文档文本内容
1
平行四边形【章节复习】压轴题--菱形与全等综合
【C5】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 如图①，
的顶点
在正方形
两条对角线的交点处，
，将
绕点
旋
转，旋转过程中
的两边分别与正方形
的边
和
交于点
和点
（点
与点
，
不重合）．
图
如图①，当
时，
，
，
之间满足的数量关系是 ．
如图②，将图①中的正方形
改为
的菱形，其他条件不变，当
时，（）中的结论变为
，请给出证明．
图
在（）的条件下，若旋转过程中
的边
与射线
交于点
，其他条件不变，探究
在整个运动变化过程中，
，
，
之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证
明．
图
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
①当点
落在
上时，
，
②当点
落在
的延长线上时，
．
正方形
的对角线
、
交于点
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
∵
，
，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
．
如图，取
的中点
，连接
，
图
∵四边形
为
的菱形，
∴
，
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
∵
，
，
，
∴
≌
（
），
∴
，
3
（3 ）
【标注】
∴
．
如图，在整个运动变化过程中，
①当点
落在
上时，
，
②当点
落在
的延长线上时，
．
（如图，取
中点
，连接
，证明
≌
）
图
【知识点】平行四边形与全等综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，在菱形
中，
、
分别是边
、
的中点，
交边
于点
，连接
、
．
若
，这时点
与点
重合，则
__________度．
求证：
．
当
为等腰三角形时，求
的度数．
备用图
【答案】（1 ）
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
或
．
∵
交边
于点
，
，点
与点
重合，
∴
，
，
∵
是
的中点，∴
，
∴
．
如图，延长
交
的延长线于点
，
图
∵四边形
是菱形，
∴
，
∴
，
∵点
是线段
的中点，
∴
，
在
和
中
，
∴
≌
，
∴
，
即点
是线段
的中点，
∵
交边
于点
，
∴
，
∴
，
∴
．
如图，
5
【标注】
图
∵四边形
是菱形，
∴
，
又
、
分别是边
、
的中点，
∴
，
∴
，
由（）知：
≌
，
∴
，
又∵
，
∴
，
设
，
则
，
，
①若
，则
，
在
中，
，
解得：
，
∴
，
②若
，则
，
在
中，
，
解得：
，
∴
．
综上所述，
为
或
．
【知识点】菱形与全等综合
（1 ）
3. 在平行四边形
中，
的平分线交直线
于点
，交直线
于点
．
在图中，证明：
．
6
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
B
C
D
A
F
E
图
若
，
是
的中点（如图），直接写出
的度数．
B
C
D
A
F
E
G
图
若
，
，
，分别连结
、
（如图），求
的度
数．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
∵
平分
，
∴
．
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
如图，连接
、
，
7
（3 ）
B
C
D
A
F
E
G
图
∵四边形
为平行四边形，
，
∴四边形
为矩形，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
为等腰直角三角形，
∵
为
中点，
∴
，
，
∵
为等腰直角三角形，
，
∴
，
∵
，
∴
，
用测量法得出
．
在
与
中，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
．
分别连接
，
，
，
8
【标注】
图
∵
，
，
∴
．
∵
且
，
∴四边形
是平行四边形，
又∴
，
∴四边形
是菱形，
∴
①．
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∴
②
由
，
平分
，
可得
，
∴
．
又∵
，
∴
③．
由①②③得
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】菱形与全等综合
