文档文本内容
1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 重难点专题 探索勾股定理 模块一、勾股定理的计算 重难点一、利用勾股定理解三角形 先判定直角，分清直角边 a、b 与斜边 c，牢记a2+b2=c2；已知两边直接代 入求第三边，只给一边设未知数列方程。遇等腰直角、30°直角三角形结合特殊边长比例 简化计算，最后验证斜边大于任意直角边，避免边长取值错误。 1．（2025-2026 学年度天津市津南区第二学期期末练习八年级数学）在直角三角形中，斜边长为17 ，一 条直角边长为8，则另一条直角边长是（ ） A．7 B．8 C．10 D．15 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ，CD AB ⊥ 于D，若 6 AC = ， 8 BC = ， 则CD = ______． 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 3．（25-26 八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形ABCD中， 90 DAB BCD = = ，分别以四边形 ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a ，b ，c ，d ．若 2 a = ， 12 b c + = ，则AD = ______． 4．（25-26 八年级下·四川达州·阶段检测）如图，在ABC 中， 90 C = ，点P 在边AC 上运动，点D 在 边AB 上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线，交BC 于点E，交BD于点F，连接DE ． (1)求 PDE 的度数． (2)若 6 AC = ， 8 BC = ， 4.5 BE = ，求线段PA的长． 重难点二、利用勾股定理求面积 直角三角形以三边向外作正方形，正方形面积满足两小面积和 = 大面积； 不规则图形分割成直角三角形，用勾股算出直角边再套面积公式。网格图形先数格子求直 角边长，再算面积，巧用面积等量代换简化运算。 1．（2026·浙江温州·三模）如图，在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ，以AB ，BC ，CA 为边向外作正 方形ABDE 、正方形BCFG 、正方形ACHM ，它们的面积分别记为 1S ， 2 S ， 3 S ， 点N 在直线BC 上，连接AN ，MN ．若 3 1 2 14 S S S + − = ，则ANM 的面积为（ ） 3 / 29 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B．3.5 C．5 D．7 2．（25-26 八年级下·湖北武汉·期中）如图，AD是ABC 的边BC 上的高．分别以线段AB ，AC ， BD，CD为边向外作正方形，正方形的面积分别为 1S ， 2 S ， 3 S ， 4 S ．则它们之间存在的关系是（ ） A． 1 2 3 4 S S S S + = + B． 1 4 2 3 S S S S + = + C． 1 3 2 4 S S S S + = + D． 1 3 4 2 S S S S + + = 3．（25-26 八年级下·湖北咸宁·期中）如图，在Rt ABC △ 中，分别以这个三角形的三边为边长向外作正 方形，面积分别记为 1 2 3 S S S ，， ，若 1 2 3 12 + − = S S S ，则图中阴影部分的面积为_____． 4．（25-26 七年级上·山东烟台·期中）如图，有一块四边形草地ABCD，其中 90 B D = = ， 15 AB m = ， 20 BC m = ， 7 CD m = ，求这块草地的面积． 4 / 29 学科网（北京）股份有限公司 重难点三、利用勾股定理求线段的平方和（差） 将线段放入直角三角形，用定理转化平方关系；多条线段平方和拆分到多个 直角三角形，统一代换直角边平方。求平方差时变形公式c2-a2=b2，不用开方，直接整体 代换数值，减少开方计算失误。 1．（25-26 八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知直角三角形的三条边分别为a ，b ，c 其中a 为斜边， ( ) 1 2 x a b c = + − ， ( ) 1 2 y a b c = −+ ，则 2 2 x y + 的值为（ ） A． 2 2 a b + B． 2 2 b c + C． 2 a bc + D． 2 a bc − 2．（25-26 八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形ABC 中，斜边 1 AB = ，则 2 2 AC BC + 的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26 八年级上·四川巴中·期中）如图，在ABC 中， 13 AB = ， 20 AC = ，AD BC ⊥ 于点D ，E 为 AD上任意一点，则 2 2 CD BD − 的结果为（ ） A．7 B．33 C．231 D．569 4．（25-26 八年级上·浙江杭州·期中）如图，在ABC 中，AC AD = ， 10 BD = ， 8 CD = ，记AB 长为 x ，AC 长为y ．当x ，y 的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） 5 / 29 学科网（北京）股份有限公司 A．x y + B．x y − C． 2 2 x y + D． 2 2 x y − 5．（25-26 八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形ABCD的对角线AC BD ， 交于点O，若 AC BD ⊥ ， 5 AB = ， 13 CD = ，则 2 2 BC AD + = ______． 重难点四、以弦图（构图）为背景的计算 弦图分内外两种，大正方形边长为斜边，小正方形边长 = 长直角边 - 短直 角边。设直角边为 x、y，联立大正方形面积、小正方形边长，列方程组求解，结合完全 平方公式快速算出 xy 或边长平方。 1．（25-26 八年级下·安徽亳州·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人 称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形ABCD，正方形EFGH ，正 方形MNKT 的面积分别为 1S ， 2 S ， 3 S ．若正方形EFGH 的边长为2 ，则 1 2 3 S S S + + 的值为（ ）． A．6 B．8 C．12 D．16 6 / 29 学科网（北京）股份有限公司 2．（25-26 八年级下·甘肃张掖·期中）如图，当秋千静止时，踏板B 离地的垂直高度 0.8m BE = ，将它往 前推3m 至C 处时（即水平距离 3m CD = ），踏板离地的垂直高度 2.6m CF = ，它的绳索始终拉直，则绳 索AC 的长是（ ） A．3.2m B．3.3m C．3.4m D．3.6m 3．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意 定制了一块边长为2.1m 的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高2m，宽0.9m ，泡沫板不可折叠、切割， 那么下面说法正确的是（ ） A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门 C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门 4．（24-25 八年级下·全国·阶段检测）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm， 内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，设这支铅笔在笔筒外面部分 ．．．．长度为x，则x 的取值范围是（ ） A．2cm 5cm x B．3cm 6cm x C．4cm 7cm x D．5cm 8cm x 5．（25-26 八年级下·湖北·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄 傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中 15 c = ， 3 b a − = ，则每个直角三角形的面积为_______． 7 / 29 学科网（北京）股份有限公司 6．（2026·江苏·一模）如图，在ABC 中， 90 ACB = ，将ABC 的一部分折叠，点C 落在边AB 上的点 E 处，折痕交BC 于点D，测得BDE 的周长为12， 4 BE = ，则边AC =__________． 模块二、勾股定理的证明 重难点一、勾股定理的证明方法 主流为面积法，核心是 “同一图形两种面积表达方式相等”。赵爽弦图、总 统证法、梯形证法均通过分割拼接，用整体面积 = 各部分面积和建立等式，消去中间项 后推导出a2+b2=c2，证明先画图标注边长再列式。 1．（25-26 八年级下·河南驻马店·阶段检测）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽 弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 8 / 29 学科网（北京）股份有限公司 2．（2026·甘肃武威·模拟预测）数形结合思想是解决数学问题的重要方法，在数学发展的过程中有不少 数学家用数形结合思想证明出了许许多多的定理及推论，下列能够证明平方差公式( )( ) 2 2 a b a b a b − + = − 的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26 八年级下·广西南宁·阶段检测）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解 形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直 角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的 面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明： 2 2 2 a b c + = ； (2)【结论运用】如图2，已知ABC 是直角三角形， 90 C = ．若 5 BC = ，AB 的长比AC 的长大1，求 AB 的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3 所示的三角形花圃ABC ，其中 13 AB = 米， 14 BC = 米， 15 AC = 米，计划在这块花圃中起一道栅栏AD，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏AD与三角形边BC 互相垂 9 / 29 学科网（北京）股份有限公司 直，预计栅栏每米的造价为50元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 4．（25-26 八年级下·重庆·期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆 公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直 角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为 2 c ，也可以表示为 ( ) 2 1 4 2 ab a b + − ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a， b，斜边长为c，则 2 2 2 a b c + = ． (1)如图②，直角ABC 中， 90 ACB = ， 3 AC cm = ， 4 BC cm = ，则斜边AB 上的高CD的长为______； (2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． (3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48， 6 OC = ，求该“勾股风车”图案的面积． 5．（25-26 八年级下·广西崇左·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以Rt ABC △ 三条边为边向外作正方形，其面积分别用 1 2 3 , , S S S 表示．请写 出 1 2 3 , , S S S 之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以Rt ABC △ 三条边为直径向外作半圆，其面积分别用 1 2 3 , , S S S 表示，请写 出 1 2 3 , , S S S 之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以Rt ABC △ 三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用 1 2 3 , , S S S 表示，则 1 2 3 , , S S S 之间满足的等量关系是 ． 10 / 29 学科网（北京）股份有限公司 (4)【拓展应用】如图④，在四边形ABCD中，AC BD ⊥ ，现以四边形ABCD的四条边为边向外作正方 形，其面积分别为 1 2 3 4 , , , S S S S ．请写出 1 2 3 4 , , , S S S S 之间满足的等量关系，并说明理由． 6．（25-26 八年级下·广东惠州·阶段检测）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸 作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助 他一起完成． (1)如图①是以Rt ABC △ 的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为 1S ， 2 S ， 3 S ，请写出 1S ， 2 S ， 3 S 之间的数量关系：________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得 20 AB AC + = ， 5 OC = ，求该 飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形ABCD，正方形 EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ， 2 S ， 3 S ．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边 长为c，则 2 2 2 c a b = + ．若 1 2 3 16 S S S + + = ，求 2 S 值． 重难点二、利用勾股定理证明线段平方关系 过线段端点作垂线构造直角三角形，把待证平方线段当作直角边或斜边；多 条线段分多个直角三角形转化平方，借助等量代换、等式变形消去中间线段，无需算出线 段长度，仅推导平方等式即可完成证明。 1．（25-26 八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形ABCD中，AC BD ⊥ 于点O，那么下列结论正确 的是（ ） 11 / 29 学科网（北京）股份有限公司 A． 2 2 2 2 OA OC OB OD + = + B． 2 2 2 2 AD CD AB BC + = + C． 2 2 2 2 AD BC AB CD + = + D． 2 2 2 2 AB OC CD OA + = + 2．（25-26 八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ，BC AC = ，点D 在 AB 边上，连接CD，在CD的右侧作CE CD ⊥ ，CD CE = ，连接DE ，BE． (1)猜想线段AD，BD，DE 之间的数量关系，并说明理由： (2)若 4 AC BC = = ， 2 BD = ．求DE 的长． 3．（25-26 八年级上·广东深圳·开学考试）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例： 求代数式 ( ) 2 2 2 2 3 12 2 x x + + − + 的最小值． 分析： 2 23 x + 和 ( ) 2 2 12 2 x − + 是勾股定理的形式， 2 23 x + 是直角边分别是x 和3 的直角三角形的斜 边，( ) 2 2 12 2 x − + 是直角边分别是12 x − 和2 的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角ABC 和 DEF ，并使直角边BC 和EF 在同一直线上（图1），向右平移直角ABC 使点B 和E 重合（图2），这 时 12 12, 3, 2 CF x x AC DF = + − = = = ， 问题就变成“点B 在线段CF 的何处时，AB DB + 最短？ ” 根据两点间线段最短，得到线段AD 就是它们的最小值． 12 / 29 学科网（北京）股份有限公司 【模型应用】 (1)代数式 ( ) 2 2 2 2 3 12 2 x x + + − + 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 ( ) 2 2 4 5 1 x x + + − + 的最小值； 4．（25-26 八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的 “垂美”四边形ABCD，对角线AC ，BD交于点O． (1)若 2 AO = ， 3 BO = ， 4 CO = ， 5 DO = ，请求出 2 AB ， 2 BC ， 2 CD ， 2 DA 的值； (2)若 6 AB = ， 10 CD = ，求 2 2 BC AD + 的值． 5．（25-26 八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如 图1，在ABC 中，若 6 AB = ， 4 AC = ，求BC 边上中线AD的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得 到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点M ，使DM AD = ．连接BM ，可证 ACD MBD △ ≌△ ，从而 把AB ，AC ，2AD集中在ABM 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段） 构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中 线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1 中AD的取值范围：_____； (2)如图3，在ABC 中，点D 为BC 边的中点，点E 在AB 边上，AD与CE 相交于点F ，EA EF = ，求 13 / 29 学科网（北京）股份有限公司 证：AB CF = ； (3)如图4，在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ，D 为AB 中点，连接CD，作ED CD ⊥ 交AC 于点E ．试探究线 段AE ，BC ，CE 之间的数量关系，并说明理由． 6．（25-26 八年级上·贵州毕节·阶段检测）【问题提出】 （1）如图1，在ABC 中，AD BC ⊥ 于点D ，若 10 AB = ， 6 BD = ， 12 CD = ，则AC =______． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，对角线 , AC BD 相交于点O，且AC BD ⊥ ，试说明： 2 2 2 2 AD BC AB CD + = + ． 【问题解决】 （3）如图3，ABC 是某小区的局部示意图，其中 90 B = ， 600m AB = ，AD，DE 是两条小道，D 为 BC 的中点，DE AC ⊥ 于点E ．该小区物业计划在AC 的下方修一条骑行小道AF ，且满足EF EC = ， 90 F = ，请根据上述条件，求骑行小道AF 的长． 7．（25-26 八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC 中， 90 , C M = 是BC 的中点，MD AB ⊥ 于点 D，试说明： 2 2 2 AD AC BD = + ． 重难点三、勾股定理与网格的综合运用 14 / 29 学科网（北京）股份有限公司 网格中横纵格子为直角边，两点距离用勾股；判断直角找点证两边平方和 = 第三边平方，求面积用割补法结合网格边长，数格时注意正负差值不影响平方计算。 1．（25-26 八年级下·云南昆明·期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了实践探究，并绘制了如 下表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD 模型抽象 测绘数据（如图1） ①测得水平距离ED的长为15 米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB 的长为17 米 ③牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.6 米 说明 点 , , , A B E D 在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段AD的长； (2)如图2，若想要风筝沿DA方向再上升12 米（即 12 AF = 米），则在ED长度不变的前提下，求BF 的 长． 15 / 29 学科网（北京）股份有限公司 2．（25-26 八年级下·广东江门·阶段检测）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图 形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起 到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n 均为正实数、且 4 m n + = ，求 2 2 1 4 + + + m n 的最小值．通过分析，小明想 到了利用下面的构造解决此问题：如图， 4 AB = ， 1 AC = ， 2 BD = ，AC AB ⊥ ，BD AB ⊥ ，点E 是线段 AB 上的动点，且不与端点重合，连接CE ，DE ，设AE m = ，BE n = ． ①用含m 的代数式表示CE = ________，用含n 的代数式表示DE =________； ②据此写出 2 2 1 4 + + + m n 的最小值是________； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式 ( ) 2 2 25 16 49 x x + + − + 的最小值是________； (3)【感悟探索】 ① ( ) 2 2 25 6 1 x x + − − + 的最大值是________； ②若a，b 为正数，写出以 2 2 a b + ， 2 2 4 4 a b + ， 2 2 9a b + 为边的三角形的面积是________．（用含 a，b 的式子表示） ③已知a，b，c 为正数，且 1 a b c + + = ，试运用构图法，画出图形，并求出 2 2 2 2 2 2 a b b c a c + + + + + 的最小值． 3．（25-26 八年级上·河北保定·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入 微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分 密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股 定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知0 1 x ，求 2 2 1 1 (1 ) x x + + + − 的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 2 1 x + 和 2 1 (1 ) x + − 的 线段，将代数求和转化为线段求和问题． 16 / 29 学科网（北京）股份有限公司 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1 的正方形ABCD，P 为BC 边上的动点．设BP x = ，则 1 PC x = − ．则 2 2 1 1 (1 ) x x + + + − = 线段 + 线段 ； ②在①的条件下，已知0 1 x ，求 2 2 1 1 (1 ) x x + + + − 的最小值； 【模型应用】 （2）应用数形结合思想，已知0 3 x ，求 2 2 4 4 (3 ) x x + + + − 的最小值为 ； 【拓展应用】 （3）应用数形结合思想，已知正数m 满足 2 2 25 144 13 m m − + − = ，则m 的值为 ． 重难点四、勾股定理的验证 用拼图、网格、测量三种方式验证，拼图依靠面积相等推导公式；网格取整 数格线段计算三边平方，核对平方和关系；测量法量取直角三角形三边，计算平方对比， 核心逻辑均是验证a2+b2 与c2 相等。 1．（25-26 八年级下·广西南宁·阶段检测）[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为 止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400 种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图 1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为 2 1 ( ) 2 a b + 或者是 2 1 1 2 2 2 ab c + ，因此得到 2 2 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 a b ab c + = + ，运用乘法公式展开整理得到 2 2 2 a b c + = ． 17 / 29 学科网（北京）股份有限公司 [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2 ，用4 个全等的直角三角形拼成正方形，中间也 是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，请你根据古人的拼图证明勾股 定理． [实践应用] (2)如图3，用4 个全等直角三角形拼成如图的正方形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形 ABCD的面积为13，中间空白处的正方形EFGH 的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，求 2 ( ) a b + 的值． 2．（25-26 八年级下·广东东莞·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被 广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家 的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片 （直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1 所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明： 2 2 2 a b c + = ． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若 2 b a = ，那么小正方形面积:大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1 上方的两直角三角形向内折叠，如果 3, 5 a b = = ，那么空白部分的面积等于 ． 18 / 29 学科网（北京）股份有限公司 (4)如图3，小明再将4 个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为28 ， 2 OC = ，求该风车状图案的面积． 3．（25-26 八年级下·广东广州·阶段检测）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角 形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为 2 c ，也 可以表示为 ( ) 2 1 4 2 ab a b + − ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为,a b ，斜边 长为c ，则 2 2 2 a b c + = ． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形ABCD的面积可表示为：______，也可以 表示为：______，由此可以推出 2 2 2 a b c + = ； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A B 、， AB AC = ，由于某种原因，由C 到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水 点H （A H 、 、B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，且CH AB ⊥ ．测得 0.8 CH = 千米， 0.6 HB = 千 米，求新路CH 比原路CA 少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在 第（2）问中若AB AC 时，CH AB ⊥ ， 10 AC = ， 17 BC = ， 21 AB = ，设AH x = ，可以求CH 的值，请 帮小明写出求CH 详细完整的过程． 4．（25-26 八年级上·四川成都·阶段检测）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一， 大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4 个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a ，b 和c 分别表示直 角三角形的两直角边和斜边，四边形ABDE 和四边形CFGH 是正方形． 达·芬奇用如图2 所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2 个正方形和2 个全等的直角三角形组成，面 19 / 29 学科网（北京）股份有限公司 积记为 1S ；剪开翻转后的空白部分由2 个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为 2 S ． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知 4 ABDE ABC CFGH S S S = + 正方形 正方形 △ ，正方形CFGH 的边长为_____． 2 ABDE S c = 正方形 ， ABC S = _____， CFGH S = 正方形 _____， ( ) 2 2 2 2 1 4 2 2 2 c ab a b ab a ab b = + − = + − + ，即 2 2 2 a b c + = ． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图2 及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些 代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所 解释的代数恒等式． 5．（25-26 七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股 定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为a ，较长 的直角边长都为b ，斜边长都为c ，大正方形的面积可以表示为 2 c ，也可以表示为 ( ) 2 1 4 2 ab a b + − ，由 此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，则 2 2 2 a b c + = ． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中 90 A D BCE = = = ，请你利用图②推 导勾股定理． 20 / 29 学科网（北京）股份有限公司 (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已 知HMN 中， 13, 15, 14 HM MN HN = = = ，作MK HN ⊥ ，就可以计算出HMN 的面积．请你完善解答过 程，求出HMN 的面积． 6．（25-26 八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角 形较长直角边为a ，较短直角边为b ，斜边长c ，用面积法得到直角三角形三边长a 、b 、c 之间的一个重 要结论： 2 2 2 a b c + = ． (1)已知： 90 ACB = ，BC a = ，AC b = ，AB c = ．求证 2 2 2 a b c + = ． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且BC a = ，AC b = ， ∴正方形CFGH 的边长为__________， ∵AB c = ，且 4 ABC ABED CFGH S S S = + 正方形 正方形 （等面积法）， ∴ 2 4 c = __________＋__________ 2 2 a b = + ， ∴ 2 2 2 a b c + = ． (2)如图2，四边形ACED是直角梯形， 90 C E = = ，BC a = ，AC b = ，AB c = ， 其中AB BD = ， 90 ABD = ． ①求证：ABC BDE ≌ ； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明： 2 2 2 a b c + = ． (3)将图1 中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3 所示的“数学风车”， 若 6 a = ， 5 b = ，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 21 / 29 学科网（北京）股份有限公司 模块三、勾股定理的应用 重难点一、求旗杆高度 旗杆垂直地面构成直角三角形，旗杆原高分直立段与折断斜边段；设旗杆直 立高度为 x，斜边为总长 - x，地面距离为另一直角边，代入勾股列方程求解，理清斜边 是倾斜折断部分，不混淆直角边与斜边。 1．（25-26 八年级下·山西大同·期中）一根广告牌立柱在离地面5 米的A处折断，柱顶B 落在距离底部C 的12 米处，旗杆折断前的高度为（ ） A．13 米 B．15 米 C．17 米 D．18 米 2．（2026·广东珠海·三模）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高 度．爱动脑筋的小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳 子拉到离旗杆底端5 米处，发现此时绳子底端距离打结处约1 米，则小明算出旗杆的高度为____米． 3．（25-26 八年级下·贵州黔南·期中）如图所示，小黔在放风筝，已知 12m BD = ， 15 BC m = ， BD CE ⊥ ，若要使风筝沿CD方向下降4m，则他应该往回收线_____ m ． 4．（25-26 八年级下·云南·期末）小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设 22 / 29 学科网（北京）股份有限公司 计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m；根据手中余线长度，计算出AC 的长度为 17m ；牵线放风筝的手到地面的距离AB 为1.5m．已知点A，B ，C ，D 在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度CD； (2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC 方向再上升12m，请问能否成功？请说明理由． 5．（25-26 八年级下·广东东莞·期中）为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同 学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下 的实验数据． 【采集数据】如图，利用皮尺测量水平距离 16 BD = 米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长 度BF ，最后测量放风筝的小康同学的身高 1.6 AB = 米． 【数据应用】已知图中各点均在同一平面内，点C ，F ，D ，E 在同一直线上． (1)若 20 BF = 米，求此时风筝的垂直高度EF ． (2)若站在点A不动，想把风筝沿着DC 的方向从点F 的位置上升到点C 的位置，此时测得 32 CD = 米，且 BF CF = ，求风筝上升的高度CF 多少米？ 6．（25-26 八年级下·广东东莞·期中）国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感 受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活 动．他们制订了测量方案，测量结果如表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 23 / 29 学科网（北京）股份有限公司 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段AB 表示学校旗 杆，AB 垂直地面于点B，如 图1，并多出了一段BC ，用 皮尺测出BC 的长度，第二次 将绳子拉直，绳子末端落在地 面的点D 处 测量数据 测量项目 数值 图1 中BC 的长度 2 米 图2 中BD的长度 6 米 … … … (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆AB 的高度； (2)该校礼仪队要求旗手在不少于45 秒且不超过50 秒的时间内将五星红旗从旗杆底部B 处升至顶部A 处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96 厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结 果精确到0.01）． 7．（25-26 八年级下·安徽池州·期中）为测量学校旗杆AB 的高度，某学习小组设计了多种方案，请结合 下面表格的信息，完成任务问题： 测量工 具 含45角的直角三角板、足够长的皮尺 方案一 方案二 方案三 24 / 29 学科网（北京）股份有限公司 测量方 案示意 图 设计方 案及测 量数据 在地面确定点C，并测得 45 ACB = 小明站在距离旗杆 2.4m 的点D 处，眼睛 距离地面1.6m，视线 沿着三角板的一直角边 落在旗杆顶部A 处，小 亮沿着直线BD垂直移 动一高为4m 的竹竿 EF ，直到小明视线沿 着三角板的另一直角边 恰好落在竹竿顶部E 处，此时测得竹竿距离 旗杆12.8m． 如图，旗杆顶端的绳子 垂落地面后还多出 1m，将绳子斜拉直 后，使得绳子底端C 刚好接触地面，此时测 得 5m BC = ． (1)在方案一中，由于ABC 是________三角形，所以要确定旗杆AB 的高度，只需测量线段________的长 度． (2)请根据方案二的测量数据，并利用八年级上册的知识，求旗杆AB 的高度． (3)请根据方案三提供的数据，计算旗杆AB 的高度． 8．（25-26 八年级下·江西南昌·开学考试）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并解答问题． 今天，我在参加学校举办的升国旗仪式时，发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面时，其末端刚好与旗杆底 端重合，那么，能不能借助这段绳子的长度测量旗杆的高度呢？我设计了如下测量方案： 【测量方案】 如图，线段AB 表示旗杆，点A 是旗杆的顶端，用手拉住绳子末端，从点B 处后退，当绳子拉直时，其末 端恰好落在宣传栏上的点D 处，此时测得点D 到地面的距离CD为2 米，B，C 两点之间的距离为8 米， 已知A，B，C，D 四点均在同一竖直平面内． 25 / 29 学科网（北京）股份有限公司 【计算过程】 解：如图，过点D 作DE AB ⊥ 于点E， ∴ 2 BE CD = = 米， 8 DE BC = = 米， … 请将小聪的计算过程补充完整． 9．（25-26 八年级下·四川德阳·期中）如图，一根直立的旗杆高8 m ，因刮大风旗杆从点C 处折断，顶部 B 着地且离旗杆底部A处4 m ． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点C 的下方1.25 m的点D 处，有一明显裂痕，若下次大风将旗 杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 10．（18-19 八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一根直立的旗杆高8 米，因刮大风旗杆从点C 处折断，顶 部B 着地且离旗杆底部A的距离为4 米． 26 / 29 学科网（北京）股份有限公司 (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中发现在折断点C 的下方1.25 米的点P 处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点P 处吹断，在距离旗杆底部5 米处是否有被砸伤的风险？ 重难点二、求小鸟飞行距离 将树木高低差、两棵树水平间距作为两条直角边，小鸟飞行路线为斜边。先 算出两棵树垂直高度差，水平距离直接取用，代入定理求斜边长度；多段飞行可拆分多个 直角三角形分段计算再求和。 1．（25-26 八年级下·江西南昌·期中）南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000 架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期 间，小杨在平地上操控无人机，从点A处起飞，先垂直爬升3 米，后水平飞行4 米到达点B 处，如图所 示，则点A与点B 之间的距离是（ ） A．5 米 B．7 米 C．6 米 D．7 米 2．（11-12 八年级上·全国·课后作业）如图，有两棵树，一棵高10 米，另一棵高4 米，两树相距8 米， 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 3．（25-26 八年级下·陕西西安·期中）2024 年12 月4 日，我国传统节日春节申遗成功．图图和涵涵在市 27 / 29 学科网（北京）股份有限公司 集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测 量高度的过程：①测得水平距离BC 的长为24 米；②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线AB 的长 为30 米；③图图牵线放风筝的手到地面的距离为1.7 米．请你帮助解决涵涵提出的问题．放风筝小队在 野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20 米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ 4．（2024·广东江门·模拟预测）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD 模型 抽象 测绘数 据 ①测得水平距离ED的长为15 米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB 的长为17 米 ③牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.8米 说明 点A，B，E，D 在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段AD的长； (2)若想要风筝沿DA方向再上升12 米，则在ED长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 5．（24-25 八年级上·陕西宝鸡·期中）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂 直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告 完成下面试题． 28 / 29 学科网（北京）股份有限公司 报告 测量风筝的垂直高度EF ． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意 图 方案 先测量水平距离BD，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长BF ，最后测量 放风筝的同学的身高AB ． 数据 16 BD = 米， 20 BF = 米， 1.7 AB DE = = 米， 90 BDF = ． (1)求此时风筝的垂直高度EF ； (2)若站在点A 不动，想把风筝沿DC 方向从点F 的位置上升18 米至点C 的位置（即 18 CF = 米，点C、 点F、点D 在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 重难点三、求大树折断前的高度 大树地面剩余部分为直角边，倒地树干为斜边，树根到树梢水平距离为另一 直角边。设剩余高度 x，斜边长 = 总高 - x，列方程解 x 后，x 加斜边长度得到大树原 高，区分折断两段对应的三角形边长。 1．（25-26 八年级下·天津津南·期末）如图，一根竹子高1丈（1丈 10 = 尺），折断后竹子顶端落在离竹 子底端3尺处．则竹子折断处离地面的高度为（ ） 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 A．3尺 B．4.55 尺 C．5尺 D．5.55尺 2．（25-26 八年级下·北京·期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学 的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？” 题意是：一根竹子原高1丈（1丈10 = 尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4 尺，若设折断处离 地面的高度为x 尺，则根据勾股定理，可列方程为：______．
