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第 08 讲 函数与方程(精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．已知函数 的零点所在区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
由零点存在定理可知：单调递增函数 的零点所在区间为 .
故选：B.
2．函数 的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程 在 内近似解的过程可得 ，
， ，则方程的解所在区间为（ ）
A． B．
C． D．不能确定
【答案】A
因为 ，故方程 的解所在区间为 .
故选：A.
3．若用二分法逐次计算函数 在区间 内的一个零点附近的函数值，所得数据如下：
0.5 1 0.75 0.625 0.5625
1 0.462 0.155
则方程 的一个近似根（精度为0.1）为（ ）
A．0.56 B．0.57 C．0.65 D．0.8
【答案】B
由表格知在区间 两端点处的函数值符号相反，且区间长度不超过0.1，符合精度要求，
因此，近似值可取此区间上任一数．
故选：B
4．用二分法求如图所示的函数 的零点时，不可能求出的零点是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
由二分法的思想可知，零点x，x，x 左右两侧的函数值符号相反，即存在区间(a，b)，
1 2 4
使得x，x，x∈(a，b)，f(a)·f(b)<0，故x，x，x 可以用二分法求解，
1 2 4 1 2 4
但x∈(a，b)时均有f(a)·f(b)>0，故不可以用二分法求该零点．
3
故选：C
5．函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，函数 与函数 的交点个数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
解：∵函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，
根据奇函数的图象关于原点对称，画出函数 的图象如下图所示：
由图可得：函数 与函数 的交点个数为2个.
故选：C.
6．设函数 ，若函数 有两个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D因为函数 有两个零点，
所以 .
故选：D
7．若 是二次函数 的两个零点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意，令 ，解得 或 ，
不妨设 ，代入可得 .
故选：D.
8．已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
函数 有两个零点，即 与 有两个不同的交点，
画出分段函数 与 的图象如图所示，
结合图象可以看出 的取值范围为 .
故选：C
二、多选题
9．设 ，某学生用二分法求方程 的近似解（精确度为 ），列出了它的对应值表
如下：
0 1 2
3
若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（ ）A．1.31 B．1.38 C．1.43 D．1.44
【答案】BC
与 都是 上的单调递增函数，
是 上的单调递增函数，
在 上至多有一个零点，
由表格中的数据可知：
，
在 上有唯一零点，零点所在的区间为 ，
即方程 有且仅有一个解，且在区间 内，
，
内的任意一个数都可以作为方程的近似解，
，
符合要求的方程的近似解可以是 和1.43﹒
故选：BC﹒
10．若方程 有且只有一解，则 的取值可以为（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】CD
画出 的图象如下图所示，由图可知 或 .
所以CD选项符合.
故选：CD
三、解答题
11．（1）若函数 有且仅有一个零点，求 的值；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．解：（1）当 时， 无零点；
当 时， 有且仅有一个零点，则 ，即： ，解得：
或 （舍），所以 .
（2）当 ， 恒成立，所以 成立；
当 时， ，解得： .
故 .
12．已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， .
（1）求 及 的值；
（2）若关于 的方程 有四个不同的实数解，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2）
（1） 是定义在 上的偶函数，
且当 时， ，
；
（2）函数 是定义在 上的偶函数，
关于 的方程 有四个不同的实数解，
只需 时， 有两个解，
当 时， ，
所以
13．已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， .
（1）求出函数 在 上的解析式；
（2）画出函数 的图像，并写出单调区间；
（3）若 与 有3个交点，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）图见解析， 在 上单调递增，在 上单
调递减.（3）
（1）①由于函数 是定义域为 的奇函数，则 ；
②当 时， ，因为 是奇函数，所以 ．所以 ．
综上： ．
（2）图象如下图所示：．
单调增区间： 单调减区间： ．
（3）因为方程 有三个不同的解，由图像可知， ，即 ．
14．已知函数 且点 在函数 的图象上．
（1）求函数 的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数 的图象；
（2）求不等式 的解集；
（3）若方程 有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，图像见解析（2） （3）
【详解】
解：（1）由 的图象经过点 ,
可得 ,即 ,解得 ,则 ,
函数 的图象如下图：
（2） 即为 或 ,
即 或 ,
则解集为 ；
（3） 有两个不相等的实数根,
即有 的图象和直线 有两个交点,
由图象可得 ,即 ,
可得 的取值范围是 ．
B 能力提升
1．已知函数f（x）＝ax+1﹣3（a＞0且a≠1），若函数y＝f（x）的图象过点（2，24）．
(1)求a的值及函数y＝f（x）的零点；
(2)求f（x）≥6的解集．
【答案】(1)3，零点是0
(2)[1，+∞）
(1)因为函数f（x）＝ax+1﹣3（a＞0且a≠1），图象过点（2，24），
所以24＝a2+1﹣3，a3＝27，a＝3．
函数f（x）＝3x+1﹣3＝0，得x+1＝1，x＝0．
所以函数的零点是0．
(2)由f（x）≥6得3x+1﹣3≥6，即3x+1≥32，
所以x≥1．
则f（x）≥6的解集为[1，+∞）．
2．已知函数 ，(1)若 有三个零点，求实数 的值；
(2)若 有零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)解：由题意知，方程 有三个不同的解，
即函数 和 有三个不同的交点，
又 ，
作出是函数图象如图所示：
又 和 有三个不同的交点，
；
(2)由 有零点，即函数 和 有交点，
由图象可得 .
