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整式乘法【章节复习】压轴题--找规律与新定义 题
集C1
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 如图是
年
月的日历表．
日
一
二
三
四
五
六
图
如图，若用一个正方形框出个数，设最中间的一个数为
，这个数的和可能是
吗？若
能，求出其中最大的数；若不能，请说明理由．
如图，任意选择其中所示的方框部分，将每个方框四个角落个数交叉相乘再相减，例如
，
，不难发现，结果都是
，请你利用整
式的运算对以上规律加以证明．
如图，若用一个正方形框出个数，将每个方框四个角落个数交叉相乘，再相减，例如
，
，不难发现，结果都是，请你利用整式的运
算对以上规律加以证明．
日
一
二
三
四
五
六
图
（1 ）
2. 已知：如图，我们在
年月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右
两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为
，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为
．
日
一二三四五六
图
图
2
（2 ）
（3 ）
如图，将正整数依次填入列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发
现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 ．
若将正整数依次填入列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗？如果
是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
若将正整数依次填入列的长方形数表中（
），继续前面的探究，可以发现相应“十字
差”为与列数有关的定值，请用表示出这个定值，并证明你的结论．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
3. 探索题：
，
，
，
．
根据前面的规律，回答下列问题：
．
当
时，
．
求：
的值．（请写出解题过程）
求
的值的个位数字．（只写出答案）
（1 ）
（2 ）
4. 如果一个正整数能写成
的形式（其中，为自然数），则称之为婆罗摩笈多数．比如和
均是婆罗摩笈多数，因为
，
．
请证明：
和
都是婆罗摩笈多数．
请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积仍旧是婆罗摩笈多数．
（1 ）
（2 ）
5. 若一个自然数
的各数位上的数字满足
，
则称该数为“ ”类自然数．例如：
是一个“ ”类自然数，
是一个“ ”类自然数．
求证：任意三位“ ”类自然数都能被整除．
把自然数各数位上的数字从左往右数，所有奇数数位上的数字之和与所有偶数数位上的数字
之和的平方差的绝对值，记为
．
例如：若
，则
，
若
，则
．
如果一个四位自然数千位数字与个位数字均不为，交换其个位数字与千位数字得到的新数减
去原数所得的差能够被
整除，则称这个数为“新年数”．若一个“ ”类自然数也是“新
年数”（
，且为整数），求
的最小值．
（1 ）
6. 若一个正整数可以进行这样的分解：
，其中、是正整数，则称为
“飘逸数”，并且在的所有这种分解中，如果、两数之差的绝对值最小．我们就称
是的
最佳分解，并规定：
，例如
可以分解橙
或
，因为
，
所以
是
的最佳分解，所以
．
计算：
3
1
2
（2 ）
（3 ）
．
．
求证：对任意一个正整数
，总有
．
如果一个两位“飘逸数”t为奇数，
（
，、为自然数），交换其
个位上的数和十位上的数得到的新数减去原来的两位数所得的差为
，那么我们又称这个数
为“飞扬数”，求所有“飞扬数”中
的最大值．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7. 阅读理解下列材料，并根据材料内容完成材料后试题．
我们来定义下面两种数：
①平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分成左、中、右三个数后满足：
，我们就称该整数为平方和数．例如：对于整数
．它中
间的数字是，左边数是，右边数是．∵
，∴
是一个平方和数，又例如：对于整数
，它的中间数是
，左边数是，右边数是，∵
．∴，
是一个平方和数．当然
和
这两个数也是平方和数．
②双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后满足：
，我们就称该整数为双倍积数．例如：对于整数
，它的中间数是
，左边数是，右边数是，∵
，∴
是一个双倍积数，又例如：对于整数
，它
的中间数是
，左边数是，右边数是，∵
，∴
是一个双倍积数，当然
和
这两个数也是双倍积数．
注意：在下面的问题中，我们统一用字母表示一个整数分出来的左边数，用字母表示一个整数分
出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：
如果一个三位整数为平方和数，且十位数为，则该三位数为 ．如果一个三位整数为
双倍积数，且十位数字为，则该三位数为 ．
如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则，应该满足什么数量关系？说明理由．
为一个平方和数，
为一个双倍积数，求
．
中间数
（左边数）
（右边数）
中间数
左边数
右边数
