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1
平行四边形【章节复习】压轴题--矩形与全等综合
【C3】
（1 ）
1
2
（2 ）
1.
（1 ）
图
1
（2 ）
【解析】
如图，在平行四边形
中，
是
上一点，连接
，
为
的中点，
．
求证：四边形
为矩形．
图
如图，若
，过点
作
，垂足为
，连
．
图
求
的度数．
若
，则
．（直接写出结果）
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
证明见解析．
．
∵
为
的中点，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵四边形
是平行四边形，
∴四边形
为矩形．
如图，
过点
作
，交
的延长线于点
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
2
2
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
∴
．
设
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵∠
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
3
【标注】【知识点】矩形与全等综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，把一个等腰直角三角板
放置于矩形
上，
，
，三角板的
一个
角的顶点放在
处，且直角边
在矩形内部绕点
旋转，在旋转过程中
与
交于点
．
图
如图，试问线段
与
的有何数量关系？并说明理由．
如图，是否存在
为等腰三角形？若存在，求出
的长；若不存在，说明理由，继续
以下探索．
如图，以
为边在矩形内部作正方形
，直角边
所在的直线交
于
，交
于
，设
，
，写出关于的函数关系式．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
的长为
或
．
．
连接
．
∵矩形
．
4
（2 ）
∴
，
．
∵
．
∴
．
在
与
中．
．
∵
≌
．
∴
．
分三种情况：
①当
时，过
作
于
，延长
交
于
，则
，
为矩形，
∵
，
．
∴
．
∵
．
∴
．
在
中．
．
∴
．
设
，则
，
．
在
中．
．
．
②当
时，连接
．
∵
，
．
5
（3 ）
∴
．
在
中，
∵
，
，
．
∴
．
∵
．
∴
不存在．
∴不可能出现
．
③当
时，即
在
的垂直平分线上，连接
，
．
∵
在
垂直平分线上，即在
的垂直平分线上，
∴
．
又∵
．
∴
为等边三角形．
∴
．
又∵
≌
．
∴
．
设
，
．
．
．
综上所述，
的长为
或
．
同（）可证
．
∴
．
∵
．
∴
．
在
中，
∵
．
∴
．
又∵
，
，
．
∴
．
6
【标注】
．
【知识点】动点与特殊平行四边形问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
3. 将四边形
的四个角向内折起，恰好拼成一个即无缝隙又不重叠的四边形
．则称四边
形
为“完美折叠四边形”．
如图，小明同学用正方形纸片
折出了一个“完美折叠四边形”
，并且发现它
是正方形．若正方形
的边长等于，则正方形
的边长等于 ．
图
如图，小亮同学仿照小明的做法，用菱形纸片
折出了一个“完美折叠四边形”
，则四边形
的形状是 ．
图
如图，小红同学用矩形纸片
也折出了一个“完美折叠四边形”
，若四边形
中，
，
．则原矩形
的边
，边
．
图
请你在图中尺规作图作出矩形
折叠后的“完美折叠四边形”
．（不写作法，
保留作图痕迹）．
图
【答案】（1 ）
7
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
（3 ）
（4 ）
矩形
;
作图见解析．
正方形
的边长等于
．
如图，由折叠可知
，
，
∴
．
同理
．
∴四边形
是矩形．
由折叠可知
，
,
由（）可知，四边形
是矩形．
∴
，
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
（
）．
∴
．
∴
．
在
中，
．
．
∴
．
∵
，
∴
．
如图所示：
图
【知识点】翻折问题与勾股定理
8
