文档文本内容
【第8 讲：函数的周期性】
一．函数周期性的判断与求解（共9 小题）
二．由函数的周期性求解函数或参数（共5 小题）
三．抽象函数的周期性（共7 小题）
四．类周期函数（共6 小题）
【知识点清单】
1．函数的奇偶性
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y 轴对
称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0 解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
2．奇函数偶函数的性质
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y 轴对
称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0 解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
3.奇偶函数图象的对称性
【知识点的认识】
奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m 时，
题型梳理
总览
f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y 轴对称，它的特点是当f（x）＝n 时，f（﹣x）＝n．
4．抽象函数的奇偶性
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数
表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y
＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
5．函数周期性的判断与求解
【知识点的认识】
函数的周期性定义为若T 为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T） 恒成立，则f（x）叫
做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数．
【解题方法点拨】
周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．
①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，
例：求f（x）=
1
f ( x−2)的最小正周期．
解：由题意可知，f（x+2）=
1
f ( x) =f（x﹣2）⇒T＝4
②与对称函数或者偶函数相结合求函数与x 轴的交点个数．如已知函数在某个小区间与x 轴有n 个交
点，求函数在更大的区间与x 轴的交点个数．
思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意
端点的值．
【命题方向】
题目包括判断和求解函数的周期性，结合周期性分析函数的性质及应用．
6．抽象函数的周期性
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数
表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y
＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】
抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题
和小题为主，要引起重视．
6．类周期函数
【知识点的认识】类周期函数是指具有类似周期性，但又不完全遵循周期性规律的函数．
【解题方法点拨】﹣分析类周期函数的形式，找到函数的近似周期．﹣利用类周期性分析函数性质，确定
类周期函数的行为．﹣综合考虑类周期函数的各部分，分析其性质和应用．
【命题方向】题目包括判断和求解类周期函数的性质，结合实际问题分析类周期函数的应用．
一．函数周期性的判断与求解（共9 小题）
1．已知函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x+2），且f（3）＝﹣1，则f（2025）＝（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【考点】函数周期性的判断与求解．
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【分析】首先得出函数的周期是4，然后结合f（x）＝﹣f（x+2），f（3）＝﹣1 即可求解．
【解答】解：根据题意可知，f（x）＝﹣f（x+2）＝﹣[﹣f（x+4）]＝f（x+4），
f（2025）＝f（1+506×4）＝f（1）＝﹣f（3）＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的周期性，属于基础题．
2．已知函数f（x）满足对于任意的实数x，都有f ( x +3)=
1
f ( x)，且f (3)= 1
3，则f（2025）＝（ ）
A．−1
3
B．1
3
C．﹣1
D．1
【考点】函数周期性的判断与求解．
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【分析】根据f ( x +3)=
1
f ( x)可求f（x）的周期，根据函数周期性即可求值．
【解答】解：根据题意可知，f ( x +3)=
1
f ( x)，则f ( x +6)=
1
f ( x +3) = f ( x)，
知识讲解与常考题型
题型分类
所以函数f（x）的周期T＝6，
所以f (2025)= f (337×6+3)= f (3)= 1
3．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的周期性，属于基础题．
3．已知函数y＝x2f（x+1）是定义在R 上的奇函数n 且f（x﹣1）＝f（5﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝
2﹣2x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2025）＝（ ）
A．﹣2
B．0
C．2
D．﹣4050
【考点】函数周期性的判断与求解．
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【分析】根据题意，由条件可得函数f（x）关于点（1，0）对称，再结合条件可得函数f（x）是周期为
4 的周期函数，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：已知函数y＝x2f（x+1）是定义在R 上的奇函数n 且f（x﹣1）＝f（5﹣x），
且当x∈[0，1]时，f（x）＝2﹣2x，
所以（﹣x）2f（﹣x+1）＝﹣x2f（x+1），即f（1﹣x）＝﹣f（1+x），
即函数f（x）关于点（1，0）对称，所以f（x）+f（2﹣x）＝0，
又因为f（x﹣1）＝f（5﹣x），则函数f（x）关于直线x＝2 对称，
即f（x）＝f（4﹣x），
所以f（4﹣x）+f（2﹣x）＝0，令t＝2﹣x，则x＝2﹣t，
f（2+t）+f（t）＝0，即f（t）＝﹣f（2+t），所以f（4+t）＝﹣f（2+t）＝f（t），
即f（4+x）＝f（x），函数f（x）是周期为4 的周期函数，
又当x∈[0，1]时，f（x）＝2﹣2x，
则f（0）＝2，f（1）＝0，
则f（2）＝﹣f（0）＝﹣2，f（3）＝﹣f（1）＝0，f（4）＝f（0）＝2，
则f（1）+f（2）+f（3）+...+f（2025）＝506×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2025）＝f（1）＝0．
故选：B．
【点评】本题考查函数的周期性相关知识，属于中档题．
4．已知函数f（x）满足：∀x∈R，f（x）•f（x+4）＝2，且f（1）＝2，则f（29）＝（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】函数周期性的判断与求解．
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【分析】根据已知得到函数f（x）的一个周期为8，再利用周期性求函数值．
【解答】解：已知函数f（x）满足：∀x∈R，f（x）•f（x+4）＝2，且f（1）＝2，
显然f（x）≠0，所以f ( x + 4)=
2
f ( x)，
所以f ( x +8)=
2
f ( x + 4) =
2
2
f ( x)
= f ( x)
，函数f（x）的一个周期为8，
所以f (29)= f (8×3+5)= f (5)=
2
f (1) =1．
故选：A．
【点评】本题考查函数的周期性，属于中档题．
5．已知函数f（x）满足对∀x∈R 都有f（x）＝f（x+3），f（x）+f（4﹣x）＝4，则f（2024）＝（ ）
A．1
B．2024
C．2
D．2025
【考点】函数周期性的判断与求解．
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【分析】求出函数f（x）的周期为3，以及f（2）＝2，即可求出结果．
【解答】解：由f（x）+f（4﹣x）＝4，令x＝2，可知f（2）+f（2）＝4，即f（2）＝2，
又因为f（x）＝f（x+3），所以函数f（x）的一个周期为3，
则f（2024）＝f（3×674+2）＝f（2）＝2．
故选：C．
【点评】本题考查函数的周期性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．已知定义在R 上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x）．当1≤x≤2 时，f（x）＝log2（x+7），则f
（2023）＝（ ）
A．3
B．﹣3
C．﹣5
D．5
【考点】函数周期性的判断与求解；对数运算求值；奇函数偶函数的性质．
版权所有
【分析】首先判断函数的周期，再利用周期求函数值．
【解答】解：f（x）为奇函数，
则f（﹣x）＝﹣f（x），
f（x）＝f（2﹣x），
则﹣f（﹣x）＝f（2﹣x），即﹣f（x）＝f（2+x），
故f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
所以函数f（x）是周期为4 的函数，
f（2023）＝f（506×4﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣log28＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数周期性的判断与求解，属于基础题．
7．已知函数f（x）是周期为2 的奇函数，且当x∈（0，1）时，f（x）＝3x+1，则f (lo g3
81
2 )的值为
（ ）
A．3
B．﹣3
C．﹣2
D．2
【考点】函数周期性的判断与求解；奇函数偶函数的性质．
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【分析】先将lo g3
81
2 化简成4﹣log32，再利用函数的周期性和奇偶性，最后代入解析式，计算即得．
【解答】解：已知函数f（x）是周期为2 的奇函数，且当x∈（0，1）时，f（x）＝3x+1，
故f (lo g3 81
2 )= f (lo g381−lo g32)= f (4−lo g32)= f (−lo g32)，
=−f (lo g32)=−(3
lo g32+1)=−(2+1)=−3．
则f (lo g3
81
2 )的值为﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查函数的周期性相关知识，属于中档题．
8．已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）+f（﹣x）＝1，f（x）的图象关于点(−π
2 ，1
2 )对称，且
f ( π
12 )= 1
4 ，则f ( 119 π
12 )=（ ）
A．−3
4
B．3
4
C．−1
4
D．1
4
【考点】函数周期性的判断与求解．
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【分析】f（x）的图象关于点(−π
2 ，1
2 )对称和f（x）＝f（﹣π+x），得f（x）是周期为π 的周期函数，
根据周期函数的性质即可求解．
【解答】解：因为f（x）的图象关于点(−π
2 ，1
2 )对称，所以有f（﹣x）+f（﹣π+x）＝1，
又f（x）＝f（﹣π+x），所以f（x）是周期为π 的周期函数，
所以f ( 119 π
12 )= f (10 π −π
12 )= f (−π
12 )=1−f ( π
12 )= 3
4 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数对称性及周期性的应用，属于中档题．
9．已知f（x）是定义在R 上的奇函数，∀x∈R，恒有f（x）+f（x+2）＝0，且当x∈（0，1]时，f（x）＝
1+2x，则f（1）+f（2）+…+f（2024）+f（2025）＝
3
．
【考点】函数周期性的判断与求解．
版权所有
【分析】依题意，可求得f（x）是以4 为周期的函数，进而可得答案．
【解答】解：∵∀x∈R，恒有f（x）+f（x+2）＝0，
∴f（x+2）＝﹣f（x），①
∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是以4 为周期的函数；②
又f（x）是定义在R 上的奇函数，
∴f（0）＝0，
又当x∈（0，1]时，f（x）＝1+2x，
∴f（1）＝1+2＝3；
由①②得f（2）＝﹣f（4）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣3，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝3+0﹣3+0＝0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2024）+f（2025）＝ 506[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）＝0+3＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查数函数的周期性的判断与求解，考查运算能力，属于中档题．
二．由函数的周期性求解函数或参数（共5 小题）
10．已知定义在R 上的函数y＝f（x）满足f ( x + 4)=
1
f ( x)，当0＜x＜4 时，若f（x）＝ax+b（a＞0，b＞
0），且f（2025）＝1，则1
a + 2
b 的最小值是（ ）
A．3+ ❑√2
B．2+ ❑√2
C．3+2❑√2
D．2+3 ❑√2
【考点】由函数的周期性求解函数或参数．
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【分析】根据已知条件求出函数的周期，进而求得a+b＝1，化1
a + 2
b
1
a + 2
b =( 1
a + 2
b )(a+b)，再利用基
本不等式即可求解最小值．
【解答】解：因为f ( x + 4)=
1
f ( x)，所以f ( x + 4 + 4)=
1
f ( x + 4) = f ( x)，
即f（x+8）＝f（x），故y＝f（x）的周期为8，
所以f（2025）＝f（8×253+1）＝f（1）＝a+b＝1，
则1
a + 2
b =( 1
a + 2
b )(a+b)=3+ b
a + 2a
b ，
因为a＞0，b＞0，所以3+ b
a + 2a
b ≥2❑√
b
a ⋅2a
b +3=3+2❑√2，
当且仅当{
b
a = 2a
b
a+b=1)
，即{
a= ❑√2−1
b=2−❑√2)时，等号成立．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数周期性与基本不等式的综合，属于中档题．
11．已知定义在R 上的函数f（x）满足f（x﹣1）+f（x+1）＝0，且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2
（x+1），则3f（2023）﹣2f（2022）的值为（ ）
A．3
B．1
C．﹣1
D．﹣3
【考点】由函数的周期性求解函数或参数．
版权所有
【分析】由f（x﹣1）+f（x+1）＝0 变形可知原函数是周期T＝4 的周期函数，利用周期化简结合函数已
知的解析式即可求解．
【解答】解：∵f（x﹣1）+f（x+1）＝0，
∴f（﹣1）+f（1）＝0，且f（1）＝log2（1+1）＝1，
∴f（﹣1）＝﹣1，
∴f（0）+f（2）＝0，且f（0）＝log2（0+1）＝0，
∴f（2）＝0，又可得f（x）+f（x+2）＝0，
∴f（x+4）＝f（x），
∴f（x）是周期T＝4 的周期函数，
∴f（2023）＝f（﹣1）＝﹣1，f（2022）＝f（2）＝0，
∴3f（2023）﹣2f（2022）＝3×（﹣1）﹣2×0＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，考查计算能力，属于基础题．
12．已知f（x+1）是周期为2 的奇函数，当﹣1≤x≤0 时，f（x）＝sinπx，则f (−4
3 )的值为（ ）
A．−1
2
B．1
2
C．−
❑√3
2
D．
❑√3
2
【考点】由函数的周期性求解函数或参数．
版权所有
【分析】先利用已知条件确定函数f（x）的周期，再利用f（x+1）＝﹣f（﹣x+1）和已知的解析式，求
解即可．
【解答】解：因为f（x+1）是周期为2 的函数，
所以f（x）的周期为2，
因为f（x+1）为奇函数，
则f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），且当﹣1≤x≤0 时，f（x）＝sinπx，
所以f (−4
3 )= f (−7
3 +1)=−f ( 10
3 )=−f (−2
3 )=−sin(−2π
3 )=
❑√3
2 ．
故选：D．
【点评】本题考查了函数奇偶性与周期性的应用，解题的关键是将所要求解的值利用奇偶性与周期性进
行转化，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
（多选）13．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且g（x）+f（﹣x+2）＝1，f（x）﹣g（x+1）＝
1，若y＝f（x）的图象关于直线x＝1 对称，则以下说法正确的是（ ）
A．g（x）为奇函数
B．∀x∈R，f（x）＝f（x+4）
C．f（x+2024）+f（﹣x﹣2023）＝2
D．g(−3
2 )=0
【考点】由函数的周期性求解函数或参数；奇函数偶函数的判断；奇偶函数图象的对称性．
版权所有
【分析】利用对称性、和周期性的性质，结合f（x）与g（x）之间的关系，逐项判断即可．
【解答】解：∵函数f（x），g（x）的定义域均为R，
由g（x）+f（﹣x+2）＝1 可得g（x+1）+f（1﹣x）＝1，
又f（x）﹣g（x+1）＝1，
∴f（x）+f（1﹣x）＝2，故f（x+2024）+f（﹣x﹣2023）＝2，C 正确；
∵y＝f（x）的图象关于直线x＝1 对称，
∴f（1﹣x）＝f（1+x），
∴f（x）+f（1+x）＝2，
∴f（x+2）+f（1+x）＝2，
∴f（x）＝f（x+2），即T＝2，f（x）＝f（x+4），B 正确；
∵y＝f（x）的图象关于直线x＝1 对称，
∴f（﹣x）＝f（2+x），∴f（x）＝f（﹣x）；
又g（x）+f（2﹣x）＝1，∴g（x）+f（x）＝1，∴g（﹣x）+f（﹣x）＝1，
∴g（x）+f（x）＝1，
∴g（﹣x）+f（﹣x）＝1，又f（x）是偶函数，
∴g（﹣x）＝g（x），
∴g（x）是偶函数，故A 错误，
由f（x）+f（1﹣x）＝2 得f（1
2）＝1，则f（1
2）＝f（−1
2）＝1，
又f（x）＝f（x+2），∴f（−3
2）＝1，由g（x）+f（x）＝1，f（−3
2）+g（−3
2）＝1，
∴g（−3
2）＝0，D 正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性及对称性的综合应用，属于中档题．
14．设函数y＝f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈（﹣1，1]时，f（x）
＝2x﹣1，则∑
k =1
2025
f (k )=
1
．
【考点】由函数的周期性求解函数或参数．
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【分析】求出函数f（x）的图象的对称点，对称直线，周期，求出∑
k =1
8
f (k )，求出∑
k =1
2025
f (k )．
【解答】解：因为函数y＝f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，
所以函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，也关于直线x＝1 对称，
所以f（﹣x）＝f（x+2），f（﹣x）＝﹣f（x﹣2），
所以f（x+2）＝﹣f（x﹣2），
则f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），
所以函数f（x）是周期为8 的周期函数，
当x∈（﹣1，1]时，f（x）＝2x﹣1，
则f（1）＝1，f（7）＝f（﹣1）＝0，f（8）＝f（0）＝﹣1，f（2）＝f（0）＝﹣1，f（3）＝f（﹣1）
＝0，
f（4）＝﹣f（﹣6）＝﹣f（2）＝1，f（5）＝f（﹣3）＝﹣f（1）＝﹣1，f（6）＝﹣f（﹣8）＝﹣f（0）
＝1，
所以∑
k =1
8
f (k )=1−1+0+1−1+1+0−1=0，
又因为2024＝8×253，所以∑
k =1
2025
f (k )=253∑
k =1
8
f (k )+ f (1)=253×0+1=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了函数性质的综合应用，属于中档题．
三．抽象函数的周期性（共7 小题）
15．已知定义在R 上的函数f（x）满足f（6﹣x）+f（x）＝0，且f（2x+1）为偶函数，则f（2023）＝（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】抽象函数的周期性；抽象函数的奇偶性．
版权所有
【分析】由已知条件得8 为函数f（x）的周期，结合f（3）＝0 利用函数的周期性即可求值．
【解答】解：因为f（2x+1）为偶函数，
所以f（2x+1）＝f（﹣2x+1），
所以f（﹣x）＝f（x+2），
又f（6﹣x）+f（x）＝0，所以f（﹣x）+f（x+6）＝0，
所以f（x+2）+f（x+6）＝0，
所以f（x）+f（x+4）＝0，所以f（x+4）+f（x+8）＝0，
所以f（x+8）＝f（x），所以8 为函数f（x）的周期，
又f（6﹣x）+f（x）＝0 得f（6﹣3）+f（3）＝0，所以f（3）＝0，
所以f（2023）＝f（252×8+7）＝f（7）＝﹣f（3）＝0．
故选：A．
【点评】本题考查抽象函数的性质，属中档题．
16．已知定义在R 上的函数f（x），对任意实数x 都有f（x+4）＝﹣f（x），若函数y＝f（x﹣1）的图象
关于直线x＝1 对称，且f（﹣1）＝2，则f（2025）＝（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】抽象函数的周期性；抽象函数的奇偶性．
版权所有
【分析】先利用图象变换得出f（x）为偶函数，再利用f（x+4）＝﹣f（x）得出y＝f（x）的周期，进而
利用周期性和对称性即可求解．
【解答】解：因为将函数f（x+4）＝﹣f（x），
所以f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），
所以f（x）是周期为8，
又y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1 对称，
所以f（1﹣x﹣1）＝f（1+x﹣1），
即f（﹣x）＝f（x），所以f（x）为偶函数，又f（﹣1）＝2，
所以f（2025）＝f（1+253×8）＝f（1）＝f（﹣1）＝2．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的性，属中档题．
17．已知定义域均为R 的函数f（x），g（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝2，g（4﹣x）＝g（x），g（2）＝
3，若f（x）＝g（2+x）+4，则下列说法错误的是（ ）
A．f（x）的图象关于y 轴对称
B．﹣8 为f（x）的一个周期
C．f（2023）＝﹣1
D．∑
k =1
22
f（k）＝16
【考点】抽象函数的周期性．
版权所有
【分析】根据抽象函数的对称性可得f（﹣x）＝f（x），f（x+4）＝f（x），f（0）＝g（2）+4＝7，f
（1）＝1，从而根据周期性及对称性，即可分别求解．
【解答】解：因为g（4﹣x）＝g（x），g（2）＝3，又f（x）＝g（2+x）+4，
所以f（2﹣x）＝g（4﹣x）+4，f（x﹣2）＝g（x）+4，两式相减可得：
f（2﹣x）﹣f（x﹣2）＝0，所以f（2﹣x）＝f（x﹣2），
所以f（﹣x）＝f（x），所以f（x）的图象关于y 轴对称，所以A 选项正确；
又f（2﹣x）+f（x）＝2，所以f（2﹣x）+f（﹣x）＝2，
所以f（x+2）+f（x）＝2，所以f（x+4）+f（x+2）＝2，
所以f（x+4）＝f（x），所以f（x）的周期为4，
所以﹣8 为f（x）的一个周期，所以B 选项正确；
因为g（2）＝3，f（x）＝g（2+x）+4，
所以f（0）＝g（2）+4＝7，
又f（2﹣x）+f（x）＝2，所以2f（1）＝2，所以f（1）＝1，
所以f（2）＝2﹣f（0）＝2﹣7＝﹣5，f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝1，f（4）＝f（0）＝7，
所以f（2023）＝f（4×505+3）＝f（3）＝1，所以C 选项错误；
所以f（x）的一个周期的和为f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝1﹣5+1+7＝4，
所以∑
k =1
22
f（k）＝5×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝5×4+1﹣5＝16，所以D 选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查抽象函数的性质的综合应用．属中档题．
18．已知函数f（x）为R 上的奇函数，f（1）＝1，且∀x∈（﹣∞，0），f（x）＝xf（1﹣x），则
∑
k =0
2025
f (k +1)f (2026−k )=（ ）
A．2
2025
2026!
B．2
2026
2026!
C．2
2026
2025!
D．2
2025
2025!
【考点】抽象函数的周期性；抽象函数的奇偶性．
版权所有
【分析】根据奇函数性质及迭代法求出x＞1 且x∈N 时，f ( x)=
1
( x−1)!，然后结合组合数的概念，利
用二项式系数的性质求解即可．
【解答】解：函数f（x）为R 上的奇函数，f（1）＝1，
因为f（﹣x）＝﹣f（x），f（0）＝0，
又∀x∈（﹣∞，0），f（x）＝xf（1﹣x），
所以当x＞1 且x∈N 时，1﹣x＜0，f（1﹣x）＝（1﹣x）f（x），
所以f ( x)= f ( x−1)
x−1
，
所以f ( x)= f ( x−1)
x−1
=
f ( x−2)
( x−1)( x−2) =⋯=
f (1)
( x−1)! =
1
( x−1)!，
所以∑
k =0
2025
f (k +1)f (2026−k )=∑
k =0
2025
1
k ! ⋅
1
(2025−k )! =∑
k =0
2025
2025!
k !(2025−k )! ⋅
1
2025!
]，
又
2025!
k !(2025−k )! =C2025
k
，
所以∑
k =0
2025
f (k +1)f (2026−k )=∑
k =0
2025
C2025
k
⋅
1
2025! = 2
2025
2025!．
故选：D．
【点评】本题考查抽象函数的性质，属中档题．
19．已知定义在Z 上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy﹣1，且f（2）＝7，则（ ）
A．f（1）＝4
B．方程f（x）＝0 有解
C．f（x﹣1）＝f（﹣x）
D．f（x+1）＝f（x）
【考点】抽象函数的周期性．
版权所有
【分析】根据题意，利用赋值法，即可求解．
【解答】解：因为定义在Z 上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy﹣1，且f（2）＝7，
所以f（2）＝2f（1）+1＝7，所以f（1）＝3，所以A 选项错误；
又f（0）＝2f（0）﹣1，所以f（0）＝1，
又f（3）＝f（1）+f（2）+3＝13，f（4）＝2f（2）+7＝21，…，
因为1＝f（0）＝f（1）+f（﹣1）﹣3＝3+f（﹣1）﹣3 所以f（﹣1）＝1，
所以f（﹣2）＝2f（﹣1）+1＝3，
所以f（﹣3）＝f（﹣1）+f（﹣2）+3＝7，
所以f（﹣4）＝2f（﹣2）+7＝13，
所以f（﹣5）＝f（﹣2）+f（﹣3）+11＝21，…，
所以方程f（x）＝0 无解，f（x﹣1）＝f（﹣x），f（x+1）≠f（x），
所以B，D 选项错误，C 选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查抽象函数的求值问题，属中档题．
20．已知定义在R 上的函数f（x）满足f（x）+f（6﹣x）＝0，且函数y = f ( x + 3
2 )为偶函数，当0≤x ≤3
2
时，f（x）＝4x﹣2x2，则f（2026）＝（ ）
A．3
2
B．2
C．﹣2
D．0
【考点】抽象函数的周期性；函数的奇偶性．
版权所有
【分析】根据函数对称性和偶函数的条件推出6 是f（x）的一个周期，利用函数的周期性和解析式条件
即可求得答案．
【解答】解：根据题意，定义在R 上的函数f（x）满足f（x）+f（6﹣x）＝0，变形可得f（x+3）＝﹣f
（3﹣x）①，
又由函数y = f ( x + 3
2 )为偶函数，则f (−x + 3
2 )= f ( x + 3
2 )，变形可得f（﹣x）＝f（x+3）②，
由①②两式可得：f（﹣x）＝﹣f（3﹣x），即f（x）＝﹣f（x+3），
则有f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），故6 是f（x）的一个周期．
因为当0≤x ≤3
2时，f（x）＝4x﹣2x2，
故f（2026）＝f（337×6+4）＝f（4）＝﹣f（1）＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性和对称性，涉及函数的周期性，属于基础题．
21．已知对于∀x∈R，f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），f（x）+g（x﹣3）＝2，g（﹣3﹣x）＝g（﹣3+x），且
g（﹣3）＝1，则∑
i=0
2025
f (i)=（ ）
A．1
2
B．3
2
C．1
D．0
【考点】抽象函数的周期性．
版权所有
【分析】由对于∀x∈R，f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），可得函数y＝f（x）的周期为6，利用赋值示可求
得f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝0，由f（x）+g（x﹣3）＝2，g（﹣3）＝1，可得f
（0）＝1，由g（﹣3﹣x）＝g（﹣3+x），可得函数y＝g（x）关于x＝﹣3 对称，周期为6，且为R 上
偶函数，进而可得f（x）也是R 上偶函数，取特殊函数求解即可．
【解答】解：因为对于∀x∈R，f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），
所以f（x+2）+f（x）＝f（x+1），
所以f（x+2）+f（x﹣1）＝0，
即f（x+2）＝﹣f（x﹣1），f（x+3）＝﹣f（x），
所以f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），
所以函数y＝f（x）为周期函数，最小正周期为6，
由f（x+2）+f（x﹣1）＝0，
可得f（3）+f（0）＝0，f（4）+f（1）＝0，f（5）+f（2）＝0，
所以f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝0，
又因为f（x）+g（x﹣3）＝2，g（﹣3）＝1，
所以f（0）+g（﹣3）＝2，解得f（0）＝1，
在f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x）中，
令x＝1，
则有f（2）+f（0）＝f（1），
所以f（1）＝f（2）+1，
由g（﹣3﹣x）＝g（﹣3+x），
可得y＝g（x）关于直线x＝﹣3 对称，
由f（x）+g（x﹣3）＝2，可得f（x+6）+g（x+3）＝2，
又因为f（x+6）＝f（x），
所以g（x+3）＝g（x﹣3），即g（x+6）＝g（x），
所以函数y＝g（x）为周期函数，最小正周期为6，
所以由g（﹣3﹣x）＝g（﹣3+x），
可得g[﹣（x+3）]＝g[（x+3）﹣6]＝g（x+3），
即g（﹣x）＝g（x），
所以g（x）为R 上的偶函数，
由f（x）+g（x﹣3）＝2，可得f（x+3）+g（x）＝2，
所以f（﹣x+3）+g（﹣x）＝2，
所以f（x+3）＝f（﹣x+3）＝f[﹣（x﹣3）]＝f[﹣（x+3）+6]＝f[﹣（x+3）]，
所以y＝f（x）也是R 上的偶函数，
取f（x）＝cosπx
3 ，
满足f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），
所以g（x﹣3）＝2﹣f（x）＝2﹣cosπx
3 ，
所以g（x）＝2﹣cos[π
3 （x+3）]＝2+cosπx
3 ，
满足g（﹣3﹣x）＝g（﹣3+x），且g（﹣3）＝1，
所以f（2）=−1
2，
所以∑
i=0
2025
f（i）＝337×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）]+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）
＝f（1）+f（2）＝2f（2）+1＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了利用赋值法求抽象函数的值、判断抽象函数的奇偶性及周期性，考查了逻辑推理能
力，属于难题．
四．类周期函数（共6 小题）
22．函数f（x）是定义在R 上的偶函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），若x∈[0，1]，f（x）＝2x，则f（2023）
＝（ ）
A．4
B．2
C．1
D．0
【考点】类周期函数．
版权所有
【分析】根据f（1+x）＝f（1﹣x），结合f（x）是定义在R 上的偶函数，易得函数f（x）的周期为2，
然后由f（2023）＝f（1011×2+1）＝f（1）求解．
【解答】解：因为f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）是定义在R 上的偶函数，
所以f（1+x）＝f（x﹣1），
令t＝x﹣1，则x＝t+1，
所以f（t+2）＝f（t），即f（x）＝f（x+2），
所以函数f（x）的周期为2，
所以f（2023）＝f（1011×2+1）＝f（1）＝2．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数奇偶性、对称性的应用，属于中档题．
23．定义在R 上的函数f（x）满足：f ( 1
2 )= 1
2，f（1）＝1，f ( x)= 1
2 f (5 x)，当0≤x1＜x2≤1 时，f（x1）
≤f（x2），则f（10）＝（ ）
A．2
B．1
C．1
2
D．0
【考点】类周期函数；函数的值．
版权所有
【分析】根据题意，分析可得f（1
5）= 1
2f（1）= 1
2，进而可得1
2 =f（1
5）≤f（2
5）≤f（1
2）= 1
2，则有f
（2
5）= 1
2，又由f（10）＝2f（2）＝4f（2
5），计算可得答案．
【解答】解：根据题意，f（1）＝1，f ( x)= 1
2 f (5 x)，则f（1
5）= 1
2f（1）= 1
2，
又由当0≤x1＜x2≤1 时，f（x1）≤f（x2），则有1
2 =f（1
5）≤f（2
5）≤f（1
2）= 1
2，
故f（2
5）= 1
2，
则f（10）＝2f（2）＝4f（2
5）＝2．
故选：A．
【点评】本题考查抽象函数的求值，注意函数值变化的规律，属于中档题．
24 ．定义在R 上的函数y ＝f （x ）的图的关于点(−3
4 ，0)成中心对称，对任意的实数x 都有
f ( x)=−f ( x + 3
2 )，且f（﹣1）＝1，f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2024）的值为（
）
A．2
B．1
C．﹣1
D．﹣2
【考点】类周期函数．
版权所有
【分析】由题可得函数的周期为3，结合条件可得一个周斯内的函数值，用分组求和即得．
【解答】解：∵f（x）＝﹣f（x+ 3
2），f（x+ 3
2）＝﹣f（x），则f（x+3）＝﹣f（x+ 3
2）＝f（x），
则f（x）是周期为3 的周期函数，
则f（2）＝f（﹣1+3）＝f（﹣1）＝1，f（1
2）＝﹣f（2）＝﹣1，
∵函数f（x）的图象关于点(−3
4 ，0)成中心对称，
∴f（1）＝﹣f（−5
2）＝﹣f（1
2）＝1，
∵f（0）＝f（3）＝﹣2，
∴f（1）+f（2）+f（3）＝1+1﹣2＝0，由2024＝674×3+2，
则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2024）＝f（1）+f（2）＝2．
故选：A．
【点评】本题考查函数的求值，函数的周期性，中心对称，属于中档题．
25．已知f（x）是定义在R 上的函数，f ( x)= 1+ f ( x−2)
1−f ( x−2)，且f (2)=2+ ❑√3，则f（2022）＝（ ）
A．2−❑√3
B．❑√3−2
C．2+ ❑√3
D．−2−❑√3
【考点】类周期函数．
版权所有
【分析】根据条件f ( x)= 1+ f ( x−2)
1−f ( x−2)，可推出函数f（x）的周期为8，从而求出f（2022）的值．
【解答】解：∵f ( x)= 1+ f ( x−2)
1−f ( x−2)，
∴f（x﹣2）= 1+ f ( x−4)
1−f ( x−4)，
∴f（x）=
1+ 1+ f ( x−4)
1−f ( x−4)
1−1+ f ( x−4)
1−f ( x−4)
=−
1
f ( x−4)，
∴f（x﹣4）=−
1
f ( x−8)，即f（x）＝f（x﹣8），
∴函数f（x）的周期为8，
∴f（2022）＝f（252×8+6）＝f（6）=−
1
f (2) =−
1
2+ ❑√3 = ❑√3−2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的周期性，属于基础题．
26．定义在R 上的函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x）+2x+1，则下列是周期函数的是（ ）
A．y＝f（x）+x
B．y＝f（x）﹣x
C．y＝f（x）+2x
D．y＝f（x）﹣2x
【考点】类周期函数．
版权所有
【分析】令选项中的函数为g（x），将f（x）用g（x）表示，再代入条件关系式f（x+1）＝﹣f（x）
+2x+1，即可判断g（x）的周期性．
【解答】解：对于A，令g（x）＝f（x）+x，可得f（x）＝g（x）﹣x，
由f（x+1）＝﹣f（x）+2x+1，可得g（x+1）﹣x﹣1＝﹣g（x）+x+2x+1，
即g（x+1）＝﹣g（x）+4x+2，得不出函数具有周期性，故A 错误；
对于B，令g（x）＝f（x）﹣x，可得f（x）＝g（x）+x，
由f（x+1）＝﹣f（x）+2x+1，可得g（x+1）+x+1＝﹣g（x）﹣x+2x+1，
即g（x+1）＝﹣g（x），所以g（x+2）＝﹣g（x+1）＝g（x），
即函数g（x）的周期为2，故B 正确；
对于C，令g（x）＝f（x）+2x，可得f（x）＝g（x）﹣2x，
由f（x+1）＝﹣f（x）+2x+1，可得g（x+1）﹣2（x+1）＝﹣g（x）+2x+2x+1，
即g（x+1）＝﹣g（x）+6x+3，得不出函数具有周期性，故C 错误；
对于D，令g（x）＝f（x）﹣2x，可得f（x）＝g（x）+2x，
由f（x+1）＝﹣f（x）+2x+1，可得g（x+1）+2（x+1）＝﹣g（x）﹣2x+2x+1，
即g（x+1）＝﹣g（x）﹣2x﹣1，得不出函数具有周期性，D 错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的周期性，属于中档题．
（多选）27．对于函数y＝f（x）（x∈R），下列命题正确的有（ ）
A．在同一直角坐标系中，函数y＝f（1﹣x）与y＝f（x﹣1）的图像关于直线x＝0 对称
B．若f（1﹣x）＝f（x﹣1），则函数y＝f（x）的图像关于直线x＝1 对称
C．若f（1+x）＝f（x﹣1），则函数y＝f（x）是周期函数
D．若f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），则函数y＝f（x）的图像关于（0，0）对称
【考点】类周期函数．
版权所有
【分析】根据函数的对称性，奇偶性判断ABD 选项，根据函数的周期性判断选项C．
【解答】解：对于A，函数y＝f（﹣x）与y＝f（x）的图像关于y 轴即直线x＝0 对称，
又f（1﹣x）＝f（﹣（x﹣1）），即y＝f（1﹣x）的图像是由y＝f（﹣x）的图像向右平移1 个单位长度
得到，
同理，y＝f（x﹣1）的图像是由y＝f（x）的图像向右平移1 个单位长度得到，
所以函数y＝f（1﹣x）与y＝f（x﹣1）的图像关于直线x＝1 对称，故A 错误；
对于B，若f（1﹣x）＝f（x﹣1），则f（1﹣（x+1））＝f（x+1﹣1），
即f（﹣x）＝f（x），所以其图像关于直线x＝0 对称，故B 错误；
对于C，若f（1+x）＝f（x﹣1），则f（1+x+1）＝f（x+1﹣1），
即f（x+2）＝f（x），所以f（x）是周期为2 的周期函数，故C 正确；
对于D，若f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），则f（1﹣（x+1））＝﹣f（x+1﹣1），
即f（﹣x）＝﹣f（x），所以其图像关于点（0，0）对称，故D 正确；
综上所述，CD 正确．
故选：CD．
【点评】本题考查函数的奇偶性，对称性和周期性的判断，属中档题．
一、单选题
1．已知定义域为R 的函数
，满足
是奇函数，
是偶函数，则下列说法不一定正确的是
（ ）
课后针对训练
A．
的图象关于直线
对称
B．
C．
的一个周期为4
D．
的图象关于点
对称
2．已知函数
的定义域为
为偶函数，
为奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
是定义在
上的奇函数，且满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
的定义域为
，函数
是奇函数，函数
的图象关于
直线
对称，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
D．
5．已知函数
满足
和
，且当
时，
，则
的值为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．5
6．已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
二、多选题
7．已知定义在
上的偶函数
和奇函数
满足
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
是以8 为周期的周期函数
C．
D．
8．已知函数
的定义域为
，且
，
的图象关于
对称.当
时，
，若
，则（ ）
A．
的周期为4
B．
的图象关于
对称
C．
D．当
时，
9．设函数
的定义域为R，且满足
，
为奇函数，则下列说法正确的是
（ ）
A．
为偶函数
B．
关于
对称
C．
D．
的导函数
的周期为
10．已知函数
的定义域为
，且
，曲线
的图象关于直线
对称．
若
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数
的定义域为
，
，且
，
，则下列
结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．已知函数
满足
，且
，则
；
．
13．已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，
，则
.
14．已知函数
和
的定义域均为
，且
，若
是偶函数，
，则
.
15．设
是定义在
上的函数，且
，则
．
16．设
是定义在
上的函数，且
，在区间
上，
其中
，
．若
，则
的值为 ．
四、解答题
17．已知
为偶函数，且周期为4，当
时，
，求当
时
的解析式．
18．①若
恒成立，则
有何特性？
②若
恒成立，则
有何特性？
③若
恒成立，则
有何特性？
④若
恒成立，则
有何特性？
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
B
C
B
BC
ABC
BCD
ABD
题号
11
答案
AC
1．B
【分析】根据条件中的对称性，变形判断AD，再结合判断C，根据对称性，再判断B.
【详解】由
是偶函数，可知
，则
关于
对称，故A 正确；
因为
是奇函数，所以
也是奇函数，关于点
对称，故D 正确；
由AD 可知，
，即
，即
，
则
，所以
是周期函数，周期为4，故C 正确；
由
可知，
，函数
关于
对称，
但
不确定，故B 错误.
故选：B
2．B
【分析】根据题意可推出函数
的周期，结合赋值法可确定
，判断B，其余选项结合赋值，
无法确定，即可判断正确.
【详解】因为函数
为偶函数，则
，可得
，
因为函数
为奇函数，则
，
所以
，即得
，
即
，故函数
是以4 为周期的周期函数，
对于
，令
，则
，
对于
，令
，则
，B 正确；
由题意可知
，无法推出
，A 错误，
又
，
，而
是否为0 不确定，故CD 错误，
故选：B
3．B
【分析】利用奇函数和题设等式推理得出4 是函数
的一个周期，结合给定区间上的函数解析式，利用
周期和求导即可求得.
【详解】因
是定义在
上的奇函数，则
，
由
可得
，即
，
则得
，故4 是函数
的一个周期.
因当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
于是，
.
故选：B.
4．B
【分析】由题设奇偶性和对称性条件结合奇偶性定义公式和对称性公式进行分析函数的性质即可得解.
【详解】因为
是奇函数，所以
为偶函数，
所以
，即
，故
的图象关于直线
对称，
由
的图象关于直线
对称得
，
即
，
即
，所以
关于
对称，
所以
，所以
，
故
是奇函数，所以B 选项正确；
因为
，又
，所以
，
即
，所以
，故C 选项错误；
不能得到
的奇偶性与
的值，故A，D 选项错误.
故选：B
5．C
【分析】由题，可知函数
的周期性和对称性，结合已知求解即可.
【详解】由
满足
，得
，
所以
，所以
，
所以
是以4 为周期的函数，
因为
，
所以
的图象关于直线
对称，
因为当
时，
，
所以
.
故选：C.
6．B
【分析】根据给定条件，利用赋值法可得
，且
为奇函数，再结合已知的偶函数求得8 为
的一个周期，借助性质求出目标值.
【详解】函数
的定义域为
，且有
，
令
，得
，解得
；
令
，得
，则
，
而
，即
不恒为0，因此
，函数
为奇函数，
由
为偶函数，得
，则
，
于是
，
，8 为
的一个周期，
由
，得
，即
，因此
，所以
.
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.
7．BC
【分析】根据函数奇偶性以及表达式
，可得
，则
的图象关
于点
对称，故A 错误；化简
可得
，故B 正确；又
，可得
，故C 正确；利用赋值法可求得
，故D 错误.
【详解】对于A，由题意
，
，且
，
又
，即
①，
用
替换
中的
，得
②，
由①+②得
，所以
的图象关于点
对称，故A 错误；
对于B，由
，可得
，即
，
所以
，
所以
是以8 为周期的周期函数，故B 正确；
对于C，由①可得
，则
，
所以
，故C 正确；
对于D，因为
，
为偶函数，所以
，
令
，则有
，
令
，则有
，
令
，则有
，
，
令
，则有
，
所以
，故D 错误.
故选：BC.
8．ABC
【分析】根据已知推得
的周期为4，且
、
分别是对称轴和对称中心判断A，进而有
判断B；利用周期性求函数值判断C；求得
、
，待定系数法求函
数中参数值，再由周期性求
上解析式判断D.
【详解】由
的图象关于
对称，即
的图象关于
对称，
所以
，又
，故
，
所以
，且
的一条对称轴为
，
即
的周期为4，且
、
分别是对称轴和对称中心，A 对；
所以
，即
，
关于
对称，B 对；
，C 对；
若
，则
，即
，
又
，
，即
，
所以
，
则
，可得
，故
，
所以
时
，D 错.
故选：ABC
9．BCD
【分析】由
为奇函数可得
对
恒成立，故
对
恒成立，即可判断选项A，B；结合
，可得
，推导可得
，即可判断选项C，选项D.
【详解】∵
为奇函数，
对
恒成立，
∴
对
恒成立，∴函数
为奇函数，
且函数
的图象关于
对称，故选项A 错误，选项B 正确；
∵
，∴
，
故
，而
的图象关于
对称，即有
，
故
，则
，
∴
，
∴函数
是周期为8 的周期函数，
对于
。令
，可得
，
∴
，故选项C 正确；
又
，∴
，∴
的周期为8，故选项D 正确.
故选：BCD.
10．ABD
【分析】由题可知函数关于点
对称，又函数关于直线
对称可得函数也关于
对称，即
，进而可得
呈周期递增，再根据已知部分解析式得到
的
图像，根据图像求切线可确定AB 选项，然后根据周期变化可求函数值判断CD 选项.
【详解】
，即
关于点
对称，
，又曲线
的图象关于直线
对称，所以
也关于点
对称，即
结合
可得
，即
，所以函数
呈周期性变化，
又曲线
的图象关于直线
对称，
时，
，则
时，
，又
，
时，则
，
，
又关于直线
对称，
时，
，
根据题意可作出函数图像如下：
根据图像可知函数
在两条斜率为1 的直线之间，设下面一条直线方程为：
与
相切，
，切点为
，
此时切线方程为：
，又因为
，所以
，故A 正确；
通过对称可得
，故B 正确；
由
，所以
，故C 错误；
，
，故D 正确；
故选：ABD.
11．AC
【分析】根据所给关系推导出
，即可判断A，再
，
，表示出
，
，
，
，再根据周期性及不等式的性质判断B、C、D.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，即
，所以
，
则
，故A 正确；
设
，
，
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
由
，所以
，即
，
由
，则
，即
，
所以
，
所以
，故B 错误；
，故C 正确；
，无法判断是否大于
，故D 不一定正确；
故选：AC.
12．
【分析】根据题意可得
，即可求
；分析可知函数
的一个周期为6，结合周期性
运算求解即可.
【详解】因为
，则
，可得
，
则
，所以函数
的一个周期为6，
又因为
，则
，
且
，即
，
则
，
可得
，
所以
.
故答案为：
；
.
13．2022
【分析】利用题干中函数的奇偶性，可以得到函数的两种对称性，通过替换变量推导，可以得到函数的周
期，通过赋值求出
的值，再看
包含多少个完整的周期，余下几项，即可得
到答案.
【详解】
为奇函数，
，即
，
关
于点
对称，
为偶函数，
，
关于直线
对称，
，将其代入
，得
，
用
替换
，得
，
将
代入，得
，即
故
的周期为4，
，由
，令
，得
；
由
，令
，得
，
，
故答案：2022.
14．68
【分析】由题可得
的一个周期为4，然后由赋值法可得
，据此可得答案.
【详解】
，
.
则
.
因
为偶函数，则
，
即
，结合
.
则
，
则
，
即
的一个周期为4.因
，由
，
，
可得
.
，
对于
，令
，可得
，
又
，令
，可得
.
则
，又
的一个周期为4，
则
.
故答案为：
【点睛】结论点睛：若对于任意实数，
，则
图象关于
对称；若若对于任
意实数，
，则
图象关于
对称；
若
图象同时关于
，
对称，则
的一个周期为
.
15．
【分析】根据题意可推导
，再根据周期求值即可.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，即
的周期为8．
因为
，
，
所以
，
．
故答案为：
.
16．
【分析】由
知函数周期
，所以
，
，进而求解参
数
，
得解.
【详解】因为
是定义在
上且周期为2 的函数，
所以
，即
①；
又因为
，
，
所以
②，
由①②，解得
，
，故
.
故答案为：
.
17．当
时，
【分析】根据函数的奇偶性求出
上的解析式，再根据周期性求出
上的解析式.
【详解】因为
为偶函数，当
时，
.
所以当
，则
，
.
所以当
时，
.
当
时，
，且周期为4，
.
．
所以
.
故
时，
.
18．①
的周期是
；②
的周期是
；③
的周期是
，图象平衡位置为
；④
，图象呈阶梯形．
【分析】对于①，由题意可得
，可得结论；对于②，可得
，可得结论；对
于③，可得
，可得结论；对于④，
，可得结论.
【详解】对于①，若
恒成立，则可得
，
所以
是周期为2 为周期函数；
对于②，若
恒成立，可得
，
所以
，
是周期为4 为周期函数；
对于③，若
恒成立，所以
，
所以
，
所以
是周期为4 为周期函数，平衡位置为
；
对于④，若
恒成立，所以
，
所以图象呈阶梯状.
