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考点培优练02 一元二次不等式及基本不等式7 大考点
考点01 一元二次不等式及其解法.....................................................................1
考点02 一元二次不等式恒成立问题.................................................................1
考点03 一元二次不等式及其应用.....................................................................1
考点04 利用基本不等式求最值.........................................................................1
考点05 二次与二次（一次）的商求最值.........................................................1
考点06 基本不等式“1”的妙用.........................................................................2
考点07 条件等式求最值.....................................................................................2
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考点01 一元二次不等式及其解法
二次函数图象、方程及不等式的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0 的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等
式y＞0
或y＜0
的步骤
求方程y＝0 的解
有两个不相等的实数根
x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根
x1＝x2＝－
没有
实数根
画函数y＝ax2＋bx＋c(a
＞0)的图象
得等的集
不式解
y＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}
{x|x1＜x＜x2}
R
y＜0
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
1．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．不等式
的解集为 ．
4．已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则不等式
的解集为
．
5．已知方程
有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m 的取值
范围是 .
6．已知函数
．
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(1)若
的定义域为R，求m 的取值范围；
(2)若
的值域为R，求m 的取值范围．
考点02 一元二次不等式恒成立问题
1．不等式ax2＋bx＋c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0 时，b＝0，c>0；当a≠0 时，
2．不等式ax2＋bx＋c<0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0 时，b＝0，c<0；当a≠0 时，
7．已知关于
的不等式
对任意
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
8．已知不等式
的解集
若对
，不等式
成立，
则实数m 的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．8
9．对于任意
，
都有意义，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．
.
(1)若对任意的
都有
成立，求
的范围；
(2)解关于
的不等式
.
考点03 一元二次不等式及其应用
利用题目给出的已知条件列出不等式和不等关系，进而求解
11．常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩
著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300 只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40 元，则均可被
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卖出；若每只“叫花鸡”在定价40 元的基础上提高
（
）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少
只.
要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495 元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（ ）
A．48 元
B．49 元
C．51 元
D．50 元
12．某商家为了提高一等品M 的销售额，对一等品M 进行分类销售．据统计，该商家有200 件一等品M，
产品单价为
元．现计划将这200 件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x 件（
，
），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为
元（
），因
市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M 的单价，且精
品的总销售额不低于优品的总销售额，则n 的值可能为 .
13．美国国家海洋和大气管理局
最近发布的一则预测引发全球关注：预计在
年
月，拉尼娜
现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防
暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：
万元；
②生产所需材料成本：
万元，
(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量
为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产
万套产品，每万套售价为：
万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制
定计划，才能确保该套装每月的利润不低于
万元．
考点04 利用基本不等式求最值
已知x>0, y>0 ，则：
(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x= y 时，x+ y 有最小值是2√p (简记：积定和最小)．
(2)如果x+ y 是定值q ，那么当且仅当x= y 时，xy 有最大值是
q2
4 (简记：和定积最大)．
注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
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14．（多选）设正实数
满足
，则（ ）
A．
有最大值为
B．
有最小值为
C．
有最小值为5
D．
有最大值为
15．已知
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
16．已知抛物线
的焦点为
，过
作直线交抛物线于
两点，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．若
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
18．设正实数
、
、
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．不等式
对于
，
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点05 二次与二次（一次）的商求最值
1、形如
x
ax 2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2√ac +b (a>0 , c>0)
，当且仅当
x=√
c
a 时等号成立；
2、形如
，可以通过换元
分离降幂，转化为对勾型
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20．设
，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
21．当
时，求函数
的最小值.
22．函数
在
上的最大值为 ．
考点06 基本不等式“1”的妙用
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型.
形如
，可以通过同除ab，化为
构造“1”的代换求解.
2、形如
，求
型，则可以凑配
，再利用“1”的代换来求解.
其中可以任意调换a、b 系数，来进行变换凑配.
（1）3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求
型，则可以凑配（a+m）+（b+n）
=t+m+n，再利用“1”的代换来求解.
23．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．设
为正项等差数列
的前n 项和，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．9
D．5
25．若直线
经过圆
的圆心，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（多选）若m，n 都为正实数，且
则（ ）
A．mn 的最大值为1
B．
的最小值为9
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C．
的最小值为2
D．
考点07 条件等式求最值
可利用题目已知条件带入消元、因式分解、“1”代换求解
27．若实数a，b 满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．已知正实数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．4
C．5
D．
29．若实数
、
、
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
30．已知向量
满足
，且对任意的
，都有
，则
的最大值是 ．
31．已知
，满足
，则
的取值范围是 .
