1
1.2.5 空间中的距离
课程标准
学习目标
1．理解图形与图形之间的距离的概念.，提
升学生的数学抽象素养
2．理解并掌握两点之间、点到直线的距离的
概念及它们之间的相互转化,会用法向量求距
离:提升学生的数学抽象数学运算的素养、
1.能用向量方法进行有关距离的计算
2.能用向量方法求点到面的距离
知识点01 两点间的距离
1.两点间距离A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），
|AB|=√( x1−x2）
2+（y1−y2）
2+（z1−z2）
2
2 用向量表示 两点间距离⃗BA=(x1−x2,y1−y2,z1−z2),|AB|=
√( x1−x2）
2+（y1−y2）
2+（z1−z2）
2
2
【即学即练1】（2024 高二下·江苏·学业考试）已知点A(1,2,−3),B(−1,0,1)，则|⃗AB|=（ ）
A．3√2
B．2√6
C．2√3
D．4
【即学即练2 】（23-24 高二上· 宁夏· 阶段练习）如图，已知线段AB ,BD在平面α内，
BD⊥AB , AC ⊥α，且AB = 4 ,BD =3, AC =5，则CD = .
知识点02 点到直线的距离
定义：若P 为直线l 外一点，A 是l 上任意一点，在点P 和直线l 所确定的平面内，取一个与直线l 垂直的
向量n，则点P 到直线l 的距离为d==| PQ|=√|⃗AP|
2−|⃗AQ|
2=√|⃗AP|
2−|⃗AP∙⃗e
|⃗e|
|
2
设e 是直线l 的方向向量，则点P 到直线l 的距离为d=|⃗AP|sin<⃗AP,e>
【即学即练3】（23-24 高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量⃗AB =(0,1,0)，⃗AC =(−1,1−1)，则B 点
到直线AC的距离为（ ）
A．√6
3
B．√3
3
C．√2
D．√3
3
【即学即练4】（23-24 高二上·福建福州·期末）已知向量⃗OA =(0,1,1),⃗OB =(−2,1,2)，则点A 到直线
OB的距离为 ．
知识点03 点到平面的距离
定义：若P 是平面α 外一点，PQ⊥α，垂足为Q，A 为平面α 内任意一点，设n 为平面α 的法向量，点P
到平面α 的距离d=⃗| AP∙⃗n|
|⃗n|
【即学即练5】（17-18 高二上·陕西·期中）已知平面α的一个法向量⃗n=(−2,−2,1)，点A (−1,3,0)在平
面α内，则点P(−2,1,4)到平面α的距离为（ ）
A．10
B．3
C．10
3
D．8
3
【即学即练6】（23-24 高二下·江苏·单元测试）已知平面α经过点B (1,0,0)，且α的法向量⃗n=(1,1,1)，
则P(2,2,0)到平面α的距离为 .
知识点04 线面间的距离
1.定义：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之
间的距离，
2.公式：如果直线l 与平面α 平行，n 是平面α 的一个法向量，A、B 分别是l 上和α 内
的点，则直线l 与平面α 之间的距离为d＝．
【即学即练7】（23-24 高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，
E , F分别是BC ,CD的中点，则直线BD到平面EF D1B1的距离为（ ）
4
A．√3
6
B．1
2
C．√2
4
D．1
3
【即学即练8】（23-24 高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E 为
线段A1B1的中点，F 为线段AB 的中点．
(1)求直线EC与A C1所成角的余弦值；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离．
知识点05 面面间的距离
1.定义：当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行
平面之间的距离．
2.公垂线段：一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的 公垂线，公垂线夹在平行平
面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长.
3.公式：如果平面α 与平面β 平行，n 是平面β 的一个法向量，A 和B 分别是平面α 和
平面β 内的点，则平面α 和平面β 之间的距离为d ＝
．
【即学即练9】（22-23 高二·全国·随堂练习）已知正方体ABCD−A
' B
'C
' D
'的棱长均为1．
(1)求B
'到平面A
'C
' B的距离；
(2)求平面A
'C
' B与平面D
' AC之间的距离．
【即学即练10】（2022 高二·全国·专题练习）设正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为2，求：
(1)求直线B1C到平面A1BD的距离；
(2)求平面A1BD与平面B1C D1间的距离.
5
难点：建系有难度问题
示例1：（2023·福建龙岩·统考二模）三棱柱ABC −A1B1C1中，AB⊥AC，AB = AC =2，侧面
A1 AC C1为矩形，∠A1 AB = 2π
3 ，三棱锥C1−ABC的体积为2√3
3
．
(1)求侧棱A A1的长；
(2)侧棱C C1上是否存在点E，使得直线AE与平面A1BC所成角的正弦值为√5
5
？若存在，求出线段C1 E
的长；若不存在，请说明理由．
难点：几何的应用
示例2：（2023·四川成都·校联考二模）如图，平面ABCD⊥平面ABS，四边形ABCD为矩形，△|¿|为
正三角形，SA =√2BC，O为AB的中点.
(1)证明：平面SOC ⊥平面BDS；
(2)已知四棱锥S−AOCD的体积为√6
2
，求点D到平面SOC的距离.
6
【题型1：两点间的距离】
例1．（22-23 高二上·山西运城·期中）如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，底面△ABC是边长为2√3
的正三角形，A A1=√7，顶点A1
在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q 分别是异面直线A C1, A1B
上的动点，则P，Q 两点间距离的最小值是（ ）
A．√7
2
B．2
C．√6
D．√6
2
变式1. （21-22 高二上·安徽合肥·期中）如图正四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，AB = BC =1，
A A1=2.动点P，Q分别在线段C1 D，AC上，则线段PQ长度的最小值是（ ）
A．1
3
B．2
3
7
C．1
D．4
3
变式2. （22-23 高二上·浙江杭州·期中）两条异面直线a，b 所成的角为π
3
，在直线a，b 上分别取点A
'，
E 和A，F，使A
' A ⊥a，且A
' A ⊥b已知A
' E =3, AF = 4 , EF =7，则线段A A
'的长为 ．
变式3. （22-23 高二上·辽宁沈阳·开学考试）正四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，底面边长为1，侧棱长
为2, P ,Q分别是异面直线A D1和BD上的任意一点，则P ,Q间距离的最小值为 .
变式4. （21-22 高二上·江苏镇江·期中）已知在边长为6 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点M , N分
别为线段A1 D和B D1
上的动点，当D1 N
D1B = 时，线段MN取得最小值 .
变式5. （20-21 高二·全国·单元测试）已知A (0,0,2)，B (1,1,0)，点P在x轴上，点Q在直线AB上，则
线段PQ长的最小值为 ．
变式6. （2021 高二上·全国·专题练习）在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面
ABCD⊥平面ABEF，活动弹子M , N分别在正方形对角线AC ,BF上移动，若CM = BN，则MN长度的
最小值为 ．
变式7. （20-21 高二上·山东泰安·期中）如图所示，在正四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，A A1=2，
AB = BC =1，动点P、Q分别在线段C1 D、AC上，则线段PQ长度的最小值是 ．
8
变式8. （18-19 高二下·江苏常州·期中）如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27 个全等的棱长为1 的
小正方体构成），正方形ABCD是上底面正中间一个正方形，正方形A1B1C1 D1是下底面最大的正方形，
已知点P是线段AC上的动点，点Q是线段B1 D上的动点，则线段PQ长度的最小值为 ．
【方法技巧与总结】
计算两点间的距离的两种方法
1.利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B 两点间的距离，一般用|AB|＝＝求解．
2.用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．
【题型2：向量法求点线距】
例2.（2024·全国·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，直线l经过A (3,3,3)，B (0,6,0)两点，则点
P(0,0,6)到直线l的距离是（ ）
A．6√2
B．2√3
C．2√6
D．3√2
变式1．（23-24 高二下·江西·阶段练习）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为2，F是棱A1 D1的
中点，若点P在线段CD上运动，则点P到直线BF的距离的最小值为（ ）
A．√5
3
B．2√5
3
C．2√5
5
D．4√5
5
9
变式2．（23-24 高二下·江苏南通·阶段练习）在三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且
PA =1，PB =2，PC =3，三角形ABC重心为G，则点P 到直线AG的距离为（ ）
A．6
7
B．√5
3
C．2√17
17
D．√221
17
变式3．（2024·广西来宾·一模）棱长为3 的正方体ABCD−A1B1C1 D1
中，点E，F 满足⃗D1 E =2⃗ED，
BF⃗=2 F B⃗1
，则点E 到直线F C1的距离为（ ）
A．3√35
5
B．2√35
5
C．3√7
5
D．2√7
5
变式4．(多选)（23-24 高二下·江西·开学考试）如图，四边形ABCD , ABEF都是边长为2 的正方形，
平面ABCD⊥平面ABEF，P，Q 分别是线段AE ,BD的中点，则（ ）
A．PQ∥DF
B．异面直线AQ , PF所成角为π
6
C．点P 到直线DF的距离为√6
2
D．△DFQ的面积是√3
2
变式5 ．（多选）（23-24 高二下· 江苏扬州· 阶段练习）如图，在棱长为2 的正方体
ABCD−A1B1C1 D1中，点P 是线段A D1上的点，点E 是线段C C1上的一点，则下列说法正确的是（
）
10
A．存在点E，使得A1 E⊥平面A B1 D1
B．当点E 为线段C C1的中点时，点B1到平面AE D1的距离为2
C．点E 到直线B D1的距离的最小值为√2
2
D．当点E 为棱C C1的中点，存在点P，使得平面PBD与平面EBD所成角为π
4
变式6．（23-24 高二上·河北邢台·期末）已知空间直角坐标系中的点A (1,1,1),B (0,1,0),C (1,2,3)，则
点C到直线AB的距离为 .
变式7．（23-24 高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，A A1=2 AB = 4，点E在
线段C C1
上，且⃗C C1= 4⃗CE，点F为BD中点.
(1)求点D1到直线EF的距离；
(2)求证：A1C ⊥面BDE.
变式8．（2024 高二上·江苏·专题练习）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，ABCD是矩形，PA ⊥平
面ABCD，PA = AB =3，BC =2，E 是PB 上一点，且BE =2 EP，求点E 到直线PD 的距离.
11
【方法技巧与总结】
用向量法求点线距的一般步骤
（1）建立空间直角坐标系；
（2）求直线的方向向量；
（3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影长；
（4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
【题型3：用向量法求点面距】
例3．（多选）（23-24 高二下·甘肃·期末）如图，正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为2，则下列说法
正确的是（ ）
A．直线D1C和BC1所成的角为π
4
B．四面体BDC1 A1的体积是8
3
C．点A1到平面BDC1的距离为4√3
3
D．平面BD A1与平面BDC1所成二面角的正弦值为2√2
3
变式1．（多选）（23-24 高二下·四川凉山·期末）如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，
E、F分别为B B1、C C1的中点，G是线段B1C1上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
12
A．直线AG与平面AEF所成角的余弦值的取值范围为[
√10
10 , √6
6 ]
B．点G到平面AEF的距离为2√5
5
C．四面体AEFG的体积为2√5
3
D．若线段A A1的中点为H，则GH一定平行于平面AEF
变式2．（23-24 高二下·安徽·期末）在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E，F 分别为正方形
ABCD和正方形CD D1C1的中心，则点A到平面A1 EF的距离为 .
变式3．（24-25 高二上·上海·课堂例题）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为1，H为棱A A1
（包含端点）上的动点，则点H到平面B1C D1距离的取值范围是 ．
变式4．（23-24 高二下·河北唐山·期末）在三棱锥P—ABC 中，AB = BC = PC = PB =2，∠ABC =90°，
E 为AC 的中点，PB⊥AC．
(1)求证：平面PBE⊥平面ABC；
(2)求点C 到平面PAB 的距离．
变式5．（21-22 高二上·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1 的正方形，
PD⊥AD，PC =√2，PD =1，E，F 分别是AB，BC 的中点．
13
(1)求点D 到平面PEF 的距离；
(2)求直线AC 到平面PEF 的距离．
变式6．（24-25 高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥平
面ABCD，PA = AD = 4，AB =2，若M、N 分别为棱PD、PC的中点，O 为AC中点．
(1)求证：平面ABM ⊥平面PCD；
(2)求点N 到平面ACM的距离．
变式7．（23-24 高二下·天津·期末）如图，ABCD 是边长为3 的正方形，DE⊥平面ABCD，AF // DE且
DE =2 AF = 4.
(1)求证：BF //平面DEC；
(2)求平面BEC 与平面BEF 夹角的余弦值；
(3)求点D 到平面BEF 的距离.
变式8．（23-24 高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA ⊥平
面ABCD，PB =√5，PC =√6，PD =√2.
14
(1)证明：平面PAB⊥平面PBC；
(2)求二面角B−PC −D的余弦值；
(3)求点C到平面PBD的距离.
【方法技巧与总结】
用向量法求点面距的步骤
（1）建系：建立恰当的空间直角坐标系；
（2）求点坐标：写出（求出）相关点的坐标；
（3）求向量：求出相关向量的坐标（⃗AP，α 内两个不共线向量，平面α 的法向量n）；
（4）求距离d=⃗| AP∙⃗n|
|⃗n|
【题型4：用向量法求线面距】
例4．（23-24 高二下·甘肃·期中）已知棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E，M，N分别是
A1B1, AD ,C C1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为（ ）
A．1
B．√3
3
C．√3
2
D．√3
变式1．（多选）（22-23 高二上·云南昆明·期中）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，
M是A1B1的中点，点P是侧面CD D1C1上的动点，且MP//截面A B1C，则下列说法正确的是
（ ）
A．直线MP到截面A B1C的距离是定值
B．点M到截面A B1C的距离是√3
3
15
C．MP的最大值是2√2
D．MP的最小值是2
变式2．（24-25 高二上·上海·课堂例题）已知正四面体A −BCD的棱长为2，点M、N分别为△ABC
和△ABD的重心，则直线MN到平面ACD的距离为 ．
变式3．（23-24 高二下·山东烟台·阶段练习）如图，在边长为1 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点P
在B1C1上，点Q在平面AB B1 A1内，设直线A A1与直线PQ所成角为θ.若直线PQ到平面AC D1的距离为
√3
2
，则sinθ的最小值为 .
变式4．（2024·广东·三模）如图，边长为4 的两个正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F分
别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，AG =2GD，直线AB与平面EFG相交于点H.
(1)证明：BD //GH；
(2)求直线BD与平面EFG的距离.
变式5．（2024·吉林·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA ⊥平面ABCD , PB = PC =2√6，
PA = BC =2 AD =2CD = 4 , E为BC中点，点F在梭PB上（不包括端点）.
16
(1)证明：平面AEF ⊥平面PAD；
(2)若点F为PB的中点，求直线EF到平面PCD的距离.
变式6．（23-24 高二下·江苏连云港·阶段练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架
ABCD , ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N 分别在正方形对角线AC和BF
上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM = BN =a(0<a<√2)．
(1)a 为何值时，MN的长最小？
(2)当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值；
(3)当MN的长最小时求直线CE到平面MNB的距离．
变式7 ．（22-23 高二下· 江苏连云港· 阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，
AB =1,BC =2,∠ABC =60°，四边形ACEF为正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF．
(1)证明：AB⊥CF；
(2)求直线AC到平面BEF的距离；
(3)求平面BEF与平面ADF夹角的正弦值．
【方法技巧与总结】
求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，
求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距
离时有时用直线到平面的距离进行过渡.
【题型5：用向量法求面面距】
例5．（23-24 高二上·江苏扬州·阶段练习）如图，在几何体ABC −A1B1C1中，四边形A1 AC B1是矩
17
形，△ACB≌△A1B1C1，且平面ACB //平面A1B1C1，A A1⊥AB，AB = BC = A A1= √2
2 AC =1，则
下列结论错误的是（ ）
A．A C1// B B1
B．异面直线B B1、C1C所成的角为π
3
C．几何体ABC −A1B1C1的体积为1
2
D．平面A1B B1与平面A C1C间的距离为√3
3
变式1．（22-23 高二下·安徽阜阳·阶段练习）在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，下列说法
不正确的是（ ）
A．直线BC与平面ABC1 D1所成的角为π
3
B．A C1⊥A1 D
C．三棱锥B1−A1BD外接球的表面积为12π
D．平面A1BD与平面B1 D1C的距离为2√3
3
变式2．（23-24 高二上·全国·课后作业）正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为1，则平面A B1 D1与平
面BDC1的距离为（ ）
A．√2
B．√3
C．√2
3
D．√3
3
变式3．（21-22 高二上·浙江绍兴·期末）空间直角坐标系中A (0,0,0)、B (1,1,1)、C (1,0,0)）、
D (−1,2,1)，其中A ∈α，B∈α，C ∈β，D∈β，已知平面α //平面β，则平面α与平面β间的距离为
（ ）
A．√26
26
B．√13
13
C．√3
3
D．√5
5
变式4．（21-22 高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，
OA ⊥底面ABCD，OA =2，M、N、R分别是OA、BC、AD的中点．求：
18
(1)直线MN与平面OCD的距离；
(2)平面MNR与平面OCD的距离．
变式5．（20-21 高二·全国·课后作业）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱长为4，点M，N，E，F 分别
为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1 的中点，
（1）证明：平面AMN∥平面EFBD；
（2）求平面AMN 与平面EFBD 间的距离．
【题型6：线线距离】
例6．（23-24 高二上·广东广州·期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到
另一条直线距离的最小值．在棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，直线BD与C B1的距离为
（ ）
A．1
B．√2
2
C．1
2
D．√3
3
变式1. （23-24 高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB =1，M，N
分别是棱AB，C C1的中点，E 是BD 的中点，则异面直线D1 M，EN 间的距离为（ ）
19
A．√2
4
B．√2
2
C．1
D．4
3
变式2. （21-22 高二上·上海浦东新·期中）如图是一棱长为1的正方体，则异面直线A1B与B1 D1之间的
距离为（ ）
A．√3
B．√3
3
C．1
2
D．√2
2
变式3. (多选)（2023·辽宁朝阳·一模）如图，在棱长为1 正方体ABCD−A1B1C1 D1中，M为B1C1的
中点，E为A1C1与D1 M的交点，F为BM与C B1的交点，则下列说法正确的是（ ）
A．A1C1与D1B垂直
B．EF是异面直线A1C1与B1C的公垂线段，
C．异面直线A1C1与B1C所成的角为π
2
D．异面直线A1C1与B1C间的距离为√3
3
变式4. （23-24 高二上·北京昌平·阶段练习）在棱长是2的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E为A1B1的
20
中点，则异面直线D1 E和BC1间的距离是
变式5. （21-22 高二·全国·课后作业）如图，多面体ABC −A1B1C1是由长方体一分为二得到的，
A A1=2，AB = BC =1，∠ABC =90°，点D 是B B1中点，则异面直线D A1与B1C1的距离是 ．
变式6. （21-22 高二·全国·单元测试）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB＝1，M，N 分别是棱
AB，C C1的中点，E 是BD 的中点，则异面直线D1 M，EN 间的距离为 .
一、单选题
1．（23-24 高二上·广东深圳·期末）已知A (1,1,1),B (1,0,1),⃗BC =(1,−1,1)，则点A到直线BC的距离
为（ ）
A．√3
3
B．2√3
3
C．√6
3
D．2√6
3
2．（22-23 高二上·浙江温州·期中）已知A (0,0,1),B (0,2,0),C (3,0,0),O(0,0,0)，则点O 到平面ABC 的
距离是（ ）
A．6
7
B．6
7 √2
C．2√2
3
D．2
3
21
3．（22-23 高二上·河南焦作·期末）在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1，中，M、N分别是
A1B1、CD的中点，则点B到截面AM C1 N的距离为（ ）
A．√2
B．2√6
3
C．√3
D．4√2
3
4．（22-23 高二下·福建漳州·期中）已知点A(1,1,2),B(2,0,1),C(−1,2,0)，则点C到直线AB的距离
为（ ）
A．√3
3
B．1
3
C．√78
3
D．4√5
3
5 ．（22-23 高二下· 四川成都· 期末）在空间直角坐标系Oxyz中，已知
A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1), D (1,1,1)，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．1
3
B．√2
3
C．√3
3
D．2
3
6 ．（23-24
高二下· 河南· 阶段练习）如图，在三棱锥P−ABC中，
PA = PB = PC =2,∠APB =90
∘,∠BPC =∠APC =60
∘, M为BC的中点，Q为AM的中点，则线段PQ的
长度为（ ）
A．√2
B．√5
2
C．3
2
D．√6
2
7．（23-24 高二下·江苏·期中）已知点M (2,3,1)，记点M 到x 轴的距离为a，到y 轴的距离为b，到z 轴
的距离为c，则下列结论中正确的是（ ）
A．a>b>c
B．c>b>a
C．c>a>b
D．b>c>a
8．（23-24 高二下·江西·开学考试）在正三棱锥P−ABC中，AB =√2 PA =√2，且该三棱锥的各个顶
22
点均在以O 为球心的球面上，设点O 到平面PAB 的距离为m，到平面ABC 的距离为n，则n
m
=（ ）
A．3
B．2√3
3
C．√3
D．√3
3
二、多选题
9．(多选)（22-23 高二上·辽宁·期中）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，A A1=2 AB =2，O
为四边形DC C1 D1对角线的交点，下列结论正确的是（ ）
A．点O到侧棱的距离相等
B．正四棱柱外接球的体积为√6π
C．若⃗D1 E = 1
4⃗D1 D，则A1 E⊥平面AO D1
D．点B到平面AO D1的距离为2
3
10．（23-24 高二下·甘肃·期中）如图所示，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E，F分别
为棱A A1和B B1的中点，则以D为原点，DA , DC , D D1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则
下列结论正确的是（ ）
A．EF //平面ABCD
B．D1 E⊥CF
C．⃗a=(1,0,2)是平面EF D1的一个法向量
D．点C到平面EF D1的距离为4√5
5
11．（24-25 高二上·江苏·假期作业）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱
23
ABF −DCE组合而成，AB⊥AF，AB = AD = AF = 4，G是´
CD上的动点．则（ ）
A．平面ADG⊥平面BCG
B．G为´
CD的中点时，BF // DG
C．存在点G，使得直线EF与AG的距离为2√5
D．存在点G，使得直线CF与平面BCG所成的角为60
∘
三、填空题
12．（23-24 高二上·陕西汉中·阶段练习）如图，棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E为D D1
的中点，则点C1到平面A B1 E的距离为 .
13．（23-24 高二上·天津·期末）已知空间中三点A (0,3,−2)，B (1,2,−3)，C (2,0,−4)，则点A到直
线BC的距离为 .
14．（23-24 高二下·江苏扬州·期中）在正三棱锥P−ABC中，AB =√2 PA =√2，且该三棱锥的各个顶
点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则n
m = ．
四、解答题
15．（24-25 高二上·江苏·假期作业）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD，
Δ PAD是边长为2 的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC // AD，AB⊥AD，AB = BC =1．
24
(1)取线段PA中点M连接BM，判断直线BM与平面PCD是否平行并说明理由；
(2)求B到平面PCD的距离；
(3)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为√10
5
？若存在，求出PE
PD 的值；
若不存在，请说明理由．
16．（23-24 高二下·江苏盐城·期中）如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是直角梯形，
AD∥BC，AD =2，∠ABC =90°，且PA ⊥平面ABCD，PA = AB = BC =1．求：
(1)平面PCD与平面PBA所成的二面角的正弦值；
(2)点A到平面PCD的距离．
17．（23-24 高一下·广西·阶段练习）如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，侧棱垂直于底面，E , F分别
是BC , A1C1的中点，△ABC是边长为2 的等边三角形，A A1=2 AB．
25
(1)证明：BC ⊥A1 E；
(2)求点C到平面AEF的距离．
18．（23-24 高二下·江苏连云港·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是梯形，
AD⊥AB ,BC ∥ AD , PA ⊥AB，平面PAC ⊥平面ABCD , AD =2, PA = AB = BC =1.
(1)证明：PA ⊥AD；
(2)若点T是CD的中点，点M是线段PT上的点，点P到平面ABM的距离是3√13
13
.求：
①直线CD与平面ABM所成角的正弦值；
②三棱锥P−ABM外接球的表面积.
19．（23-24 高二下·广东广州·阶段练习）如图1 所示△PAB中，AP⊥AB , AB = AP =12．D ,C分别
为PA , PB中点．将△PDC沿DC向平面ABCD上方翻折至图2 所示的位置，使得PA =6√2．连接
PA , PB , PC得到四棱锥P−ABCD，记PB的中点为N，连接CN，动点Q 在线段CN上．
(1)证明：CN ⊥平面PAB；
(2)若QC =2QN，连接AQ , PQ，求平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值；
(3)求动点Q 到线段AP的距离的取值范围．
26
20．（23-24 高二上·全国·期中）已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将
正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角．
(1)若H为AB的中点，M在线段AH上，且直线DE与平面EMC所成的角为60°，求此时平面MEC与平
面ECF的夹角的余弦值．
(2)在（1）的条件下，设⃗EG = λ⃗EA( λ∈(0,1))，⃗DN =⃗NC，⃗CP =⃗PF，且四面体GNHP的体积为√3
2
，
求λ的值．
