文档文本内容
重难点专训01 三角函数中
ω 的取值范围
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................3
题型一：结合单调性求
的取值范围...............................................................................................................3
题型二：结合对称性求
的取值范围...............................................................................................................5
三
题型
：结合图象平移求
的取值范围...........................................................................................................7
函数
值
题型四：结合
最
求
的取值范围...........................................................................................................9
点
的
题型五：结合零
或方程
根求
的取值范围..............................................................................................11
点
题型六：结合零
、对称轴、单调性等综合性质求
的取值范围.............................................................14
重难专题分层过关练..........................................................................................................................17
巩固过关...............................................................................................................................................................17
创新提升...............................................................................................................................................................22
一、核心基础：
的本质与关联公式
的物理意义：决定三角函数的周期与振动频率，
时，周期公式为
（正弦、余弦）或
（正切）。
关键转化思想：设
（整体代换法），将含
的问题转化为“ 的区间内三角函数性质问题，这
”
是解题的核心抓手。
二、常考题型分析
题型1：由单调性求ω 的范围
解题原则：给定区间需含于三角函数的单调区间，且区间长度
周期的一半。
步骤：
①求
在目标区间
上的范围：
；
②对照正弦/余弦的单调区间（如正弦递增区间为
，列不等式组；
③结合
求解，验证端点是否满足单调性。
题型2：由对称性（对称轴/对称中心）求
的范围
核心结论：
对称轴：正弦/余弦函数过最值点，满足
；
对称中心：正弦/余弦过零点，满足
，相邻对称中心间距为
。
步骤：
①用整体代换求的区间；
②根据恰有
“
条对称轴/个对称中心列不等式，控制
”
区间内包含的对称轴
“
/对称中心个数；
”
③赋值
求
范围。
题型3：由零点/极值点个数求
的范围
解题逻辑：零点对应
，极值点对应
，通过区间内的点的个数列不等式。
“
”
步骤：
①确定的区间
；
②设区间内包含
个零点/极值点，列不等式：
（零点）或
（极值点）；
③结合
求解。
题型4：由图象平移性质求
的范围
常见考法：平移后重合、对称、对称轴重合等，核心是平移量与周期成倍数关系。
“
”
三、通用流程
①定：用整体代换求
的区间；
②列关系：结合单调性、对称性等性质，建立的不等式；
③解
：解不等式并结合
、整数
赋值；
④验端点：排除不符合题意的边界值。
题型一：结合单调性求
的取值范围
典例1-1．若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，
，由
在区间
上单调递增，
得
，解得
.
故选：C.
典例1-2．已知函数
的图象过点
，且对任意
，
都有
，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题设
，
，则
，则
，
由
都有
，又
，
所以
在
上单调递增，此时
，
所以
，可得
，
当
有
，故当
有
，
当
有
，当
有
，
又
，所以
.
故答案为：
变式1-1．
的图象经过点
，且在区间
上单调递增，则
的
取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为
的图象经过点
，所以
，
又因为
，所以
，
当
时，
，
因为
在区间
上单调递增，
则
，
，知
，
又因为
，且
，
，
所以
，即
．
故答案为：
.
变式1-2．已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
因为
，当
时，
，
因为函数
在
上单调递减，
所以
，
即
，解得
，
由
可得
，又因为
，
，故
，则
.
因此，实数
的取值范围是
.
故选：B.
题型二：结合对称性求
的取值范围
典例2-1．已知函数
，（
）的图象在区间
内至多存在3 条对称轴，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
，
所以
，
画出
的图象，
要想图象在区间
内至多存在3 条对称轴，则
，
解得
.
故选：A
典例2-2．设函数
的图象在区间
内恰有三条对称轴、两个对称中心，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
.
的部分图象如图所示，
要使函数
的图象在区间
内恰有三条对称轴、两个对称中心，
则
，解得
，即
.
故选：C.
变式2-1．若函数
在区间
上有且仅有5 条对称轴，则
取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，解得
，
若函数在区间
上有且仅有5 条对称轴，
则函数
在
上由小到大的第1 条对称轴为
，
第2 条对称轴为
，第3 条对称轴为
，
第4 条对称轴为
，第5 条对称轴为
，
第6 条对称轴为
，由题意知，
，
解得
，故D 正确.
故选：D
变式2-2．已知函数
的图象在区间
上有且仅有1 条对称轴和1 个对称中心，
则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当
时，
，
由函数
的图象在区间
上有且仅有1 条对称轴和1 个对称中心，得
或
解得
或
则
，
所以实数
的取值范围是
，
故答案为：
.
三
题型
：结合图象平移求
的取值范围
典例3-1．将函数
图象上的每个点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将已知函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
则可得
，则
.
设函数
的最小正周期为
，则
，
所以
，由
，得
，
因为
，
，
所以根据单调性可得
且
，解得
，
则
的取值范围是
.
故选：B
典例3-2．将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不变，得到
函数
的图象，若
在
上单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，则
．
由
，得
．
因为
在
上单调，所以
，得
．
故选：A.
变式3-1．将函数
的图象向右平移
个单位长度后与函数
的图
象重合，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将函数
的图象向右平移
个单位长度后
得到
的图象，
又
，
，
由题可知，
，
，解得
，
，
又
，
当
时，
取得最小值
.
故选：B.
变式3-2．已知函数
，将
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，
点
是
与
图象的连续相邻的三个交点，若
是锐角三角形，则
的取值范围为
.
【答案】
【详解】由题意可得
，
作出函数
、
的图象如下图所示：
点
是
与
图象的连续相邻的三个交点（不妨设
在
轴下方），
为
的中点，
由对称性可得
是以
为顶角的等腰三角形，所以
，
由
，
整理得
，所以
，
则
，所以，
，
则
，所以
，
要使
为锐角三角形，
，所以，
，
，解得
.
故答案为：
.
函数
值
题型四：结合
最
求
的取值范围
典例4-1．若函数
在
上的值域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
时，
，且
值域为
，
所以
，则
.
故选：B.
典例4-2．已知函数
在
上的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，结合余弦函数的性质知，若
则该函数值域会出现大于
的
情况，则
.
时，由值域为
，
，
所以
，
所以
故选：A.
变式4-1．已知函数
的图象在
内有且仅有2 个最低点，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意
.
当
时，
.
∵
在
内有且仅有2 个最低点，
∴
，∴
.
故选：D.
变式4-2．已知函数
（
）在
上有最小值没有最大值，则
的取值
范围是 .
【答案】
【详解】
，
当
时，
，若
在
上有最小值没有最大值，
则
，所以
.
故答案为：
点
的
题型五：结合零
或方程
根求
的取值范围
典例5-1．已知函数
在区间
上恰有两个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由
得
，
令
，则
．
令
，则
在区间
上恰有两个实数根．
结合正弦函数的图象（如图）与性质，可得
，解得
．
故答案为：
.
典例5-2．设函数
，若函数
在区间
上恰有4 个零点，则实
数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，
设
，由
，可得
，即
，
作出函数
的图象.
函数
在区间
上恰有4 个零点，
由图，则
，解得
.
故选：C.
变式5-1．函数
，若函数
在
至少有4 个零点，至多有8 个零点，
则
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】函数
的最小正周期
，
由正弦函数的图象性质知，
在长为一个周期的区间内恰有2 个零点，
则由函数
在
至少有4 个零点，至多有8 个零点，得
，
即
，因此
，解得
或
，
当
时，由
，得
，
存在
，使得
，则
，
即
是
的零点时，
也一定是
的零点，此时在
内有9 个零点，
不符合题意，则
，同理
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
变式5-2．已知函数
，其中
.
(1)若
，求函数
的最小正周期以及函数图象的对称中心.
(2)若函数
在
上单调递增，求
的取值范围.
(3)若函数
在
（
且
）满足：方程
在
上至少存在2023 个根.且在所有
满足上述条件的
中，
的最小值不小于2023，求
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
(3)
【详解】（1）当
时，
，
∴
的最小正周期为
．
令
，得
，
故
的图象的对称中心为
．
（2）∵
，∴
，
∴若函数
在
上单调递增，
则
，求得
，即
的取值范围为
．
（3）因为方程
在
上至少存在2023 个根，
即当
时，
至少有2023 个根，
即当
时，
至少有2023 个根，
即当
时，
至少有2023 个根，
故
至少包含2022 个最小正周期，且在所有满足上述条件的
中，
的最小值不小于2023，
即
，
∴
．
点
题型六：结合零
、对称轴、单调性等综合性质求
的取值范围
典例6-1．已知函数
在区间
上单调，且满足
.
若函数
在区间
上恰有5 个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
在区间
上单调，
，
的对称中心为
，且
，
，即
，即
，
.
又
的对称中心为
，
，
在区间
上恰有5 个零点，相邻两个零点之间的距离为
，五个零点之间即
，六个零点
之间即
，只需
即可，即
，
又
，
.
故选：B.
典例6-2．将函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再向左平
移
个单位长度，得到函数
的图象，若
在
上单调递减，则实数
的取值范围为
.
【答案】
【详解】将函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍纵坐标不变，
得到
，再向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，
即
，
若
在
上单调递减，
则
的周期
，
，
即
，得
，
由
，
，
得
，
，
即
，
所以
的单调递减区间为
，
，
若
在
上单调递减，则
，
，
即
，
，又
，
所以
，此时
，即
的取值范围是
.
故答案为：
.
变式6-1．已知函数
在
上单调递增，且当
时，
恒
成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由已知可知
，
由
，解得
，
因为
在
上单调递增，所以
，
即
，解得
①，
此时
，解得
；
又因为在
上，
恒成立，所以
，
解得
，由于
，
所以
，解得
②，
此时
，解得
，又因为
，所以
当
时，由①②可知
，解得
；
当
时，由①②可知
解得
，
所以
的取值范围为
.
故选:B.
变式6-2．将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不变，得到
的图象，若
在区间
上恰有两个零点，且在
上单调递减，则
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】依题意可得
，
当
时，
，
因为
在
上恰有两个零点，
所以
，解得
．
令
，得
，
令
，得
在
上单调递减，
所以
，所以
又
，所以
．
综上所述，
，即
的取值范围是
．
故答案为：
巩固过关
1．已知函数
在区间
上单调递增且存在零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设函数
的最小正周期为
，因为
在区间
上单调递增，
所以
，解得
，所以
．
令
，则当
时，
．
则
在区间
上单调递增且存在零点等价于
在
上单调递增且存在零点，
所以
，解得
，
又
，当
时，得
；
时，得
，其他
值，均不合要求，
所以
或
，所以
的取值范围是
.
故选：C.
2．设函数
在区间
恰有2 个零点、2 个极值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
.
因为函数
在区间
恰有2 个零点，
所以
；
因为函数
在区间
恰有2 个极值点，
所以
.
综上
.
故选：C
3．已知函数
在区间
上恰好有3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，
，
由
在区间
上恰好有3 个零点，得
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：C
4．已知函数
，若方程
在
上恰有两个不同的实根，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，解得
或
，
化简可得
或
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
当
时，
，
由题意可得
，解得
.
故选：A.
5．设
，若当
时，函数
与
的图象恰有4 个交点，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
与
的图象恰有4 个交点，
等价于函数
的图象与直线
有4 个交点，
由
，即
，得
或
，
，
则
或
，
从原点往左的3 个取值依次为
，
从原点往右的3 个取值依次为
，则
且
，
化简得
且
，所以
的取值范围是
.
故选：A
6．若函数
在区间
上单调递增，且
在区间
上有唯一的实数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由函数
，令
，
解得
，
即函数
的递增区间为
，
因为函数
在区间
上单调递增，
可得
则满足
且
，解得
且
，
由
，可得
，
因为
在区间
上有唯一的实数解，可得
，解得
，
综上可得，当
时，
，所以
的取值范围为
.
故选：C.
7．已知函数
在区间
上单调递增，且在区间
上恰好取得一次最大值，
则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
，
又
在区间
上单调递增，
所以
，解得
，
，
又
在区间
上恰好取得一次最大值，
所以
，
综上，
.
故答案为：
.
8．已知向量
，
，函数
.
(1)求
的最小正周期及单调递增区间；
(2)若
在区间
上的值域为
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)最小正周期
，单调递增区间为
；
(2)
【详解】（1）由向量
，
，得
；
函数
的最小正周期
，
由
，得
，
所以
的单调递增区间为
.
（2）由（1）知，
，
，
当
时，
，
由
在
上的值域为
，
得
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
创新提升
1．已知函数
仅存在一个极值点和两个零点在区间
内，则实数
的取值
范围为 .
【答案】
【详解】设
为
的最小正周期，由题意可知，
，即
，解得
，
由
得，
，
，由
得，
，
又
，所以
，
，
由余弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对称轴，即存在一个极值点.
由题意
或
，
解得
或
，
故实数
的取值范围为
.
故答案为：
2．当
时，曲线
的图象与曲线
的图象有唯一交点，则ω 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题得
，要使
的图象与
的图象在
有唯一交点，
两个临界情况分别如图①和图②所示，图①即
在
只有1 个零点为π，
图②即
在
有2 个零点且右边的零点为π，此时对应的
不能取到，
当
时，
，令
，
当函数
在
仅有1 个零点
时，
，得
；
当
在
仅有2 个零点且右边的零点为
时，
，得
，
则
的取值范围为
．
故选：C.
3．已知函数
，
是
的零点，直线
为
图象
的一条对称轴，且函数
在区间
上单调，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
函数
，
为
的零点，
为
图象的对称轴，
，且
，
相减可得
，
即
，
，即
为奇数．
在
单调，
，
，故奇数
的最大值为
．
当
时，
，
，
．
此时
在
上不单调，不满足题意．
当
时，
，
，
，
此时
在
上不单调，不满足题意．
当
时，
，
，
，
此时
在
上单调递减，满足题意；
故
的最大值为，
故选：D．
