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重难点专题03 勾股定理的应用
重难点一、勾股定理与网格问题
网格中利用横、竖网格线构造直角三角形，两点横向、纵向格子差作为直角
边长，借助勾股定理计算线段长度。可通过三边平方关系判断直角，求图形面积优先使用
割补法，计算时只需利用格子差值的平方，减少开方运算。
1．（25-26 七年级上·江苏常州·期末）如图．每个小方格均为正方形，A，B，C 均为格点(每个小方格的
顶点叫做格点)．
(1)按要求画图：
①画线段BD (D 为格点)，使 BD
AB
⊥
；
②画线段BE(E 为格点)，使 BE
BC
⊥
；
(2)在（1）的条件下，AC 与BD的位置关系是_______， 图中
ABC
的所有余角为_______．
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【答案】(1)
①②如图所示即为所求；
(2)平行；
CBD
、
ABE
、
ACB
【难度】0.85
【知识点】求一个角的余角、勾股定理与网格问题
【分析】题目主要考查利用网格画图，勾股定理解三角形，余角的定义等，理解题意，结合图形求解是
解题关键．
（1）①根据网格特点画图即可；②根据网格特点画图即可；
（2）先根据网格及勾股定理得出ABC
为等腰直角三角形，确定BD
AB
⊥
，再由平行线的判定即可得出
AC
BD
∥
；再利用余角的定义求解即可．
【详解】（1）略
（2）根据题意得：
2
2
2
1
3
10
AC =
+
=
，
2
2
2
1
3
10
AB =
+
=
，
2
2
2
2
4
20
BC =
+
=
，
∴
2
2
2
AC
AB
BC
+
=
，
∴ABC
为等腰直角三角形，
∴
45
ABC
ACB
=
=
，
∴AB
AC
⊥
，
∵BD
AB
⊥
，
∴AC
BD
∥
；
∵ABC
为等腰直角三角形，
∴
90
ABC
ACB
+
=
；
∵BE
BC
⊥
，
∴
90
ABE
ABC
+
=
，
∵BD
AB
⊥
，
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∴
90
ABC
CBD
+
=
，
∴
ABC
的所有余角为
CBD
、
ABE
、
ACB
，
故答案为：平行；
CBD
、
ABE
、
ACB
．
2．（24-25 八年级上·河南平顶山·期中）我们知道，数轴上的点和实数是一一对应的，借助勾股定理可以
在数轴上画出无理数、
2 对应的点．如图
爱动脑筋的小明发现，借助方格纸也可以画出很多长度是无理数的线段，
2
2
2
3
2
1
1
13
2
3
=
+
=
+
，
，请
在下面的方格纸中画出长度为
13 的线段AB 和长度为
20 的线段CD，已知每个小正方形的边长都是
1，要求点A，B，C，D 都是正方形的格点．
【答案】
线段AB
CD
，
即为所求（位置不唯一）：
【难度】0.85
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了勾股定理和网格问题，熟练掌握勾股定理，并结合网格的特点解答是解本题的关
键．
根据勾股定理结合网格特点画图即可．
【详解】
2
2
2
3
13
AB =
+
=
，
2
2
2
4
20
CD =
+
=
．
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3．（20-21 七年级下·安徽·阶段检测）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称
为“勾股定理”．即在直角三角形ABC 中（如右图），
90
ACB
=
．两条直角边分别为AC ，BC ，斜边
为AB ．则
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
．利用勾股定理解答下列问题：
(1)在直角三角形ABC 中，
90
ACB
=
，
13
AB
cm
=
，
5
AC
cm
=
，求BC 的长．
(2)如图，在由边长为1 个单位长度的小正方形组成的4 4
的网格中，每个小格的顶点叫做格点．
①在图中，利用勾股定理求线段AB 的长度．
②在图中，画一条格点线段CD，使
5
CD = ．
【答案】(1)
12
BC
cm
=
；
(2)①
10
AB =
；②见详解．
【难度】0.85
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与网格问题
【分析】该题考查了勾股定理．
（1）利用勾股定理，求解即可．
（2）①利用勾股定理求解即可．
②利用数形结合的思想解决问题即可．
【详解】（1）解：因为
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
所以
2
2
2
5
13
BC
+
=
，
所以
2
2
2
13
5
144
BC =
−
=
，
因为
0
BC
，所以
12
BC
cm
=
．
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（2）解：①
2
2
2
1
3
10
AB =
+
=
，所以
10
AB =
．
②如图2 中，线段
2
2
3
4
5
CD =
+
=
即为所求作．
4．（25-26 八年级下·宁夏吴忠·期末）如图，请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图1 中画一个三角形，使它的三边长分别为3，2 2 ，5
(2)如图2，找出边AB 、AC 的中点E、F，画出ABC
的中位线EF ．
【答案】(1)
如图：
(2)
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如图：
【难度】0.6
【知识点】格点作图题、矩形性质理解、勾股定理与网格问题
【分析】（1）利用网格与勾股定理确定三条线段的格点位置，顺次连格点画出三角形；
（2 ）借助矩形对角线平分找两边中点，连线得到三角形中位线，作图保留辅助线．
【详解】（1）解：根据勾股定理，在单位正方形网格中：沿网格边取3个单位长度，长度
3
AB =
；
直角边为1和2 的直角三角形斜边为
2
2
1
2
5
AC =
+
=
；
直角边为2 和2 的直角三角形斜边为
2
2
2
2
2 2
BC =
+
=
，
在网格中选取满足上述边长的三个格点，顺次连接即可得到符合要求的三角形，作图略；
（2）解：利用矩形对角线互相平分的性质找中点：分别以AB 、AC 为矩形的一条对角线，在网格中构
造对应矩形，连接矩形另一条对角线，交点即为AB 中点E 、AC 中点F ；
连接EF ，EF 即为ABC
的中位线，
作图略．
5．（2026·江苏扬州·一模）在“作图专题数学命题”活动中，小明同学设计出了三个作图任务，接下来请同
学们来挑战一下相关任务吧！
(1)任务一：网格作图
如图1，图2 均是6 6
的正方形网格，点A、B 、D 均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在图1网格中作
出点C （也为格点），使得
45
ABC
=
；在图2 网格中的线段AB 上取一点E ，使得
45
BED
=
．（请
利用网格完成作图，保留作图痕迹，不写作法）
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(2)任务二：尺规作图
如图3，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A在x 轴上，点B 在第一象限内，请用尺规作图在第一象限内
作出一点C ，使得ABC
是以AB 为腰的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(3)任务三：方案设计
请设计一个用尺规作直角三角形的方案．
已知，如图4 ，线段m ，n （m
n
）．求作：Rt
ABC
△
（
90
C
=
，BC
AC
），使得它的斜边长为
n ，两直角边的差为m ．小明在直线l 上截取了BD
m
=
（如图5），请你在此基础上继续帮他完成剩下的
作图．（注意保留作图痕迹，写出必要的作图步骤）
【答案】(1)
如图1，点C 即为所求，如图2 ，点E 即为所求．
(2)
如图，ABC
即为所求．
(3)
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如图，Rt
ABC
△
即为所求．
【难度】0.65
【知识点】勾股定理与网格问题、无刻度直尺作图、尺规作图——作三角形、作角平分线(尺规作图)
【分析】（1）在图1中根据网格特征，作等腰直角ABC
即可得出
45
ABC
=
；在图2 中，作等腰直角
ABG
，再作FD
AG
∥
，交AB 于E ，根据平行线的性质即可得出
45
BED
=
；
（2）过点B 作AB 的垂线，截取BC
AB
=
，连接BC ，作出ABC
即可；
（3）过点D 作BD的垂线MN ，作
MDC
的角平分线，以B 为圆心，n 为半径画弧，交
MDC
的角平分
线于A，过点A作AC
l
⊥于C ，Rt
ABC
△
即为所求．
【详解】（1）解：图1中，
2
2
2
2
4
20
AB
，
2
2
2
2
4
20
AC =
+
=
，
2
2
2
2
6
40
BC =
+
=
，
∴
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
∴ABC
是等腰直角三角形，
∴
45
ABC
=
；
图2 中，同理可得ABG
是等腰直角三角形，
∴
45
BAG
=
，
由网格特征可知，FD
AG
∥
，
∴
45
BED
BAG
=
=
．
（2）略
（3）解：∵
90
MDC
=
，DA平分
MDC
，
∴
1
45
2
ADC
MDC
=
=
，
∵AC
l
⊥，
∴ACD
是等腰直角三角形，AC
CD
=
，
∴BC
AC
BC
CD
BD
m
−
=
−
=
=
，
∵AB
n
=
，
∴Rt
ABC
△
即为所求．
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6．（25-26 八年级上·四川成都·期中）综合探究：“在ABC
中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为
5 10 13
，，
，求这个三角形的面积．”
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点
ABC
（即ABC
三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1 所示，这样不用求ABC
的高，而借用网格
就能计算出它的面积．我们把上述求ABC
面积的方法叫做构图法．
(1)直接写出图1 中ABC
的面积是________；
(2)若MNP
的边长分别为
2
2
2
2
2
2
16
, 9
4
, 4
4
m
n
m
n
m
n
+
+
+
（
0
m
，
0
n
，且m
n
），试运用构图法
在图2 中画出相应的MNP
，并求出MNP
的面积．
(3)拓展应用：求代数式
2
2
256
(27
)
400
x
x
+
+
−
+
（0
27
x
）的最小值．
【答案】(1)3.5
(2)5mn
(3)45
【难度】0.4
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、利用网格求三角形面积、勾股定理与网格问题
【分析】本题主要考查“勾股定理”，理解题意中的构图法，并运用构图法构造问题中所求式子对应的三角
形是解题关键．
（1）通过作差法，用大正方形的面积减去三个小三角形的面积即可；
（2）根据根号下式子的特征，确定横、纵格子的个数，来确定顶点的位置，画出对应的三角形，再通过
作差法求面积即可；
（3）构造两个直角三角形，使斜边长等于式子中每个根式的值，再通过将军饮马求最值的方法求解出线
段和的最值，即可求出该式子的最值．
【详解】（1）由图，得
1
1
1
3 3
2 1
1 3
2 3
9 1 1.5 3
3.5
2
2
2
ABC
S
= −
−
−
=
−−
−=
，
故答案为：3.5．
（2）如图，根据题意构造MNP
，
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∴
1
1
1
3 ?4
2 ?2
3 ?2
?4
12
2
3
2
5
2
2
2
MNP
S
m n
m n
m n
m n
mn
mn
mn
mn
mn
=
−
−
−
=
−
−
−
=
．
（3）如图，构造图形如下，则线段
2
256
MN
x
=
+
，线段
(
)
2
27
400
QN
x
=
−
+
，
作点M 关于直线的对称点M，连接QM，则QM为MN
QN
+
的最小值，即QM的长为代数式
(
)
2
2
256
27
400
x
x
+
+
−
+
的最小值，
∴
(
)
2
2
27
16
20
45
QM =
+
=
+
，
∴
(
)
2
2
256
27
400
x
x
+
+
−
+
的最小值为45．
7．（24-25 八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广
泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．
【已有认识】由于
2
2
2
1
1
由此得到在数轴上寻找2 所表示的点的方法，如图1．
（1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．
【拓展运用】请在图2 正方形网格（每个小正方形的边长为1）内，
①画出顶点在格点的ABC
，其中
2,
2 2,
10
AC
BC
AB
=
=
=
，
②直接写出ABC
的面积=___________，点C 到AB 边的距离为___________．
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（2）【拓展运用】①在图3 中，设(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
,
A x y
B x
y
AC
y
轴，BC
x
轴，AC
BC
⊥
于点C，则
AC =___________ BC = ___________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
AB
x
x
y
y
=
−
+
−
②图4 中，平面直角坐标系中有两点
(
)
(
)
3,4 ,
5,1 ,
M
N
P
−
−
为x 轴上任一点，则PM
PN
+
的最小值为
___________；
③应用平面内两点间的距离公式，求代数式
2
2
2
2
(
2)
(
1)
(
6)
(
3)
x
y
x
y
+
+
−
−
−
+
+
的最大值为：
___________．
【答案】（1）①见解析；②2，2 10
5
；（2）①
1
2
y
y
−
，
1
2
x
x
−
；②
29 ；③4 5
【难度】0.4
【知识点】已知两点坐标求两点距离、用勾股定理解三角形、勾股定理与网格问题
【分析】（1）①根据勾股定理，结合数轴即可得出结论；
②根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式即可得到结论；
（2）①根据题意列出代数式即可；
②利用轴对称求最短路线方法得出P 点位置，进而求出PM
PN
+
的最小值；
③把
2
2
2
2
(
2)
(
1)
(
6)
(
3)
x
y
x
y
+
+
−
−
−
+
+
看成点( , )
x y 到两点(
)
2,1
−
和(
)
6, 3
−
的距离之差，当点( , )
x y 和
(
)
6, 3
−
重合时，可得最大值，再根据两点间的距离公式即可得到结论．
【详解】解：（1）①如图所示，ABC
即为所求；
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②
2
2
2
2
8
10
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
，
90
ACB
=
，
ABC
的面积
1
1
2
2 2
2
2
2
AC BC
=
=
=
，
设点C 到AB 边的距离h ，
ABC
的面积
1
2
2 h AB
=
=
，
点C 到AB 边的距离
2 2
2 10
2 2
10
5
h
AB
=
=
=
，
故答案为：2，2 10
5
；
（2）①(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
,
A x y
B x
y
AC
y
轴，BC
x
轴，AC
BC
⊥
，
1
2
AC
y
y
=
−
，
1
2
BC
x
x
=
−
，
故答案为：
1
2
y
y
−
，
1
2
x
x
−
；
②如图，作点N 关于x 轴对称的点G ，连接MG ，直线MG 与x 轴的交点即为所求的点P ．
∵
(
)
5,1
N −
，
∴
(
)
5, 1
G −
−
，
( 3,4)
M −
，
(
)
(
)
2
2
3
5
4 1
29
PM
PN
PM
PG
MG
+
=
+
=
=
−+
+
+
=
，
即PM
PN
+
的最小值为
29 ，
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故答案为：
29 ；
③把式
2
2
2
2
(
2)
(
1)
(
6)
(
3)
x
y
x
y
+
+
−
−
−
+
+
看成点
(
)
,
E x y 到两点
(
)
2,1
F −
和
(
)
6, 3
G
−
的距离之差，
即EF
EG
FG
−
，
点
(
)
,
E x y 在直线FG 上，且在点G 右边时，EF
EG
FG
−
=
，
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
6
3
FG
x
y
x
y
=
+
+
−
−
−
+
+
有最大值，
最大值为：(
)
(
)
2
2
6
2
3 1
4 5
+
+ −−
=
，
故答案为：4 5 ．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称−最短路径问题，勾股定
理的逆定理．
重难点二、勾股定理与折叠问题
折叠核心：折叠前后对应边、对应角相等。先标出相等线段，设未知线段长
度为x，在图中找到包含x 的直角三角形，列出勾股方程求解。重点找准直角三角形，避
免错选边，理清重合线段之间的等量关系。
1．（2026·河南周口·一模）如图，在ABC
中，
90
ACB
=
，
4
AC
BC
=
=
，点D 在AC 上，点E 在AB
上，将ADE
沿直线DE 翻折，点A 的对称点A落在BC 上，若
1
CD = ，则A B
的长是（ ）．
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A．2
B．2
2
+
C．2
2
−
D．4 2 2
−
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】由折叠性质得
3
A D
AD
=
= ，由勾股定理得
2
2
A C
A D
CD
=
−
，即可求解．
【详解】解：
4
AC
BC
=
=
，
1
CD = ，
3
AD
AC
CD
=
−
=
，
由折叠得
3
A D
AD
=
= ，
2
2
A C
A D
CD
=
−
2
2
3
1
2 2
=
−
=
，
A B
BC
A C
=
−
4
2 2
=
−
．
2．（25-26 八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt ABC
中，
90
C
=
，
8
AC
BC
=
=
，将ABC
折叠，
使点B 与AC 的中点F 重合，折痕为DE ，则CE 的长为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题
【分析】根据折叠的性质得到EF
BE
=
，设CE
x
=
，在Rt CEF
中结合勾股定理列方程求解即可．
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【详解】解：由题意知，
1
4
2
AF
CF
AC
=
=
=
，EF
BE
=
，
设CE
x
=
，则
8
BE
BC
CE
x
=
−
= −，
在Rt CEF
中，
2
2
2
EF
CF
CE
=
+
，
∴(
)
2
2
2
8
4
x
x
−
=
+
，
解得
3
x = ，
即
3
CE =
．
3．（2026 八年级下·全国·专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，
90
ACB
=
，
6
AC =
，
8
BC = ，
将斜边AB 翻折，使点A 落在直角边BC 延长线上的点D 处，折痕为BE，则CD的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查勾股定理和折叠问题．勾股定理求出AB 的长，折叠得到BD
AB
=
，利用
CD
BD
BC
=
−
即可得解．
【详解】解：∵
90
ACB
=
，
6
AC =
，
8
BC = ，
∴
2
2
10
AB
AC
BC
=
+
=
，
由翻折的性质得
10
BD
AB
=
=
，
∴
2
CD
AB
BC
=
−
=
．
故选：B．
4．（25-26 八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在长方形ABCD中，
4,
8
AB
AD
=
= ，将此长方形沿EF 折
叠，使点D与点B 重合，则AE 的长度为（ ）
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A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解ED
EB
=
，先表示出
8
EB
AE
= −
，再根据勾
股定理计算即可．
【详解】解：∵长方形ABCD沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，
ED
EB
=
，
8
EB
ED
AD
AE
AE
=
=
−
= −
，
在长方形ABCD中，
90
A
=
，
2
2
2
AB
AE
BE
+
=
，即
(
)
2
2
2
4
8
AE
AE
+
=
−
，
解得：
3
AE = ，
故选：A．
5．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）如图，货车高
(
)
4m
4m
AC =
，卸货时后面支架AB 弯折落在地面
1A
处，经过测量
1
2 m
AC =
，则弯折点B 与地面的距离为（ ）
A．2m
B．3m
C．3 m
2
D．(
)
4
3 m
−
【答案】C
【难度】0.71
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】设
m
BC
x
=
，则
(
)
1
4
m
A B
AB
x
=
=
−
，根据勾股定理列出方程
(
)
2
2
2
x
2
4
x
+
=
−
，解方程即可．
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【详解】解：设
m
BC
x
=
，则
(
)
1
4
m
A B
AB
x
=
=
−
，
根据勾股定理得：
2
2
2
1
1
BC
AC
A B
+
=
，
即
(
)
2
2
2
x
2
4
x
+
=
−
，
解得：
3
2
x =
，
即弯折点B 与地面的距离为3 m
2
．
6．（25-26 八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
6
AC =
，
8
BC = ，D，E 分别
是AB 和BC 边上的点，将BDE
沿DE 折叠，点B 的对应点为点B．
（1）若B是AC 的中点，则CE 的长为__________．
（2）若点B在线段AC 上（含端点），则CE 的取值范围为__________．
【答案】 55
16 7
4
4
CE
【难度】0.64
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】（1）设BE
x
=
，则
8
CE
BC
BE
x
=
−
= −，根据折叠可知B E
x
=
，然后在Rt
CB E
△
中，由勾股
定理建立方程求解即可；
（2）找出两个临界位置，利用勾股定理和折叠的性质求解即可．
【详解】解：（1）
B
是AC 的中点，
1
3
2
B C
AC
=
= ，
设BE
x
=
，则
8
CE
BC
BE
x
=
−
= −，根据折叠可知B E
x
=
，
∵
90
C
=
在Rt
CB E
△
中，
2
2
2
B C
CE
B E
+
=
，
(
)
2
2
2
3
8
x
x
+
−
=
，
解得
73
16
x =
，
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73
55
8
16
16
CE
= −
=
；
（2）根据轴对称的性质可得BE
B E
=
，
当B E
的值最大即点A 与点B重合时，CE 的值最小，如图1，此时AE
B E
=
，
设B E
BE
m
=
=
，则
8
CE
m
= −
，
在Rt ACE
中，
2
2
2
AC
CE
AE
+
=
，
(
)
2
2
2
6
8
m
m
+
−
=
，
解得
25
4
m =
，
7
4
CE
=
；
当B E
的值最小即点C 与点B重合时，CE 的值最大，
如图2，此时
4
CE
B E
BE
=
=
=
，
综上所述，CE 的取值范围为7
4
4
CE
．
7．（25-26 八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，在ABC
中，
90
ACB
=
，
6
AC =
，
9
BC =
，点D 为
BC 边上的中点，将ACD
沿AD对折，使点C 落在同一平面内的点C处，连接BC．则
（1）CC的长为______；
（2）BC的长为______．
【答案】 36
5 27
5
【难度】0.6
【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题
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【分析】设CC交AD于E，由CD
BD
C D
=
=
得
90
CC B
=
，由
1
1
2
2
ACD
S
AC CD
AD CE
=
=
可求
CE 、CE，在Rt BC C
中用勾股定理即可得答案．
【详解】解：设CC交AD于E ，如图：
∵点D 为BC 边上的中点，
9
BC =
，
∴
4.5
CD
BD
=
=
，
∵将ACD
沿AD对折，使点C 落在同一平面内的点C处，
∴CD
C D
CC
AD
CE
C E
=
⊥
=
，
，
，
∵
90
C
=
，
6
AC =
，
∴
2
2
7.5
AD
AC
CD
=
+
=
，
∵
1
1
2
2
ACD
S
AC CD
AD CE
=
=
，
∴
3.6
AC CD
CE
AD
=
=
，
∴
36
5
CC=
，
由上计算得到，CD
BD
C D
=
=
，
∴
DCC
DC C
=
，
DBC
DC B
=
，
∵
180
DCC
DC C
DBC
DC B
+
+
+
=
，
∴
(
)
1
90
2
CC B
CC D
DC B
DCC
DC C
DBC
DC B
=
+
=
+
+
+
=
，
在Rt BC C
中，
2
2
27
5
BC
BC
C C
=
−
=
．
8．（25-26 八年级下·北京·期末）如图，在ABC
中，
25
A
=
，
20
C
=
，
5
AC =
．将ABC
分别沿
DE ，FG 折叠，使点A，C 都与点B 重合，若
1
AD = ，则DF = ________．
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【答案】17
8
【难度】0.4
【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题
【分析】根据折叠计算可得
90
DBF
=
，设DF
x
=
，则
4
BF
x
=
−
，利用勾股定理列方程即可解答．
【详解】解：
25 ,
20
A
C
=
=
，
180
135
ABC
A
C
=
−−
=
，
由折叠得，
1
BD
AD
=
= ，CF
BF
=
，
25
ABD
A
= =
，
20
FBC
C
=
=
，
∴
90
DBF
ABC
ABD
FBC
=
−
−
=
，
设DF
x
=
，则
5 1
4
CF
BF
AC
AD
DF
x
x
=
=
−
−
= −−
=
−，
在Rt
DBF
△
中，
2
2
2
BD
BF
DF
+
=
，
(
)
2
2
2
1
4
x
x
+
−
=
，
解得
17
8
=
x
，
17
8
DF
=
．
9．（25-26 八年级上·湖南长沙·期中）已知在矩形ABCD中，
9
AB = ，
6
BC =
，点E 是BC 边上一动点．
(1)连接AE ，若点E 是BC 边上的中点，求AE 的长；
(2)如图1，在（1）的条件下，作AE 的垂直平分线GH 分别交AB ，AE ，CD于点G ，F ，H ，求GH
的长；
(3)如图2，点G 为AB 边上一点，连接GE ，将
GBE
△
沿GE 折叠得到
GB E
△
，点B 的对应点B恰好落在
边CD上，M 为GE 上一动点，连接BM ，过点M 作MN
GB
交B E
于点N ，若
2 3
B C
=
，是否存在
点M ，使得2B N
BM
+
的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3 10
(2)
2 10
GH =
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(3)存在，3 2
6
+
【难度】0.3
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、勾股定理与折叠问题、线段垂直平
分线的性质
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，折叠，等腰直角三角形的判定和
性质等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角
形的判定和性质，折叠的性质，进行解答，即可．
（1）根据勾股定理，进行解答，即可；
（2）连接GE ，AH ，设GB
x
=
，则
9
GE
AG
x
=
= −
，根据勾股定理，则
2
2
2
GB
BE
GE
+
=
，求出x ，得
到AG 的值；作HK
AB
⊥
，垂足为K ，
90
BKH
=
，则四边形KBCH 是矩形，根据
1
1
2
2
AGH
S
AG HK
GH AF
=
=
，求出GH ；
（3）由折叠可得GB E
GBE
≌
，可得
6
B E
BE
EC
=
= −
，根据勾股定理，求出EG ，根据30所对的直
角边是斜边的一半的逆定理，可得
30
EB C
=
，
60
B EC
=
，过点M 作MP
GB
⊥
交GB于点P ，根据
矩形的判定和性质，可得PM
B N
=
，根据30所对的直角边是斜边的一半，
1
2
B N
PM
GM
=
=
，连接
B M
，以点G 为顶点，在GE 的左侧作
45
EGQ
=
，过点M 作MT
GQ
⊥
交GQ 于点T ，根据等腰直角
三角形的判定和性质，勾股定理，求出GM ，
2
2
2
B N
BM
GM
B M
MT
B M
+
=
+
+
=
，当B，M ，T
三点在同一条直线上且B T
GQ
⊥
时，2B N
BM
+
有最小值，最小值为B T的长；根据等腰直角三角形
的判定和性质，求出
45
B M E
=
，过点B作B S
GE
⊥
交GE 于点，利用勾股定理求出，
2 3
B S=
，同
理求出，
'
2 6
B M
=
，根据线段的等量关系，
6
2 3
GM
GE
M S
SE
=
−
−
−
=
，
2
3 2
6
2
T M
GM
=
=
−
，
3 2
6
B T
B M
T M
=
+
=
+
，即可．
【详解】（1）解：在矩形ABCD中，
90
B
=
，
E
是BC 边的中点，
1
3
2
BE
BC
=
= ，
在Rt ABE
中，
2
2
2
2
9
3
90
3 10
AE
AB
BE
=
+
=
+
=
=
．
（2）解：如图1，连接GE ，AH ，
∵AE
GH
⊥
，F 为AE 的中点，
∴AG
GE
AB
BG
=
=
−
，
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设GB
x
=
，则
9
GE
AG
x
=
= −
，
由（1）知，在Rt GBE
中，
2
2
2
GB
BE
GE
+
=
，
∴
(
)
2
2
9
9
x
x
+
=
−
，解得
4
x = ，
∴
5
AG =
，
作HK
AB
⊥
，垂足为K ，
90
BKH
=
，则四边形KBCH 是矩形，
∴
6
HK
BC
=
= ，
∴
1
1
2
2
AGH
S
AG HK
GH AF
=
=
，
∴
3 10
5 6
2
GH
=
，
解得
2 10
GH =
．
（3）解：存在，依题意得，GB E
GBE
≌
，
∴
6
B E
BE
EC
=
= −
，
在Rt
B EC
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
B E
EC
B C
=
+
，
∴(
)
(
)
2
2
2
6
2 3
EC
EC
−
=
+
，
∴
2
EC =
，
4
BE
B E
=
=
，
∴
30
EB C
=
，
60
B EC
=
，
∴
60
GEB
GEB
=
=
，
30
EGB
=
如图2，过点M 作MP
GB
⊥
交GB于点P ，
∵MN
GB
，
∴
90
MNB
=
，
∴四边形MNB P
是矩形，
∴PM
B N
=
，
在Rt GMP
中，
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∵
30
EGB
=
，
∴
1
2
B N
PM
GM
=
=
，
连接B M
，以点G 为顶点，在GE 的左侧作
45
EGQ
=
，过点M 作MT
GQ
⊥
交GQ 于点T ，
在Rt
GMT
△
中，
∵
45
EGQ
=
，
∴GT
TM
=
，
∴
2
2
2
GM
GT
MT
MT
=
+
=
，
∴
2
2
2
B N
BM
GM
B M
MT
B M
+
=
+
+
=
，
∴当B，M ，T 三点在同一条直线上且B T
GQ
⊥
时，2B N
BM
+
有最小值，最小值为B T的长，
∵B T
GQ
⊥
，
45
EGQ
=
，
∴GMT
是等腰直角三角形，
∴
2
2
T M
GM
=
，
45
GM T
=
，
∴
45
B M E
=
，
过点B作B S
GE
⊥
交GE 于点S，
在Rt B SE
中，
60
B ES
=
，
∴
30
SB E
=
，
∴
1
2
2
SE
B E
=
=
，由勾股定理得，
2 3
B S=
，
在Rt B SM
中，
45
B M E
=
，
∴B SM
是等腰直角三角形，
∴
2 3
M S
B S
=
=
，由勾股定理得，
'
2 6
B M
=
，
在Rt GEB
中，
30
EGB
=
，
∴
2
8
GE
B E
=
=
，
∴
6
2 3
GM
GE
M S
SE
=
−
−
−
=
，
∴
2
3 2
6
2
T M
GM
=
=
−
，
∴
3 2
6
B T
B M
T M
=
+
=
+
，
∴2B N
BM
+
的最小值为3 2
6
+
．
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重难点三、求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
梯子长度始终不变，为直角三角形斜边。先算出梯子初始靠墙高度；梯子下
滑后，梯子长度不变，结合底部水平距离求出新靠墙高度，高度差值即为下滑距离。解题
牢记斜边恒定，区分前后两组直角三角形数据。
1．（24-25 八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将2.6 米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此
时梯子底端离屋底1 米，则梯子顶端与地面的距离是（ ）
A．1.5米
B．1.6米
C．2 米
D．2.4米
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键．
根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度．
【详解】解：根据题意得顶端距离地面的高度
2
2
2.6
1
2.4
=
−
=
，
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故选：D
2．（25-26 八年级下·陕西安康·阶段检测）在实验室的测量实验中，有两个可移动的标记小球P、Q，它
们之间用一根不可伸缩的细杆连接，小球P 只能在竖直方向的轨道上移动，小球Q 只能在水平方向的轨
道上移动，两轨道的交点为O．如图，忽略小球的体积，将其抽象成几何图形．初始状态下，小球P 到
交点O 的距离为20cm ，小球Q 到交点O 的距离为15cm．当小球P 沿着竖直轨道向下移动13cm 至点P
处时，小球Q 随之移动到点Q的位置，求QQ的长．
【答案】9cm
【难度】0.85
【知识点】用勾股定理解三角形、求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】根据已知条件利用勾股定理求得PQ 的长，由于
25cm
PQ
P Q
=
=
，结合已知条件求得OP的长，
利用勾股定理求得OQ的长，最后利用OQ
OQ
−
即可求得QQ的长．
【详解】解：由题意知，
90
POQ
=
，
20cm
PO =
，
15cm
OQ =
，
在Rt
POQ
△
中，
(
)
2
2
25 cm
PQ
OP
OQ
=
+
=
，
∵
25cm
PQ
P Q
=
=
，
13cm
PP=
，
∴
(
)
20 13
7 cm
OP
OP
PP
=
−
=
−
=
，
在Rt
P OQ
△
中，
(
)
2
2
24 cm
OQ
P Q
OP
=
−
=
，
∴
(
)
24 15
9 cm
QQ
OQ
OQ
=
−
=
−
=
．
3．（25-26 八年级上·陕西咸阳·期中）某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关
于定滑轮（滑轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如表：
课题
定滑轮的物理实验
实验器材
定滑轮、滑块B 、木块C ，绳子（没有弹性）
测量工具
尺子
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测量示意
图
说明：滑块B 、木块C 均在直转道上，它们用绳子连
接，且绳子经过定滑轮A．图1 为初始测量状态，图
2 为将木块C 竖直升高后的状态，此时滑块B 向左滑
至点B处．其中AC
BC
⊥
．实验过程中，绳子长度
不变且始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大
小忽略不计．
测量数据
6dm
BC =
，
8dm
AC =
，
dm
7
CC=
(1)如图1，求绳子的总长度；
(2)如图2，求滑块B 向左滑动的距离BB．
【答案】(1)绳子的总长度为18dm ；
(2)滑块B 向左滑动的距离为9dm．
【难度】0.85
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合
8dm
AC =
，
6dm
BC =
，
90
ACB
=
，运用勾股定理列式计算，得
10
AB =
，此时
(
)
10
8
18 dm
AB
AC
+
=
+
=
，即可作答．
（2）先运算
(
)
dm
10
7
17
AB=
+
=
，再根据
2
2
2
AB
AC
B C
=
+
，代入数值计算，即可作答．
【详解】（1）解：根据题意得
8dm
AC =
，
6dm
BC =
，
90
ACB
=
，
在Rt
ABC
△
中，
2
2
2
AB
AC
BC
=
+
，
即
2
2
2
8
6
AB =
+
，
解得
10
AB =
．
∴
(
)
10
8
18 dm
AB
AC
+
=
+
=
，
答：绳子的总长度为18dm ；
（2）解：根据题意，得
90
ACB
=
，
8dm
AC =
，
dm
7
CC=
，
∴
(
)
dm
10
7
17
AB=
+
=
，
在Rt
AB C
△
中，
2
2
2
AB
AC
B C
=
+
，
即
2
2
2
17
8
B C
=
+
，
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∴
15
B C
=
，
∴
(
)
dm
15
6
9
BB
B C
BC
=
−
=
−
=
答：滑块B 向左滑动的距离为9dm ．
4．（25-26 八年级下·河北衡水·期末）如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中
一条道路的边缘点A 处，
24
OA =
米，小亮站在另一条道路的边缘点B 处，此时两人之间的直线距离为
25 米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态．
(1)求此时OB 的长度；
(2)当小明沿路边向北走了9 米到达点C 处（即
9
AC = 米），同时小亮沿路边向东走到了点D 处，若两人
之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25 米不变），求BD的长度．
【答案】(1)7 米
(2)13米
【难度】0.62
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）根据勾股定理求出
20
OD =
米，即可求出BD的长度．
【详解】（1）解：由题意得
90
AOB
=
，
24
OA =
米，
25
AB =
米，
∴
2
2
2
2
25
24
49
7
OB
AB
OA
=
−
=
−
=
=
米；
（2）解：∵
9
AC = 米，
∴
24 9
15
OC
OA
AC
=
−
=
−=
米，
∵
25
CD =
米，
90
COD
=
，
∴
2
2
2
2
25
15
400
20
OD
CD
OC
=
−
=
−
=
=
米，
因此
20 7
13
BD
OD OB
=
−
=
−
=
米．
5．（25-26 八年级下·山西大同·期中）
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项目主题
小区路灯维修梯子使用方案
项目背景
路灯维修工人使用一架长2.5 m 的绝缘梯AC ，斜靠在路灯杆上．此
时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面．
测量示意图
说明：点A、B 、C 、D 在同一竖直平
面内
问题解决：
(1)初始时，工人测量梯子底端C 到灯杆底部B 的距离
0.7 m
BC =
，梯子顶端A离地高度AB = 2.4m．请你
判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由；
(2)在任务1 的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端A下移到A，底端C 则沿射线BC 方向移动到点
C，量得
0.8m
CC=
，求AA的长．
【答案】(1)灯杆与地面垂直，理由见解析
(2)0.4 m
【难度】0.62
【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】（1）根据勾股定理逆定理求出AB
BC
⊥
即可；
（2）根据勾股定理求出A B
的长，进而可知AA的长．
【详解】（1）解：灯杆与地面垂直．
理由如下：
2
2
2
2
2.4
0.7
6.25
AB
BC
+
=
+
=
，
2
2
2.5
6.25
AC =
=
，
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
．
ABC
是直角三角形．
AB
BC
⊥
，
即灯杆与地面垂直；
（2）解：由题意得
0.7
0.8
1.5
BC
BC
CC
=
+
=
+
=
（m ）．
∵
2.5m
A C
AC
=
=
，
∴在Rt
A BC
△
中，
2
2
2
2
2.5
1.5
2.0
A B
A C
BC
=
−
=
−
=
（m ），
2.4
2.0
0.4
AA
AB
A B
=
−
=
−
=
（m ）．
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答：AA的长为0.4m．
6．（25-26 八年级上·江苏无锡·期中）2025年惠山区第十九届中小学生田径运动会在无锡市洛社初级中
学（雅西分校）成功举办，该校“振勇”数学学习小组对学校宣传标语的悬挂高度开展了如下综合与实践活
动．
【活动主题】测量宣传标语的悬挂高度
【测量工具】卷尺、所有示意图均为其截面图
【活动过程】
活动1：测量宣传标语AB 的高度
该小组开展对宣传标语AB 悬挂高度的测量活动（如图1），测得此时绷直的标语AB 的底端B 距离墙角
O的距离为3m ．该小组将标语AB 的底端B 松开后将其一部分紧贴墙壁，测得此时多余部分BO的长为
1m，如图2．
（1）求宣传标语AB 的悬挂高度（即线段AO 的长）；
活动2：测量宣传标语CD的高度
该小组开展对不可以到达墙角（墙角处种有绿植，但不影响地面测量）的宣传标语CD悬挂高度的测量活
动（如图3），测得此时绷直的宣传标语CD的底端D 距离墙角O的距离为8m ．该小组将标语CD的底端
D松开后移动到点E 处（此时CE 绷直），测得此时
3.2m
OE
ED
=
=
，如图4．
（2）求宣传标语CD的悬挂高度（即线段CO的长）．
【答案】（1）宣传标语AB 的悬挂高度为4m ；（2）宣传标语CD的悬挂高度为6m．
【难度】0.65
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，运用方程建模思想与勾股定理变形技巧，解题关键是设未知数
后利用直角三角形三边关系列方程并联立求解，易错点是混淆勾股定理中斜边与直角边的平方关系．
【详解】（1）解：设AO
x
=
，则标语AB 长为
1
x＋，
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∴由勾股定理得：
(
)
2
2
2
3
1
x
x
+
=
+
，解得：
4
x =
．
答：宣传标语AB 的悬挂高度为4m ．
（2）解：设CE
y
=
，则标语CD长为
3.2
y +
，
在Rt
COE
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
3.2
CO
y
=
−
，
在Rt COD
中，由勾股定理得：
(
)
2
2
2
3.2
8
CO
y
=
+
−
，
∴
(
)
2
2
2
2
3.2
3.2
8
y
y
−
=
+
−
，
解得：
6.8
y =
．
∴
6.8 3.2
10m
CD =
+
=
．
∴在Rt COD
中，由勾股定理得：
6
CO =
．
答：宣传标语CD的悬挂高度为6m．
7．（25-26 八年级上·广东深圳·期中）（1）如图，一条竹竿AB 长10 米，斜靠在竖直的墙AC 上，这时
竹竿的顶端到墙地面的距离为6 米（
6
AC =
米），求BC 的值．
（2）在（1）的条件下，杆子的长度不变，杆子顶端下滑了1 米（即
1
AD = 米），求杆子底部滑动的距
离（BE的长度）．
（3）如图，
90
C
=
，点D 在AC 边上，点E 在BC 边上，连结BD和AE ．求证：
2
2
2
2
AE
BD
DE
AB
+
=
+
．
（4）如图，四边形ABCD中，
90 ,
2,
4
ABC
BCD
AD
BC
+
=
=
=
，求
2
2
AC
BD
+
的值．
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【答案】（1）BC 的值为8m ；（2）杆子底部滑动的距离为(
)
5 3
8 m
−
；（3）证明见解析；（4）
2
2
AC
BD
+
的值为20
【难度】0.4
【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键．
（1）在Rt
ABC
△
中，运用勾股定理求解即可；
（2）根据题意求出CD的值，再在Rt
DCE
△
中，运用勾股定理求出CE ，进而求解即可；
（3）在Rt
CDE
△
和Rt
ABC
△
和Rt ACE
和Rt BCD
中，运用勾股定理即可求证；
（4）延长BA、CD交于点M ，运用（3）中的结论即可求解．
【详解】（1）在Rt
ABC
△
中，
2
2
BC
AB
AC
=
−
100
36
=
−
8m
=
；
（2）由题意可知
5m
CD
AC
AD
=
−
=
，
在Rt
DCE
△
中，
2
2
CE
DE
CD
=
−
100
25
=
−
5 3m
=
，
(
)
5 3
8 m
BE
CE
BC
=
−
=
−
，
即杆子底部滑动的距离为(
)
5 3
8 m
−
；
（3）证明：在Rt
CDE
△
中，
2
2
2
DE
CD
CE
=
+
，
在Rt
ABC
△
中，
2
2
2
AB
AC
BC
=
+
，
在Rt ACE
中，
2
2
2
AE
AC
CE
=
+
，
在Rt BCD
中，
2
2
2
BD
CD
CB
=
+
，
2
2
2
2
2
2
AE
BD
AC
CE
CD
CB
+
=
+
+
+
；
2
2
2
2
2
2
DE
AB
CD
CE
AC
BC
+
=
+
+
+
；
2
2
2
2
AE
BD
DE
AB
+
=
+
；
（4）如图，延长BA、CD交于点M ，
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90
ABC
BCD
+
=
，
90
M
=
，
则由（3）中结论可知
2
2
AC
BD
+
2
2
AD
BC
=
+
4 16
=
+
20
=
．
重难点四、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
水杯内部底面直径、杯高构成直角三角形，杯内筷子最长长度为该三角形斜
边。筷子总长减去斜边长，得到露出杯口最短长度；露出最长长度等于总长减去杯高，分
清临界情况，结合勾股求出杯内最大容纳线段长度。
1．（19-20 八年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为
8cm ，6cm和10 3cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是（ ）
A．20cm
B．15cm
C．10cm
D．5cm
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，长方体的体对角线是最长的，当木棒在盒子里对角放置的时
候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可．
【详解】解：由题意知：盒子底面对角线长为
(
)
2
2
6
8
10 cm
+
=
，
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盒子的对角线长：
(
)
(
)
2
2
10
10 3
20 cm
+
=
，
又细木棒长25cm，
故细木棒露在盒外面的最短长度是：
(
)
25
20
5 cm
−
=
，
故选：D．
2．（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是8，高是15，上底面中心有
个小圆孔，则一根长20 的直吸管露在罐外部分的长度a 的范围是（罐壁厚度和圆孔大小忽略）（ ）
A．1
3
a
B．2
3
a
C．3
5
a
D．4
5
a
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面圆心时，直吸管露在罐外部分的长度最大，当直吸管
的一端在圆柱形饮料罐的下底面边缘时，直吸管露在罐外部分的长度最小，结合勾股定理计算即可得出
结果．
【详解】解：当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面圆心时，直吸管露在罐外部分的长度最大，为
20 15
5
−
= ，
如图，当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面边缘时，直吸管露在罐外部分的长度最小，
，
由勾股定理可得
2
2
15
8
17
AB =
+
=
，
∴直吸管露在罐外部分的长度最小为20 17
3
−
= ，
∴直吸管露在罐外部分的长度a 的范围是3
5
a
．
3．（21-22 八年级上·河南周口·期末）一种盛饮料的圆柱形杯子，测得内部底面半径为2.5cm，高为
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12cm，吸管放进杯里（如图），杯口外面至少要露出4.6cm ，为节省材料，吸管长cm
a
的取值范围是
_______．
【答案】16.6
17.6
a
【难度】0.85
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时最短为12
4.6
16.6cm
+
=
；最长时与
底面直径和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答即可．
【详解】解：∵圆柱形杯子底面半径
2.5cm
r =
，
∴底面直径
2 2.5
5cm
d =
=
，
杯子内最短长度：吸管垂直放入杯内时，长度等于杯子的高，即12cm；
杯子内最长长度：吸管斜放至杯底边缘时，长度为
2
2
5
12
13cm
+
=
，
∴吸管总长度a 需满足：最小值：12
4.6
16.6cm
+
=
，
最大值：13
4.6
17.6cm
+
=
，
吸管长cm
a
的取值范围是：16.6
17.6
a
．
4．（25-26 八年级上·四川成都·期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1 尺．一阵强风吹
过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移
动了3 尺．由此可知水池的深度是______尺．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了解决水池中荷花问题（勾股定理的应用），设水池的深度为h 尺，利用勾股定理，
列出关于h 的方程求解．
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【详解】解：设水池的深度为h 尺，则：
(
)
2
2
23
1
h
h
+
=
+
，
解得：
4
h =
，
所以，水池的深度是4 尺．
故答案为：4．
5．（25-26 八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm，高为
16cm，现有一根长为25cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是_______cm
【答案】5
【难度】0.4
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】设圆柱的底面圆的直径为AB ，高为BC ，根据勾股定理得到
(
)
2
2
2
2
12
16
20 cm
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，解答即可．
本题考查了勾股定理，圆柱的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设圆柱的底面圆的直径为AB ，高为BC ，
由底面半径为6cm，高为16cm可得
12
16cm
AB
cm BC
=
=
，
根据勾股定理得到
(
)
2
2
2
2
12
16
20 cm
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
故
(
)
25
20
5 cm
CD
AD
AC
=
−
=
−
=
，
故答案为：5．
6．（25-26 八年级下·湖北孝感·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：
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今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有
一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦
苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？
【答案】这根芦苇的长度为13尺，水深为12尺．
【难度】0.85
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】设水深为x 尺，则芦苇的长度为(
1)
x +
尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深为x 尺，则芦苇的长度为(
1)
x +
尺，
∵水面是一个边长为10尺的正方形，芦苇在水池正中央，
∴
5
BC =
尺，
在Rt
ABC
△
中，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
,
∴
2
2
2
5
(
1)
x
x
+
=
+
，
解得：
12
x =
，
∴
1 13
x + =
（尺）．
答：这根芦苇的长度为13尺，水深为12尺．
7．（25-26 八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作
咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为12cm
，高为16 cm
．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长
度太短了，不能搅拌到底部．
(1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口2cm
才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至
少需要 cm；
(2)如图②，老师新买的一根长为25cm
的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为cm
h
，你能求出h 的取
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值范围吗？
【答案】(1)18
(2)5 cm
9 cm
h
【难度】0.62
【知识点】有理数加法运算律、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为16cm，即杯内搅拌棒长度为16cm，题目要求长出杯
口2cm ，两者相加即可解答；
（2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，
据此求解即可；
【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要16
2
18cm
+
=
；
（2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长
25 16
9 cm
h =
−
=
；
由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为
2
2
12
16
20 cm
+
=
，
露在杯子外面的长
25
20
5 cm
h =
−
=
；
5 cm
9 cm
h
．
重难点五、解决航海问题(勾股定理的应用)
航海题常出现正东、正北等垂直方向，可直接构造直角三角形。根据航行路
程得到两条直角边长，运用勾股计算两点直线距离；遇到方位角先画图确定垂直关系，标
注航行距离，再代入公式进行计算。
1．（25-26 八年级下·甘肃金昌·期中）如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度沿
北偏东40方向航行，乙船沿南偏东50方向航行，1.5小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛．若C 、B
两岛相距30海里，则乙船的航速是（ ）
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A．8海里/时
B．12海里/时
C．16海里/时
D．20 海里/时
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】与方向角有关的计算题、解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】由题意可知，
90
BAC
=
，
24
AC =
海里，
30
BC =
海里，利用勾股定理计算出AB ，进而求出乙
船的航速．
【详解】解：由题意可知，
180
40
50
90
BAC
=
−
−
=
，
16 1.5
24
AC =
=
（海里），
30
BC =
海里，
在Rt ABC
中，
2
2
2
2
30
24
18
AB
BC
AC
=
−
=
−
=
（海里），
∴乙船的航速为18
12
1.5 =
（海里/时）．
2．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40 海里，乙船时
速30 海里，两个小时后两船相距100 海里，已知甲船的航向为北偏东46，则乙船的航向（ ）
A．南偏西44
B．北偏西44
C．南偏东44或北偏西44
D．南偏西44或西偏北44
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】与方向角有关的计算题、解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】先计算两船航行2 小时后的路程，利用勾股定理逆定理判断两船航行方向互相垂直，再结合甲
船的方位角分情况得到乙船的航向即可．
【详解】解：由题意得，两船航行2 小时后，甲船行驶路程为40 2
80
=
海里，乙船行驶路程为
30 2
60
=
海里，
∵
2
2
2
80
60
6400
3600
10000
100
+
=
+
=
=
，
∴ 由勾股定理逆定理可得，甲乙两船的航行方向夹角为90，
已知甲船航向为北偏东46，计算得90
46
44
−
=
，分两种情况：
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乙船航行方向为北偏西44或乙船航行方向为南偏东44；
因此乙船的航向为南偏东44或北偏西44．
3．（21-22 八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，一轮船以6 海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航
行，另一轮船以8 海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2 小时后，则两船相距
________海里．
【答案】20
【难度】0.85
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，方位角，由题意得出
12
AB =
海里，
16
AC =
海里，
90
BAC
=
，再
由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：如图，设一轮船以6 海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行到B ，另一轮船以8 海里/
时的速度同时从港口A出发向东南方向航行到C ，
由题意得：
6 2
12
AB = =
(海里)，
8 2
16
AC = =
(海里)，
90
BAC
=
，
2
2
2
2
12
16
20
BC
AB
AC
=
+
=
+
=
(海里)，
离开港口2 小时后，则两船相距20 海里.
4．（24-25 八年级下·河北邢台·阶段检测）如图，小岛A 位于港口C 北偏西39方向上，小岛B 位于港口
C 的北偏东51方向上，且与港口C 相距200 海里，小岛B 与小岛A 相距250 海里．
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(1)求小岛A 与港口C 的距离；
(2)在小岛B 处有一艘载满货物的货船，以每小时20 海里的速度从小岛B 出发沿B→A 方向航行，当货船
距离港口C 最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？
【答案】(1)小岛A 与港口C 的距离为150 海里
(2)货船还需航行4.5 小时才能到达小岛A
【难度】0.85
【知识点】垂线段最短、解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）过点C 作CD
AB
⊥
于点D，首先利用等面积法求出
120
CD =
，然后利用勾股定理求出
90
AD =
，进
而求解即可．
【详解】（1）解：由题意得
39
51
90
ACB
=
+
=
，
200
BC =
，
250
AB =
．
在Rt
ABC
△
中，
2
2
2
22500
AC
AB
BC
=
−
=
，
∴
150
AC =
．
答：小岛A 与港口C 的距离为150 海里；
（2）解：过点C 作CD
AB
⊥
于点D，
当货船航行到点D 时，此时货船距离港口C 最近．
∵1
1
2
2
AB CD
AC BC
=
，
∴
120
CD =
，
在Rt ACD
中，
2
2
2
8100
AD
AC
CD
=
−
=
，
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∴
90
AD =
，
∴90 20
4.5
=
（小时）．
答：货船还需航行4.5 小时才能到达小岛A．
5．（23-24 八年级下·河北张家口·期末）某游乐场部分平面图如图所示，点D，C，A 在同一直线上，点
A，B 在同一直线上，DA
AB
⊥
，测得
60m
AC =
，
80m
AB =
，
75m
DC =
．
(1)求入口B 到大摆锤C 的距离；
(2)现要在距离大摆锤45m的E 处修建游乐项目旋转木马，点B，C，E 在同一直线上，且使旋转木马E 到
过山车D 的距离最近．
①DE 与EC 的位置关系为______；
②求过山车D 到旋转木马E 的距离．
【答案】(1)100m
(2)①DE
EC
⊥
；②60m
【难度】0.85
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短：
（1）在Rt
ABC
△
中，根据，即可求解；
（2）①根据垂线段最短，即可求解；②在Rt
CDE
△
中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：在Rt
ABC
△
中，CA
AB
⊥
，
60m
AC =
，
80m
AB =
，
∴
2
2
2
2
80
60
100m
BC
AC
AB
=
+
=
+
=
，
即入口B 到大摆锤C 的距离为100m；
（2）解：①由“垂线段最短”得：当DE
EC
⊥
时，DE 最短，
即旋转木马E 到过山车D 的距离最近时，DE
EC
⊥
；
故答案为：DE
EC
⊥
②在Rt
CDE
△
中，
90 ,
45m,
75m
CED
CE
DC
=
=
=
，
∴
2
2
2
2
75
45
60m
DE
CD
CE
=
−
=
−
=
，
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即过山车D 到旋转木马E 的距离为60m．
6．（25-26 八年级下·甘肃张掖·期中）如图，小明计划周末到离家A正东方向1500m的书店B 买书，买完
书后再去距离书店正北方向800m 的体育中心C 打篮球，求小明家和体育中心的距离AC ．
【答案】小明家和体育中心的距离为1700m．
【难度】0.85
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】根据方向角的定义得出AB
BC
⊥
，
1500m
AB =
，
800m
BC =
，利用勾股定理求出AC 即可．
【详解】解：由题意得，AB
BC
⊥
，
1500m
AB =
，
800m
BC =
，
∴在Rt
ABC
△
中，
(
)
2
2
2
2
1500
800
1700 m
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
．
∴小明家和体育中心的距离为1700m．
7．（25-26 八年级下·云南昆明·期中）如图，某港口C 在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港
口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12 海里和5 海里，2 小时后两船分别位于
点A，B 处，且相距26 海里，如果知道快船沿北偏西50方向航行，那么慢船沿什么方向航行？
【答案】慢船沿南偏西40方向航行
【难度】0.85
【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】根据三角形的三边长，可知
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，得
90
ACB
=
，从而得出答案．
【详解】解：由题意知，
24
AC =
海里，
10
BC =
海里，
26
AB =
海里，
∵
2
2
2
2
24
10
676
AC
BC
+
=
+
=
，
2
2
26
676
AB =
=
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
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∴
90
ACB
=
，
∵快船沿北偏西50方向航行，
∴慢船沿南偏西40方向航行．
8．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）如图，一艘轮船从海港B 沿正东方向向海港C 行驶，点A处有一座
灯塔，轮船行驶了5km后到达点D 处（即
5km
BD =
），此时轮船正好位于灯塔A的正南方，继续向东行
驶了9km到达海港C 处（即
9km
DC =
），已知灯塔A到海港B 的距离AB 为13km ，求灯塔A到海港C 的
距离AC ．
【答案】15km
【难度】0.65
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】由题意可知AD
BC
⊥
，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由题意可知AD
BC
⊥
，
∵
13km
AB =
，
5km
BD =
，
∴
2
2
12km
AD
AB
BD
=
−
=
，
∵
9km
DC =
，
∴
2
2
15km
AC
AD
CD
=
+
=
．
9．（25-26 九年级下·全国·单元复习）一艘船由A 港沿北偏东60方向航行10km 至B 港，然后再沿北偏西
30方向航行10km 至C 港．
(1)求A，C 两港之间的距离（结果精确到0.1km）；
(2)确定C 港在A 港的什么方向．
【答案】(1)
14.1km
(2)
C 港在A港北偏东15的方向上
【难度】0.62
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【知识点】与方向角有关的计算题、解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】（1）利用方位角和平行线的性质推出
90
ABC
=
，用勾股定理计算AC 的长度，再取近似值即
可；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到
45
BAC
=
，结合方位角计算出C 港相对A港的方向即可．
【详解】（1）解：根据题意作图：
60
DAB
=
，
30
EBC
=
，
//
DA BE ，
10km
AB
BC
=
=
，
60
ABF
DAB
=
=
，
180
180
60
30
90
ABC
ABF
EBC
−
−
−
−
=
=
=
，
在Rt ABC
中，
(
)
2
2
2
2
10
10
10 2
14.1 km
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
答：
,
A C 两港之间的距离约为14.1km．
（2）
AB
BC
=
，
90
ABC
=
，
ABC
是等腰直角三角形，
45
BAC
=
，
60
45
15
CAD
DAB
BAC
−
−
=
=
=
，
答：C 港在A港北偏东15的方向上．
10．（25-26 九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，A，B 分别是两个港口，C ，D 是海上两座小岛景
点，D在A正北方向20 千米处，C 在D 北偏东60方向，
30
CD =
千米，A在B 的南偏西60°方向，且
C 在B 北偏西75方向．（参考数据：
2
1.41 3
1.73
6
2.45
，
，
）
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(1)求港口B 和小岛C 的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）；
(2)一艘货船从A港口出发沿AB 前往B 港口，同时一艘观光船也从A港口出发，沿路线A
D
C
−
−
前往小岛
C ，货船的速度与观光船的速度之比为4:3，出发1.5小时后观光船在由D 到C 的途中且离A港口的直线
距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从A港口出发多少小时后到达B 港口（结果保留小数点后一
位）．
【答案】(1)24.5
(2)2.1
【难度】0.4
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，运用了三角函数，并巧妙运用了两个直角三
角形的公共边AM ．
（1）根据题意证得AB
CD
，求得过点C 作CE
AB
⊥
，交AB 于E ，过点D 作DF
AB
⊥
，交AB 于F ，
60
DAF
=
，
45
CBE
=
，结合直角三角形利用三角函数即可解答；
（2）设货船速度为4x ，观光船速度为3x， 过M 作MN
AD
⊥
于N ，MF
AB
⊥
于F
根据行程关系，利用两个直角三角形的公共边AM ，结合勾股定理列方程求出x ，用路程除以速度即可解
答．
【详解】（1）解：∵D在A正北方向20 千米处，C 在D 北偏东60方向，
30
CD =
千米，A在B 的南偏
西60方向，且C 在B 北偏西75方向，
∴
20
AD =
，AB
CD
，
45
CBE
=
，
过点C 作CE
AB
⊥
，交AB 于E ，过点D 作DF
AB
⊥
，交AB 于F ，
则
90
AFD
CEB
=
=
，
∴
90
CDF
=
，
∴
180
90
60
30
ADF
=
−
−
=
，
则
90
30
60
DAF
=
−
=
，
1
10
2
AF
AD
=
=
，
30
EF
DC
=
=
（千米），
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∴
3
sin
20 sin 60
20
10 3
2
DF
CE
AD
DAF
=
=
=
=
=
（千米），
∵
45
CBE
=
，
∴CBE
是等腰直角三角形，
∴
10 3
EB
CE
=
=
（千米），
∴
10 3
10 3
2
10 6
24.5
sin
sin 45
CE
BC
CBE
=
=
=
=
（千米）
答：港口B 和小岛C 的距离为24.5 千米．
（2）设货船速度为4x ，观光船速度为3x，
出发1.5小时后：货船行驶的路程4
1.5
6
x
x
=
即货船在AB 上的位置距A点6x 千米
观光船行驶的路程：3
1.5
4.5
x
x
=
，
因
20
AD =
故观光船在DC 上距D 点的距离为4.5
20
x −
（记该点为M ），
观光船M 在由D到C 的途中且离A港口的直线距离与离货船E 的直线距离正好相等．
即MA
ME
=
，
6
AE
x
=
，
∴AME
是等腰三角形，
过M 作MN
AD
⊥
于N ，MF
AB
⊥
于F ，
则
1
3
2
AF
EF
AE
x
=
=
=
，
由（1）得
10 3
MF =
，
在Rt
DMN
△
中，
60
NDM
=
，
4.5
20
DM
x
=
−
，则：
1
cos60
(4.5
20)
2
DN
DM
x
=
=
−
，
3
sin 60
(4.5
20)
2
MN
DM
x
=
=
−
，
1
20
4.5
20
10
2.2
2(
5
)
AN
AD
DN
x
x
=
+
=
+
−
=
+
，
在Rt AMN
中
(
)
2
2
2
2
2
3 (4.5
20)
10
2.25
2
AM
MN
AN
x
x
=
+
=
−
+
+
，
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在Rt
AMF
△
中
(
)
(
)
2
2
2
2
2
10 3
3
AM
MF
AF
x
=
+
=
+
，
∴
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
3 4.5
20
10
2.25
10 3
3
2
x
x
x
−
+
+
=
+
，
化简得(
)
2
64
4
9
x −
=
，
解得
20
3
x =
或4
3 ，
20
4.5
30
20
3
x =
=
∵4
4.5
6
20
3
=
，故
4
3
x =
舍去，
货船速度为：
20
80
4
4=
3
3
x =
，
由（1）可得
10
30 10 3
40 10 3
AB
AF
EF
BE
=
+
+
=
+
+
=
+
（千米），
货船从A港口到B 港口用时：
(
)
40+10 3
3
12+3 3
= 4+ 3
=
2.1
80
8
8
3
，
答：货船从A港口出发2.1小时后到达B 港口．
重难点六、求河宽(勾股定理的应用)
将河岸视作平行线，垂直河岸方向为河宽（一条直角边），岸边行走距离为
另一条直角边，观测斜线为斜边。设河宽为未知数，利用勾股定理建立方程求解，画图厘
清观测点、对岸点、岸边落脚点三者位置。
1．（25-26 八年级下·河南商丘·期中）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨
日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30 步，宽与对角线的和为50 步，不知田有几亩．设长方形田
的宽为x 步，则可列方程为（ ）
A．30
50
x
x
+
=
−
B．
(
)
2
2
2
30
50
x
x
+
−
=
C．
(
)
2
2
2
30
50
x
x
+
=
−
D．
(
)
2
2
2
50
30
x
x
+
−
=
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)
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【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾
股定理列出方程即可．
【详解】解：设长方形田的宽为x 步，宽与对角线的和为50步，
则对角线长为(
)
50
x
−
步，
∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为30步，
∴根据勾股定理可得
(
)
2
2
2
30
50
x
x
+
=
−
，C 选项符合题意．
2．（25-26 八年级下·全国·课后作业）如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石A上，消防救援人员利用
舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点B 比原设定地点C 偏移了140m
（
140m
BC =
）．已知舟艇以100m/min 的速度，用时5min回到岸边点B 处，则礁石到河岸的距离AC 为
（ ）
A．450m
B．460m
C．480m
D．500m
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】用勾股定理解三角形、求河宽(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握先根据速度、时间求斜边长度，再利用勾股定理求直角
边是解题的关键．
先根据舟艇的速度与行驶时间计算出AB 的长度，再结合礁石到河岸的距离AC 垂直于河岸确定ABC
是
直角三角形，最后用勾股定理的变形公式计算AC 的长度．
【详解】解：∵舟艇速度为100m/ min，用时5min ，
∴
100 5
500m
AB =
=
∵AC 是礁石到河岸的距离，
∴AC
BC
⊥
，即ABC
是直角三角形
由勾股定理得：
2
2
AC
AB
BC
=
−
2
2
500
140
=
−
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250000 19600
=
−
230400
=
480m
=
．
故选：C．
3．（25-26 八年级上·全国·寒假作业）如图，为了测得湖两岸A 点和B 点之间的距离，嘉淇在C 点设桩，
使
=90
ABC
，并测得AC 长100米，BC 长80米，则A 点和B 点之间的距离为（ ）米
A．100
B．80
C．60
D．120
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键．
根据勾股定理可以直接求解．
【详解】解：由题可知，
100
AC =
米，
80
BC =
米，
90
ABC
=
，
2
2
2
2
100
80
60
AB
AC
BC
=
−
=
−
=
米．
故选：C
4．（25-26 八年级下·河北邢台·期末）某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸
A，B 两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意
图，根据图中数据可得A，B 两点间的距离为（ ）
A．9m
B．12m
C．15m
D．20m
【答案】C
【难度】0.65
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【知识点】用勾股定理解三角形、求河宽(勾股定理的应用)
【分析】如图，延长DA、EB交于点C ，则ABC
为直角三角形，根据勾股定理即可求得A，B 两点间
的距离．
【详解】解：如图，延长DA、EB交于点C ，
则ABC
为直角三角形，
根据图中数据可得，
30 18
12m
AC =
−
=
，
20 11
9m
BC =
−
=
，
由勾股定理可得，
2
2
2
2
12
9
15m
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
．
5．（25-26 八年级上·河北张家口·期末）AI 机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A 处出发，计划
沿与河岸垂直的方向到达B 处，由于水流的影响，实际上岸地点C 与目的地B 处相距9 米，机械狗实际
行走的路程AC 为15 米，则AB 的长为_______ 米．
【答案】12
【难度】0.85
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)
【分析】根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90 ,
15
B
AC
=
=
米，
9
BC =
米，
由勾股定理得：
2
2
2
2
15
9
12
AB
AC
BC
=
−
=
−
=
米．
故答案为：12．
6．（25-26 八年级上·江苏徐州·阶段检测）为了求出湖两岸A，B 两点之间的距离，观测者小林在点C 设
桩，使ABC
恰好为直角三角形(
)
90
B
=
，如图所示，通过测量得AC 长为10m，BC 长为8m ，求出图
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中A、B 两点之间的距离．
【答案】A、B 两点之间的距离是6m．
【难度】0.85
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（
90
B
=
），从
而确定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一条直角边求另一条直角边）进行计
算．
题目中ABC
是直角三角形且
90
B
=
，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平
方，即
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
．要求A、B 两点间的距离即求AB 的长度，已知
10m
AC =
，
8m
BC =
，需将已
知数值代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出AB 的长度．
【详解】解：
ABC
是直角三角形且
90
B
=
，
AB
和BC 为直角边，AC 为斜边．
根据勾股定理可得：
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
．
10m
AC =
，
8m
BC =
，将其代入上述公式，可得：
2
2
2
8
10
AB +
=
，
2
2
2
10
8
100
64
36
AB =
−
=
−
=
，
由于线段长度为正数，得：
36
6m
AB =
=
．
故A、B 两点之间的距离是6m．
7．（25-26 八年级下·陕西西安·期中）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A、B 两
点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得A、B 间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上
取一点C ，使点C 能直接到达点A和点B ，在AB 的延长线上取一点D ，使得
12
BD =
米．经测量
34
AC =
米，
16
CD =
米，
20
CB =
米，请你计算点A、B 之间的距离．
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【答案】18 米
【难度】0.65
【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、求河宽(勾股定理的应用)
【分析】可证明
2
2
2
BD
CD
CB
+
=
，则
90
D
=
，据此利用勾股定理求出AD的长，即可求出AB 的长．
【详解】解：∵
12
BD =
米，
16
CD =
米，
20
CB =
米，
∴
2
2
2
2
12
16
144
256
400
BD
CD
+
=
+
=
+
=
，
2
2
20
400
CB =
=
，
∴
2
2
2
BD
CD
CB
+
=
，
∴BCD
是直角三角形，且
90
D
=
，
又∵
34
AC =
米，
∴
2
2
2
2
34
16
30
AD
AC
CD
=
−
=
−
=
米，
∴
18
AB
AD
BD
=
−
=
米，
答：点A、B 之间的距离为18 米．
8．（25-26 八年级下·广西贺州·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘
两端A，B 之间的距离，他们的操作过程如下：①沿AB 延长线的方向，在池塘边的空地上选点C ，使
6
BC =
米；②在AC 的一侧选点D ，恰好使
8
BD =
米，
10
CD =
米；③测得
17
AD =
米．请根据他们的操
作过程，回答以下问题：
(1)求
ABD
的度数；
(2)求出A，B 两点间的距离．
【答案】(1)90
(2)15 米
【难度】0.65
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【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、求河宽(勾股定理的应用)
【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可；
（2）利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：
6
BC =
米，
8
BD =
米，
10
CD =
米，
2
2
2
100
BC
BD
CD
+
=
=
，
BCD
是直角三角形，且
90
DBC
=
，
180
90
ABD
DBC
=
−
=
；
（2）解：
17
AD =
米，
90
ABD
=
在Rt ABD
中，由勾股定理得，
2
2
2
2
17
8
15
AB
AD
BD
=
−
=
−
=
( 米) ，
A
，B 两点间的距离为15米．
9．（25-26 八年级上·河南·期末）勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的
地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理．
(1)如图1，在四边形ABCD中，
90
B
C
AED
=
=
=
，B 、E 、C 三点共线，Rt
Rt
ABE
ECD
≌
，请
利用图1 验证勾股定理；
(2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，
5
AB
AD
m
=
=
，近期雨水多，水位上涨至EF ，水深
3.8
AE =
米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高2.5 米，宽为3米，请判断这艘货
船能否安全通过此桥洞，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)可以安全通过，见解析
【难度】0.65
【知识点】勾股定理的证明方法、求河宽(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键．
（1）根据面积公式计算，可证出勾股定理；
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（2）过点M 作MN
CD
⊥
交桥洞于点N ，连接PN ，结合勾股定理求出MN 的长度，计算其与水面的高
度，进行比较即可．
【详解】（1）解：
(
)
(
)
2
2
2
AB
CD BC
a
b
S
+
+
=
=
梯形
，
∵Rt
Rt
ABE
ECD
≌
，
∴
2
1
1
2
2
2
2
ABE
ADE
S
S
S
ab
c
=
+
=
+
梯形
,
∴(
)
2
2
1
1
·2
2
2
2
a
b
ab
c
+
=
+
，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
．
（2）解：取CD中点P ，由题知：
1.5
PM =
，
过点M 作MN
CD
⊥
交桥洞于点N ，连接PN ，如下图所示：
∴
2.5
PN =
，
∴在Rt PMN
中，
2
2
2
MN
PN
PM
=
−
=
，
∴2 5 3.8
3.2
2.5
+ −
=
，
∴可以安全通过．
重难点七、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
台阶问题无需直接用勾股求斜线，地毯总长等于所有水平线段总长加竖直线
段总长。可先利用勾股算出台阶水平总宽度与竖直总高度，两者相加即为地毯长度，避开
斜边长的干扰，简化运算步骤。
1．（25-26 八年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，在一个高为3m 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为
7m，则楼梯斜面AB 的长为_______m．
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【答案】5
【难度】0.85
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
【分析】根据题意，所有台阶高的和，恰好是
3m
AC =
，所有台阶宽的和，恰好是BC ，再利用勾股定理
求解即可；
【详解】解：如图所示，地毯的总长度为7m，
根据题意，所有台阶高的和，恰好是
3m
AC =
，所有台阶宽的和，恰好是BC ，
故
7m
AC
BC
+
=
，
故
4m
BC =
，
根据勾股定理，得
(
)
2
2
5 m
AB
AC
BC
=
+
=
；
2．（15-16 八年级上·江苏扬州·期中）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm 和
1cm，A 和B 这个的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A 点出
发，沿着面爬到B 点，最短线路为______cm．
【答案】13
【难度】0.85
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关
键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A 点到B 点
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的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如下图，
因为
(
)
3 3 1 3
12 cm ,
5cm
AC
BC
= + =
=
，
所以
2
2
2
169
AB
AC
BC
=
+
=
，
所以
(
)
13 cm
AB =
，
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm ．
故答案为：13．
3．（20-21 七年级上·重庆·期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm ，A 和
B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面
爬行到点B 的最短路程为______dm．
【答案】17
【难度】0.4
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为(
)
2
3
3dm
+
，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．
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可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm，
由勾股定理得：
(
)
2
2
2
2
8
[ 2
3
3]
17
x =
+
+
=
，
解得
17
=
x
．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长
和宽即可解答．
4．（25-26 八年级上·山东聊城·期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形ABC ．已知
直角边BC 长5m ，斜边AB 的长是13m．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150 元，楼梯
宽为2m ．那么购买这种地毯至少需要多少元？
【答案】5100 元
【难度】0.85
【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，运用勾股定理
得
2
2
12m
AC
AB
BC
=
−
=
，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然后结合楼梯宽为2m ，以及每平方米
的地毯售价是150 元，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：在ABC
中，
90
ACB
=
，
5m
BC =
，
13m
AB =
由勾股定理得，
(
)
2
2
2
2
13
5
12 m
AC
AB
BC
=
−
=
−
=
，
在楼梯上铺地毯需要的长度为
(
)
12
5
17 m
AC
BC
+
=
+
=
，
∵楼梯宽为2m ，
∴需要铺地毯的面积为
(
)
2
17 2
34 m
=
，
∵每平方米的地毯售价是150 元，
∴购买这种地毯至少需要的费用为34 150
5100
=
（元）．
5．（25-26 八年级下·安徽安庆·期末）综合与探究
定义：一般地，若直角三角形三边长a 、b 、c 都是正整数，那么称a 、b 、c 为勾股数．设m 、n 是两个
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正整数，且m
n
，直角三角形三边长a 、b 、c 都是正整数．下表中的a ，b ，c （a 、b 均小于c ）可以
组成一些有规律的勾股数．
m
n
a
b
c
2
1
3
4
5
3
1
8
6
10
3
2
5
12
13
4
1
15
8
①
4
2
12
②
20
4
3
③
24
25
…
…
…
…
…
（1）请写出表中①，②，③上的数．
（2）对表中的数据探究发现，
2
2
a
m
n
=
−
，继续探究发现b 和c 也可以用含m 、n 的代数式表示．请你用
含m 、n 的代数式分别表示：b = ④，c = ⑤．
（3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为a 米、b 米、c 米，
且a 、b 、c 满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上
相邻两株花之间的距离均为1 米．如果最短边可种8 株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整．
(1)①__________；②__________；③__________；
(2)④b = __________；⑤c = __________；
(3)⑥__________．
【答案】(1)①17，②16，③7
(2)
2
b
mn
=
，
2
2
c
m
n
=
+
(3)81
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【难度】0.52
【知识点】三角形三边关系的应用、通过对完全平方公式变形求值、求台阶上地毯长度(勾股定理的应
用)、勾股树（数）问题
【分析】（1）观察表格可得三边满足
2
2
a
m
n
=
−
，
2
b
mn
=
，
2
2
c
m
n
=
+
，代入相应m ，n 即可求出空
格．
（2）用勾股定理和完全平方公式验证
2
2 2
2
2
2 2
(
)
(2
)
(
)
m
n
mn
m
n
−
+
=
+
．
（3）“最短边可种8株花”说明最短边长为7 米；由于
2
b
mn
=
必为偶数，最短边只能是a ，从而列方程求
出m ，n ，再按“封闭图形种花”模型求总株数．
【详解】（1）解：
2
2
a
m
n
=
−
，
2
b
mn
=
，
2
2
c
m
n
=
+
，
当
4
m =
，
1
n = 时，
2
2
4
1
17
c =
+
=
，
①
17
=
；
当
4
m =
，
2
n =
时，
2 4 2
16
b = =
，
②
16
=
；
当
4
m =
，
3
n = 时，
2
2
4
3
7
a =
−
=
，
③
7
=
．
（2）解：
2
2
a
m
n
=
−
，且
2
2
2
a
b
c
+
=
，
2
2 2
2
4
2
2
4
2
2
(
)
(2
)
2
4
m
n
mn
m
m n
n
m n
-
+
=
-
+
+
，
4
2
2
4
2
m
m n
n
=
+
+
，
2
2 2
(
)
m
n
=
+
，
2
2
c
m
n
=
+
，
2
b
mn
=
，
2
2
c
m
n
=
+
．
（3）解：最短边可种8株花，且两端都种，
最短边长为8 1
7
−=
（米），
2
b
mn
=
为偶数，而7 为奇数，
最短边为a ，即
7
a =
，
2
2
7
m
n
−
=
，
(
)(
)
7
m
n m
n
−
+
=
，
m ，n 为正整数且m
n
，
1
m
n
−
= ，
7
m
n
+
=
，
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解得：
4
m =
，
3
n = ，
2 4 3
24
b = =
，
2
2
4
3
25
c =
+
=
，
三边长分别为7 米、24 米、25 米，
每边种花数为边长加1，
三边合计(7
1)
(24 1)
(25 1)
84
+
+
+
+
+
=
（株），
三个顶点各被重复计算一次，
总花数
84 3
81
=
−=
（株）．
6．（25-26 八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m 的台阶上
铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为4m．
(1)请你算一算共需购买多大面积的地毯；
(2)若地毯的价格为120 元
2
/m ，则购买地毯需花费多少元？
【答案】(1)共需购买68 平方米的地毯
(2)购买地毯需花费8160 元
【难度】0.65
【知识点】有理数乘法的实际应用、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可；
（2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用．
【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为5m ，斜边为13m，
根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：
2
2
13
5
12m
−
=
，
则需购买地毯的长为12 5
17m
+ =
，
因为地毯的宽则是台阶的宽4 米，
所以面积是：
2
17 4
68m
=
．
故共需购买
2
68m 的地毯．
（2）解：由地毯的价格为120 元
2
/m ，
则购买地毯的费用为：120 68
8160
=
元，
故购买地毯需花费8160 元．
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重难点八、判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
先构造直角三角形，用勾股求出汽车行驶的路程，结合行驶时间算出行驶速
度。将计算速度与限速对比，判断是否超速。注意统一路程、时间单位，单位换算极易出
错，列式前先统一计量单位。
1．（25-26 八年级上·四川宜宾·阶段检测）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道
行驶速度不得超过60km/ h ．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面
车速检测仪A处的正前方50m的C 处，过了6s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为130m，这辆小汽车
超速了吗?（参考数据转换：1m/ s
3.6km/ h
=
）
【答案】超速了
【难度】0.85
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC ，进而求出小汽车的速度，再与限制的速度
比较即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由题意得，在Rt
ABC
△
中，
50m
AC =
，
130m
AB =
，
90
C
=
，
∴
2
2
2
2
130
50
120m
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，
∴小汽车的速度为120 6
20m/s
72km/h
=
=
，
∵72km/h
60km/h
，
∴这辆小汽车超速了．
2．（25-26 八年级上·安徽宿州·阶段检测）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过
19m/s．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方30m
处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？
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【答案】超速了，理由见解析
【难度】0.85
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得
2
2
40m
BC
AB
AC
=
−
=
，再求出小汽车的速度为
40
2
20m/s
v =
=
，然后由20m/s
19m/s
，即可得出结论．
【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下：
如图，在Rt
ABC
△
中，
30
AC
m
=
，
50
AB
m
=
，
根据勾股定理得：
2
2
2
2
50
30
40m
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，
小汽车的速度为
40
2
20m/s
v =
=
，
20m/s
19m/s
，
这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
3．（22-23 八年级上·河南开封·期末）某条高速公路限速100km/h ，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直
线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C 处的正前方50m的B 处，过了4s，大巴车到达A 处，
此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为130m．
(1)求AB 的长．
(2)这辆大巴车超速了吗?
【答案】(1)120m
(2)大巴车超速了
【难度】0.85
【知识点】用勾股定理解三角形、判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键．
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（1）在Rt
ABC
△
中，根据勾股定理即可求出AB 的长；
（2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果．
【详解】（1）解：由题意可知，
50m
BC =
，
130m
AC =
，
2
2
2
2
130
50
120m
AB
AC
BC
=
−
=
−
=
，
（2）由（1）得：大巴车的速度为120 4
30m/s=108km/h
=
，
108km/h
100km/h
，
大巴车超速了．
4．（23-24 八年级上·山东枣庄·阶段检测）规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60km/h ．一辆
小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A 的正前方C 处，
30
AC =
米．过了2 秒后到达B 处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离AB 为50 米．这辆小汽车超速
了吗？
【答案】这辆小汽车超速行驶
【难度】0.85
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关
键．利用勾股定理求出BC ，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．
【详解】解：∵ACB
是直角三角形，
50m,
30m
AB
AC
=
=
，
∴
2
2
2
2
50
30
40m
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，
∴小汽车的速度为40
2
20(m / s)
=
，即20m/s
72km/ h
=
．
∵72
60
，
∴这辆小汽车超速了．
5．（24-25 八年级下·河南许昌·期中）某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80
千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前
方50 米处，过了4 秒后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为130 米，这辆小汽车超速了吗？
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【答案】这辆小汽车超速了
【难度】0.94
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列式求出BC ，再根据速度= 路程时间求出小汽车
的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解．
【详解】解：由勾股定理得
2
2
130
50
120
BC =
−
=
（米），
小汽车的速度为：120 4
30
=
（米/秒），
30 米/秒= 108 千米/时80 千米/时，
所以，这辆小汽车超速了．
6．（25-26 八年级下·四川凉山·期末）如图，有一辆卡车沿限速60km / h 的路段由A点向B 点行驶，
500 m
AB =
，在该路段附近有一栋居民楼C ，与A、B 两点的距离分别为
400m
AC =
、
300m
BC =
，卡
车行驶过程中周围260m以内为受噪声影响区域．
(1)求居民楼C 到AB 的距离．
(2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为14.4s，请问卡车是否超速行驶？并说明理
由．
【答案】(1)240m
(2)未超速，理由如下，
如图，
260m
DC
DE
=
=
，过点C 作CF
AB
⊥
于点F ，
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在Rt DCF
中，
2
2
2
2
260
240
100m
DF
DC
CF
=
−
=
−
=
，
∴
2
200m
DE
DF
=
=
∵卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为14.4 s ，
1
1000
1m/s
3.6km/h
1
3600
=
=
∴卡车在该路段行驶过程中的速度为
h
200
3.6
50km/h
60km
4.4
/
1
=
，
∴卡车未超速
【难度】0.65
【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出ABC
是直角三角形，且
90
ACB
=
，进而根据等面积法，即
可求解；
（2）
260m
DC
DE
=
=
，过点C 作CF
AB
⊥
于点F ，勾股定理求得
100m
DF =
，则
200m
DE =
，进而根
据路程除以时间计算速度，即可求解．
【详解】（1）解：∵
400 m
AC =
、
300 m
BC =
，
500 m
AB =
，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
∴ABC
是直角三角形，且
90
ACB
=
设楼C 到AB 的距离为h ，
∴1
1
2
2
AB h
AC
BC
=
∴
400 300
240m
500
h
=
=
（2）略
7．（25-26 八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心A
到公路的垂直距离为1200 米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测
距仪测得：此时车辆正在公路B 处，距A处2000 米；44 秒后，车辆行驶到公路上的D 处，距A处1300
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米．
(1)求外来车辆的平均速度；
(2)监控中心A到景观公路只有一条长为1500 米的小路AC ．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人
员，当外来车辆到达D处时，安保人员同时开车从A出发，沿小路AC 进行拦截，若安保人员车速为
30m/ s，能否成功在C 处拦截外来车辆？请通过计算进行说明．
【答案】(1)外来车辆的平均速度为25 m/s
(2)能成功在C 处拦截外来车辆，理由如下：
由题意得
1500 m
AC =
，
在Rt ACE
中，由勾股定理，得
(
)
2
2
2
2
1500
1200
900 m
CE
AC
AE
=
−
=
−
=
，
由（1）可知
500 m
DE =
，
( )
500
900
1400 m
CD
DE
CE
=
+
=
+
=
，
外来车辆到达C 处所需的时间为
( )
1400
25
56 s
=
．
安保人员的速度为30m/s ，
安保人员达C 处所需的时间为
( )
1500
30
50 s
=
，
50
56
能成功在C 处拦截外来车辆．
【难度】0.6
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】（1）过点A作AE
BC
⊥
于点E ，由题意得
1200 m
AE =
，
2000m
AB =
，
1300 m
AD =
，利用勾股定
理在Rt
ABE
△
中，可得BE，在Rt
ADE
△
中，可得DE ，从而求得BD，即可得出外来车辆的平均速度；
（2）先利用勾股定理在Rt ACE
中，可得CE ，结合（1）可得CD，从而可以算出外来车辆及安保人员
达C 处所需的时间，通过比较即可得出结论．
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【详解】（1）解：如图，过点A作AE
BC
⊥
于点E ，则
90
AEB
AEC
=
=
，
1200 m
AE =
，
由题意得
2000m
AB =
，
1300 m
AD =
，
在Rt
ABE
△
中，由勾股定理，得
( )
2
2
2
2
2000
1200
1600 m
BE
AB
AE
=
−
=
−
=
，
在Rt
ADE
△
中，由勾股定理，得
(
)
2
2
2
2
1300
1200
500 m
DE
AD
AE
=
−
=
−
=
，
(
)
1600
500
1100 m
BD
BE
DE
=
−
=
−
=
，
速度为
(
)
1100
44
25 m/s
=
，
答：外来车辆的平均速度为25 m/s ；
（2）略．
8．（25-26 八年级下·福建厦门·期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海
沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由80km/h 调整为70km/h ，小型汽车限速值由
90km/h 调整为80km/h ．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A 处的
正前方60m的C 处（即
60m
AC =
），过了4s小汽车到达B 处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离
为100m．
(1)求BC 的长；
(2)这辆小汽车在BC 段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：1m/s
3.6km/h
=
）
【答案】(1)80m
(2)没有超速，理由：
结合（1）可得小汽车的速度为
80
20m/ s
20 3.6km/ h
72km/ h
4
v =
=
=
=
；
72km/ h
80km/ h
；
这辆小汽车没有超速行驶．
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【难度】0.62
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）根据小汽车用4s行驶的路程为BC ，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
60
AC =
，
100
AB =
，
90
ACB
=
，
2
2
80m
BC
AB
AC
=
−
=
；
（2）略
9．（25-26 八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛
车从点C 出发，以4 米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B 出发，以3 米/秒的速度由南向
北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，
40
AC =
米，
30
AB =
米．
(1)经过4 秒，两赛车之间的距离是多少米？
(2)已知赛车之间的距离小于或等于25 米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A
的距离之和为35 米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】(1)两赛车之间的距离是30 米
(2)当两赛车的距离之和为35米时，遥控信号将会产生干扰
【难度】0.65
【知识点】用勾股定理解三角形、判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意求得
1
16
CC =
米，
1
12
BB =
米，得到
1
24
AC =
米，
1
18
AB =
米，根据勾股定理即可得到结
论；
（2）设出发t 秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，
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出发4 秒钟时，
1
16
4 4
CC =
=
米，
1
3 4
12
BB =
=
米
40
AC =
米，
30
AB =
米
1
24
AC
=
米，
1
18
AB =
米
2
2
1
1
24
18
30
B C
=
+
=
（米）
答：两赛车之间的距离是30 米．
（2）解：设出发t 秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得，40
4
30 3t
35
t
−
+
−
=
，解得
5
t =
此时
1
1
20,
15
AC
AB
=
=
，
此时
2
2
2
2
1
1
1
1
20
15
25
B C
C A
B A
=
+
=
+
=
，
即两赛车间的距离是25 米，所以遥控信号将会受到干扰，
答：当两赛车的距离之和为35米时，遥控信号将会产生干扰．
10．（24-25 八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自
2024 年6 月17 日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由90km/h 调整
为80km/h 、大型汽车限速值由80km/h 调整为70km/h ．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻
刚好行驶到车速检测仪A 处的正前方120m的C 处（即
120m
AC =
），过了8s 小汽车到达B 处，此时测得
小汽车与车速检测仪间的距离为200m．
(1)求BC 的长；
(2)这辆小汽车在BC 段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：1m/s
3.6km/h
=
）
【答案】(1)160m
(2)这辆小汽车没有超速，理由见解析
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【难度】0.65
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题考查的是勾股定理的应用；
（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）根据小汽车用8s 行驶的路程为BC ，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
120
AC =
，
200
AB =
，
90
ACB
=
，
∴
(
)
2
2
200
120
160 m
BC =
−
=
；
（2）解：结合（1）可得小汽车的速度为
(
)
(
)
(
)
160
20 m/ s
20 3.6 km/ h
72 km/ h
8
v =
=
=
=
；
∵
(
)
(
)
72 km / h
80 km / h
；
∴这辆小汽车没有超速行驶．
答：这辆小汽车没有超速．
重难点九、判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
以台风中心移动路线为基准，计算目标地点到路线的垂直最短距离。若最短
距离小于台风影响半径，则会受影响；还可结合勾股算出受影响路段长度与持续时间，先
作图找到垂线段，再利用勾股定理辅助计算。
1．（25-26 八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形
区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B 与监测点A 所
在的直线由东向西移动，已知点C 为一处海港，且点C 与A、B 两点的距离分别为600km、800km，
90
ACB
=
，过点C 作CE
AB
⊥
于点E，以台风中心为圆心，半径为460km的圆形区域内为受影响区
域．
(1)求监测点A 与监测点B 之间的距离．
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(2)请判断海港C 是否会受此次台风的影响，并说明理由．
【答案】(1)1000km
(2)不会受到此次台风的影响，见解析
【难度】0.89
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用等面积法求出
480km
CE =
，再与台风受影响区域半径比较即可．
【详解】（1）解：依题意得，在ABC
中，
600km
AC =
，
800km
BC =
，
90
ACB
=
，
(
)
2
2
1000 km
AB
AC
BC
=
+
=
，
答：监测点A 与监测点B 之间的距离为1000km；
（2）解：海港C 不会受到台风影响，理由如下：
在ABC
中，
90 ,
ACB
CE
AB
=
⊥
，
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CE
=
=
△
，
600 800
1000CE
=
，
解得：
480km
CE =
，
∵460
480
∴海港C 不会受到此次台风的影响．
2．（25-26 八年级下·河南开封·阶段检测）某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如
图，有一辆货车沿东西方向AB 由点A向点B 移动，已知点C 为教学楼，点C 与直线AB 上两点A、B 的
距离分别为30m和40m ，且
50m
AB =
，以货车为圆心的周围25m以内为受影响区域．
(1)求证：
90
ACB
=
(2)教学楼C 会受噪声影响吗？为什么？
(3)若货车的速度为2m / s ，则货车影响教学楼持续的时间有多长？
【答案】(1)证明见解析；
(2)教学楼C 会受噪声影响，原因见解析；
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(3)货车影响教学楼持续的时间为7s．
【难度】0.85
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、勾股定理逆定理的实际应用、以直角三角形三边为边
长的图形面积
【分析】（1）结合勾股定理逆定理即可得证；
（2）作CD
AB
⊥
交AB 于点D ，结合直角三角形面积计算公式求出CD的长，跟受影响区域的距离作比
较即可得出结论；
（3）设当
25m
EC
FC
=
=
时，正好影响教学楼C ，利用勾股定理求出DE 的长，进而得出EF 的长，再根
据时间= 路程速度即可得解．
【详解】（1）证：依题得：
30m
CA =
，
40m
CB =
，
2
2
2
30
40
50
+
=
，
即
2
2
2
CA
AB
AB
+
=
，
90
ACB
=
；
（2）解：作CD
AB
⊥
交AB 于点D ，
Rt ABC
中，1
1
·
·
2
2
AC BC
CD AB
=
，
·
30 40
24m
25m
50
AC BC
CD
AB
=
=
=
，
以货车为圆心的周围25m以内为受影响区域，故教学楼C 会受噪声影响；
（3）解：如图，当
25m
EC
FC
=
=
时，正好影响教学楼C ，
Rt CDE
中，
2
2
2
CD
DE
CE
+
=
，
2
2
2
2
25
24
7m
DE
CE
CD
=
−
=
−
=
，
同理可得
7m
DF =
，
14m
EF
DE
DF
=
+
=
，
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货车的速度为2m / s ，
货车影响教学楼持续的时间为14 2
7s
=
．
3．（25-26 八年级上·四川·期中）据中央气象台消息，第21 号台风“麦德姆”于2025 年10 月5 日在广东
徐闻第一次登陆．如图，海港C 接到台风警报，一台风中心在沿着直线AB 的方向以20km h 的速度移
动，已知距台风中心250km的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：
400km
BC =
，
300km
AC =
，
500km
AB =
．问：
(1)海港C 会不会受到台风的影响？
(2)若海港C 会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？
【答案】(1)受台风影响，理由见解析
(2)受台风影响的时间为7h
【难度】0.85
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的
应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台
风影响的路径长度，进而计算持续时间．
（1）通过勾股定理逆定理判断ABC
为直角三角形，利用面积法求出C 到AB 的距离CD，比较CD与
250km的大小，确定海港是否受影响；
（2）以C 为圆心、250km为半径作圆，交AB 于E、F，利用勾股定理求出ED的长度，得到EF 的距
离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间．
【详解】（1）解：海港C 受台风影响．
理由：如图，过点C 作CD
AB
⊥
于点D ，
因为
300km
AC =
，
400km
BC =
，
500km
AB =
，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
,
所以ABC
是直角三角形．
90
ACB
=
,
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由三角形面积相等可得：1
1
2
2
AC BC
CD AB
=
，
即300 400
500 CD
=
，
所以
(
)
300 400
240 km
500
CD
=
=
．
因为以台风中心为圆心周围250km以内(包括250km)为受影响区域，所以海港C 受台风影响．
（2）如图，设台风中心移动到点E ，F 处时刚好影响海港C ，连接CE ，CF ，则
250km
EC
FC
=
=
，
所以
2
2
2
2
250
240
70km
ED
EC
CD
=
−
=
−
=
，因ED
FD
=
，
所以
2
140km
EF
ED
=
=
．
因为台风中心移动的速度为20km / h ，
( )
140
20
7 h
=
，
所以受台风影响的时间为7h ．
4．（25-26 八年级上·广东茂名·期中）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中
心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由
点A行驶向点B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上A，B 两点的距离分别为300km和400km，且
500km
AB =
，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
(1)求证：
90
ACB
=
；
(2)海港C 受台风影响吗？为什么？
【答案】(1)证明：
300km
AC =
，
400km
BC =
，
500km
AB =
，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
．
ABC
是直角三角形，即
90
ACB
=
；
(2)解：海港C 受台风影响，理由如下
如图，过点C 作CD
AB
⊥
于D ，
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1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CD
=
=
，
(
)
300 400
240 km
500
AC BC
CD
AB
=
=
=
，
250
240
，
海港C 受台风影响．
【难度】0.62
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出ABC
是直角三角形；
（2）过点C 作CD
AB
⊥
于D ，再利用三角形面积得出CD的长，结合题意，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
5．（25-26 八年级下·安徽芜湖·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内
形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线AB 从左向右移动，已知点C 为某海港，点C
与直线AB 上A，B 两点的距离分别为300 km 和400 km ，且
500 km
AB =
，以台风中心为圆心，周围
250 km以内为受影响区域．
(1)求证：
90
ACB
=
；
(2)当地气象部门在通知中说海港C 会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由；
(3)若台风的速度为30km / h ，则台风持续影响该海港的时间有多长？
【答案】(1)
证明：∵
300km
AC =
，
400km
BC =
，
500km
AB =
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴ABC
为直角三角形，
∴
90
ACB
=
；
(2)
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解：海港C 会受到台风影响，理由如下：
如图所示，过点C 作CD
AB
⊥
于D 点，
∴
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CD
=
=
△
，
∴300 400
500CD
=
，
∴
240km
CD =
，
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C 会受到台风影响；
(3)台风持续影响该海港14 h
3
【难度】0.62
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出ABC
是直角三角形；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C 是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由（2）得
240km
CD =
，
如图所示，当
250km
EC
FC
=
=
时，即台风经过EF 段时，正好影响到海港C，此时
ECF
△
为等腰三角
形，
2
2
70km
FD
ED
EC
CD
=
=
−
=
，
∴
140km
EF =
，
∵台风的速度为30km/ h，
∴
14
140 30
h
3
=
，
∴台风影响该海港持续的时间有14 h
3
．
6．（25-26 八年级上·重庆·阶段检测）如图，
45
MON
=
，在距离O点32 2 米的A处有一学校，一重型
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卡车P 沿道路ON 方向行驶，在其周围40 米范围内都会受到卡车噪声影响．
(1)请你判断学校A是否会受到卡车噪声影响．为什么？
(2)若卡车的行驶速度是8 米/秒，求卡车P 沿途给学校A带来噪声影响的时间．
【答案】(1)学校会处在卡车的噪声影响范围内；理由见解析
(2)6 秒
【难度】0.4
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，三线合一定理，勾股定理，
（1）过点A作
⊥
AH
ON 于H ，可知点A到射线ON 的最短距离为线段AH 的长度；比较AH 的长度是否
小于40 米，即可得出结论；
（2）如详解图形所示，当
40m
AC
AD
=
=
时，则卡车在CD段对学校A有影响，根据勾股定理可求得
CN 的长度．
【详解】（1）解：如图所示，过点A作
⊥
AH
ON 于H ，可知点A到射线ON 的最短距离为线段AH 的长
度．
∵
45
O
=
，
∴OH
AH
=
，
又∵
32 2m
OA=
，
2
2
2
OH
AH
OA
+
=
，
∴
(
)
2
2
32 2
32 m
2
2
AH
OA
=
=
=
．
∵32m
40m
∴学校会处在卡车的噪声影响范围内．
（2）解：如图所示，在ON 上取两点C、D，连接AC
AD
，
，当
40m
AC
AD
=
=
时，则卡车在CD段对学
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校A有影响．
∵AC
AD
=
，AH
CD
⊥
，
∴CH
DH
=
．
由（1）知
32m
AH =
，
∴
2
2
2
2
40
32
24(m)
CH
AC
AH
=
−
=
−
=
．
∴
2
48m
CD
CH
=
=
．
卡车速度为8 米/秒，
∴影响时间为：48
6s
8 =
．
答：卡车沿道路ON 方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为6s．
7．（25-26 八年级上·广东深圳·期中）2025 年9 月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大
风力达14 级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约250km（即以台风
中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段BC 表示台风中心在深圳附近从
C 地向西北方向移动到B 地的路径，A是深圳市某观测点，且AB
AC
⊥
．已知A C
、
之间相距
300km
A B
，、之间相距400km．
(1)判断观测点A是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由．
(2)若台风中心的移动速度为20km / h ，则观测点A受台风影响的时间有多长？
【答案】(1)观测点A会受到台风“桦加沙”的影响，理由见解析
(2)观测点A受台风影响的时间有7 小时
【难度】0.4
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形
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【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理．
（1）过点A作AD
BC
⊥
于点D ，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求出AD长度，最后进
行比较即可；
（2）作
250km
AE
AF
=
=
，根据勾股定理求出台风影响观测点的长度，然后求出时间即可．
【详解】（1）解：观测点A会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下：
如图所示，过点A作AD
BC
⊥
于点D ，
∵AB
AC
⊥
，
∴
90
BAC
=
，
∴由勾股定理得，
2
2
500km
BC
AB
AC
=
+
=
，
由等面积得
300 400
240km
500
AB AC
AD
BC
=
=
=
，
∵240
250
，
∴观测点A会受到台风“桦加沙”的影响；
（2）解：如图所示，作
250km
AE
AF
=
=
，
由勾股定理得，
2
2
2
2
250
240
70km
DE
AE
AD
=
−
=
−
=
，
根据题意，
2
140km
EF
DE
=
=
，
140
20
7
=
（小时）
∴观测点A受台风影响的时间有7 小时．
重难点十、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
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设选址位置的未知数，分别在两个直角三角形中，表示出该点到两地的线段
长度。根据距离相等列等式，借助勾股定理列出方程求解。关键找准两个直角三角形，准
确用未知数表示线段平方。
1．（25-26 八年级上·上海·期末）如图，一个长方体盒子的内部是30cm 40cm 120cm
的长方体，如果将
一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度a 的取值范围是__________．
【答案】0
130
a
【难度】0.94
【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键．
由题意可得：当木棒为该长方体的对角线时木棒最长，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：该长方体盒子底面的对角线为：
2
2
30
40
50cm
+
=
，
当木棒为该长方体的对角线时木棒最长，
根据勾股定理得：
2
2
50
120
130cm
+
=
．
∴直杆的长度a 的取值范围是0
130
a
．
故答案为：0
130
a
．
2．（24-25 八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设
置防汛监控器．如左图所示，监控布设线l 距离河流300 m ，最大旋转角度90；村落位于河流南侧，与
河流邻接长度5000 m ；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，AB 为
监控器
1
M 监测范围，BC 为监控器
2
M 监测范围，
1
1
AM
BM
⊥
，
2
2
BM
CM
⊥
，此时
1
2
375
BM
CM
=
=
m ；
若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器．
【答案】8
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【难度】0.85
【知识点】用勾股定理解三角形、求一个数的算术平方根、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点
1
M 作
1
M N
AB
⊥
于点
N，根据题意，求得
625
AB =
m ，后计算5000
8
625 =
即可．
【详解】解：过点
1
M 作
1
M N
AB
⊥
于点N，根据题意，得
1
300
M N =
m ，
又
1
2
375
BM
CM
=
=
m ，
故
2
2
1
1
225
BN
BM
M N
=
−
=
，
设
m
AB
x
=
，
∴
2
2
2
2
2
1
1
1
AM
M N
AN
AB
BM
=
+
=
−
，
∴
(
)
2
2
2
2
300
225
375
x
x
+
−
=
−
，
∴
625
AB
x
=
=
m ，
故5000
8
625 =
，
故答案为：8．
3．（25-26 八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l 上有两个快递投放点B，C．快递投
放点C 的正北方向3km处有一小区A，小区A 到快递投放点B 的距离为5km．
(1)求快递投放点B，C 之间的距离；
(2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l 上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D
到小区A 与快递投放点B 的距离相等，求自提柜D 与快递投放点B 之间的距离．
【答案】(1)4km
(2) 25
8 km
【难度】0.9
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【知识点】用勾股定理解三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可．
【详解】（1）解：∵
90
ACB
=
，
3
AC
km
=
，
5
AB
km
=
，
∴
2
2
2
2
5
3
4
BC
AB
AC
km
=
−
=
−
=
，
∴快递投放点B，C 之间的距离为4km；
（2）解：设AD
BD
xkm
=
=
，
∴
(
)
4
CD
x km
=
−
，
在Rt ACD
中，
2
2
2
AC
CD
AD
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
3
4
x
x
+
−
=
，
则有
2
2
9
16
8x
x
x
+
−
+
=
，解得
25
8
x =
，
∴自提柜D 与快递投放点B 之间的距离为25
8 km．
4．（21-22 八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上A、B 两站相距8km ，C 、D 为两个村庄，
AC
AB
⊥
，BD
AB
⊥
，垂足分别为A、B ，已知
2km
AC =
，
4km
BD =
，现在要在铁路AB 上修建一个
中转站P ，使得P 到C 、D 两村的距离和最短．请在图中画出P 点的位置，并求出PC
PD
+
的最小值．
【答案】图见解析，PC
PD
+
的最小值为10km．
【难度】0.85
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了作图−应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称−最短路线问题．作C 点关于AB
的对称点C，连接C D
与AB 的交点就是P 点，点P 即为中转站的位置；然后根据勾股定理即可得
PC
PD
+
的最小值．
【详解】解：如图，作C 点关于AB 的对称点C，连接C D
与AB 的交点就是P 点，
点P 即为中转站的位置；
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过C作C E
DB
⊥
的延长线于点E ，
则
2km
BE
AC
AC
=
=
=
，
8km
C E
AB
=
=
，
6km
DE
BD
BE
=
+
=
，
在Rt DEC
中，根据勾股定理，得
2
2
2
2
2
6
8
100
C D
DE
C E =
+
=
=
+
，
10km
C D
=
，
PC
PD
+
的最小值为10km．
5．（25-26 八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距12km 的快递投放点B 、
C ，快递投放点C 的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B 的距离为13km ．
(1)求小区A到快递投放点C 的距离．
(2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点D ，新的投放点D 到小区A与快递投放点B
的距离相等，求快递投放点B 、D 之间的距离．
【答案】(1)5km
(2)169
24 km
【难度】0.62
【知识点】用勾股定理解三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）设
(
)
km
AD
BD
x
=
=
，则
(
)
12
km
CD
x
=
−
，根据勾股定理列方程求解即可.
【详解】（1）解：∵小区A 在快递投放点C 的正北方向，
∴
90
ACB
=
，
∴
13km
AB =
，
12km
BC =
，
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∴
(
)
2
2
2
2
13
12
5 km
AC
AB
BC
=
−
=
−
=
，
∴小区A 到快递投放点C 的距离为5km ；
（2）解：设
(
)
km
AD
BD
x
=
=
，
∴
(
)
12
km
CD
x
=
−
，
∵
2
2
2
AD
AC
CD
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
5
12
x
x
=
+
−
，
∴
169
24
x =
，
∴快递投放点B，D 之间的距离为169 km
24
．
6．（25-26 八年级下·全国·单元测试）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为
“几何学的基石”．
在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角
三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理；
图2 为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜
边为c）和直角边为c 的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理．
(1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
．
(2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______；
A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
【知识应用】
(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决
定在河边新建一个取水点H（A，H，B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，现测得
1
CA = 千米，
2.1
=
AB
千米，
1.7
BC =
千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路CH 的长．
【答案】(1)见解析
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(2)D
(3)新修路CH 的长为0.8 千米
【难度】0.55
【知识点】勾股定理的证明方法、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】（1）在图1 中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出
式子后化简即可证明；在图2 中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明．
（2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答；
（3）当CH
AB
⊥
时，CH 最小，能最大限度节省铺路的费用．设AH
x
=
千米，则
2.1
BH
AB
AH
x
=
−
=
−（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答．
【详解】（1）解：根据赵爽弦图进行证明：
∵
4
S
S
S
=
+
小正方形
大正方形
三角形
，
∴
(
)
2
2
1
4
2
c
ab
b
a
=
+
−
，
∴
2
2
2
c
a
b
=
+
；
根据“总统证法”进行证明：
∵
Rt
Rt
Rt
ADE
CDE
BCE
ABCD
S
S
S
S
=
+
+
梯形
，
∴(
)(
)
2
1
1
1
1
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
c
ab
+
+
=
+
+
，
∴
2
2
2
2
2
a
ab
b
c
ab
+
+
=
+
，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
；
（2）解：勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想．
故选：D；
（3）解：当CH
AB
⊥
时，CH 最小，能最大限度节省铺路的费用．
设AH
x
=
千米，则
2.1
BH
AB
AH
x
=
−
=
−（千米）
∵CH
AB
⊥
，
∴在Rt ACH
中，
2
2
2
2
2
1
CH
AC
AH
x
=
−
=
−
，
在Rt
BCH
△
中，
(
)
2
2
2
2
2
1.7
2.1
CH
BC
BH
x
=
−
=
−
−
，
∴
(
)
2
2
2
2
1
1.7
2.1
x
x
−
=
−
−
，
解得
0.6
x =
，
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∴
0.6
AH =
千米，
∴
2
2
2
2
1
0.6
0.8
CH
AC
AH
=
−
=
−
=
（千米）．
答：新修路CH 的长为0.8 千米．
7．（25-26 八年级上·山西吕梁·阶段检测）项目化学习
项目主题：办公区绿化规划．
项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为
2
400m
的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化．
设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知
12m
AB =
，
9m
BC =
，
8
=
CD
m，
17m
AD =
，
90
ABC
=
．
问题解决：
(1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道AC ，则这条直道AC 的长度为
________m；
(2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的30%，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要
求．
【答案】(1)15
(2)设计方案不符合规划要求
【难度】0.72
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】（1）利用勾股定理解答即可；
（2）利用勾股定理逆定理可得
90
ACD
=
，可求出绿化区的面积，即可求解．
【详解】（1）解：因为
12m
AB =
，
9m
BC =
，
90
ABC
=
，
所以
2
2
15m
AC
AB
BC
+
=
=
．
答：这条直道AC 的长度为15m．
（2）解：因为
15m
AC =
，
8
=
CD
m，
17m
AD =
，
所以
2
2
2
2
2
8
15
289
CD
AC
AD
+
=
+
=
=
．
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所以
=90
ACD
．
所以绿化区的面积为
(
)
2
1
1
1
1
9 12
15 8
114 m
2
2
2
2
+
=
+
=
+
=
△
△
ABC
ACD
S
S
AB BC
AC CD
．
(
)
2
400 30%
120 m
=
．
因为114 120
，
所以设计方案不符合规划要求．
8．（25-26 八年级下·广东广州·阶段检测）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画
出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题：
(1)如图1，铁路上A、B 两点（看作直线上的两点）相距40 千米，C 、D 为两个村庄（看作两个点），
AD
AB
⊥
，BC
AB
⊥
，垂足分别为A、B ，
24
AD =
千米，
16
BC =
千米，求两个村庄的距离；
(2)在（1）的条件下，要在AB 上建造一个供应站P ，使得PC
PD
=
，求AP 的距离；
(3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中
0
x
）
①代数式
(
)
2
2
9
16
81
x
x
+
+
−
+
（0
16
x
）的最小值为_____．
②代数式(
)
2
2
4
16
1
x
x
+
+
−
+ 的最大值为_____．
【答案】(1)8 26 千米
(2)16千米
(3)①20 ；②5
【难度】0.5
【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理构造图形解决问题、求最短路径(勾股定理的应用)、选址
使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】（1）连接CD，过点C 作CE
AD
⊥
交于点E ，由题意根据勾股定理求出CD的长即可；
（2）连接CD，作CD的垂直平分线交AB 于点P ，则点P 即为所求，设AP
x
=
千米，则
(
)
40
BP
x
=
−
千
米，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）①参考（1）的几何模型，构造AD
AB
⊥
，BC
AB
⊥
，垂足分别为A、B ，其中
9
AD =
，
16
AB =
，
3
BC = ，PB
x
=
，
16
AP
x
=
−
，作点C 关于AB 的对称点F ，连接DF ，交AB 于点P ，连接
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PC ，BF ，过点F 作FE
DA
⊥
的延长线，交于点E ，根据勾股定理求出
(
)
2
2
9
16
81
PC
PD
x
x
+
=
+
+
−
+
，得出点D 、P 、F 三点共线时，DF 的长就是代数式
(
)
2
2
9
16
81
x
x
+
+
−
+
的最小值，借助勾股定理求出DF 的长即可求解；
②构造Rt
ABC
△
与Rt
ADE
△
，其中
4
CD
BC
=
=
，AD
x
=
，
1
DE = ，且
4
AC
AD
CD
x
=
+
=
+
，过点E
作EF
BC
⊥
交于点F ，连接BE，根据勾股定理得出
(
)
2
2
4
16
1
AB
AE
x
x
−
=
+
+
−
+ ，借助三角形的三
边关系得出当点A、E 、B 三点共线时，BE的长就是代数式(
)
2
2
4
16
1
x
x
+
+
−
+ 的最大值，借助勾股
定理求出BE的长即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接CD，过点C 作CE
AD
⊥
交于点E ，
则四边形ABCE是矩形，
故
40
CE
AB
=
=
千米，
24 16
8
DE
AD
AE
AD
BC
=
−
=
−
=
−
=
（千米），
在Rt
CDE
△
中，
2
2
2
2
8
40
8 26
CD
DE
CE
=
+
=
+
=
（千米）．
（2）解：由题意可知，点P 在CD的垂直平分线上，如图，连接CD，作CD的垂直平分线交AB 于点
P ，则点P 即为所求，
设AP
x
=
千米，则
(
)
40
BP
x
=
−
千米，
在Rt ADP
中，
2
2
2
2
2
24
DP
AP
AD
x
=
+
=
+
，
在Rt
BPC
△
中，
(
)
2
2
2
2
2
40
16
PC
BP
BC
x
=
+
=
−
+
，
∵PC
PD
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
24
40
16
x
x
+
=
−
+
，
解得
16
x =
，
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即AP 的距离为16千米．
（3）解：①如图，AD
AB
⊥
，BC
AB
⊥
，垂足分别为A、B ，其中
9
AD =
，
16
AB =
，
3
BC = ，
PB
x
=
，
16
AP
x
=
−
，
作点C 关于AB 的对称点F ，连接DF ，交AB 于点P ，连接PC ，BF ，过点F 作FE
DA
⊥
的延长线，交
于点E ，
则四边形AEFB是矩形，
3
BC
BF
=
=
，
3
AE
BF
=
=
；
∵点C 、点F 关于AB 对称，
故AB 是CF 的垂直平分线，
∴PF
PC
=
，
在Rt
PBC
△
中，
2
2
2
9
PB
BC
x
PC
+
=
=
+
，
在Rt ADP
中，
(
)
(
)
2
2
2
2
16
81
16
81
PD
AD
AP
x
x
=
+
=
−
+
=
−
+
，
则
(
)
2
2
9
16
81
PC
PD
PF
PD
x
x
+
=
+
=
+
+
−
+
；
故求代数式
(
)
2
2
9
16
81
x
x
+
+
−
+
的最小值，即为求PC
PD
+
的最小值．
当点D、P 、F 三点共线时，PC
PD
+
的值最小，最小值为DF 的长；
即此时DF 的长就是代数式
(
)
2
2
9
16
81
x
x
+
+
−
+
的最小值．
在Rt
DEF
△
中，
9 3 12
DE
DA
AE
=
+
= + =
，
16
EF
AB
=
=
，
故
2
2
2
2
12
16
20
DF
DE
EF
=
+
=
+
=
，
故代数式
(
)
2
2
9
16
81
x
x
+
+
−
+
的最小值为20 ．
②如图，作Rt
ABC
△
与Rt
ADE
△
，其中
4
CD
BC
=
=
，AD
x
=
，
1
DE = ，且
4
AC
AD
CD
x
=
+
=
+
，
过点E 作EF
BC
⊥
交于点F ，连接BE，
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则四边形EDCF 是矩形，
4
EF
CD
=
=
，
1
DE
CF
=
= ，
4 1
3
BF
BC
FC
=
−
=
−=
；
在Rt
ABC
△
中，
(
)
2
2
2
4
16
AB
AC
BC
x
=
+
=
+
+
，
在Rt
ADE
△
中，
2
2
2
1
AE
AD
DE
x
=
+
=
+ ，
则
(
)
2
2
4
16
1
AB
AE
x
x
−
=
+
+
−
+ ；
故求代数式(
)
2
2
4
16
1
x
x
+
+
−
+ 的最大值，即为求AB
AE
−
的最大值．
在ABE
中，AB
AE
BE
−
；
如图，当点A、E 、B 三点共线时，AB
AE
−
的值最大，最大值为BE的长；
即此时BE的长就是代数式(
)
2
2
4
16
1
x
x
+
+
−
+ 的最大值．
在Rt BEF
中，
2
2
2
2
4
3
5
BE
EF
BF
=
+
=
+
=
，
故代数式(
)
2
2
4
16
1
x
x
+
+
−
+ 的最大值为5．
【点睛】解题的关键是根据代数式的几何意义，构造直角三角形，将代数为转换为几何求最值问题，借
助将军饮马几何模型和三角形三边关系进行求解．
重难点十一、求最短路径(勾股定理的应用)
立体图形最短路径使用展开法，将立体侧面展开为平面，两点之间线段最
短。在展开图中构造直角三角形，直角边长为立体的长、宽、高等数据，利用勾股算出线
段长度，多展开方案时对比选出最小值。
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1．（25-26 八年级下·四川绵阳·期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB 为12cm，BC 是直径，
一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱的表面爬行到点C 的最短路程为（ ）
A．17cm
B．13cm
C．12cm
D．2 61cm
【答案】B
【难度】0.86
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、几何体展开图的认识
【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解．
【详解】解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为10cm，
则
1
10
5cm
2
AD =
=
．
由题意得，
12cm
CD
AB
=
=
，
所以
2
2
12
5
13cm
AC =
+
=
．
故蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点C 的最短路程是13cm ．
2．（25-26 八年级下·广东惠州·期中）如图，一个圆柱的高是12cm，底面圆的周长是18cm，一只蚂蚁想
从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上底面的点B 处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是（ ）
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A．9cm
B．15cm
C．6 13 cm
D．6 5 cm
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线段最短可知AB 的长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股
定理求解即可．
【详解】圆柱的展开图如图：
根据题意：
12cm
BC =
，
1 18
9cm
2
AC =
=
，
90
ACB
=
，
(
)
2
2
2
2
9
12
15 cm
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
，
即蚂蚁需要爬行的最短路程是15cm．
3．（25-26 八年级下·广东广州·期中）如图，一只蚂蚁沿棱长为1 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B，则
它走过的最短路程为（ ）
A．3
B．1
2
+
C．3
D．5
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】将正方体沿着它的一条棱展开，由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段AB
的长，据此利用勾股定理求出AB 的长即可得到答案．
【详解】解：将正方体展开，连接A、B，
由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段AB 的长，
由题意得，在Rt
ABC
△
中，
2
90
AC
BC
ACB
=
=
=
，
，∠
，
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∴
2
2
5
AB
AC
BC
=
+
=
，
∴蚂蚁走过的最短路程为5 ．
4．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为
12cm，点A 位于盒外底面的边缘，如果在A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B 处的食物，那
么蚂蚁需要爬行的最短路程是（ ）
A．13cm
B．61cm
C．8cm
D．2 34cm
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】最短路径问题、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】将圆柱侧面展开，构建直角三角形，确定两直角边的长度，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：将圆柱侧面沿过点A的母线展开，如图所示：
∵圆柱底面周长为12cm，高为10cm，点B 为对侧中点，
∴在展开图中，点A到点B 的水平距离为底面周长的一半，即
(
)
1 12
6
2
cm
=
， 点B 到底面的垂直距离为
高的一半，即
(
)
1 10
5
2
cm
=
，
∴由勾股定理，得蚂蚁爬行的最短路程为
2
2
6
5
36
25
61(cm)
+
=
+
=
．
5．（25-26 八年级下·广东江门·期末）公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以2cm/s的速度从点
A爬到点B ，最快需要多长时间（ ）
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A．57 s
B．50 s
C．47 s
D．40 s
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】分两种情况：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时，②当沿长方体的正面
和右面（或后面和左面）进行展开时，利用勾股定理求出最短路径，进而可求出最快爬行的时间．
【详解】解：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时：
(
)
(
)
2
2
30
80
30
10 130 cm
AB =
+
+
=
蚂蚁以2cm/s的速度从点A爬到点B 需要
( )
10 130
2
5 130 s
=
；
②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时：
(
)
(
)
2
2
30
30
80
100 cm
AB =
+
+
=
，
蚂蚁以2cm/s的速度从点A爬到点B 需要
( )
100
2
50 s
=
；
∵5 130
50
，
∴最快需要50 s．
6．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心．如图所示，
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在底面周长为1.5m，高为6m的柱子上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D
点，则雕刻在柱子上的巨龙长至少为（ ）
A．4.5 米
B．7.5米
C．12.5米
D．15米
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、几何体展开图的认识
【分析】将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即
可得到答案．
【详解】解：如图，
根据题意可得，柱身高为6 米，底面周长为1.5米，
∵有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D 点，
∴
1.5
CG
BF
AE
=
=
=
，
1
1 6
2
3
3
CD
BC
AB
AD
=
=
=
=
=
，CG
AD
⊥
，BF
AD
⊥
，AE
AD
⊥
，
BE
CF
DG
=
=
，
∴
2
2
2
2
2
1.5
2.5
DG
CF
BE
AB
AE
=
=
=
+
=
+
=
，
∴
2.5 3
7.5
DG
CF
BE
+
+
=
=
（米），
∴雕刻在柱子上的巨龙长至少为7.5米．
7．（22-23 八年级下·河南郑州·开学考试）如图，长方形操场ABCD的长AD为80m ，宽AB 为60m，小
明站在A 处，足球落在C 处，小明要想捡到足球，他最少应跑_________．
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【答案】100m
【难度】0.85
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】根据长方形的性质，勾股定理求解即可．
【详解】解：长方形操场ABCD的长AD为80m，宽AB 为60m，
90
ABC
=
，
80m
BC
AD
=
=
，
(
)
2
2
100 m
AC
AB
BC
=
+
=
．
8．（2026·四川成都·三模）一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A
处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B 处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm．
【答案】34
【难度】0.54
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】 将圆柱侧面展开为矩形，蚂蚁爬行的最短路径即为矩形的对角线长度，利用勾股定理求解即
可．
【详解】解：圆柱形饮料罐底面周长为5cm ，高为3cm ，
将圆柱侧面展开得到一个矩形，该矩形的长为5cm ，宽为3cm ，
由勾股定理得，蚂蚁爬行的最短路径长度为
2
2
5
3
25
9
34cm
+
=
+
=
．
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9．（25-26 八年级下·广东阳江·期末）如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长
4
AB =
米，宽
1
BC = 米，高
2
BB=
米．工作人员要从箱底的A点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的C点，用来输
送冷气．则这根软管的最短长度是________米．
【答案】5
【难度】0.4
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】根据三种平面展开图，利用勾股定理计算AC的长度，再比较即可求解．
【详解】解：情况一：
4 1
5
AC
AB
BC
=
+
=
+ =
米，
2
CC
BB
=
=
米，
2
2
2
2
5
2
29
AC
AC
CC
=
+
=
+
=
米；
情况二：
4
2
6
AB
AB
BB
=
+
=
+
= 米，
1
B C
BC
=
= 米，
2
2
2
2
6
1
37
AC
AB
B C
=
+
=
+
=
米；
情况三：
1 2
3
BC
BC
CC
=
+
= +
= 米，
4
AB =
米，
2
2
2
2
4
3
25
5
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
=
米；
5
29
37
，
这根软管的最短长度是5米．
10．（25-26 八年级上·江西赣州·阶段检测）【探究】
（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a ，b ，c ．
90
A
D
=
=
，点A，B ，D
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在一条直线上．请利用图1证明勾股定理．
【运用】
（2）如图2，铁路上A，B 两点（看作直线上的两点）相距30千米，C ，D 为两个村庄（看作两个
点），AD
AB
⊥
，BC
AB
⊥
，垂足分别为A，B ，
18
AD =
千米，
12
BC =
千米，要在AB 上建造一个供应
站P ，使得PC
PD
=
，求AP 的距离．
【拓展】
（3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式
(
)
2
2
4
12
9
x
x
+
+
−
+
的最小值（0
12
x
）．
【答案】（1）见解析；（2）
12
AP =
千米；（3）13
【难度】0.4
【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形、求最短路径(勾股定理的应用)、选址使到两地距
离相等(勾股定理的应用)
【分析】（1）通过表示四边形ACED的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推
导勾股定理．
（2）设AP 长度为未知数，利用PC
PD
=
结合勾股定理列方程求解．
（3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值．
【详解】解：（1）∵四边形ACED是梯形，
90
A
D
=
=
，
∴
(
)(
)
(
)
2
1
2
ACED
S
a
b
a
b
a
b
=
+
+
=
+
四边形
．
又∵
2
2
1
1
1
2
2
2
2
ABC
CBE
EDB
ACED
S
S
S
S
ab
c
ab
c
=
+
+
=
+
=
+
四边形
，
∴
2
2
1
1
(
)
2
2
a
b
ab
c
+
=
+
，
展开得(
)
2
2
2
1
1
2
2
2
a
ab
b
ab
c
+
+
=
+
，
化简得
2
2
2
a
b
c
+
=
．
（2）设AP
x
=
千米，则
(
)
30
BP
x
=
−
千米．
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∵PC
PD
=
，AD
AB
⊥
，BC
AB
⊥
，
∴
2
2
2
2
AD
AP
BC
BP
+
=
+
，
即
2
2
2
2
18
12
(30
)
x
x
+
=
+
−
，
展开得
2
2
324
144
900
60
x
x
x
+
=
+
−
+
，
化简得60
720
x =
，
∴
12
x =
，即
12
AP =
千米．
（3）构造几何模型：设
12
AB =
，点P 在AB 上，AP
x
=
，
12
PB
x
=
−，作AD
AB
⊥
且
2
AD =
，
BC
AB
⊥
且
3
BC = ，则代数式
2
2
4
(12
)
9
x
x
PD
PC
+
+
−
+
=
+
．
作点C 关于AB 的对称点F ，连接DF 交AB 于点P ，过F 作FE
AD
⊥
于E ，则PC
PF
=
，
∴PD
PC
PD
PF
DF
+
=
+
，
∴DF 的长为PD
PC
+
的最小值．
在Rt DEF
中，
5
DE
AD
AE
=
+
= ，
12
EF
AB
=
=
，
∴
2
2
(2
3)
12
25 144
169
13
DF =
+
+
=
+
=
=
，
∴代数式
(
)
2
2
4
12
9
x
x
+
+
−
+
的最小值为13．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明与应用、轴对称- 最短路径问题，熟练掌握勾股定理的推导方
法、利用几何模型转化代数问题是解题的关键．
11．（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）如图，点A、B 是位于笔直河道CD两侧的两个工厂，工厂A到河
道的距离AC 为6km，工厂B 到河道的距离BD为3km ，BF 是垂直于AC 的地下管道，且BF 交AC 的延
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长线于点F ，经测量，
12km
BF =
，现准备在河边某处修一个污水处理厂E ，为使点E 到工厂A、B 之间
的距离之和最小，点E 需在线段AB 上，求此时点E 到工厂A和工厂B 的距离之和AE
BE
+
．（污水处理
厂、工厂的大小和河道、地下管道的宽度均忽略不计）
【答案】15km
【难度】0.4
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】连接AB 交CD于点E ，依题意，
6 3
9
AF
AC
CF
=
+
=
+ =
，
12
BF =
，在Rt ABF
中，根据勾股
定理即可求解．
【详解】解：如图，连接AB 交CD于点E ，
依题意，
6 3
9
AF
AC
CF
=
+
=
+ =
，
12
BF =
在Rt ABF
中，
2
2
2
2
9
12
15
AB
AF
FB
=
+
=
+
=
，即AE
BE
+
为15km．
12．（25-26 八年级下·广东·期末）综合与实践
【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的π 取3）
素材1 如图1，圆柱形纸盒的高AC 为12 厘米，底面直径BC 为6 厘米，在圆柱下底圆周上的A 点有一
只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A 点对应的B 点处的食物．
素材2 如图3 所示的实践活动器材包括：底面直径为6 厘米，高为10 厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线
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（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两
种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）：
圆柱高度
沿路线一路程x
沿路线二路程y
比较x 与y 的大小
5
11
10.3
x
y
4
10
9.85
x
y
3
a
9.49
b
(1)若蚂蚁沿图1 中的折线A→C→B 爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是12 6
18
+ =
厘米．将圆
柱沿着AC 将侧面展开得到图2，请在图2 中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最
短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空）
(2)填空：表格中a 的值是________；表格中b 表示的大小关系是_________；
(3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r 不变的情况下，当圆柱半径为r
与圆柱的高度h 存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？
【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图
15；二；
(2)9，x
y
(3)
4
5
r
h
=
【难度】0.45
【知识点】两点之间线段最短、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可；
（2）利用圆柱形木块的高为3，底面半径为6，即可得出沿A
C
B
→
→
爬行的路程长并比较大小；
（3）构造方程
(
)
2
2
2
3
h
r
h
r
+
=
+
即可得到结论．
【详解】（1）解：展开后，半圆长为1
1
3 6
9
2
2
d
=
= ，
此时最短路程是
2
2
12
9
15
+
=
厘米，
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∵15
18
比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二，
（2）解：
3 6
9
a = +
= ，
∵9
9.49
，
∴表格中b 表示的大小关系是x
y
；
（3）解：根据题意可得
(
)
2
2
2
3
h
r
h
r
+
=
+
，
即
2
2
2
2
4
4
9
h
hr
r
h
r
+
+
=
+
，
∴
4
5
r
h
=
，
故当
4
5
r
h
=
时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等．
重难点十二、勾股定理逆定理的实际应用
先测量或计算三角形三边长度，分别求出三边平方。验证较小两边平方之和
是否等于最大边平方，满足则为直角三角形。常用于判断垂直结构，实操中先确定最长
边，再进行平方和验算。
1．（25-26 八年级上·广东佛山·期末）学校花园有一个不规则的池塘，A，B 两点分别位于池塘的两端，
利用现有皮尺无法直接测量A，B 间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如
下：
实践任务
测量池塘两端A，B 间的距离
测量工具
皮尺
测量方案及测量数据
如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段
AB 延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使
9m
BC =
；
第二步：在AC 的一侧选点D，使点D 能直接到达A，B，C 三
点，测得
12m
BD =
，
15m
CD =
，
20m
AD =
．
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问题解决：
(1)试判断BCD
的形状，并说明理由；
(2)求池塘两端A，B 之间的距离．
【答案】(1) BCD
是直角三角形，理由见解析
(2)池塘两端A，B 之间的距离为16m
【难度】0.81
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】（1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可；
（2）利用勾股定理进行求解即可.
【详解】（1）解：BCD
是直角三角形，理由如下：
∵
9m
BC =
，
12m
BD =
，
15m
CD =
，
∴
2
2
2
2
81 144
225
15
BC
BD
CD
+
=
+
=
=
=
，
∴BCD
是直角三角形；
（2）解：由（1）知：BCD
是直角三角形，且
90
DBC
=
，
∴
180
90
ABD
DBC
=
−
=
，
∵
12m
BD =
，
20m
AD =
，
∴
2
2
16m
AB
AD
BD
=
−
=
；
答：池塘两端A，B 之间的距离为16m．
2．（25-26 八年级下·河南洛阳·期中）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四
边形ABCD空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，
6
AD =
米，
8
AB =
米，
24
BC =
米，
26
CD =
米，
90
A
=
．
(1)为方便分区管理，学校计划在B 、D 两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆．
(2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持．
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【答案】(1)至少需要10米的篱笆
(2)这块劳动实践基地的总面积为144平方米
【难度】0.85
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】（1）在Rt ABD
中利用勾股定理求BD即可；
（2）先由勾股定理逆定理证明BCD
是直角三角形，即可以BD为底，BC 为高计算BCD
面积，再计算
ABD
面积，最后把两个面积相加即为总面积．
【详解】（1）解：如图，连接BD，
在Rt ABD
中，
90
A
=
，
∵
6
AD =
，
8
AB =
，
∴
2
2
2
2
6
8
10
BD
AD
AB
=
+
=
+
=
；
答：至少需要10 米的篱笆；
（2）解：∵
10
BD =
，
24
BC =
，
26
CD =
，
2
2
2
2
10
24
676
BD
BC
+
=
+
=
，
2
2
26
676
CD =
=
，
∴
2
2
2
BD
BC
CD
+
=
，
∴BCD
是直角三角形，
90
CBD
=
，
∴
1
1 10 24
120
2
2
BCD
S
BD BC
=
=
=
△
，
∵
1
1
6 8
24
2
2
ABD
S
AB AD
=
=
=
△
，
∴
24 120
144
ABD
BCD
ABCD
S
S
S
=
+
=
+
=
△
△
四边形
．
答：这块劳动实践基地的总面积为144平方米．
3．（25-26 八年级下·广西南宁·期中）图1 是某品牌手推车，图2 为其简化结构示意图．现测得
8dm
AB =
，
9dm
BC =
，
12dm
CD =
，
17dm
AD =
，其中AB 与BD之间由一个固定为90的零件连接（即
90
ABD
=
）
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(1)求线段BD的长度；
(2)安全标准规定：需满足BC
CD
⊥
，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由．
【答案】(1)线段BD的长度为15dm
(2)
解：该车符合安全标准，
理由：∵
9dm
BC =
，
15dm
BD =
，
12dm
CD =
，
∴
2
2
2
2
9
12
225
BC
CD
+
=
+
=
，
∵
2
2
2
2
15
225
BD
BC
CD
=
=
=
+
，
∴BC
CD
⊥
，
即该车符合安全标准．
【难度】0.88
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】通过勾股定理求出BD的长度，再利用勾股定理的逆定理判断BC 与CD是否垂直即可．
【详解】（1）解：∵
90
ABD
=
，
8dm
AB =
，
17dm
AD =
，
∴在Rt ABD
中，
(
)
2
2
15 dm
BD
AD
AB
=
−
=
．
（2）略
4．（25-26 八年级下·贵州黔南·期末）剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支
流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观
景打卡点B，C．已知BA
BC
=
，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D 三点在同一
直线上），并修建一条观光小路AD，测得
1.5 km
AC =
，
0.9 km
DC =
，
1.2 km
AD =
．
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(1)判断ACD
的形状，并说明理由；
(2)求原路线AB 的长．
【答案】(1)解：ACD
为直角三角形，理由如下：
1.5
AC =
，
0.9
DC =
，
1.2
AD =
，
2
2
2
2
1.2
0.9
2.25
AD
DC
+
=
+
=
，
2
2
1.5
2.25
AC =
=
，
2
2
2
AD
DC
AC
+
=
，
ACD
为直角三角形．
(2)原路线AB 的长为1.25 km
【难度】0.65
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）设
km
BD
x
=
，则
(
)
0 9 km
BA
BC
x
=
=
+ ．
，再利用勾股定理求解即可.
【详解】（1）略
（2）解：设
km
BD
x
=
，则
(
)
0 9 km
BA
BC
x
=
=
+ ．
，
由（1）知ACD
为直角三角形，
AD
BC
⊥
，
ABD
△
为直角三角形，
2
2
2
AD
BD
AB
+
=
，
即
(
)
2
2
2
1.2
0.9
x
x
+
=
+
，
解得
0.35
x =
，
(
)
0.35
0.9
1.25 km
AB
=
+
=
，
原路线AB 的长为1.25 km ．
5．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）图1 是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆AB 作为
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支撑，在点A 处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2 所示，其中
12
5
AB =
米，
9
5
BC =
米，
3
AC = 米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）．
(1)通过计算判断此时AB 是否与BC 垂直；
(2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A 处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D 在
BC 的延长线上）．若
4
AD =
米，求CD的长度．
【答案】(1)解：在ABC
中，
12
5
AB =
，
9
5
BC =
，
2
144
25
AB =
，
2
81
25
BC =
，
2
9
AC =
，
∴
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
，
∴ABC
是直角三角形，
90
B
=
，
∴AB
BC
⊥
；
(2) 7
5
【难度】0.62
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可；
（2）在Rt ABD
中，根据勾股定理可得
2
2
16
5
BD
AD
AB
=
−
=
，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：在Rt ABD
中，
4
AD =
，
12
5
AB =
根据勾股定理得
2
2
16
5
BD
AD
AB
=
−
=
，
∴
7
5
CD
BD
BC
=
−
=
（米），
即CD的长度为7
5 米．
6．（25-26 八年级下·吉林松原·期末）综合与实践
学校花园有一个不规则的池塘，A，B 两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B 间的
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距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下：
实践任务
测量池塘两端A，B 间的距离
测量工具
皮尺
测量方案
及测量数
据
如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段AB 延长线的方向，在池塘边
的空地上选点C ，使
9 m
BC =
；第二步：在AC 的一侧选点D ，使点D 能直接到达A，
B ，C 三点，测得
12 m
BD =
，
15m
CD =
，
20m
AD =
．
问题解决：
(1)试判断BCD
的形状，并说明理由；
(2)求池塘两端A，B 之间的距离．
【答案】(1)解：BCD
是直角三角形，理由如下：
在BCD
中，
9 m
BC =
，
12 m
BD =
，
15 m
CD =
，
2
2
2
2
9
12
81 144
225
BC
BD
+
=
+
=
+
=
，
2
225
CD =
，
2
2
2
BC
BD
CD
+
=
，
BCD
是直角三角形；
(2)池塘两端A，B 之间的距离为16 m
【难度】0.62
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可；
（2）根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）略；
（2）解：
BCD
是直角三角形，点A，B ，C 在同一直线上，
90
DBA
DBC
=
=
，
(
)
2
2
2
2
20
12
16 m
AB
AD
BD
=
−
=
−
=
，
即池塘两端A，B 之间的距离为16 m ．
7．（25-26 八年级下·全国·期末）如图，某乡村有一块三角形空地ABC ，计划将这块三角形空地分割成
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四边形ABDE 和
EDC
△
，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，
90
EDC
=
，
30
DC =
米，
50
CE =
米，
70
BD =
米，
80
AB =
米，
10
AE =
米，求四边形ABDE 的面积．
【答案】四边形ABDE 的面积为1800 平方米
【难度】0.4
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】连接BE，利用勾股定理求得
40
DE =
，
2
6500
BE =
，再利用勾股定理的逆定理求得ABE
是直角
三角形，然后根据
ABE
BDE
ABDE
S
S
S
=
+
四边形
求解即可．
【详解】解：连接BE，
在Rt
DCE
△
中，由勾股定理得，
2
2
2
2
50
30
40
DE
CE
CD
=
−
=
−
=
（米），
在Rt
BDE
△
中，由勾股定理得，
2
2
2
2
2
70
40
6500
BE
BD
DE
=
+
=
+
=
，
在ABE
中，
2
2
2
2
2
80
10
6500
AB
AE
BE
+
=
+
=
=
，
ABE
是直角三角形，且
90
A
=
，
1
1
80 10
70 40
1800
2
2
ABE
BDE
ABDE
S
S
S
=
+
=
+
=
△
△
四边形
（平方米）．
8．（25-26 八年级上·广西贵港·期末）综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征
集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下：
如图，
9m
AB =
，
12m
BC =
，
17m
CD =
，
8m
AD =
，在CD 上选取两点E，F 为浇灌点，从水源点G 处
铺设管道引水．
冬冬设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G 处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G 作CD 的垂线，垂足为H，先从水源点G 处铺设管道到点H 处，再从点H 处分别向浇灌
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点E，F 铺设管道．
社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两
点之间的距离为15m，就可以快速确定
ABC
的度数．
(1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离．
(2)若绿化地建造每平方米的费用为120 元，求建造绿化地的费用．
(3)若
90
EGF
=
，
10m
EF =
，
8m
EG =
，管道铺设费用为65 元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道
方案中，哪一种方案所需的费用最少．
【答案】(1)A，C
(2)13680
(3)铺设管道所需的最少费用为910 元．
【难度】0.45
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．
（1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答．
（2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证
90
DAC
=
，再计算
2
1
60m
2
DAC
S
AD AC
=
=
，
2
1
54m
2
ACB
S
AB BC
=
=
，最后相加，即可作答；
（3）根据勾股定理得到
(
)
6 m
FG =
，根据三角形的面积公式得到
24 m
5
HG =
，求得方案一：铺设管道所
花的费用(
)
6
8
65
910
=
+
=
（元），方案二：铺设管道所花的费用
24
10
65
962
5
=
+
=
（元），于是得
到结论．
【详解】（1）解：连接AC ，
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施工人员测量的是A，C 两点之间的距离，
∵
9m
AB =
，
12m
BC =
，
90
ABC
=
，
∴
2
2
2
2
2
9
12
225
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
即当测量A，C 两点之间的距离为15m，
∴满足勾股逆定理得
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
；
∴
90
ABC
=
，
故答案为：A，C；
（2）解：∵
2
2
2
2
8
15
289
AD
AC
+
=
+
=
，
2
2
17
289
DC =
=
，
∴
2
2
2
AD
AC
DC
+
=
，
∴
90
DAC
=
，
∴
(
)
2
1
1 8 15
60 m
2
2
DAC
S
AD AC
=
=
=
，
∴
(
)
2
1
1
9 12
54 m
2
2
ACB
S
AB BC
=
=
=
∴四边形ABCD的面积
(
)
2
60
54
114 m
=
+
=
，
∴建造绿化地的费用120 114
13680
=
（元）；
（3）解：∵
90
10m
8m
EGF
EF
EG
=
=
=
,
,
，
∴
(
)
2
2
2
2
10
8
6 m
FG
EF
EG
=
−
=
−
=
∵GH
EF
⊥
，
∴
1
2
1
2
EGF
S
EG FG
EF GH
=
=
，
∴
8 6
24 m
10
5
EG FG
HG
EF
=
=
=
∴求得方案一：铺设管道所花的费用(
)
6
8
65
910
=
+
=
（元），
方案二：铺设管道所花的费用
24
10
65
962
5
=
+
=
（元），
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∵962
910
∴铺设管道所需的最少费用为910 元．
