（3）∵
，
，
，
即
，
∴
，
由（2）可得
，
∵
，
，
∴
，
即
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
68．【学习新知】：
射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，
是平
面镜，若入射光线与水平镜面夹角为
，反射光线与水平镜面夹角为
，则
．
（1）【初步应用】：
,
D E
AC
,
DN EM
EM
DN
∥
MED
NDE
MED
NDE
AC
BF
∥
AC
DN
∥
ME
BF
∥
180
C
CDE
180
DEF
F
C
CDE
DEF
F
D
x
F
y
C
CDE
DEF
F
ACD
x
DEF
y
DEF
ACD
x
y
G
ACG
F
GEF
3
ACD
DCG
3
DEF
DEG
2
2
3
3
G
ACD
DEF
F
2
2
3
3
G
ACD
DEF
y
2
2
2
1
3
3
3
3
G
y
DEF
ACD
y
x
y
x
y
2
1
3
3
G
x
y
AB
1
2
1
2
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2 当一束“激光”
射入到平面镜
上、被平面镜
反射到平面镜
上，又被平面镜
反射后得到反射光线
．回答下列问题：
①当
，
（即
）时，求
的度数．
②当
时，任何射入平面镜
上的光线
经过平面镜
和
的两次反射后，入射光线
与
反射光线
总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．
（提示：三角形的内角和等于
）
（2）【拓展探究】：
如图3，有三块平面镜
，
，
，入射光线
经过三次反射，得到反射光线
，已知
，
，若要使
，求
的度数．
【答案】（1）①
；②见解析；（2）
【分析】（1）①先求出
的度数，再利用平行线的性质求解即可；
②由
求出
，结合题意可得
，
，可求
，进而求出
，最后利用平行线的判定即可得证；
（2）过点
作
，则
，利用平行线的性质、三角形内角和等于
可求
，
，
，
，
，
，最后在
1
DO
AB
AB
BC
BC
2
O E
1
2
DO
EO
∥
2
60
EO C
4
60
1
2
DO O
90
B
AB
1
DO
AB
BC
1
DO
2
O E
180
AB
BC
CD
1
EO
3
O F
1
36
120
B
1
3
EO
O F
∥
C
120
126
1
2
O O E
90
B
2
3
90
1
2
3=
4
1
4
90
1
2
1
2
180
DO O
O O E
2
O
2
1
O M
O E
∥
2
3
O M
O F
∥
180
1
2
108
EO O
1
2
72
O O M
3
4
24
2
3
60
MO O
2
3
120
O O F
5
6
30
2
3
CO O
中求解即可．
【详解】解：（1）①∵
，
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
；
②由题意知
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）过点
作
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
2
3
CO O
2
60
EO C
2
2
1
EO C
BO O
2
1
60
BO O
1
2
1
2
2
180
60
O O E
O O B
EO C
1
2
DO
EO
∥
1
2
1
2
120
180
DO O
O O E
1
2
3=
4
90
B
2
3
90
1
4
90
1
2
1
2
180
1
2
180
3
4
180
DO O
O O E
1
2
DO
O E
∥
2
O
2
1
O M
O E
∥
1
3
EO
O F
∥
2
3
O M
O F
∥
1
2
1
2
180
EO O
O O M
1
36
2
1
2
180
1
2
108
EO O
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
69．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的
同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理．
（1）提词器的原理如图①，AB 表示平面镜，CP 表示入射光线，PD 表示反射光线，∠CPD＝90°，求
∠APC 的度数；
（2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a 表示入射光线，b 表
示反射光线，a∥b．平面镜AB 与BC 的夹角∠ABC＝
，求
．
（3）如图③，若
＝108°，设平面镜CD 与BC 的夹角∠BCD＝
（90°＜
＜180°），入射光线a 与平面
镜AB 的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a 从平面镜AB 开始反射，经过2 或3 次反射，当反射光线
b 与入射光线a 平行时，请直接写出
的度数．（可用含x 的代数式表示）．
1
2
1
2
180
72
O O M
EO O
120
B
3
180
2
24
4
B
2
3
1
2
180
3
4
60
MO O
O O M
2
3
O M
O F
∥
2
3
3
2
180
120
O O F
O O M
2
3
5
6
180
60
O O F
5
6
5
30
180
5
4
126
C
【答案】（1）45°；（2）90°；（3）162°或（90°+x）°
【分析】（1）根据平面镜成像原理入射角等于反射角可知：∠APC=∠BPD，即可解决问题；
（2）根据平面镜成像原理入射角等于反射角，由光线a∥b，可知同内角互补，可得两法线垂直，从而求
得a 的度数；
（3）分两次反射和三次反射进行讨论，两次反射的情况可利用（2）结论；三次反射的情况画图进行分析
即可．
【详解】解：（1）∵平面镜成像原理入射角等于反射角，
∴∠APC=∠BPD，
∵∠CPD=90°，
∴∠APC+∠BPD=90°，
∴∠APC=45°；
（2）如图②：过点P 作PG⊥AB，QG⊥BC，相交于点G，
∵平面镜成像原理入射角等于反射角，
∴∠EPG=∠QPG，∠PQG=∠FQG，
∵a∥b，
∴∠EPQ+∠PQF=180°，
∴2（∠GPQ+∠PQG）=180°，
∴∠GPQ+∠PQG=90°，
∵∠GPQ+∠PQG+∠PGQ=180°，
∴∠PGQ=90°，
∵PG⊥AB，QG⊥BC，
∴∠PBQ+∠BQG+∠QGP+∠GPB=360°，
∴∠PBQ=360°-90°-90°-90°=90°，
即α=90°．
（3）若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC 交于点E，
由（2）知，∠E=90°，
∵α=108°，
∴∠BCE=α-∠E=108°-90°=18°，
∴β=180°-∠BCE=180°-18°=162°；
若经过三次反射标记各反射点，如图③-2 所示，作FM∥a∥b，
∵∠BHF=∠AHP=x，
∴∠BFH=∠CFG=180°-α-x=180°-108°-x=72°-x，
∴∠PHF=180°-2x，∠HFG=180°-2∠BFH=180°-2（72°-x）=36°+2x，
∵a∥b，
∴∠PHF+∠HFG+∠FGQ=360°，
∴∠FGQ=360°-（36°+2x）-（180°-2x）=144°，
则∠CGF=
（180°-∠FGQ）=18°，
由∠CGF+∠CFG+β=180°，
得β=180°-∠CFG-∠CGF=180°-（72°-x）-18°=90°+x，
综上，β 角的度数为162°或90°+x．
1
2
【点睛】本题主要考查平行线的知识，熟练掌握平面镜成像原理入射角等于反射角是解题的关键．
70．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图
1，光线a 从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有
，请
判断光线a 与光线b 是否平行，并说明理由．
（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相
等，如图2 有一口井，已知入射光线
与水平线
的夹角为
，问如何放置平面镜
，可使反射光线
b 正好垂直照射到井底?（即求
与水平线的夹角）
（3）如图3，直线
上有两点A、C，分别引两条射线
、
．
，
，射线
、
分别绕A 点，C 点以1 度/秒和3 度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线
转动一周的时间
内，是否存在某时刻，使得
与
平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
【答案】（1）平行，理由见解析；（2）65°；（3）5 秒或95 秒
【分析】（1）根据等角的补角相等求出∠3 与∠4 的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定
a∥b；
（2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得∠1=∠2，然后根据平角等于180°求出
∠1 的度数，再加上40°即可得解；
（3）分①AB 与CD 在EF 的两侧，分别表示出∠ACD 与∠BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式
计算即可得解；②CD 旋转到与AB 都在EF 的右侧，分别表示出∠DCF 与∠BAC，然后根据两直线平行，
同位角相等列式计算即可得解；③CD 旋转到与AB 都在EF 的左侧，分别表示出∠DCF 与∠BAC，然后根
据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解．
【详解】解：（1）平行．理由如下：
1
2,
3
4
OC
40
MN
MN
EF
AB
CD
105
BAF
65
DCF
AB
CD
CD
CD
AB
如图1，∵∠3=∠4，
∴∠5=∠6，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠5=∠2+∠6，
∴a∥b(内错角相等，两直线平行）；
（2）如图2：
∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
∴∠1=∠2，
∵入射光线a 与水平线OC 的夹角为40°，b 垂直照射到井底，
∴∠1+∠2=180°-40°-90°=50°，
∴∠1＝
×50°=25°，
∴MN 与水平线的夹角为：25°+40°=65°，
即MN 与水平线的夹角为65°，可使反射光线b 正好垂直照射到井底；
（3）存在．
如图①，AB 与CD 在EF 的两侧时，
∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，
∴∠ACD=180°-65°-3t°=115°-3t°，
∠BAC=105°-t°，
要使AB∥CD，
则∠ACD=∠BAC，
即115-3t=105-t，
解得t=5；
1
2
如图②，CD 旋转到与AB 都在EF 的右侧时，
∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，
∴∠DCF=360°-3t°-65°=295°-3t°，
∠BAC=105°-t°，
要使AB∥CD，
则∠DCF=∠BAC，
即295-3t=105-t，
解得t=95；
如图③，CD 旋转到与AB 都在EF 的左侧时，
∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，
∴∠DCF=3t°-（180°-65°+180°）=3t°-295°，
∠BAC=t°-105°，
要使AB∥CD，
则∠DCF=∠BAC，
即3t-295=t-105，
解得t=95，
此时t＞105，
∴此情况不存在．
综上所述，t 为5 秒或95 秒时，CD 与AB 平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是解
题的关键，（3）要注意分情况讨论．
五、平行线+三角板旋转的综合问题（15 题）
71．如图，直线
，一副三角板按如图1 摆放，其中
，
，
GH
MN
∥
90
EDF
ACB
45
E
30
BAC
ABC
DEF
D
2
．保持三角板
不动，现将三角板
绕点
以每秒
的速度顺时针旋转，如图2，设旋
转时间为t 秒，且
，则经过 秒边
与三角板的一条直角边（边
，
）平行．
【答案】
或
或
或
【分析】延长
交
于
点，可求
，进行分类讨论，画图可得在各个不同位置
或
时，
所旋转的度数，即可求解．
【详解】解：如图，延长
交
于
点，
，
，
，
，
，
①如图，
当
时，
，
此时
旋转的度数为
，
( )；
②如图
30
BAC
ABC
DEF
D
2
0
180
t
BC
DE
DF
15
60
105
150
BC
MN
P
60
BPN
DE
BC
∥
DF
BC
∥
D
BC
MN
P
90
EDF
ACB
30
BAC
60
ABC
GH
MN
∥
Q
60
BPN
1
60
E DP
BPN
1
DE
BC
∥
D
1
30
EDE
30
15
2
t
s
当
时，
，
，
此时
旋转的度数为
，
( )；
③如图
当
时，
，
，
此时
旋转的度数为
，
( )；
④如图
当
时，
，
1
60
F DP
BPN
1
DF
BC
∥
1
30
EDF
D
1
120
EDE
120
60
2
t
s
60
QDP
BPN
1
DE
BC
∥
30
EDQ
D
180
30
210
210
105
2
t
s
60
QDP
BPN
1
DF
BC
∥
，
此时
旋转的度数为
，
( )；
综上所述：
或
或
或
．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
72．如图1，直线
上有一点
，过点
在直线
上方作射线
，将一直角三角板
的直角顶点
放在
处，
，
，一条直角边
在射线
上，另一边
在直线
上方，将直
角三角板绕着点
按每秒10°的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t 秒，且
．
(1)若射线
的位置保持不变，则当旋转时间
______秒时，边
所在直线与
平行；
(2)如图2，在旋转的过程中，若射线
的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线
，
与
中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？若存在，求出所有满足题意的的取值，若不存在，请
说明理由；
【答案】(1)7 或
，
(2)见详解．
【分析】（1）利用平行线性质即可求得答案；
（2）分三种情况：当
平分
时，当
平分
时，当
平分
时，分别求出t 的值即
可；
【详解】（1）解：如图3，
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
；
30
EDQ
D
270
30
300
300
150
2
t
s
15
60
105
150
DE
O
O
DE
OC
AOB
O
90
AOB
30
OAB
OA
OD
OB
DE
O
40
AOC
OC
t
AB
OC
OC
OA
OC
OD
t
25
OA
COD
OC
AOD
OD
AOC
10
AOD
t
30
OAB
40
COD
AB
OC
∥
30
OAB
AOC
30
40
70
AOD
AOC
COD
10
70
t
7
t
如图4，
，
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
解得：
；
所以当旋转时间为7 或
秒，边
所在直线与
平行；
（2）当
平分
时，如图5，
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，则
；
当
平分
时，如图6，
∵
平分
，
∴
，即
，则
；
当
平分
时，如图7，
∵
平分
，
∴
，即
，则
；
综上所述，满足题意的t 的取值为2 或8 或32．
【点睛】本题考查了旋转变换，角的运算，角平分线定义，平行线的性质，一元一次方程的应用等，解题
10
COD
COE
AOE
t
30
OAB
40
COD
90
AOB
=60
B
AB
OC
∥
60
COB
B
20
BOD
COB
COD
360
360
10
90
270
10
BOD
COD
COE
AOE
AOB
t
t
270
10
20
t
25
t
25
AB
OC
OA
COD
10
AOD
t
OA
COD
1
20
2
AOD
COD
10
20
t
2
t
OC
AOD
OA
AOD
2
80
AOD
COD
10
80
t
8
t
OD
AOC
OD
AOC
40
AOD
COD
10
360
40
t
32
t
关键是运用数形结合思想、分类讨论思想及方程思想解决问题．
73．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点
按如图所示的方式叠放在一起（其中，
，
；
）．
(1)若
，则
的度数为__________；
(2)猜想
与
的数量关系，并说明理由．
(3)当
且点
在直线
的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请画出
相应的图形并直接写出
角度所有可能的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
，理由见解析
(3)
或
或
或
或
【分析】（1）根据
和
的度数，求得
的度数，再根据
求得
的度数；
（2）根据
以及
，进行计算即可得出结论；
（3）分五种情况进行讨论：当
时，当
时，当
时，当
时，当
时，分别求得
的度数．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
C
60
A
30
D
45
E
B
45
DCE
ACB
ACB
DCE
180
ACE
E
AC
ACE
135
180
ACB
DCE
30
ACE
45
120
135
165
DCE
ACD
ACE
BCE
ACB
90
ACE
DCE
90
ACB
ACE
CB ∥AD
EB ∥AC
CE ∥AD
EB ∥CD
BE ∥
AD
ACE
45
DCE
=90
ACD
45
ACE
∵
，
∴
，
故答案为：
；
（2）解：猜想：
，
理由如下：∵
，
又∵
，
∴
，
即
；
（3）解：存在，
、
、
、
、
．
理由：当
时，如图所示：
∴
，
∴
；
当
时，如图
所示：
∴
；
当
时，如图
所示：
90
BCE
90
45
135
ACB
135
180
ACB
DCE
90
ACE
DCE
90
ACB
ACE
90
90
180
ACB
DCE
DCE
180
ACB
DCE
30
45
120
135
165
CB ∥AD
1
30
DCB
D
30
ACE
DCB
EB ∥AC
2
45
ACE
E
CE ∥AD
3
∴
，
∴
；
当
时，如图
所示：
∴
，
∴
；
当
时，延长
交
于
，如图
所示：
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题
的关键．
74．如图，直线
，一副三角板（
，
，
，
）按如图①放置，其中点E 在直线
上，点B，C 均在直线
上，且
平分
．
30
DCE
D
90
30
120
ACE
EB ∥CD
4
45
DCE
E
90
45
135
ACE
BE ∥AD
AC
BE
F
5
60
CFB
A
180
ECF
E
CFE
180
CFB
CFE
15
ECF
180
180
15
165
ACE
ECF
PQ
MN
∥
90
ABC
CDE
30
ACB
60
BAC
45
DCE
DEC
PQ
MN
CE
ACN
(1)求
的
度数；
(2)如图②，若将
绕B 点以每秒
的速度按逆时针方向旋转（A，C 的对应点分别为F，G）．设旋
转时间为t 秒
；
①在旋转过程中，若边
，求t 的值；
②若在
绕B 点旋转的同时，
绕E 点以每秒
的速度按顺时针方向旋转（C、D 的对应点分别
为K、T），请直接写出
与
平行时t 的值．
【答案】(1)
(2)①3 或21；②5 或17 或29
【分析】（1）首先求出
，根据角平分线的定义求出
，再根据平行线的性质求出
，继
而可得结果；
（2）①分两种情况，画出图形，根据旋转速度以及平行线的性质列出关于t 的方程，解之即可；②表示出
，
，分三种情况，画出图形，根据平行线的性质列出方程，再求解即可．
【详解】（1）解：
，
，
平分
，
，
，
，
，
．
（2）①如图，
，
，
，
DEQ
ABC
10
0
36
t
BG
CD
∥
ABC
CDE
5
EK
BG
60
ACN
ECN
QEC
5
CEK
t
10
CBG
t
30
ACB
180
150
ACN
ACB
CE
ACN
1
75
2
ECN
ACN
PQ
MN
∥
180
QEC
ECN
180
75
105
QEC
105
45
60
DEQ
QEC
CED
BG
CD
∥
GBC
DCN
75
45
30
DCN
ECN
ECD
，
，
．
如图，
，
，
∵
，
∴
，
此时
旋转了
，
∴
，
．
在旋转过程中，若边
，的值为3 或21．
②如图，延长
，与
交于H，
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
解得：
；
30
GBC
10
30
t
3
t
BG
CD
∥
GBC
BCD
30
DCN
150
GBC
BCD
ABC
360
150
210
10
210
t
21
t
BG
CD
∥
t
BG
PQ
5
CEK
t
10
CBG
t
BG
EK
∥
GHE
KEQ
PQ
MN
∥
180
CBG
GHE
180
CBG
KEQ
10
5
105
180
t
t
5
t
如图，过点C 作
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
解得：
；
如图，延长
，与
交于H，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
解得：
；
CH
EK
∥
BG
EK
∥
CH
BG
∥
180
10
GBM
HCM
t
180
KEC
ECH
105
180
10
10
75
ECH
ECM
HCM
t
t
5
CEK
t
5
10
75
180
t
t
17
t
GB
PQ
PQ
MN
∥
360
10
CBG
BHQ
t
BG
EK
∥
360
10
BHQ
HEK
t
75
HEC
CEK
HEK
5
360
10
75
t
t
29
t
综上：t 的值为5 或17 或29．
【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解题的关
键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
75．在一次数学活动课上，同学们用一个含有
角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在
中，
，
，
．
(1)如图1，点
在
上，点
在
上，
与
交于点
，若
，求
的度数；
(2)如图2，点
在
上，点
在
上方，点
在
下方，
与
交于点
，作
的角平分线
并反向延长与
的角平分线交于点
，求
的度数；
(3)如图3，点
在
上，点
在直线
，
之间（不含在
，
上），点
在
下方，
，
分别与
交于点
，
．设
，是否存在正整数
和
，使得
．若存在，
请求出
和
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
，
；
，
；
，
【分析】（1）先求出
，再利用两直线平行同旁内角互补求出
的度数，根据
即可得出结果；
60
Rt
ABC
△
90
ACB
60
CAB
EF
GH
∥
C
EF
A
GH
AB
EF
D
1
20
2
C
EF
A
EF
B
GH
BC
GH
Q
ACE
CQH
O
O
C
EF
A
EF
GH
EF
GH
B
GH
AB
BC
GH
P
Q
FCB
n
m
n
APH
m FCB
m
n
50
45
2
m
70
n
4
m
42
n
5
m
35
n
70
ACD
CAH
2
CAH
CAB
（2）利用平行线性质得到
，
，
，
平分
，
平分
，得到
，
根据
，即可得到最后结果；
（3）根据四边形的内角和
及平行线的性质得出关于
和
的关系式，根据题意得出
的范围，在范
围内找到
和
都是正整数的所有可能的情况．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
；
（2）如图，过点
作
，
，
，
，
，
，
平分
，
平分
，
，
，
，
，
DCE
COP
POQ
OQH
ECQ
CQH
CD
ACE
QO
CQH
1
2
POQ
ECQ
1
2
COP
ACE
1
1
2
2
COQ
COP
POQ
ACE
ECQ
360
m
n
m
m
n
1
90
20
70
ACD
ACB
EF
GH
∥
180
ACD
CAH
180
110
CAH
ACD
2
110
60
50
CAH
CAB
O
OP
EF
∥
EF
GH
∥
EF
OP
GH
∥
∥
DCE
COP
POQ
OQH
ECQ
CQH
CD
ACE
QO
CQH
1
2
DCE
ACE
∴
1
2
OQH
CQH
1
2
POQ
ECQ
1
2
COP
ACE
COQ
COP
POQ
1
1
2
2
ACE
ECQ
；
（3）
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
是正整数，
存在符合要求的正整数
和
，分别为：
当
时，
，不符合题意，舍去；
当
时，
，符合题意；
当
时，
，不是整数不符合题意，舍去；
当
时，
，符合题意；
当
时，
，符合题意；
当
时，
，不符合题意，舍去．
【点睛】本题考查平行线的性质，利用平行线的性质、角平分线的定义、四边形的内角和等知识把问题解
决，其中作平行线、分类讨论是解决本题的关键．
76．如图，将一副三角板中的两块直角三角板如图1 放置，
，
，
1
2
ACE
ECQ
（
）
1
2
ACB
45
90
ACB
60
A
360
210
APQ
CQP
CB
A
EF
GH
∥
FCB
CQP
n
210
APQ
CQP
APQ
n
APH
m FCB
APH
mn
210
mn
n
210
1
n
m
180
APH
30
90
n
30
90
n
m
n
m
n
1
m
210
105
2
n
2
m
210
70
3
n
3
m
210
105
4
2
n
4
m
210
42
5
n
5
m
210
35
6
n
6
m
210
30
7
n
90
ACB
EDF
=45
ABC
30
DFE
A
E
A
C
F
，此时点
与点
重合，点
，
，
三点共线．
(1)固定
的位置不变，将
绕点
按顺时针方向进行旋转，旋转至
与
首次平行，如图2 所
示，此时
的度数是_________．
(2)若直线
，固定
的位置不变，将图1 中的
沿
方向平移，使得点
正好落在直线
上，再将
绕点
按顺时针方向进行旋转，如图3 所示．
①若边
与边
交于点
，试判断
的值是否为定值，若是定值，则求出该定值；若不是
定值，请说明理由．
②固定
的位置不变，将
绕点
按顺时针方向以每秒
的速度进行旋转，当
与直线
首
次重合时停止运动，当经过秒时，线段
与
的一条边平行，请直接写出满足条件的的值．
【答案】(1)
(2)①是定值，
；②
或
或15
【分析】（1）利用平行线的性质求解即可；
（2）①过点
作直线
，则
．利用平行线的判定和性质求解即可；②分三种情形，分别构
建方程求解即可．
【详解】（1）解：
，
，
；
（2）①过点
作直线
，则
．
，
，
；
30
DFE
A
E
A
C
F
ABC
DEF
E
DE
BC
FAC
MN
PQ
∥
ABC
DEF
AC
F
MN
DEF
F
EF
BC
G
BGF
EFN
ABC
DEF
F
8
EF
MN
t
DE
ABC
t
30
45
15
4
t
75
8
G
HL
MN
∥
HL
PQ
∥
DE
BC
∥
90
CED
BCA
90
60
30
FAC
CED
FAD
G
HL
MN
∥
HL
PQ
∥
HGF
EFN
BGH
ABC
BGF
HGF
BGH
EFN
ABC
45
BGF
EFN
ABC
②共分三种情况：
情况1：
时，
，
∴
，
．
情况2：
时，设
与
交于R，
∴
，
∴
，则旋转了
，
∴
，
．
情况3：
时，
，
∴
，即旋转了
，
∴
，
．
DE
BC
∥
30
DFE
8
30
t
15
4
t
DE
AB
∥
DF
PQ
90
D
PRF
ARF
45
AFR
75
8
75
t
75
8
t
DE
AC
∥
90
D
AFD
120
AFE
120
8
120
t
15
t
综上，
或
或15．
【点睛】本题考查平移变换和旋转，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨
论的思想思考问题，属于中考常考题型．
77．问题情境：在数学综合实践活动课上，老师让同学们以“两条平行直线
，
和一块含
的直角
三角板
（
，
，
，
）”为背景，开展数学探究活动．
问题探究：
(1)如图1，将直角三角板
的边
放置于直线
上，则
________ ，
________ ．
(2)把直角三角板
绕点B 转动，位置如图2 所示，点C 恰好落在直线
上，若
，求
、
的度数．
(3)如图3，把直角三角板
绕点B 转动，使得点C 落在直线
，
之间，点A 落在直线
的上方，
若
，请直接写出
的度数．
【答案】(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
．
【分析】（1）结合三角板的度数及邻补角求得
，
，再由平行线的性质求解即可；
（2）由平角和平行线的性质求得
，
，结合
求得
，最后由平角定义求解即可；
（3）
，如图，过
作
，由平行线的性质即平角求得
，
再由
得
结合
求出
，
即可求解．
【详解】（1）解：
在直线
上，
，
，
15
4
t
75
8
DG
EF
30
ABC
DG
EF
∥
90
ACB
30
A
60
ABC
ABC
BC
EF
1
2
ABC
DG
3
65
1
2
ABC
DG
EF
DG
2
2 1
3
120
90
1
55
2
155
50
90
ACF
120
ABE
1
55
ABE
3
65
BCD
90
ACB
25
ACD
180
2
CMG
C
CN
EF
∥
180
2
ACN
3
120
1
NCB
90
ACB
ACN
NCB
1
2
210
2
2 1
1
70
∠
BC
EF
90
ACB
60
ABC
，
，
，
，
，
故答案为：
，
；
（2）
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）
，
如图，过
作
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，与三角板有关的角的计算，邻补角的性质；解题的关键是数量掌握平
180
90
ACF
ACB
180
120
ABE
ABC
DG
EF
∥
1
120
ABE
2
90
ACF
120
90
3
65
60
ABC
180
3
55
ABE
ABC
DG
EF
∥
1
55
ABE
3
65
BCD
90
ACB
25
ACD
ACB
BCD
2
180
155
ACD
180
2
CMG
C
CN
EF
∥
DG
EF
∥
CN
EF
DG
1
ABE
180
2
ACN
CMG
3
NCB
3
180
180
1 120
1
NCB
ABC
ABE
ABC
90
ACB
ACN
NCB
180
2
120
1
90
300
1
2
90
1
2
210
2
2 1
1 2 1
210
1
70
3
120
1
50
行线的性质．
78．如图，一副三角板，其中
．
(1)若这副三角板如图摆放，
，求
的度数．
(2)将一副三角板如图1 所示摆放，直线
，保持三角板
不动，现将三角板
绕点
以每
秒
的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为秒，且
，若边
与三角板的一条直角边（边
）平行时，求所有满足条件的的值．
(3)将一副三角板如图3 所示摆放，直线
，现将三角板
绕点
以每秒
的速度顺时针旋转，
同时三角板
绕点
以每秒
的速度顺时针旋转．设旋转时何为秒，如图4，
，且
，若边
与三角板的一条直角边（边
）平行时，请直接
写出满足条件的的值．
【答案】(1)
(2)15 或60 或105 或150
(3)30 或120
【分析】（1）由题意得，
，
，
，利用平行线的性质可得
，即可求得答案；
（2）
当
时，延长
交
于点
，分两种情况：当
在
上方时或当
在
下方
时，分别运用平行线的性质即可求解；
当
时，延长
交
于点
，分两种情况：当
在
90
45
30
EDF
ACB
E
A
，
，
EF
CD
∥
ABF
GH
MN
∥
ABC
DEF
D
2
t
0
180
t
BC
DE
DF
，
t
GH
MN
∥
ABC
A
1
DEF
D
2
t
2
BAH
t
FDM
t
，
0
150
t
BC
DE
DF
，
t
75
90
EBF
45
E
60
ABC
45
CDE
E
①
DE
BC
∥
AC
MN
P
DE
MN
DE
MN
②
BC
DF
∥
BC
MN
T
DF
MN
DF
MN
上方时或当
在
下方时，分别运用平行线的性质即可求解；
（3）
当
时，延长
交
于点
，分两种情况讨论：当
在
上方时或当
在
下方时，分别运用平行线的性质求解即可；
当
时，延长
交
于点
，分两种情况讨论：
当
在
上方或
在
下方时，分别运用平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，由题意得，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，
当
时，延长
交
于点
，
，
当
在
上方时，
，
，
，
，
，
，即
，
；
当
在
下方时，
，
，
，
MN
DF
MN
①
DE
BC
∥
AC
MN
P
DE
MN
DE
MN
②
BC
DF
∥
AC
MN
I
DF
MN
DF
MN
90
EBF
45
E
60
ABC
EF
CD
Q
P
45
CDE
E
60
45
15
ABE
ABC
CDE
90
15
75
ABF
EBF
ABE
①
DE
BC
∥
AC
MN
P
DE
MN
DE
BC
DE
DF
AC
BC
∥
，
，
AP
DF
∥
FDM
MPA
MN
GH
∥
MPA
HAC
FDM
HAC
2
30
t
15
t
DE
MN
2
180
F DP
t
DE
BC
DE
DF
AC
BC
∥
，
，
AP
DF
∥
，
，
，
，即
，
；
当
时，
当
在
上方时，
，如图，延长
交
于点
，
，
根据题意得：
，
，
，
，
，
，
即
，
；
当
在
下方时，如图，延长
交
于点
，
，
根据题意可知：
，
，
，
，
，
，
F DP
MPA
MN
GH
∥
MPA
HAC
F DP
HAC
2
180
30
t
105
t
②
BC
DF
∥
DF
MN
BC
DF
∥
BC
MN
T
180
2
FDN
t
∥
DF
BC
FDN
BTN
GH
MN
∥
60
BTN
ABC
60
FDN
180
2
60
t
60
t
DF
MN
BC
MN
T
2
180
FDN
t
∥
DF
BC
FDN
BTM
GH
MN
∥
60
BTN
ABC
180
120
BTM
BTN
，
即
，
综上所述：所有满足条件的的值为15 或60 或105 或150；
（3）解：由题意得，
，
，
如图，当
时，延长
交
于点
，
当
在
上方时，
，
，
，
，
，
，即
，
，
当
在
下方时，
，
，
，
，
，
，
，即
，
（不符合题意，舍去）；
当
时，延长
交
于点
，
当
在
上方时，
，如图，
120
NDF
2
180
120
t
150
t
t
30
HAC
BAH
BAC
t
2
FDM
t
①
DE
BC
∥
AC
MN
P
DE
MN
DE
BC
DE
DF
AC
BC
∥
，
，
AP
DF
∥
FDM
MPA
MN
GH
∥
MPA
HAC
FDM
HAC
2
30
t
t
30
t
DE
MN
2
180
F DP
t
DE
BC
DE
DF
AC
BC
∥
，
，
AP
DF
∥
F DP
MPA
MN
GH
∥
MPA
HAC
F DP
HAC
2
180
30
t
t
210
t
②
BC
DF
∥
AC
MN
I
DF
MN
BC
DF
∥
，
根据题意得：
，
，
，
，
即
，
，
，此时
应该在
下方，不符合题意，舍去；
当
在
下方时，如图，
，
根据题意可知：
，
，
，
，
即
，
，
综上所述：所有满足条件的的值为30 或120．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质、添加恰当的辅助线、采用分类
讨论的思想解决问题．
79．如图1，直线
与直线
交于点
，
（
）．小明将一个含
，
的直角三
角板
如图1 所示放置，使顶点
落在直线
上，过点
作直线
交直线
于点
（点
在
180
2
FDN
t
DF
BC
AC
BC
∥
，
CI
DF
90
FDN
MIC
180
2
30
90
t
t
120
t
2
240
180
t
DF
MN
DF
MN
2
180
FDN
t
∥
DF
BC
MIC
NDF
30
90
60
NDF
AQI
t
t
2
180
60
t
t
120
t
t
AB
OC
O
BOC
0
90
30
60
PQD
P
AB
Q
∥
MN
AB
OC
H
H
Q
左侧）．
(1)若
，
，求
的度数．
(2)如图2，若
的角平分线交直线
于点
．
①当
，
时，求证：
．
②小明将三角板保持
并向左平移，运动过程中，探究
与
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）依题意可得
，
，由平行线的性质可得
，则可
求得
的度数，从而可求
的度数，再由平行线的性质可求
的度数，即得解；
（2）①由平行线的性质可得
，则可求得
，再由角平分线的定义可得
，则可求得
，从而可求得
，即可判定
；
②由平移的性质与平行线的性质可得
，从而可求得
，再由平行线的性质得
，结合角平分的定义可得
，从而可求
．
【详解】（1）解：由题意得：
，
，
，
，
，
，
Q
PD
OC
∥
45
NQD
PQH
AB
E
QE
OC
∥
60
OC
PD
∥
PD
OC
∥
PEQ
45
1
30
2
30
PQD
60
DPQ
180
NQP
BPQ
BPQ
BPD
BOC
60
PEQ
BOC
60
MQE
2
120
PQM
MQE
60
EPQ
60
BPD
OC
PD
∥
BPD
60
BPQ
60
PQM
1
30
2
EQM
PEQ
30
PQD
60
DPQ
45
NQD
75
NQP
MN
AB
∥
180
NQP
BPQ
，
，
，
．
（2）①证明：
，
，
，
，
，
，
的角平分线交直线
于点
，
，
，
，
，
；
②
，
，
，
，
，
，
，
的角平分线交直线
于点
，
，
．
【点睛】本题主要考查平移的性质，平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚相应的角之间
的关系．
80．如图，直线
，直线
与
，
分别交于点
，
，
．小安将一个
含
角的直角三角板
按如图①放置，使点
、
分别在直线
、
上，且在点
、
的右侧，
，
．
105
BPQ
45
BPD
PD
OC
∥
45
BOC
BPD
QE
OC
∥
60
60
PEQ
BOC
MN
AB
∥
60
MQE
PEQ
180
PQM
EPQ
PQH
AB
E
2
120
PQM
MQE
180
60
EPQ
PQM
180
60
BPD
EPQ
DPQ
60
BPD
BOC
OC
PD
∴
∥
OC
PD
∥
BOC
BPD
BOC
60
BPQ
MN
AB
∥
60
PQM
BPQ
EQM
PEQ
PQH
AB
E
1
1
30
2
2
EQM
PQM
1
30
2
PEQ
AB
CD
EF
AB
CD
G
H
(0
90 )
EHD
30
PMN
N
M
AB
CD
C
H
90
P
60
PMN
(1)填空；
（填“
”“
”或“
” ；
(2)若
的平分线
交直线
于点
，如图②．
①当
，
时，求
的度数；
②小安将三角板
沿直线
左右移动，保持
，点
、
分别在直线
和直线
上移动，
请直接写出
的度数（用含
的式子表示）．
【答案】(1)
(2)①
；②
的度数为
或
．
【分析】（1）过
点作
，根据平行线的性质可得
，
，进而可求解；
（2）①由平行线的性质可得
，结合角平分线的定义可得
，再利用
平行线的性质可求解；
②可分两种情况：点
在
的右侧时，点
在
的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可
求解．
【详解】（1）过
点作
，
PNB
PMD
P
)
MNG
NO
CD
O
NO
EF
∥
PM
EF
∥
PMN
AB
/ /
PM
EF
N
M
AB
CD
MON
60
MON
1
30
2
1
60
2
P
PQ
AB
∥
PNB
NPQ
PMD
QPM
60
ONM
PMN
60
ANO
ONM
N
G
N
G
P
PQ
AB
∥
，
，
，
，
，
故答案为：
（2）①
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
，
，
；
②点
在
的右侧时，如图②，
，
，
PNB
NPQ
∥
AB
CD
PQ
CD
∥
PMD
QPM
PNB
PMD
NPQ
QPM
MPN
NO
EF
∥
PM
EF
∥
PO
PM
∥
ONM
NMP
60
PMN
60
ONM
PMN
NO
MNO
60
ANO
ONM
∥
AB
CD
60
NOM
ANO
60
NOM
N
G
PM
EF
∥
EHD
，
，
，
，
平分
，
，
，
；
点
在
的左侧时，如图，
，
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
，
综上所述，
的度数为
或
．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
81．如图，直线
，直线
与
、
分别交于点
、
，
．小安将一个
含
角的直角三角板
按如图①放置，使点
、
分别在直线
、
上，且在点
、
的右侧，
，
．
PMD
60
NMD
∥
AB
CD
60
ANM
NMD
NO
ANM
1
1
30
2
2
ANO
ANM
∥
AB
CD
1
30
2
MON
ANO
N
G
PM
EF
∥
EHD
PMD
60
NMD
∥
AB
CD
180
BNM
NMO
BNO
MON
NO
MNG
1
1
[180
(60
)]
60
2
2
BNO
1
60
2
MON
MON
1
30
2
1
60
2
AB
CD
∥
EF
AB
CD
G
H
(0
90 )
EHD
30
PMN
N
M
AB
CD
G
H
90
P
60
PMN
(1)填空：
（填“
”“
”或“
”）；
(2)若
的平分线
交直线
于点
，如图②．
①当
，
时，求
的度数；
②当
时，求
的度数（用含
的式子表示）．
【答案】(1)
(2)①
；②
的度数为
或
【分析】（1）过
点作
，根据平行线的性质可得
，
，进而可求
解；
（2）①由平行线的性质可得
，结合角平分线的定义可得
，再
利用平行线的性质可求解；
②可分两种情况：点
在
的右侧时，点
在
的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可
求解．
【详解】（1）解：过
点作
，
，
，
，
PNB
PMD
P
MNG
NO
CD
O
ON
EF
∥
PM
EF
∥
PM
EF
∥
MON
60
MON
30
1
2
60
1
2
P
PQ
AB
∥
PNB
NPQ
PMD
QPM
60
ONM
PMN
60
ANO
ONM
N
G
N
G
P
PQ
AB
∥
PNB
NPQ
AB
CD
∥
PQ
CD
∥
，
，
故答案为：
（2）①
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
，
，
；
②点
在
的右侧时，如图②，
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
，
；
点
在
的左侧时，如图，
PMD
QPM
PNB
PMD
NPQ
QPM
MPN
ON
EF
∥
PM
EF
∥
PO
PM
∥
ONM
NMP
60
PMN
60
ONM
PMN
NO
MNO
60
ANO
ONM
AB
CD
∥
60
NOM
ANO
60
NOM
N
G
PM
EF
∥
EHD
PMD
60
NMD
AB
CD
∥
60
ANM
NMD
NO
ANM
ANO
1
2
30
ANM
1
2
AB
CD
∥
30
MON
ANO
1
2
N
G
，
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
，
综上所述，
的度数为
或
．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
82．将一块三角板
（
，
）按如图所示方式放置，使顶点C 落在
的边
上，
．经过点D 画直线
，交
边于点M．
(1)如图1，若
．
①求
的度数；
②试说明：
平分
；
(2)如图2，
平分
，交
边于点F，试探索
与
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①
；②见详解
(2)
；理由见详解
【分析】（1）①根据
，可得
，再根据
，即可得出结论；②计算出
PM
EF
∥
EHD
PMD
60
NMD
AB
CD
∥
180
BNM
NMO
BNO
MON
NO
MNG
BNO
1
2
180
60
60
1
2
60
MON
1
2
MON
30
1
2
60
1
2
CDE
90
CED
30
CDE
AOB
OB
CE
OA
∥
MN
OB
∥
OA
60
AMN
ECB
DE
NDC
DF
MDC
OB
O
OFD
60
ECB
1
150
2
OFD
O
MN
OB
∥
60
AMN
O
CE
OA
∥
角度即可；
（2）设
，根据平行线的性质和角平分线定义把
，
表示出来即可；
【详解】（1）①∵
，
∴
°，
∵
，
∴
，
②∵
，
，
∴
∴
∵
，
∴
，
∵
，
∴
∴
平分
．
（2）设
如图
∵
，
∴
，
∴
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∵
∴
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
O
x
O
OFD
MN
OB
∥
60
AMN
O
CE
OA
∥
60
ECB
O
90
CED
30
CDE
60
ECB
60
DCE
60
DCO
MN
OB
∥
60
NDC
DCO
30
CDE
30
CDE
NDE
DE
NDC
O
x
CE
OA
∥
ECB
O
x
60
DCB
x
MN
OB
∥
60
MDC
DCB
x
DF
MDC
1
30
2
CDF
MDF
x
MN
OB
∥
1
30
2
CFD
MDF
x
1
150
2
OFD
x
1
150
2
OFD
O
83．请作答：
(1)图，图
均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，
，
，
与
相交于点
，有一动点
在边
上运动，连接
，
，记
，
．
①如图，当点
在
，
两点之间运动时，请直接写出
与
，
之间的数量关系；
②如图
，当点
在
，
两点之间运动时，
与
，
之间有何数量关系？请判断并说明理由；
(2)当点
在
，
两点之间运动时，若
，
的角平分线
，
相交于点
，请直接写出
与
，
之间的数量关系．
【答案】(1)①
；②
，理由见解析
(2)
【分析】（1）①过点
作
，先根据平行线的性质可得
，
再根据
即可得；
②过点
作
，先根据平行线的性质可得
，
，再根据
即可得；
（2）先根据角平分线的定义可得
，
过点
作
，再根据平行线的性
质可得
，
，然后根据
即可得．
【详解】（1）解：①
，理由如下：
1
2
90
ACB
DF
CG
∥
AB
FD
E
P
BC
PE
PA
PED
PAC
1
P
C
D
APE
2
P
B
D
APE
P
C
D
PED
PAC
EN
AN
N
ANE
APE
APE
1 (
)
2
ANE
P
PQ
DF
QPE
QPA
APE
QPE
QPA
P
PQ
DF
QPE
QPA
APE
QPA
QPE
1
2
NED
1
2
NAC
N
NQ
DF
1
2
QNE
NED
1
2
QNA
NAC
ANE
QNE
QNA
APE
如图，过点
作
，如图所示：
，
，
，
，
；
②
，理由如下：
如图，过点
作
，
，
，
，
，
．
（2）解：
，理由如下：
，
分别平分
，
，
，
，
P
PQ
DF
QPE
DF
CG
PQ CG
QPA
APE
QPE
QPA
APE
P
PQ
DF
QPE
DF
CG
PQ CG
QPA
APE
QPA
QPE
1 (
)
2
ANE
EN
AN
PED
PAC
1
1
2
2
NED
PED
1
1
2
2
NAC
PAC
如图，过点
作
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，过拐点作平行线，利用平行线的判
定与性质是解题关键．
84．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB 与直线MN 重合，且三角
板PAC，三角板PBD 均可以绕点P 逆时针旋转．
(1)如图1，∠DPC＝ 度；
(2)我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图2，三
角板BPD 不动，三角板PAC 从图示位置开始以每秒5°绕点P 按逆时针方向旋转一周（0°＜旋转角＜
360.），问旋转时间t 为多少秒时，这两个三角形是“孪生三角形”．
(3)如图3，若三角板PAC 的边PA 从PN 处开始绕点P 逆时针旋转，转速a°秒，同时三角板PBD 的边PB 从
PM 处开始绕点P 逆时针旋转，转速b°/秒，且a，b 满足
|a﹣b
2|
﹣＝0．
①求a；b 的值．
②在两个三角板旋转过程中（PC 转到与PM 重合时，两三角板都停止转动），设两个三角板旋转时间为t
N
NQ
DF
1
2
QNE
NED
DF
CG
NQ
CG
1
2
QNA
NAC
1
1
1 (
)
2
2
2
ANE
QNE
QNA
6
a
秒，以下两个结论：（ⅰ）
为定值；（ⅱ）∠BPN+∠CPD 为定值，请选择你认为对的结论加以证
明．
【答案】(1)90°
(2)3 或6 或9 或18 或21 或24 或27
(3)①a=6，b=4；②见解析
【分析】（1）利用含有30°、60°的三角板得出∠DPC=180°-∠CPA-∠DPB，进而求出即可；
（2）分情况画出图形，利用平行线的性质可求解；
（3）①利用非负数的性质求解；②首先得出（ⅰ）正确，设运动时间为t 秒，则∠BPM=2t，表示出
∠CPD 和∠BPN 的度数即可得出答案．
【详解】（1）解：∵∠DPC=180°-∠CPA-∠DPB，∠CPA=60°，∠DPB=30°，
∴∠DPC=180-30-60=90°，
故答案为90；
（2）如图1-1，BD∥PC，
∵PC∥BD，∠DBP=90°，
∴∠CPN=∠DBP=90°，
∵∠CPA=60°，
∴∠APN=30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3 秒；
如图1-2，PC∥BD，
∵PC∥BC，∠PBD=90°，
CPD
BPN
∴∠CPB=∠DBP=90°，
∵∠CPA=60°，
∴∠APM=30°，
∵三角板PAC 绕点P 逆时针旋转D 的角度为180°+30°=210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21 秒，
如图1-3，PA∥BD，即点D 与点C 重合，此时∠ACP=∠BPD=30°，则AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP=∠APN=90°，
∴三角板PAC 绕点P 逆时针旋转D 的角度为90°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为9 秒，
如图1-4，PA∥BD，
∵∠DPB=∠ACP=30°，
∴AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP=∠BPA=90°，
∴三角板PAC 绕点P 逆时针旋转D 的角度为90°+180°=270°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为27 秒，
如图1-5，AC∥DP，点A 在MN 上方时，
∵AC∥DP，
∴∠C=∠DPC=30°，
∴∠APN=180°-30°-30°-60°=60°，
∴三角板PAC 绕点P 逆时针旋转D 的角度为60°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为6 秒，
当A'在MN 的下方时，同理可求旋转时间为24 秒，
如图1-6，AC∥BD，
∵AC∥BD，
∴∠DBP=∠BAC=90°，
∴点A 在MN 上，
∴三角板PAC 绕点P 逆时针旋转D 的角度为180°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为18 秒，
综上所述：当t 为3 或6 或9 或18 或21 或24 或27 时，这两个三角形是“孪生三角形”；
（3）①∵
|a﹣b
2|
﹣＝0，
∴6-a=0，a-b-2=0，
解得：a=6，b=4；
②（ⅰ）正确，
理由如下：设运动时间为t 秒，则∠BPM=4t，
6
a
∴∠BPN=180°-4t，∠DPM=30°-4t，∠APN=6t．
∴∠CPD=180°-∠DPM-∠CPA-∠APN=90°-2t，
∴
；
（ⅱ）∠BPN+∠CPD=180°-4t+90°-2t=270°-6t，
可以看出∠BPN+∠CPD 随着时间在变化，不为定值，结论错误．
【点睛】此题主要考查了角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，还要理清角之间的关系．
85．将一副三角板中的两块直角三角板如图1 放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝
45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
(1)若三角板如图1 摆放时，则∠α＝ ，∠β＝ ；
(2)现固定△ABC 的位置不变，将△DEF 沿AC 方向平移至点E 正好落在PQ 上，如图2 所示，DF 与PQ 交
于点G，作∠FGQ 和∠GFA 的角平分线交于点H，求∠FHG 的度数；
(3)现固定△DEF，将△ABC 绕点A 顺时针旋转至AC 与直线AN 首次重合的过程中，当线段BC 与△DEF 的
一条边平行时，则∠BAM＝ ．（直接写出答案）
【答案】(1)15°；150°
(2)∠FHG=67.5°；
(3)30°或90°或120°
【分析】（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（3）分当BC∥DE 时，当BC∥EF 时，当BC∥DF 时，三种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：∵PQ∥MN，
∴∠E=∠α+∠BAC，
∴α=∠E-∠BAC=60°-45°=15°，
∵E、C、A 三点共线，
∴∠β=180°-∠DFE=180°-30°=150°；
90
2
1
180
4
2
CPD
t
BPN
t
故答案为：15°；150°；
（2）解：∵PQ∥MN，
∴∠GEF=∠CAB=45°，
∴∠FGQ=75°，
∵GH，FH 分别平分∠FGQ 和∠GFA，
∴∠FGH=37.5°，∠GFH=75°，
∴∠FHG=67.5°；
（3）解：当BC∥DE 时，如图1，
此时∠CAE=∠DFE=30°，
∴∠BAM+∠BAC=∠MAE+∠CAE，
∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC=45°+30°-45°=30°；
当BC∥EF 时，如图2，
此时∠BAE=∠ABC=45°，
∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°；
当BC∥DF 时，如图3，
此时，AC∥DE，∠CAN=∠DEG=15°，
∴∠BAM=∠MAN-∠CAN-∠BAC=180°-15°-45°=120°．
综上所述，∠BAM 的度数为30°或90°或120°．
故答案为：30°或90°或120°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁
内角互补；两直线平行，内错角相等．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与
方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．
