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核心10 平面向量
一．单选题.
【平面向量的概念与表示 2025 吉林通化·期末】
1．下列说法不正确的是（ ）
A．方向相同大小相等的两个向量相等
B．单位向量模长为一个单位
C．共线向量又叫平行向量
D．若
则ABCD 四点共线
【答案】D
【解析】利用平面向量相等的概念判断
,利用共线向量和单位向量的定义判断
.
【详解】根据向量相等的概念判断
正确；
根据单位向量的概念判断
正确；
根据共线向量的概念判断
正确；
平行四边形
中
，因此
四点不共线，故
错误.
故选：
.
【点睛】本题考查了命题真假性的判断及平面向量的基础知识，注意反例的积累，属于基
础题.
【向量的模 2025 湖南衡阳期末测试】
2．已知向量
满足
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．25
【答案】A
【分析】对
变形，然后结合
计算.
【详解】由
，所以
，于是
，所以
．
故选：A.
【向量加法法则 2025 辽宁铁岭期末】
3．如图所示，平行四边形
的两条对角线相交于点
．
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用平面向量加法的平行四边形法则可求得结果.
【详解】因为行四边形
的两条对角线相交于点
，
，
，
则
为
的中点，且
，
又因为
，则
，故
.
故选：B.
【向量减法的法则 2025 重庆·期末】
4．在平行四边形
中，若
，则（ ）
A．
为
的中点
B．
为
的中点
C．
为
的中点
D．
为
的中点
【答案】B
【分析】利用平面向量的减法运算求解.
【详解】解：因为
，
所以
，
所以
为
的中点．
故选：B
【向量数乘的有关计算 2025 天津市期末考试】
5．已知点
在线段
上，且
，若向量
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意可知
，结合向量的线性表示即可求得
.
【详解】如图，由
，可得
，所以
，即
，
故选：D.
【平面向量的混合运算 2025 湖南岳阳·模拟预测】
6．已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】直接由向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意
.
故选：D.
【平面向量共线定理证明点共线问题 2025 河北张家口·阶段练习】
7．已知非零空间向量
且
则一定共线的三点是
（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】A
【分析】利用向量加法求出
，利用共线向量定理逐一判断即可.
【详解】解：对于A 选项，
，所以
三点共线，A 正确；
对于B 选项，设
，则
，即
无解，B 错误；
对于C 选项，设
，则
,即
,无解，C 错误；
对于D 选项，
，设
，
即
，即
，无解，D 错误．
故选：A
【平面向量线性运算的坐标表示 2025 辽宁葫芦岛·期末】
8．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用向量线性运算的坐标运算直接求解.
【详解】由题意得
，
，
所以
．
故选：B
【已知模求数量积 2025 江苏常州·期中】
9．已知单位向量
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．4
D．2
【答案】B
【分析】先将
两边同时平方，根据数量积的运算律求出
，再根据数量积的
运算律即可得解.
【详解】因为单位向量
满足
，
所以
，
所以
，
所以
.
故选：B.
【向量在几何中的其他应用 2025 山东枣庄·期中】
10．在
中，点O 为
的外心，
，则
的面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设D，E 分别是
，
的中点，根据
外心性质可得到
，
同理可得
，解得
，根据向量乘法可求得
，代入到
可求得.
【详解】设D，E 分别是
，
的中点，根据
外心性质可得到
，
同理可得
，
又因
，可得
，
可解得
，
，所以
，
则
.
故选：A
【向量新定义 2025 江苏无锡阶段练习】
11．我们定义：“
”为向量
与向量
的“外积”，若向量
与向量
的夹角为
，它
的长度规定
，现已知：在
中，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
分别为
的中点，结合三角形相似推出
，由题意可
得
，确定四边形
面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果.
【详解】设
分别为
的中点，连接
，
则
，则
∽
，故
,
则
，故
，
又因为
，即
，
当
时，四边形
面积最大，最大值为
，
故
的面积的最大值为
，
且
，所以
的最大值为
.
故选：D.
二．多选题.
【由坐标判断向量是否共线 2025 浙江嘉兴·阶段练习】
12．已知向量
，则下列向量与
平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】求出
的坐标，根据共线向量的坐标表示验证即可.
【详解】因为
，所以
.
若向量
满足
，则该向量与
平行，检验易知A，D 符合题意.
故选：AD.
【向量的线性运算的几何应用 2025 广东阳江·阶段练习】
13．正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以
为顶点
的多边形为正五边形且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据给定的几何图形，利用平面向量的线性运算逐项计算判断.
【详解】在正五角星中，以
为顶点的多边形为正五边形，且
．
对于A，
，A 正确；
对于B，
，B 错误；
对于C，
，C 正确；
对于D，
，
若
，则
，不合题意，D 错误．
故选：AC
【已知向量共线求参数 2025 福建泉州·期中】
14．已知向量
，
不共线，若
，
，且
，
，
三点共线，则
关于实数
，
的值可以是（ ）
A．2，
B．
，
C．2，
D．
，
【答案】AB
【分析】根据
，
，
三点共线，可得出存在
，使得
，从而可得出
，根据
不共线可得出
，从而得出
，从而可得出
正确的选项．
【详解】因为
，
，
三点共线，则存在实数
，使得
，
即
，即
，所以
，
又因为向量
，
不共线，所以
，解得
，
所以实数
，
的值互为倒数即可求解．
故选：AB．
【向量基底 2025 湖南邵阳·期末】
15．设
是平面向量的一组基底，以下四个选项中不能作为平面向量的一组基底的是
（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】ABC
【分析】根据向量是否共线，即可根据基底的定义求解.
【详解】对于A：
，所以
和
共线，故
和
不能作为基底．
对于B：
与
共线，故
与
不能作为基
底．
对于C：
，所以
与
共线，故
与
不能作为基底．
对D：
，所以
与
不共线，故
和
可以作为基底．
故选：ABC．
【几何问题中的坐标运算 2025 辽宁沈阳·期末】
16．已知点
，
，
，则以
，
，
为顶点的平行四边形的第四个顶
点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】将平行四边行转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果.
【详解】设点
的坐标为
，
由于平行四边形的四个顶点为
，
所以可能有以下三种情形：
当
时，即
，解得
，即
的坐标为
；
当
时，即
，解得
，即
的坐标为
；
当
，即
，解得
，即
的坐标为
；
故选：ABC.
【向量线性运算解决最值和范围问题 2025 重庆·阶段练习】
17．重庆市第一中学校是一所历史悠久的全国名校，校园安静，环境优美，有大量的绿植，
同学们入校后映入眼帘的就是一片树林，树木排列整齐，高大挺拔，枝繁叶茂，形成一道
天然屏障，为夏日添一份凉爽.如图是重庆一中入校小树林的树木排列图，其中每一个点代
表一棵树木，五角星
处是一个鸟类观测点，圆圈
处为邓小平雕塑，图中
形成
一个“心形”区域.据此，下列说法正确的有（ ）
本题中图形和数据如下：
米，把
看成是以
，
为直角边的等腰直角三
角形，
为
的中点，
米，K 为BD 的中点，
//
A．
B．若
为心形区域
内任意一点，那么
有最小值
C．若
对
两棵树的树顶仰角均为45°，那么
两棵树的树顶之间距离为
米
D．I 为四边形
内任意一点（包含边界），
，那么
的范围为
【答案】BCD
【分析】利用向量数量积的定义计算A，平面向量的线性运算处理B，利用基本几何关系
证明C，建立平面直角坐标系，利用坐标运算处理D 即可.
【详解】
对于A，在
中，已知
是以
，
为直角边的等腰直角三角形，
且B 为AC 的中点，
，故
，
，则
，
连接
，易知
，而K 为BD 的中点，故
，
易知
的夹角为
，而
，
可得
，故A 错误，
对于B，
，
，而
，故
，故B 正确，
对于C，令
的树顶分别为
，
那么有
；
．
由勾股定理得
．故C 正确，
对于D，连接
，以
为原点建立平面直角坐标系，
，
设
，故
，
，
，
易知
，
，
故
，
可得
，化简得
，
由中点坐标公式得
，而I 为四边形
内任意一点，
可得
，故
，
即
，故D 正确.
故选：BCD
三．填空题.
【平面向量数量积的几何意义 2025 上海·期中】
18．若
，
和
的夹角为
，则
在
方向上的投影的数量为 ．
【答案】
【分析】应用投影数量定义计算求解即可.
【详解】
在
方向上的投影的数量为
.
故答案为：
.
【利用坐标求向量的模 2025 陕西商洛·模拟预测】
19．已知向量
，且
，则
.
【答案】
【分析】根据平面垂直向量的坐标运算求出
，利用平面向量模的运算公式，即可求出结
果.
【详解】因为向量
，且
，
所以
，解得
，
即
.
所以
，
所以
.
故答案为：
.
【向量加法的运算律 2025 广东中山·阶段练习】
20．已知下列各式：①
； ②
； ③
；
④
.其中结果为的是 .(填序号)
【答案】①④##④①
【分析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为.
【详解】①
;
②
;
③
;
④
.
故答案为：①④.
【三角形的心的向量表示 2025 安徽铜陵阶段测试】
21．已知
是平面上的一定点，
，
，
是平面上不共线的三个动点，若动点
满足
，
，则点
的轨迹一定通过
的 （填“内心”
“外心”“重心”或“垂心” ．
【答案】重心
【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质判断即可.
【详解】由
，得
，
设
边
的中点为
，则
，于是
，
即
，因此点
在射线
上（除点
外），
所以点
的轨迹必过
的重心.
故答案为：重心
【向量夹角的计算 2025 上海浦东新·阶段练习】
22．已知
与
为单位向量，且满足
，则
与
的夹角 .
【答案】
##
【分析】根据向量垂直，即可得
，即可求解.
【详解】因为
与
为单位向量，则
，
，
又
，
，
，则
，
又
，所以
与
的夹角为
.
故答案为：
.
【由向量线性运算求参数 2025 江苏无锡·阶段练习】
23．已知是O 坐标原点，
，若点C 满足
，则a 的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意结合向量的坐标运算可得
，进而
列式求解即可.
【详解】因为
，则
，
则
，
可得
，
则
，
可得
，解得
.
故答案为：
.
【已知数量积求模 2025 江苏南京·阶段练习】
24．正方形
的边长为
为
边的中点，
为
边上一点，且
，则
.
【答案】
##2.5
【分析】利用勾股定理得到
，然后根据数量积的几何意义得到
在
上的投影的数
量等于
，从而得到
，然后利用三角函数得到
，最后利用勾股定理计算即可.
【详解】
正方形
的边长为2，点
为
边的中点，
，
，
在
上的投影的数量为
.
所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
，
.
故答案为：
.
【平面向量基本定理的应用 2025 宁夏银川·阶段练习】
25．欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765 年提出的一个几何定理，指出在一个三
角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC 中，O 为三角形
的外心，P 为三角形垂心（O 点与P 点不重合），且
，动点M 在直线OP 上，且
，则
的最大值
【答案】
【分析】首先利用欧拉线的性质以及已知的平行关系得到一些向量关系，再根据向量的线
性表示求出
与
的关系，最后求
的最大值.
【详解】设
为
重心，则由欧拉线定理可知
在
上，
连接
交
于点
，
所以
为
的中线，所以
，
点
在直线
上，设
，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，当
时取最大值
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于找出
和
的代数关系.
试题特点分析：由于向量具有工具性作用，经常与数列、三角、解析几何、立
体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，
处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等.
解题方法阐述：1、灵活运用向量的平方等于它模长的平方；2、理解数量积的
两种理解方式；3、几何问题代数化以及结合向量的运算法则；4、掌握向量加
法、减法的运算和数量积的运算及其性质.在实际解题过程中，需要根据具体问
题的特点，选择合适的方法进行求解.同时，也需要不断地练习和总结，以便更
好地掌握这些方法和技巧.
解题经验分享：首先要熟练掌握平面向量的基础知识，包括向量的概念、运算、
基本定理及坐标表示、数量积等.其次积累解题方法和技巧，在学习过程中，要
注意积累不同的解题方法和解题技巧.最后要注意反思和总结.通过反思，可以发
现自己在解题过程中存在的问题，并找到改进的方法.通过总结，可以归纳出一
些常见的解题思路和方法，从而提高自己的解题能力.
