重难点04 指、对、幂数比较大小8 大题型
【全国通用】
1、指、对、幂数比较大小
从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问
题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序比较大小，主要涉及指数与对
数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质等知识，一般以选择题或填空题的
形式考查.这类问题的求解方法多种多样，解题时要学会灵活求解.
知识点
1 指、对、幂数比较大小的常用方法
1．单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数
值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如
和
，利用指数函数
的单调性；
②指数相同，底数不同时，如
和
，利用幂函数
单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如
和
，利用指数函数
单调性比较大小.
2．中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1 或者其它
能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判
定．
3．作差法、作商法：
(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.
4．估算法：
(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
5．构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”
规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
6．放缩法：
(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
(2)指数和幂函数结合来放缩；
(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.
【题型1 利用函数的单调性比较大小】
【例1】（2025·河北·三模）已知a=e
−1
9 ,b=lg1.9,c =1.9
0.6，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>b>a
D．c>a>b
【答案】D
【解题思路】由指数函数、对数函数的单调性分别得到a,b,c的范围，进而得到a,b,c的大小关系.
【解答过程】因为y =e
−x在定义域R内单调递减，所以1
2 =e
−ln2<e
−1
9 <e
0=1，即1
2 <a<1；
因为y =1.9
x在定义域R内单调递增，所以1.9
0.6>1.9
0=1，即c>1；
因为y =lg x在定义域内单调递增，所以lg1.9<lg ❑√10= 1
2，即b< 1
2.综上所述：c>a>b.
故选：D.
【变式1-1】（2025·天津南开·模拟预测）若2
a=3= logb9，c =e
ln 2
3，则实数a、b、c的大小顺序为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．b>a>c
【答案】D
【解题思路】求出a、b、c，利用对数函数、幂函数的单调性可得出a、b、c的大小顺序.
【解答过程】由题意可得a= log23，b
3=9，可得b=9
1
3，c = 2
3，
因为对数函数y = log2 x为(0,+ ∞)上的增函数，则2= log24>a= log23>log22=1，
幂函数y = x
1
3在(0,+ ∞)上为增函数，则b=9
1
3 >8
1
3 =2，
故b>a>c.
故选：D.
【变式1-2】（2025·河南许昌·模拟预测）已知a=3
log23.4，b=9
log163.3，c =( 1
3 )
log20.3
，则（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．a>c>b
【答案】D
【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性结合指对数运算比较大小.
【解答过程】由题意知b=9
log163.3=3
1
2 log23.3
=3
log2
❑√3.3，c =( 1
3 )
log20.3
=3
−log20.3=3
log2
10
3 ，
又函数y =log2 x在(0,+∞)上单调递增，而3.4> 10
3 >❑√3.3，即log23.4>log2 10
3 >log2
❑√3.3，
又y =3
x在R上单调递增，所以3
log23.4>3
log2
10
3 >3
log2
❑√3.3，即a>c>b.
故选:D.
【变式1-3】（2025·北京朝阳·二模）已知a= log0.50.2,b=0.5
0.5,c =2
0.5，则（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．b<a<c
D．b<c<a
【答案】D
【解题思路】根据对数函数的单调性及幂函数的单调性比较大小即可.
【解答过程】a= log0.50.2>log0.50.25=2>2
0.5=c，
又y = x
0.5在(0,+ ∞)上为增函数，
所以b=0.5
0.5<2
0.5=c，
综上，b<c<a，
故选：D.
【题型2 中间值法比较大小】
【例2】（2025·天津·一模）已知a= log3
❑√3
3 ,b= log❑√53,c =(
1
5)
1
5，则（ ）
A．b>c>a
B．c>b>a
C．a>c>b
D．a>b>c
【答案】A
【解题思路】化简式子，然后借用中间值0 和1 来进行比较即可.
【解答过程】a= log3
❑√3
3 = log33
−1
2 =−1
2
，
b= log❑√53= lg3
lg5
1
2
= lg3
1
2 lg5
=2log53= log59>log55=1
，
0<c =(
1
5)
1
5 <(
1
5)
0
=1，
所以b>c>a，
故选：A.
【变式2-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）若a=0.5
0.01，b=0.4
0.02，c =5 log302，则（ ）
A．c<a<b
B．b<c<a
C．a<b<c
D．b<a<c
【答案】D
【解题思路】根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法比较大小即可.
【解答过程】因为函数y = x
0.02在(0,+ ∞)上单调递增，y = log30 x在(0,+ ∞)上单调递增，
y =0.5
x在(0,+∞)上单调递减，
所以b=0.4
0.02<0.5
0.02<0.5
0.01=a<1，
c =5 log302= log302
5= log3032>log3030=1，所以b<a<c.
故选：D.
【变式2-2】（2025·河北石家庄·三模）已知a=2
0.6，b=0.5
0.8，c = log20.9，则a，b，c 的大小关系为
（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<b<a
【答案】D
【解题思路】依据y = log2 x，y =2
x，y =0.5
x的单调性比较a,b,c与0，1 的大小关系即可.
【解答过程】因为y = log2 x单调递增，所以c = log20.9<log21=0，
因为y =2
x单调递增，所以a=2
0.6>2
0=1，
因为y =0.5
x单调递减，所以b=0.5
0.8<0.5
0=1，且b>0
所以a>b>c，
故选：D.
【变式2-3】（2025·河北秦皇岛·二模）已知a=log2678，b=1.25
0.9，c =log918，则a,b,c的大小关系
为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>b>a
D．c>a>b
【答案】B
【解题思路】根据对数函数的单调性，以及指数函数的性质，利用中间值法，可得答案.
【解答过程】由题a= log26(3×26)= log263+1>log273+1=1+ 1
3，
c = log9(2×9)=1+ log92<1+ log82=1+ 1
3，且c =1+ log92>1+ log162=1+ 1
4 ，
b=1.25
0.9<1.25
1=1+ 1
4 ，
综上，b<1+ 1
4 <c<1+ 1
3 <a，即a>c>b.
故选：B.
【题型3 作差法、作商法比较大小】
【例3】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知a= 1
2 + ln2,b= 2
3 + ln3
2 ,c = 1
2 + 2ln5
5
，则（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【答案】B
【解题思路】利用作差法、对数的运算性质、对数函数的性质比较即可.
【解答过程】a−b= 1
2 + ln 2−(
2
3 + ln3
2 )=−1
6 + ln 2−ln3
2 =−1
6 + 2ln 2−ln3
2
=−1
6 +
ln 4
3
2
=
3ln 4
3 −1
6
=
ln 64
27e
6
<0，则a<b，
a−c = 1
2 + ln 2−(
1
2 + 2ln5
5 )= ln 2−2ln5
5
= 5ln 2−2ln5
5
= ln32−ln 25
5
>0，
则a>c，所以b>a>c.
故选：B.
【变式3-1】（2025·浙江金华·二模）已知a= log32，b= log54，c = log98，则（ ）
A．c<b<a
B．a<c<b
C．b<a<c
D．a<b<c
【答案】D
【解题思路】利用对数换底公式以及运算性质，利用作商法结合对数函数的单调性比较大小即可.
【解答过程】由题意可知，0<a<1,0<b<1,0<c<1.
则a
b = log32
log54 = lg2
lg3 × lg5
lg 4 = lg2
lg3 × lg5
2lg2 = lg5
2lg3 = lg5
lg9 <1，所以a<b.
则b
c = log54
log98 = lg 4
lg5 × lg9
lg8 = 2lg2
lg5 × lg9
3lg2 = 2lg9
3lg5 = lg81
lg125 <1，所以b<c.
所以a<b<c.
故选：D.
【变式3-2】（2025·广东·模拟预测）已知a=log84 ,b=log0.40.6,c =log32，则（ ）
A．b<a<c
B．b<c<a
C．c<a<b
D．c<b<a
【答案】B
【解题思路】利用作差法与对数的运算性质即可判断.
【解答过程】由于a=log84 =log2
32
2= 2
3，又2
3<3
2，则2<3
2
3 ,c =log32<log33
2
3 = 2
3 =a，即c<a.
由于b−c =log 2
5
3
5 −log32=
lg 3
5
lg 2
5
−lg2
lg3 =lg3−lg5
lg2−lg5 −lg2
lg3 =lg
23−lg3lg5−lg
22+lg2lg5
(lg2−lg5)lg3
= (lg3−lg2)(lg3+lg2−lg5)
(lg2−lg5)lg3
<0⇒b<c,则b<c<a.
故选：B.
【变式3-3】（2025·重庆·模拟预测）已知a=log64，b=log32，c =lg10，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<a<b
D．c<b<a
【答案】B
【解题思路】利用对数函数单调性比较a,c和b,c的大小，再根据作商法比较a,b的大小可得答案.
【解答过程】因为0= log61<log64<log66=1，0= log31<log32<log33=1，lg10=1，
所以a<c ,b<c，
又a
b = log6 4
log32 = lg 4
lg6 ⋅lg3
lg2 = 2lg3
lg6 = lg9
lg6 = log69>log66=1，
所以a>b，所以c>a>b.
故选：B.
【题型4 构造函数法比较大小】
【例4】（24-25 高二下·云南玉溪·期中）已知实数a,b,c满足2
a+a=2，2
b+b= ❑√5，c = log163，则
（ ）
A．c<a<b
B．a<b<c
C．a<c<b
D．b<c<a
【答案】A
【解题思路】由对数函数单调性得c< 1
2，构造函数f ( x)=2
x+ x , x ∈R，由函数的单调性得1
2 <a<b及，
即可得出判断．
【解答过程】由对数函数单调性得，c = log163<log164 = log1616
1
2 = 1
2
，
构造函数f ( x)=2
x+ x , x∈R，则f (a)=2
a+a=2，f (b)=2
b+b= ❑√5
因为y =2
x和y = x单调递增，所以f ( x)单调递增，
因为2<❑√5，即f (a)<f (b)，所以a<b，
又f ( 1
2 )=2
1
2 + 1
2 = 2❑√2+1
2
<2，所以f (a)>f ( 1
2 )，即a> 1
2，
所以c<a<b，
故选：A．
【变式4-1】（25-26 高一上·山东青岛·期中）若2
x−2
y<3
−x−3
−y，则（ ）
A．ln( y −x +1)<0
B．ln( y −x +1)>0
C．e
y −x>e
D．e
y −x<1
【答案】B
【解题思路】由题构造函数f (x)=2
x−3
−x，判断f (x)的单调性，从而得到x< y，依次判断各个选项.
【解答过程】令f (x)=2
x−3
−x，由y =2
x在R 上单调递增，y =−(
1
3)
x
在R 上单调递增，
所以函数f (x)在R 上单调递增.
若2
x−2
y<3
−x−3
−y，则2
x−3
−x<2
y−3
−y，即f (x)<f ( y)，
∴x< y.
对于AB，由x< y，得y −x>0，即y −x +1>1，所以ln ( y −x +1)>0，故A 错误，B 正确；
对于CD，由x< y，得y −x>0，所以e
y −x>e
0=1，故选CD 错误.
故选：B.
【变式4-2】（2025·陕西汉中·二模）若a=log914 ,b=lg15,c =2log114，则（ ）
A．a>c>b
B．c>a>b
C．a>b>c
D．c>b>a
【答案】C
【解题思路】先由对数的运算性质变形a,b,c，再构造函数f (x)=ln(x +5)
ln x
(x ≥9)，然后求导分析单调性
即可.
【解答过程】a=ln14
ln9
，b=ln15
ln10 ，c =log1116=ln16
ln11 ．
构造函数f (x)=ln(x +5)
ln x
(x ≥9)，则f
′ (x)= xln x−(x +5)ln(x +5)
x (x +5)(ln x)
2
，
易证函数y = xln x (x ≥9)为增函数，
（y
′ = ln x +1, x>0，令y
′ =0⇒x = 1
e ，所以x∈(
1
e ,1)时，y为增函数.）
所以xln x−(x +5)ln(x +5)<0(x ≥9)，所以f
′ (x)<0，所以f (9)>f (10)>f (11)，即a>b>c．
故选：C.
【变式4-3】（2025·辽宁·二模）已知a=3 ln1.5，b=e
1
3，c = 5
3，则（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．c>b>a
【答案】D
【解题思路】由b−a=3[
1
3 e
1
3 + ln(1−1
3))，构造函数f (x)= xe
x+ ln (1−x),0< x<1，利用导数分析其
单调性，可得函数f (x)在(0,❑√2−1)上单调递增，结合f (0)=0可得f(
1
3)>0，进而得到b>a，再通过比较
b
3和c
3的大小得到c>b，进而得出选项.
【解答过程】b−a=e
1
3 −3ln1.5=3(
1
3 e
1
3 −ln 3
2)=3[
1
3 e
1
3 + ln(1−1
3))，
设f (x)= xe
x+ ln (1−x),0< x<1，
则f
′ (x)=(x +1)e
x+
1
x−1 = (x
2−1)e
x+1
x−1
，
设h(x)=(x
2−1)e
x+1,0< x<1，则h
′ (x)=(x
2+2 x−1)e
x，
令h
′ (x)<0，得0< x<❑√2−1，
所以函数h(x)在(0,❑√2−1)上单调递减，又h(0)=0，
所以当x∈(0,❑√2−1)时，h(x)<0，则f
′ (x)>0，
此时函数f (x)在(0,❑√2−1)上单调递增，又f (0)=0，
所以f(
1
3)>0，则b−a=3[
1
3 e
1
3 + ln(1−1
3))>0，即b>a；
又b
3=e<3，c
3=(
5
3)
3
= 125
27 >3，则c>b，
所以c>b>a.
故选：D.
【题型5 数形结合法比较大小】
【例5】（2025·湖北黄冈·模拟预测）若a=log50.5,b=5
−0.5,c =log5.50.5，则（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．b>c>a
【答案】D
【解题思路】利用对数函数图象可得a<c<0，结合b>0即可得答案.
【解答过程】同一坐标系内画出函数y =log5 x和y =log5.5 x的图象，如图，
由图可知log50.5<log5.50.5<0，
即a<c<0，
又因为b=5
−0.5>0，
所以b>c>a．
故选：D．
【变式5-1】（2025·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足1+2
x =3
y =5
z，则x、y、z的大小关系不可能是
（ ）
A．x> y > z
B．y > z> x
C．y > x> z
D．x> z> y
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，求出x , y , z的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判
断.
【解答过程】令1+2
x=3
y =5
z=t，得x = log2(t −1), y = log3t , z = log5t，t >1
在同一直角坐标系内作出函数f (t )= log2(t −1),g(t )= log3t ,h(t )= log5t，t >1的图像，
则x , y , z分别是函数y
′ = f (t ), y
′ = g(t ), y
′ =h(t )，t >1的图像与直线t =a(a>1)交点的纵坐标，
设B点的横坐标为x1，C点的横坐标为x2，
观察图像得当1<a< x1时，y > z> x，
当x1<a< x2时，y > x> z，
当a> x2时，x> y > z，
所以ABC 是可能的，D 不可能.
故选：D.
【变式5-2】（2025·福建泉州·模拟预测）若实数x，y，z满足2
x−2=3
y−3=5
z−5，则x，y，z的大小关
系不可能是（ ）
A．x = y = z
B．x> y > z
C．z> y > x
D．z> x> y
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，求出x , y , z的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判
断.
【解答过程】令2
x−2=3
y−3=5
z−5=t，得x = log2(t +2), y = log3(t +3), z = log5(t +5),t >−2，
在同一坐标系内作出函数f (t )= log2(t +2), g(t )= log3(t +3),h(t )= log5(t +5),t >−2的图象，
则x , y , z分别是函数y
′ = f (t ), y
′ = g(t ), y
′ =h(t ),t >−2的图象与直线t =a(a>−2)交点的纵坐标，
观察图象得，当−2<a<0时，z> y > x；当a=0时，x = y = z；当a>0时，x> y > z，
因此ABC 都可能，D 不可能.
故选：D.
【变式5-3】（25-26 高三上·福建福州·月考）已知实数x，y，z满足：2
x = 1
❑√y =log2 z，则下列不等式中
不可能成立的是（ ）
A．y < x< z
B．x< y < z
C．y < z< x
D．x< z< y
【答案】C
【解题思路】在同一坐标系中作出y1=2
t , y2= 1
❑√t , y3= log2t的图象，利用函数零点思想，结合图象逐一
判断即得.
【解答过程】如图在同一坐标系中分别作出函数y1=2
t , y2= 1
❑√t , y3= log2t的图象，
依题意直线y =k与三个函数都有交点，设交点的横坐标依次为x , y , z，
则需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系.
由图知，有三种不同的情况：当直线y =k在①位置时，显然有：y < x< z；
当直线y =k在②位置时，显然有：x< y < z；
当直线y =k在③位置时，显然有：x< z< y，故C 错误.
故选：C.
【题型6 利用基本不等式比较大小】
【例6】（2025·云南·一模）已知a=log32，b=log53，c =log85，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．a<c<b
【答案】A
【解题思路】利用对数函数的性质比较a,b,根据基本不等式比较b,c.
【解答过程】因为log23>log2
❑√8= 3
2 ,log35<log3
❑√27= 3
2，所以log23>log35>0，
所以
1
log23 <
1
log35，即log32<log53，即a<b，
又因为log53⋅log58<(
log53+ log58
2
)
2
= (log524)
2
4
<1，
所以log53<
1
log58 = log85，即b<c，
综上，a<b<c，
故选:A.
【变式6-1】（2025·广西柳州·三模）已知13
7<21
6，34
6<21
7，设a=log3421，b=log2113，c =log138
，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<a<b
D．c<b<a
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用对数函数的单调性、不等式的性质及基本不等式比较大小.
【解答过程】由13
7<21
6，得log2113
7<log2121
6，即7 log2113<6，则log2113< 6
7 ，
由34
6<21
7，得log3434
6<log3421
7，即6<7 log3421，则log3421> 6
7 ，
log2113>0,log138>0，则log138
log2113 = log138log1321<( log138+ log1321
2
)
2
=(log13
❑√168)
2<1，
因此log138<log2113，所以log138<log2113<log3421，即c<b<a.
故选：D.
【变式6-2】（2025·北京海淀·一模）已知四个数a=lg2+lg5
2
，b= ❑√lg2⋅lg5，c =lg2，d =lg5，其
中最小的是（ ）
A．a
B．b
C．c
D．d
【答案】C
【解题思路】利用对数函数单调性可求得0<lg2<lg5，再由基本不等式以及不等式性质比较得出四个数
的大小，即可得出结论.
【解答过程】易知0<lg2<lg5，所以可得lg2<lg2+lg5
2
<lg5，
即c<a<d；
再由基本不等式可得
❑√lg2⋅lg5<lg2+lg5
2
，即b<a；
显然lg2= ❑√lg2⋅lg2<❑√lg2⋅lg5，即c<b；
因此可得c<b<a<d，即最小的是c.
故选：C.
【变式6-3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知a= log74，b= log117，c = π
−1，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】D
【解题思路】先通过作差法比出a,b的大小关系，在通过倒数求出c与它们的大小关系即可做答.
【解答过程】根据换底公式a= ln 4
ln7 ,b= ln7
ln11,则a−b= ln 4
ln7 −ln7
ln11 = ln 4×ln11−(ln7)
2
ln7×ln11
,
由基本不等式可知ln 4×ln11<(
ln 4 + ln11
2
)
2
即ln 4×ln11<(
ln 44
2 )
2
，
因为(
ln 44
2 )
2
<(
ln 49
2 )
2
，即(
ln 44
2 )
2
<(ln7)
2，
则ln 4×ln11−(ln7)
2<0，可知a−b<0,a<b，
a=
1
log47 ,c = 1
π ，可知log47<log416<π，所以c<a.
综上可知c<a<b.
故选：D.
【题型7 放缩法比较大小】
【例7】（25-26 高一上·安徽·月考）已知a= 1
lg9，b=lg11，则（ ）
A．a>b>1
B．a>1>b
C．b>a>1
D．b>1>a
【答案】A
【解题思路】根据对数函数的性质可得b>1，a>1，进而利用作差法结合放缩法可得a>b.
【解答过程】b=lg11>lg10=1，0<lg9<lg10=1，得a=
1
lg9 >1.
因为a−b= 1
lg9 −lg11= 1−lg9×lg11
lg9
>
1−(
lg9+lg11
2
)
2
lg9
=
1−(
lg99
2 )
2
lg9
>
1−(
lg100
2 )
2
lg9
= 1−1
2
lg9 =0，所以a>b，即a>b>1.
故选：A.
【变式7-1】（2025·天津南开·二模）已知a=log3
❑√2,b=log❑√23,c =2
1
3，则（ ）
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>c>a
D．b>a>c
【答案】C
【解题思路】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较.
【解答过程】由a=log3
❑√2<log33=1,
b=log❑√23= log23
log2
❑√2 = log23
1
2
=2log23= log29>log28=3,
c =2
1
3 >2
0=1，c =2
1
3 <2
1=2，
所以满足b>c>a，
故选：C.
【变式7-2】（2025·四川乐山·三模）若a=log32,b=log43,c =e
−2，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．b<c<a
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】D
【解题思路】利用放缩法可得a> 1
2 ,b> 1
2 ,c< 1
2，利用作商比较法可得a
b = lg2·lg 4
lg
23
≤
[ 1
2 (lg2+lg 4)]
2
lg
23
，
进而可得a<b，可得结论.
【解答过程】a=log32>log3
❑√3= 1
2 ,b=log43>log4
❑√4 = 1
2 ,c =e
−2< 1
2，
所以则a>c ,b>c，
又a
b =log32
log43 = lg2·lg 4
lg
23
≤
[ 1
2 (lg2+lg 4)]
2
lg
23
= lg
28
4lg
23
< lg
29
4lg
23
= 4lg
23
4lg
23
=1，
所以a<b，所以c<a<b.
故选：D.
【变式7-3】（2025·全国·模拟预测）已知a= ❑√19−❑√17,b=6
−3
4 ,c =log53−2
9 log35，则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<a<b
【答案】A
【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到a<b<c.
【解答过程】因为a= ❑√19−❑√17=
2
❑√19+ ❑√17 <
2
❑√16+ ❑√16 = 1
4 ，
b=6
−3
4 =
1
4√216
>
1
4√256
= 1
4 ,
1
4√216
< 1
4√81
= 1
3，故b∈(
1
4 , 1
3)，
c = log53−2
9 log35= 1
3 log527−1
9 log325> 1
3 log525−1
9 log327= 2
3 −1
3 = 1
3，
所以a<b<c.
故选：A.
【题型8 利用函数的综合性质比较大小】
【例8】（2025·陕西商洛·三模）已知f (x)是偶函数，且f (x)在(−∞,0)上单调递增，则（ ）
A．f(log1
2
3)>f(
3
2)>f (0.9
0.1)
B．f(log1
2
3)>f (0.9
0.1)>f(
3
2)
C．f (0.9
0.1)>f(log1
2
3)>f(
3
2)
D．f (0.9
0.1)>f(
3
2)>f(log1
2
3)
【答案】D
【解题思路】分析函数f (x)在[0,+ ∞)上的单调性，比较|log 1
2
3)、0.9
0.1、3
2的大小关系，结合函数f (x)的
单调性可得出结果.
【解答过程】因为函数f (x)是偶函数，且f (x)在(−∞,0)上单调递增，则该函数在[0,+∞)上为减函数，
因为log 1
2
3<log 1
2
1=0，
所以，|log 1
2
3)=|log2
−13)= log23，且函数y = log2 x在(0,+∞)上为增函数，
所以，log23>log22❑√2= 3
2 >1，
因为函数y =0.9
x在R上为减函数，则0<0.9
0.1<0.9
0=1，
故0<0.9
0.1< 3
2 <log23=|log 1
2
3)，且f(log1
2
3)= f(|log1
2
3))= f (log23)，
所以，f (0.9
0.1)>f(
3
2)>f (log23)= f(log1
2
3)，
故选：D.
【变式8-1】（2025·湖南邵阳·二模）定义在R上的函数f (x)满足f (x)−f (2−x)=0，且f (x)在[1,+∞)上单
调递增，设a= f (−9)，b= f(
7
4)，c = f (log417)，则（ ）
A．b<c<a
B．c<b<a
C．a<b<c
D．b<a<c
【答案】A
【解题思路】先求出图象关于直线x =1对称，再利用对数的运算性质和函数的单调性比较即可.
【解答过程】因为定义在R上的函数f (x)满足f (x)−f (2−x)=0，
所以f (x)= f (2−x)即f (x)图象关于直线x =1对称，
所以a= f (−9)= f (11)，7
4 <2<log417<log4 4
3=3<11，
又f (x)在[1,+∞)上单调递增，所以b<c<a.
故选：A.
【变式8-2】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知f (x)在(1,+∞)上单调递增，若f (x +1)为偶函数，
a= f (e
7
2),b= f(ln 9
2),c = f(−3
2)，则（ ）
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>b>a
D．c>a>b
【答案】A
【解题思路】根据f (x +1)为偶函数得到f (x)关于x =1对称，即有f(−3
2)= f(
7
2)，最后根据f (x)在
(1,+∞)上单调递增比较大小即可.
【解答过程】因为f (x +1)为偶函数，则f (−x +1)= f (x +1)，
所以f (x)关于x =1对称，所以c = f(−3
2)= f(
7
2)，
因为e
7
2 >e
2> 7
2
，且7
2 >2≥lne
2>ln 9
2，
由上可得1<ln 9
2 < 7
2 <e
7
2，且f (x)在(1,+∞)上单调递增，
所以f(ln 9
2)<f(
7
2)<f (e
7
2)，即f(ln 9
2)<f(−3
2)<f (e
7
2)，
所以a>c>b.
故选：A．
【变式8-3】（2025·重庆·三模）已知函数y = f ( x +1)是R 上的偶函数，对任意x1, x2∈[1,+ ∞)，且
x1≠x2都有
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
>0，若a= f (log36)，b= f (lne
❑√2 )，c = f (e
ln 4
2 )，则a,b,c的大小关系是
（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．b<c<a
【答案】A
【解题思路】根据函数y = f ( x +1)为偶函数，推出函数y = f ( x)的图象关于直线x =1对称，再由条件推出
函数y = f ( x)在(1,+ ∞)上单调递增，于是可得ln(2−lne
❑√2 )= ln(e
❑√2 )，利用幂和对数的运算性质和换
底公式，以及对数函数的单调性化简比较得1<2−lne
❑√2 <log36<e
ln 4
2 =2，再由y = f ( x)的单调性即可判
断.
【解答过程】因函数y = f ( x +1)是R 上的偶函数，则y = f ( x)的图象关于直线x =1对称，
因对任意x1, x2∈[1,+∞)，且x1≠x2都有
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
>0，即函数y = f ( x)在(1,+ ∞)单调递增.
因1<log36= log32+1<2，1<2−lne
❑√2 = ln(❑√2e)= 1
2 ln 2+1<2，e
ln 4
2 =e
ln2=2,
由log32−1
2 ln 2= ln 2
ln3 −1
2 ln 2= ln 2( 1
ln3 −1
2 )>0，可得1<2−lne
❑√2 <log36<e
ln 4
2 =2，
又由对称性可得：ln(2−lne
❑√2 )= ln(e
❑√2 )，
故再由单调性，可得ln(2−lne
❑√2 )= ln(e
❑√2 )<f (log36)<f (e
ln 4
2 )，即b<a<c.
故选：A.
一、单选题
1．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知a=2
0.1，b=0.5
0.2，c =log0.51.1，则（ ）
A．c<b<a
B．b<a<c
C．c<a<b
D．a<b<c
【答案】A
【解题思路】利用0,1分段法来确定正确答案.
【解答过程】a=2
0.1>2
0=1，
0<b=0.5
0.2<0.5
0=1，
c =log0.51.1<log0.51=0，
所以c<b<a.
故选：A.
2．（2025·湖南·一模）若a= log7 7
2，b=7
0.1，c =(
2
7)
−0.1
，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c<a<b
B．a<b<c
C．a<c<b
D．c<b<a
【答案】C
【解题思路】利用对数函数、幂函数单调性，结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.
【解答过程】因为函数y = log7 x在(0,+ ∞)上为增函数，所以log71<log7 7
2 <log77，即0<a<1，
因为b=7
0.1，c =(
2
7)
−0.1
=(
7
2)
0.1
，
函数y = x
0.1在(0,+ ∞)上为增函数，所以7
0.1>(
7
2)
0.1
>(
7
2)
0
，即b>c>1，
故b>c>a．
故选：C.
3．（2025·四川绵阳·一模）已知a= 3
2 ,b=log34 ,c =e
1
2，则（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．a<c<b
【答案】A
【解题思路】对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断.
【解答过程】因为3
2 = log33
3
2 = log3
❑√3
3= log3
❑√27，
又因为对数函数y = log3 x在(0,+ ∞)上单调递增，且4 = ❑√16<❑√27，
所以log34<log3
❑√27，即b<a.
c =e
1
2 = ❑√e，a= 3
2 = ❑√
9
4 ，由于e≈2.718，9
4 =2.25，且函数y = ❑√x在[0,+∞)上单调递增，
所以❑√e>❑√
9
4 ，即c>a.
综合以上两个比较结果，可得b<a<c.
故选：A.
4．（2025·河南·模拟预测）设a=(
1
3)
1
3 ,b=log1
2
2
5 ,c =3
−1
4，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．b<c<a
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】A
【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性计算判断大小.
【解答过程】因为y =(
1
3)
x
单调递减，所以a=(
1
3)
1
3 <c =3
−1
4 =(
1
3)
1
4 <(
1
3)
0
=1，
因为y =log1
2
x单调递减，所以b=log1
2
2
5 >log1
2
1
2 =1，
则a,b,c的大小关系为a<c<b.
故选：A.
5．（2025·山东泰安·模拟预测）a=0.3
0.7,b=0.7
0.3,c = log0.70.3，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c>b>a
B．c>a>b
C．a>b>c
D．a>c>b
【答案】A
【解题思路】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得a,b,c的取值范围，即可求解.
【解答过程】由幂函数y = x
0.7为增函数，得a=0.3
0.7<0.7
0.7；
由指数函数y =0.7
x为减函数，得0.7
0.7<b=0.7
0.3<0.7
0=1；
由对数函数y = log0.7 x为减函数，得c = log0.70.3>log0.70.7=1.
所以c>b>a.
故选：A.
6．（2025·天津·二模）已知a= 4.5
4.5，b=5.4
5.4，c = log4.55.4，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】D
【解题思路】利用指、对、幂的单调性比较大小即可.
【解答过程】∵y = 4.5
x是增函数，∴4.5<a= 4.5
4.5<4.5
5.4，
∵y = x
5.4在(0，+∞)是增函数，∴b=5.4
5.4>4.5
5.4，故b>a>4.5，
∵y = log4.5 x在(0，+∞)是增函数，c = log4.55.4<2<4.5，
即c<a<b，
故选：D.
7．（2025·辽宁·三模）已知4
a=6,6
b= 4 ,c = ln 2，则下列结论正确的是（ ）
A．a
c<b
c
B．c
a>c
b
C．logca>logcb
D．logac<logbc
【答案】D
【解题思路】将指数式化为对数式，然后判断a,b,c的范围，结合对数函数、指数函数的单调性判断即可.
【解答过程】∵4
a=6，6
b= 4，∴a= log46,b= log64，
∵1= log4 4<log46<log416=2，0= log61<log64<log66=1，0= ln1<ln2<lne =1，
∴a∈(1,2),b∈(0,1),c∈(0,1)，所以a>b，
对于A，∵y = x
c ,c∈(0,1)在(0,+∞)单调递增，∴a
c>b
c ，故A 错误；
对于B，∵y =c
x ,c∈(0,1) 在R上单调递减，∴c
a<c
b ，故B 错误；
对于C，∵y = logc x ,c∈(0,1) 在(0,+∞)单调递减，∴logc a<logc b ，故C 错误；
对于D，∵y = loga x ,a∈(1,2)在(0,+∞)单调递增，∴loga c<loga 1=0 ,
又∵y = logb x ,b∈(0,1)在(0,+ ∞)单调递减，∴logb c>logb 1=0 ,
∴loga c<logb c，故D 正确.
故选：D.
8．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R 上的函数f (x)= x⋅e|x)，a= f (log3
❑√5)，b=−f(log3
1
2)，
c = f (ln3)，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．c>b>a
B．b>c>a
C．a>b>c
D．c>a>b
【答案】D
【解题思路】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简b= f (log32)，再结合函数的单调性，即可求
解.
【解答过程】f (x)= x⋅e|x)，定义域为R，关于原点对称，
且f (−x)=−x⋅e|−x)=−x⋅e|x)=−f (x)，所以函数f (x)= x⋅e|x)为奇函数，
所以b=−f(log3
1
2)= f(−log3
1
2)= f (log32)，
又f (x)= x⋅e
x, x>0，
任取x1, x2∈(0,+ ∞)，且0< x1< x2，则0<e
x1<e
x2，则f (x1)<f (x2)，
故f (x)在(0,+ ∞)上单调递增，
又由对数函数的单调性可得log32<log3
❑√5<1<ln3，
所以f (log32)<f (log3
❑√5)<f (ln3)，即c>a>b.
故选：D.
二、多选题
9．（2025·河北保定·一模）下列不等式成立的有（ ）
A．log0.30.2>log0.20.3
B．0.3
0.2>0.2
0.3
C．log30.2<log20.2
D．3
0.2<2
0.3
【答案】AB
【解题思路】根据指数函数以及对数函数的单调性，即可结合选项逐一求解.
【解答过程】对于A，log0.30.2>log0.30.3=1,log0.20.3<log0.20.2=1，故log0.30.2>log0.20.3，A 正
确，
对于B，0.3
0.2>0.3
❑
0.3>0.2
0.3，故0.3
0.2>0.2
0.3，B 正确，
对于C, 由于log30.2<0,log20.2<0，故log20.2
log30.2 =
1
log0.22
1
log0.23
= log0.23
log0.22 = log23>1，故log30.2>log20.2
，故C 错误，
对于D, 3
0.2=3
1
5 ,2
0.3=2
3
10 ,∵(3
1
5)
10
=3
2=9,(2
3
10)
10
=8,所以(3
1
5)
10
>(2
3
10)
10
，故3
0.2>2
0.3，故D 错误，
故选：AB.
10．（2025·贵州·模拟预测）已知0<a<b<1，m>1，则（ ）
A．a
m<b
m
B．m
a>m
b
C．logma>logmb
D．logam>logbm
【答案】AD
【解题思路】根据指数函数,对数函数,幂函数的单调性,结合不等式性质逐项分析即可.
【解答过程】对于A，根据y = x
m在(0,+ ∞)单调递增，结合0<a<b<1，知a
m<b
m，A 正确．
对于B，根据y =m
x在(0,+∞)单调递增，结合0<a<b<1，知m
a<m
b，B 错误．
对于C，根据y = logm x在(0,+∞)单调递增，结合0<a<b<1，知logma<logmb，C 错误．
对于D，根据logam=
1
logma ,logbm=
1
logmb ，结合0<a<b<1,m>1，
知logma<logmb<0，则
1
logma >
1
logmb ，即logma>logmb，D 正确．
故选：AD.
11．（2025·广西柳州·模拟预测）已知x , y ∈R ,15
x=3,15
y =5，则（ ）
A．y > x
B．x + y >1
C．xy < 1
4
D．❑√x + ❑√y <❑√2
【答案】ACD
【解题思路】先将指数式化为对数式，利用函数的单调性可得A 正确；再利用函数的运算性质得B 正确；
利用不等式放缩可得C 正确，D 正确.
【解答过程】由x , y ∈R ,15
x =3,15
y =5得x = log153>0, y = log155>0,
对于选项A：因为函数y = log15 x在(0,+ ∞)单调递增，所以log155>log153，即y > x，故A 正确
对于选项B：x + y = log153+ log155= log1515=1，故B 错误
对于选项C:因为y > x>0，x + y >2❑√xy，所以xy < (x + y)
2
4
，由B 得x + y =1，即xy < 1
4 ，
故C 正确
对于选项D：由B 得x + y =1，所以(❑√x + ❑√y)
2= x + y +2❑√xy <2(x + y)=2，
即❑√x + ❑√y <❑√2，故D 正确
故选：ACD.
三、填空题
12．（2025·北京通州·三模）已知a=2
−1.1，b= log 1
4
1
3，c = log23，则三者大小关系为
（按从
小到大顺序）
【答案】a<b<c
【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质确定出a,b,c的范围，即可求解.
【解答过程】因为a=2
−1.1<2
−1= 1
2，
b= log 1
4
1
3 = log43>log42= 1
2，且b= log 1
4
1
3 = log43<1，
c = log23>log22=1，
故a<b<c，
故答案为：a<b<c.
13．（25-26 高一上·江苏淮安·期中）设a=5
0.3，b= log0.53，c =0.3
5，则a，b，c从小到大排列是
.
【答案】b<c<a
【解题思路】引入中间量0,1，可比较a,b,c的大小.
【解答过程】因为a=5
0.3>5
0=1，
b= log0.53<log0.51=0，
c =0.3
5>0且c =0.3
5<0.3
0=1，所以0<c<1.
所以a，b，c从小到大排列是b<c<a.
故答案为：b<c<a.
14．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知f (x)=cosπ x
2 ，a= log22025，b=1，c =0.2
0.3，则f (a)，f (b)，
f (c)的大小关系为
.（均用“>”连接）
【答案】f (c)>f (b)>f (a)
【解题思路】根据f (x)的奇偶性以及周期性，结合函数的单调性可判断f (a)<0，进而根据单调性进一步判
断0<f (c)<1，f (b)=0，即可求解.
【解答过程】易知f (x)为偶函数，周期为4，
当x∈(0,1)，π x
2 ∈(0,π
2 )，此时f (x)=cosπ x
2 在(0,1)上单调递减，且f (x)>0，
当x∈(1,2)，π x
2 ∈(
π
2 ,π)，此时f (x)=cosπ x
2 在(1,2)上单调递减，且f (x)<0，
a= log22025∈(10,11)，f (a)= f (a−12)= f (12−a)，12−a∈(1,2)，所以f (a)<0；
又c =0.2
0.3∈(0,1)，所以0<f (c)<1，
又b=1，所以f (b)=0，故f (c)>f (b)>f (a).
故答案为：f (c)>f (b)>f (a).
四、解答题
15．（24-25 高一·上海·课堂例题）设a=(
2
3)
x
，b= x
3
2及c = log 2
3
x，当x>1时，试比较a、b 及c 之间的大
小关系．
【答案】c<a<b
【解题思路】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较值的大小即可.
【解答过程】当x>1时，由于a=(
2
3)
x
是一个减函数，所以0<a=(
2
3)
x
<(
2
3)
1
= 2
3，
由于b= x
3
2是一个递增的幂函数，所以b= x
3
2 >1，
由于c = log 2
3
x是递减的对数函数，所以c = log 2
3
x<log 2
3
1=0，
故c<a<b.
16．（2025 高一上·全国·专题练习）比较下列各组中两个值的大小．
(1)ln 0.3,ln2；
(2)loga1.5,loga2.3（a>0，且a≠1）；
(3)log30.2,log40.2；
(4)log3 π ,logπ 3．
【答案】(1)ln 0.3<ln2
(2)答案见解析.
(3)log30.2<log40.2
(4)log3 π >logπ 3
【解题思路】根据对数函数的单调性比较大小.
【解答过程】（1）因为函数y = ln x是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3<ln2．
（2）当a>1时，函数y = loga x是增函数，
又1.5<2.3，所以loga1.5<loga2.3；
当0<a<1时，函数y = loga x是减函数，
又1.5<2.3，所以loga1.5>loga2.3．
综上所述，当a>1时，loga1.5<loga2.3；
当0<a<1时，loga1.5>loga2.3．
（3）因为0>log0.23>log0.24，所以
1
log0.23 <
1
log0.24 ，
即log30.2<log40.2．
（4）因为函数y = log3 x是增函数，且π >3，
所以log3 π >log33=1．
同理，1= logπ π >logπ 3，所以log3 π >logπ 3．
17．（24-25 高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小．
(1)log2π与log20.9；
(2)log20.3与log0.20.3；
(3)log0.76，0.7
6与6
0.7．
【答案】(1)log2π>log20.9
(2)log20.3<log0.20.3
(3)6
0.7>0.7
6>log0.76
【解题思路】（1）根据y =log2 x的单调性比较出大小；
（2）利用对数函数单调性和中间值比较出log20.3<log0.20.3；
（3）利用指数函数和对数函数单调性和中间值比较出大小
【解答过程】（1）因为函数y =log2 x在(0,+∞)上是增函数，又π>0.9，所以log2π>log20.9．
（2）由于log20.3<log21=0,log0.20.3>log0.21=0，所以log20.3<log0.20.3．
（3）因为6
0.7>6
0=1,0<0.7
6<0.7
0=1，log0.76<log0.71=0，
所以6
0.7>0.7
6>log0.76．
18．（24-25 高一·全国·随堂练习）已知x = lnπ，y = log52，z =e
−1
2．
(1)比较x，y 的大小；
(2)比较y，z 的大小．
【答案】(1)x> y
(2)y < z
【解题思路】（1）利用对数函数的单调性，x , y和中间值1 比较大小，即可判断；
（2）利用对数函数的单调性，以及对数式的运算，y , z和中间值1
2比较大小，即可判断.
【解答过程】（1）因为π>e，所以lnπ>lne=1，即x = lnπ∈(1,+∞)
因为1<2<5，所以0= log51<log52<log55=1，即log52∈(0,1)，
所以x> y；
（2）y = log52<log5
❑√5= 1
2，且log52>0，所以log52∈(0, 1
2)，
z =e
−1
2 = 1
❑√e > 1
❑√4 = 1
2，所以e
−1
2 ∈(
1
2 ,+∞)，
所以y < z.
19．（24-25 高一上·北京延庆·期末）（1）比较下列各题中两个值的大小，并说明理由：
①0.9
a与0.9
a−1；
②(a
2+2)
−0.1与2
−0.1；
③log50.5与0；
④已知实数a，b 满足6
a>6
b，( 3
7 )
a
与( 3
7 )
b
的大小.
（2）设f ( x)= loga x，其中a>0且a≠1，比较f ( x1)+ f ( x2)
2
与f ( x1+ x2
2
)的大小，并证明.
【答案】（1）①0.9
a<0.9
a−1；②(a
2+2)
−0.1≤2
−0.1；③log50.5<0；④( 3
7 )
a
<( 3
7 )
b
；（2）答案见解析.
【解题思路】（1）利用指数函数、对数函数、幂函数单调性比较大小.
（2）作差，利用对数运算，按0<a<1,a>1分类，并结合对数函数单调性判断即得.
【解答过程】（1）①函数y =0.9
x在R 上单调递减，a>a−1，所以0.9
a<0.9
a−1；
②函数y = x
−0.1在(0,+ ∞)上单调递减，a
2+2≥2，所以(a
2+2)
−0.1≤2
−0.1；
③函数y = log5 x在(0,+ ∞)上单调递增，0.5<1，所以log50.5<log51=0；
④函数y =6
x在(0,+ ∞)上单调递增，由6
a>6
b，得a>b，
函数y =( 3
7 )
x
在(0,+∞)上单调递减，所以( 3
7 )
a
<( 3
7 )
b
.
（2）函数f ( x)= loga x，f ( x1)+ f ( x2)
2
−f ( x1+ x2
2
)= 1
2 (loga x1+ loga x2)−loga
x1+ x2
2
，
= loga
❑√x1 x2−loga
x1+ x2
2
= loga
2❑√x1 x2
x1+ x2
，
由x1>0, x2>0，得0< 2❑√x1 x2
x1+ x2
≤2❑√x1 x2
2❑√x1 x2
=1，
当0<a<1时，loga
2❑√x1 x2
x1+ x2
≥0，因此f ( x1)+ f ( x2)
2
≥f ( x1+ x2
2
)；
当a>1时，loga
2❑√x1 x2
x1+ x2
≤0，因此f ( x1)+ f ( x2)
2
≤f ( x1+ x2
2
).
