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平行四边形【章节复习】压轴题--矩形与全等综合
【C4】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在矩形
中，
，
，点
是
边上一点，过点
作
，交射
线
于点
，交射线
于点
．
如图，若
，则
．
当以
、
、
为顶点的三角形是等边三角形时，依题意在图中补全图形，并求
的长．
备用图
过点
作
交射线
于点
，请探究：当
为何值时，以
、
、
、
为顶点的
四边形是平行四边形．
备用图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
∵四边形
是矩形，
∴
．
∵
是等边三角形，
∴
．
∵
，
2
（3 ）
【标注】
∴
．
∵
，
∴
．
∵
是等边三角形，
∴
．
∵
，
∴
．
过点
作
于点
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
，
∴
，
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵四边形
是平行四边形，
∴
．
∵
，
，
∴
≌
，
∴
．
【知识点】矩形与全等综合
2. 阅读下列材料：
问题：如图，在平行四变形
中，
是
上一点，
，
，过点
作直
线
，在
上取一点
，使得
，连接
．
求证：
．
小明同学的思路是：作
交
于点
，构造全等三角形，经过推理解决问题．
参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
图
3
（1 ）
（2 ）
图
（1 ）
图
（2 ）
【解析】
完成上面问题中的证明．
如果将原问题中的“
”改为“
”，原问题中的其它条件不变（如
图），请探究线段
、
、
之间的数量关系，并证明你的结论．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
线段
、
、
之间的数量关系是
．
如图，作
交
于点
，
则
，
∵
，
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
，
．
∵
，
∴
是等边三角形．
∴
．
∴
．
线段
、
、
之间的数量关系是
．
如图，作
交
的延长线于点
，则
．
∵
，
∴
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
，
．
4
【标注】
∵
，
∴
是等腰直角三角形．
∴
，
∴
．
【知识点】矩形与全等综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，在矩形
中，点
为矩形的边
上任意一点，点
为线段
的中点，连接
并延长
交边
于点
，点
为边
上一点，连接
，且
．
若
，
，求
的长．
求证：
．
若矩形
改为平行四边形
，如图，（）中的结论成立吗？若成立，请证明；
不成立，说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
成立，证明见解析．
∵四边形
为矩形，
∴
，
∴
，
∵点
为线段
的中点，
∴
．
5
（2 ）
（3 ）
延长
、
交于点
，如图所示：
∵四边形
为矩形，
∴
，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
成立．理由如下：
延长
、
交于点
，如图所示：
∵四边形
为平行四边形，
∴
，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
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【标注】【知识点】矩形与全等综合
