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重难专攻（十一）三角形中的范围与最值问题
重难点题型一 三角函数值的最值与范围
1．（24-25 高三上·湖北·开学考试）如图，边长为2 的正方形ABCD 中，P，Q 分别为边BC，CD 上的点，
目录●重难点题型分布
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
2．（2023·四川·模拟预测）已知函数
．若存在
，
，使得
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数
满足：对
，有
，若存在唯一的
值，使得
在区间
上单调递减，则实数
m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·湖北武汉·期末）已知函数
，
，若函数
在
上存在
最大值，但不存在最小值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
重难点题型二 基础题型：转化为角的范围问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
．
(1)判断
的形状并给出证明；
(2)若
，求
的取值范围．
2．（2023·全国·高三专题练习）在
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c.已知
.
(1)若
，求角A 的大小；
(2)求
的取值范围.
3．（2025·江苏·模拟预测）在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
.
(1)求角
；
(2)若
是锐角三角形，且
，求
的取值范围.
4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的取值范围.
重难点题型三 三角形面积最值与范围
1．（2025·江西萍乡·二模）在
中，内角
所对的边分别为
，若
，
则
面积的最大值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
2．（24-25 高三下·广东·开学考试）设
的内角
的对边分别为
，且
，
为
的平分线且与BC 交于点D，
，则
面
积的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·江苏盐城·月考）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·四川宜宾·月考）在锐角
中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c，且满足
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，求
面积的取值范围．
5．（2025·安徽马鞍山·二模）在
中，点
、
分别为边
、
的中点，且
，
，则
面积的最大值为 .
6．（2025·福建泉州·模拟预测）
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
的面积与周长的比值的最大值..
7．（2025·湖北·模拟预测）
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，满足
．
(1)求
的大小；
(2)点
为直线
上一点，
，且
，求
面积的最小值．
重难点题型四 三角形边长及周长的最值与范围
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
的内角
的对边分别为
，且
，
若
的面积等于
，则
的周长的最小值为 ．
2．（2024·全国·二模）在
中，角A，B，C 的对边分别为
的平分线AD 交
BC 于点
.若
，则
周长的最小值为 .
3．（2023·全国·高三专题练习）在①
；②
；③
；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在锐角
中，内角
、
、
，的对边分别是
、
、，且______
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
周长的范围．
4．（24-25 高三上·辽宁·期末）在
中，已知
.
(1)求
；
(2)若在
边上存在点
，使
为锐角三角形，求
的取值范围.
5．（24-25 高三下·福建·月考）已知锐角
的三个角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求A 的值．
(2)若
，求
周长的取值范围．
6．（23-24 高一下·安徽·阶段练习）锐角
中，角
所对的边分别为
且
．
(1)证明:
;
(2)求
的周长的取值范围．
重难点题型五 三角形中线的最值与范围
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
的内角
所对的边分别为
，若
，则
边上中线长度的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·江苏南通·模拟预测）在
中，已知
，
，D 为BC 的中点，则线段AD 长度的
最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
3．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已
知
，点
为
的中点，则中线
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·广东·八校联测）在
中，内角
的对边分别是
，
，
．
(1)求角
；
(2)若
，求边
上的角平分线
长；
(3)若
为锐角三角形，求边
上的中线
的取值范围．
5．（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
，边AB 的中点为D，求中线CD 长的取值范围．
6．（2025·河南·二模）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)证明：
；
(2)若
边上的中线长为
，求
的最大值.
重难点题型六 三角形角平分线的最值与范围
1．（22-23 高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，若角A 的内角平分线AD 的长为3，则
的最小值为（ ）
A．12
B．24
C．27
D．36
2．（23-24 高三上·重庆沙坪坝·月考）如图，在锐角
中，
，点
为
外角平
分线上一点，且
平分
，则
的取值范围是 ．
3．（24-25 高三上·江西·开学考试）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角A 的大小；
(2)若D 为BC 上一点，且AD 平分
，
，求AD 的最大值．
4．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角
中，内角
所对的边分别为
，满足
，且
．
(1)求证：
；
(2)已知
是
的平分线，若
，求线段
长度的取值范围．
5．（2025·湖北宜昌·二模）如图所示，在
中，
，AD 平分
，且
.
(1)若
，求
的长度；
(2)求
的取值范围；
(3)若
，求
为何值时，
最短.
重难点题型七 三角形“四心”问题
1．（2023·四川凉山·校联考一模）设
（
是坐标原点）的重心、内心分别是
，且
，若
，则
的最小值是__________．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知
是三角形
的外心，若
，且
，则实数
的最大值为（ ）
A．6
B．
C．
D．3
3．（2024 高三·全国·专题练习）在
中，
为
内的一点，
，
则下列说法错误的是（ ）
A．若
为
的重心，则
B．若
为
的外心，则
C．若
为
的垂心，则
D．若
为
的内心，则
4．（2023·广东佛山·一模）在
中，设
，那么动点
的轨迹必通过
的（ ）
A．垂心
B．内心
C．重心
D．外心
5．（24-25 高一上·河北保定·期中）（多选题）已知点
是
内的一点，则以下说法正确的有（ ）
A．若
，
，
分别表示
，
的面积，则
B．若
，则动点
的轨迹一定通过
的重心
C．若
，则点
是
的垂心
D．若
，
，
分别为
，
，
的中点，且
，
，则
的最大值
为
6．（24-25 高三上·江西南昌·阶段练习）（多选题）下列四个命题为真命题的是（ ）．
A．已知向量
，
，则
的最大值为
B．若向量
，
，则
在
上的投影向量为
C．若
，
，
，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
D．若
，则动点
的轨迹一定通过
的重心
7．（2023·河北邢台·高一统考期末）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，且
外接圆的半径为
．
(1)求C 的大小；
(2)若G 是
的重心，求
面积的最大值．
重难点题型八 “隐圆”问题
1．（2023·江苏泰州·高三阶段练习）已知
中，
，
为
的重心，且满足
，则
的面积的最大值为______.
2．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，
，
，
．若
， 则
的最小值为____．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）在
中，
，点D 是
上的点，
平分
，
的面
积是
的面积的3 倍，当
的面积最大时，
.
4．（2024·全国·模拟预测）已知：在
中，M，N，P 三点分别在边
上，则
，
，
的外接圆交于一点O，称为密克点．在梯形
中，
，
，
为
边的中点，动点
在
边上，
与
的外接圆交于点
（异于点
），则
的最小值为
．
重难点题型九 与正切有关的最值问题
1．（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形
中，角
､
､
的对边分别为
､
､，且满足
，则
的取值范围为___________.
2．（2025·四川成都·三模）在
中，
，
的角平分线AD 交BC 于点D，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在锐角
中，内角
的对边分别为
，且
，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·全国·高三专题练习）在锐角
中，角
所对的边分别为
，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形 ABC 中，已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·云南·二模）
中，内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，B 是
与
的等差中项.
(1)若
，判断
的形状;
(2)若
是锐角三角形，求
的取值范围.
重难点题型十 最大角问题
1．（2023·江西上饶·高三上饶中学校考期中）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，当tan(A－B)取最大值时，角C 的值为
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）在
中，
，点D 是
上的点，
平分
，
的面
积是
的面积的3 倍，当
的面积最大时，
.
3．（2025·内蒙古包头·二模）在
中，角
所对的边分别为
，若
，则
的最大值为 ．
4．（2025·内蒙古包头·二模）在
中，角
所对的边分别为
，若
，则
的最大值为 ．
重难点题型十一 三角形中的平方问题
1．（2025·辽宁·二模）已知锐角
，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，
．
(1)求
；
(2)求
的取值范围．
2．（23-24 高三下·辽宁锦州·开学考试）若锐角
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，其外
接圆的半径为
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)求
的取值范围
3．（2023·全国·模拟预测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，设
的面积为S，
．
(1)当
时，若
，求角A；
(2)当
时，求
的最大值.
4．（23-24 高三上·河南·阶段练习）在锐角
中，内角
的对边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
外接圆的半径为
，求
的取值范围.
重难点题型十二 费马点、布洛卡点、拿破仑三角形
1．（2023·全国·高三专题练习）点
在
所在平面内一点，当
取到最小值时，则称该点
为
的“费马点”.当
的三个内角均小于
时，费马点满足如下特征：
.如图，在
中，
，
，则其费马点到
三点
的距离之和为（ ）
A．4
B．2
C．
D．
2．（23-24 高三上·河南南阳·期中）已知
，
，分别为
的三个内角
的对边，若点
在
的内部，且满足
，则称
为
的布洛卡（Brocard）点，
称为布洛
卡角.布洛卡角满足：
（注：
）.则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（21-22 高三上·安徽蚌埠·开学考试）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为
圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都
有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终
保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件
上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC 内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC 内的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高三上·河南南阳·期末）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的
一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它
的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶
点的连线两两成角
；当三角形有一内角大于或等于
时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马
问题中所求的点称为费马点．已知
分别是
三个内角
的对边，且
，
，若点P 为
的费马点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2020 高三·全国·专题练习）以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲
边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首
先发现.如图，D，E，F 为正三角形ABC 各边中点，作出正三角形DEF 的勒洛三角形DEF（阴影部分），若
在
中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
重难点题型十三 托勒密定理
1．（2023·全国·高三专题练习）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字
命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组
对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这
个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性
质．已知四边形
的四个顶点在同一个圆的圆周上，
、
是其两条对角线，
，且
为正三角形，则四边形
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·四川南充·二模）托勒密是古希腊天文学家地理学家数学家，托勒密定理就是由其名字命名，
､
､
该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形
的四个顶点在
同一个圆的圆周上，
是其两条对角线，
，且
为正三角形，则四边形
的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）克罗狄斯托勒密（约90-168 年）是希腊著名的数学家、天文学家
和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积
的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形
中，
，
，
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·全国·高三专题练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著
的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或
等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，
四边形ABCD 内接于半径为
的圆，
，
，
，则四边形ABCD 的周长为
（ ）
A．
B．
C．
D．
