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第05 讲 复数
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：复数的概念...........................................................................................................................3
高频考点二：复数的几何意义...................................................................................................................3
高频考点三：复数分类...............................................................................................................................4
高频考点四：复数模..................................................................................................................................4
高频考点五：待定系数求复数
..................................................................................................5
高频考点六：复数的四则运算...................................................................................................................5
高频考点七：共轭复数...............................................................................................................................6
第一部分：基础知识
1、复数的概念
我们把形如
的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足
.全体复数所构成的集合
叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母
表示,即
,其中的
与
分别叫做复数
的实部与虚
部.
2、复数相等
在复数集
中任取两个数
，
，（
），我们规定
.
3、复数的分类
对于复数
(
),当且仅当
时,它是实数；当且仅当
时,它是
实数0；当
时,它叫做虚数；当
且
时,它叫做纯虚数.这样,复数
(
)可以分类如下:
4、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数
复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数
平面向量
5、复数的模
向量
的模叫做复数
)的模，记为
或
公式：
，其中
复数模的几何意义：复数
在复平面上对应的点
到原点的距离；
特别的，
时，复数
是一个实数，它的模就等于
(
的绝对值).
6、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0 的两
个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数
的共轭复数用
表示，即如果
，则
.
7、复数代数形式的加法（减法）运算
（1）复数的加法法则
设
，
，（
）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：
的复数
叫做复数
减去复数
的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：复数的概念
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）设复数
在复平面内对应的点为
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．1
D．3
例2．（2025·河北秦皇岛·三模）下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数
，则
是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数
满足
，则
均为实数
精练高频考点
1．（2025·陕西·模拟预测）复数
的虚部是（ ）
A．
B．1
C．
D．3
2．（24-25 高一下·贵州六盘水·阶段练习）下列关于复数
（
）的说法一定正确的是（ ）
A．存在
使得
小于0
B．存在
使得
C．不是实数
D．实部和虚部均为1
高频考点二：复数的几何意义
典型例题
例1．（2025·湖北·模拟预测）已知复数
满足
（是虚数单位），复数
在复平面内对应的
点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
例2．（2025·湖北·模拟预测）在复平面内，
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
精练高频考点
1．（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）在复平面内，复数
（i 为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（2025·山东聊城·二模）复数
满足
，其中i 为虚数单位，则
对应的点在复平面的（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
高频考点三：复数分类
典型例题
例1．（2025·吉林·模拟预测）已知复数
为纯虚数，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．
或1
D．2
例2．（2025·云南曲靖·二模）已知复数
，若
，则实数
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
例3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知复数
（
）为正实数，则
．
精练高频考点
1．（2025·江西鹰潭·二模）复数
，若
为纯虚数，则
（ ）
A．4
B．
C．1
D．
2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知复数z 与
都是纯虚数，则
.
3．（2025·山西临汾·三模）已知
，复数
为纯虚数，则
．
高频考点四：复数模
典型例题
例1．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2025·安徽·三模）已知复数
满足
，则
（ ）
A．有最小值2
B．有最大值2
C．有最小值
D．有最大值
例3．（2025·上海浦东新·三模）已知复数
满足
，则
（i 是虚数单位）的最小值为
.
精练高频考点
1．（2025·广东·模拟预测）若复数z 满足
，那么
的最大值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
2．（24-25 高三下·广东·阶段练习）已知为虚数单位，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河南·三模）若复数z 满足
，则
的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
高频考点五：待定系数求复数
典型例题
例1．（多选）（2025·山东青岛·一模）下列计算结果与
相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2025·江西南昌·模拟预测）已知复数z 满足
，则z 的虚部为 .
精练高频考点
1．（2025·山东·二模）已知
，
，则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（2025·广东揭阳·三模）若复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
高频考点六：复数的四则运算
典型例题
例1．（2025·重庆·模拟预测）若复数z 使得
为纯虚数，则
（ ）.
A．
B．2
C．
D．4
例2．（2025·天津红桥·二模）若为虚数单位，且
则实数
.
精练高频考点
1．（2025·河南·模拟预测）在复平面内，复数z 对应的点与
对应的点关于实轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北·模拟预测）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
高频考点七：共轭复数
典型例题
例1．（24-25 高三下·山东·阶段练习）已知复数
满足
（为虚数单位），则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2025·上海长宁·二模）复数
，
，则
．
精练高频考点
1．（2025·广西南宁·模拟预测）已知i 为虚数单位，复数
，复数z 的共轭复数为
，则
的虚部为（ ）
A．
B．3
C．
D．
2．（2025·河南南阳·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
