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1
【绝对值零点分段讨论法】题集【B】
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
化简
，化简的结果不可能是下列哪个选项（ ）．
【答案】D
，
令
，则
，
令
，则
．
①当
时
原式
．
②当
时，
原式
③当
时．
原式
，
综上，原式
．
【知识点】结合数轴化简绝对值
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
式子
的最小值是（ ）．
【答案】B
根据绝对值几何性质可知，取中间值得最小值，
∴在中间那个点
，
∴值是．
【知识点】利用绝对值求最值
2
3.
【解析】
【标注】
当
时，化简
．
【答案】
．
∵
，
∴
，
．
∴原式
．
【知识点】已知范围化简绝对值
4.
【解析】
【标注】
化简：
．
【答案】
．
时，
．
时，
，
①
时，则
，
，
原式
．
②
时，
，
，
∴原式
．
③
时，
，
，
∴原式
．
∴综上所述，
．
【知识点】零点分段法
5.
3
【解析】
【标注】
【答案】
略
【知识点】零点分段法
6.
【解析】
【标注】
【答案】
略
【知识点】零点分段法
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
【解析】
化简：
化简：
．
化简：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
先找零点.
，
；
，零点可以将数轴分成三
段．
当
，
，
，
；
当
，
，
，
；
当
，
，
，
．
先找零点，
，
，
，解得
，，．
依这三个零点将数轴分为四段：
，
，
，
．
当
时，原式
；
当
时，原式
；
当
时，原式
；
当
时，原式
．
先找零点.
，
；
，零点可以将数轴分成三
段．
当
，
，
，
；
4
（2 ）
【标注】
当
，
，
，
；
当
，
，
，
．
先找零点，
，
，
，解得
，，．
依这三个零点将数轴分为四段：
，
，
，
．
当
时，原式
；
当
时，原式
；
当
时，原式
；
当
时，原式
．
【知识点】零点分段法
（1 ）
（2 ）
8. 阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，
现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，
如化简代数式
时，
可令
和
，分别求得
，
（称
，分别为
与
的零点
值）．
在实数范围内，零点值
和
可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：
（）
；（）
；（）
．
从而化简代数式
可分以下种情况：
（）当
时，原式
；
（）当
时，原式
；
（）当
时，原式
．
综上讨论，原式
．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
化简代数式
．
求
的最大值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
5
（1 ）
方法一：
方法二：
（2 ）
【解析】
【标注】
①当
时，原式
；
②当
时，原式
；
③当
时，原式
．
综上讨论，原式
．
①当
时，原式
；
②当
时，原式
；
③当
时，原式
．
综上讨论，原式
；
最大值是，此时
．
当
时，
，
当
时，
，
，
，
当
时，
，
，
∴
的最大值为．
【知识点】绝对值综合
（1 ）
9. 小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子
取最小值时，相应的的取值范围是 ，最小值是 ”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”
他们把数轴分为三段：
，
和
，经研究发现，当
时，值最小为
．
请你根据他们的解题解决下面的问题．
当式子
取最小值时，相应的的取值范围是 ，最
小值是 ．
6
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知
，求相应的的取值范围及的最大值．写出解答过程．
【答案】（1 ）
（2 ）
;
时，有最大值
．
当式子
取最小值时，相应的的取值范围是
，最小值是．
当
，时
．
当
，时
．
当
，时
．
所以
时，有最大值
．
【知识点】绝对值的代数意义
10.
【解析】
【标注】
化简
．
【答案】
．
令
，
，
，
解得：
，
，
．
∴
，，把数轴分成个部分．
需分类讨论，如下：
当
时，原式
．
当
时，原式
．
当
时，原式
．
当
时，原式
．
∴综上所述：原式
．
【知识点】已知范围化简绝对值
11. 如图，数轴上有，，三个数．
7
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1
2
3
（4 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1
2
3
（4 ）
【解析】
用“
”将，，连接起来．
（填“
”“
”或“
”）．
化简
．
用含，的式子表示下列的最小值：
的最小值 ．
的最小值为 ．
的最小值为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
1
2
3
（4 ）
．
．
由数轴可得：
．
∵
表示数到数的距离，
由数轴可得
．
由数轴可得：
，
∴
，
，
，
∴原式
．
表示数所在的点到数所在的点和到数所在点的距离之和，
则当数所在的点在数所在的点和到数所在点的线段上时，
取最小值，最小值为
．
表示数所在的点到数、、
三点的距离之和，
则当数所在的点落在数所在的点上时，
取最小值，最小值为
．
，
零点为
、，
则当
时，
取最小值，
最小值为
．
8
【标注】【知识点】结合数轴化简绝对值
选做
1.
【解析】
【标注】
求
的最小值及此时的值．
【答案】
时，最小值为
．
．
①当
时，
原式
，
此时
，原式取最小值；
②当
时，
原式
，
此时
，原式取最小值
；
③当
时，
原式
，
此时
，原式取最小值
；
④当
时，
原式
，
此时
，原式取最小值；
⑤当
时，
原式
，
此时
，原式取最小值
；
⑥当
时，
原式
，
此时
，原式取最小值
．
综上所述，
时，原式的最小值为
．
【知识点】利用绝对值求最值
2.
的最小值是 ．
9
【解析】
【标注】
【答案】
∵从到
共有
个数，最中间个：
，
，
当
时，
的值最小，
最小值：
．
【知识点】利用绝对值求最值
