文档文本内容
【第一讲：集合】
【知识点清单】
1．描述法表示集合
【知识点的认识】
一般地，设A 是一个集合，我们把集合A 中所有具有共同特征P（x）的元素x 所组成的集合表示为{x|P
（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．
【解题方法点拨】
明确描述对象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述条件：描述条件要准确、简洁，通
常用文字或符号来表示集合中的元素特征．统一标准：确保描述的方法能够唯一确定一个集合，避免模糊
或歧义的描述．
2．元素与集合关系的判断
【知识点的认识】
1、元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，
b，c 表示，集合一般用大写字母 A，B，C 表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：
a∈A 或a∉A．
题型梳理
总览
2、集合中元素的特征：
（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属
于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的
总体是否能构成集合．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个
特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．
3．判断元素与集合的属于关系
【知识点的认识】
元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，
b，c 表示，集合一般用大写字母 A，B，C 表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：
a∈A 或a∉A．
【解题方法点拨】
明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符
号表示：用∈表示元素属于某集合，用∉表示元素不属于某集合．
4．判断两个集合的包含关系
【知识点的认识】
如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集；A⊆B；如果集合A 是集
合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A，那么集合A 叫做集合B 的真子集，即A⊂B；
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
5．集合的包含关系的应用
【知识点的认识】
如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集；A⊆B，读作“A 包含于
B”（或“B 包含于A”）．
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
6．求集合的交集
【知识点的认识】
由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B 实际理解为：x 是A 且是B 中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混
用求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
7．集合的交并补混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/3 1:40:02；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663
【题型1：元素与集合之间的关系】
【例题1】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合
，且
，则
等于（ ）
A．－3 或－1
B．-3
C．1
D．3
【例题2】（2025·河南·一模）已知集合
，若
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
知识讲解与常考题型
题型分类
例题精选
【例题3】（2024·广东河源·模拟预测）已知集合
，
，若
且
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【相似题1】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【相似题2】（2024·山东济南·二模）已知集合
的元素之和为1，则实数a 所有取值
的集合为（ ）
A．{0}
B．{1}
C．{－1，1}
D．{0,-1，1}
【相似题3】（23-24 高三上·广东惠州·阶段练习）集合
，若
且
，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型2：集合间的基本关系】
【例题1】（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集
，集合
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
相似练习
例题精选
【例题2】（2025·江西景德镇·模拟预测）满足
的集合
的个数为（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8
【例题3】已知集合
，
，
，则
、
、
的关系满足（ ）
A．
B．
C．
D．
【相似题1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知集合
，若
，则a
的值可以是（ ）
A．
B．
C．1
D．4
【相似题2】（2024·山西·三模）设集合
是4 与6 的公倍数，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【相似题3】多选题（2024·湖北·模拟预测）已知集合
，
，集合
满足
，
则（ ）
A．
，
B．集合
可以为
C．集合
的个数为7
D．集合
的个数为8
【题型3：集合的运算】
【例题1】（2025·四川广安·模拟预测）已知集合
，
，则
等于（ ）
相似练习
例题精选
A．
B．
C．
D．
【例题2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题3】（2025 高三·全国·专题练习）已知全集
，集合
，
，
则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【相似题1】（2025·天津和平·三模）设全集
，集合
，
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【相似题2】（2025·重庆·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
相似练习
【相似题3】多选题（2025·河南·三模）已知全集
，集合
，
，
，若
，则（ ）
A．
的取值有个
B．
C．
D．
所有子集的个数为
【题型4：集合中的参数问题】
【例题1】（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】（2024·全国·二模）已知集合
，集合
，则满足
的实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题3】（2024·河南·二模）已知集合
，若集合
有15 个真子集，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【相似题1】（20-21 高一上·浙江嘉兴·阶段练习）若集合
，
，则
能使
成立的所有a 组成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【相似题2】（2024·江苏常州·三模）集合
，
，若
，则实数m 的取值范围为 ．
例题精选
相似练习
【相似题3】（2024·全国·模拟预测）设集合
.若
且
，
则
.
【题型5：韦恩图的应用】
【例题1】（2025·山东枣庄·二模）已知全集为
，集合
是
的两个子集，若
，则下列运算
结果为
的子集的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）若集合
、
、
满足：
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题3】（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集
，集合
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【相似题1】（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）如图所示，集合
是全集
的三个真子集，则图中
阴影部分表示的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题精选
相似练习
【相似题2】（23-24 高一上·湖南长沙·期末）已知全集为U，集合M，N 满足
，则下列运算结
果为U 的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【相似题3】多选题（2022·福建泉州·模拟预测）已知集合
均为
的子集，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型6：集合中的新定义问题】
【例题1】（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn 图中，A，B 是非空集合，定义集合
为阴影
部分表示的集合.若集合
，集合
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【例题2】（2025·北京·模拟预测）集合
的所有三个元素的子集记为
记
为集合
中的最大元素，则
（ ）
A．10
B．40
C．45
D．50
【例题3】多选题（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合
、
，定义运算：
且
，
.若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例题精选
【相似题1】（2024·广东广州·模拟预测）已知集合
，若集合
，且M
中的所有元素之和为奇数，称M 为A 的奇子集，则A 的所有“奇子集元素之和”的总和为 .
【相似题2】（2025·湖北·模拟预测）已知集合
，
，
、
是
的非空子集.记集合
除以
的余数
.若正整数
满足：存在非空集合
、
，使得
两两的交集
为空集，且
，则称
为“好的”.
(1)设
，
，当
时，求
，并直接判断
是否为“好的”；
(2)证明：
是“好的”，
是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
【相似题3】（2024·全国·模拟预测）已知集合
，若对任意的，
，有
或
，则称集合
为完美集合．
(1)分别判断集合
与
是否为完美集合；
(2)当
时，若
，求完美集合
；
(3)若集合
为完美集合，记
，求证：
．
一、单选题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集
,集合
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二下·浙江温州·期中）设集合
，若
，则
（ ）
相似练习
课后针对训练
A．
B．
C．
D．
3．（2024·福建泉州·模拟预测）若全集
是实数集
，集合
，
，
则如图阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·福建福州·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·山东青岛·三模）已知全集
，集合A，B 满足
，则下列关系一定正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023·福建漳州·模拟预测）已知
是全集，集合
，
满足
，则下列结论一定成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·福建龙岩·二模）若全集
，集合
，则图中阴影
部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023·福建·模拟预测）已知集合
，
，全集
，则以下集合
（ ）是空集
A．
B．
C．
D．
12．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，
，若
中有2 个元素，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2024·福建泉州·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．-3
B．-1
C．1
D．3
14．（2025·福建泉州·一模）
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2021·湖北武汉·模拟预测）已知
为全集
的两个不相等的非空子集，若
，则下
列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
16．（24-25 高一上·贵州黔西·阶段练习）下列四个命题：其中正确的命题为（ ）
A．已知集合
，集合
，则
B．集合
中有两个元素
C．已知集合
，且
，则
的取值构成的集合为
D．记
，
，则
17．（2025·江西·模拟预测）已知集合
，
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
可以取3
三、填空题
18．（2024·河南·模拟预测）已知集合
，若
，则
的最小值为
．
