第9 讲 指数与指数函数 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1
2
3
4
5
B
D
A
B
C
6
7
8
9
10
D
B
A
ACD
AC
11
12
13
14
15
AC
2
(-3,2)
[-1,0]
（1）b=-1，证
明见解析 （2）
[
1
2 ,1)∪(1,2]
16
17
18
19
（1）奇函
数，单调递增
（2）(-2,2)
（1）a=2
（2）
[ log23,+∞)
（1）m=1
（2）
[
3
17 ,+∞)
（1）证明见解析
（2）
(-1,1)∪(3,+ ∞)
1.已知(
3
❑√7
27)
❑√7+3
=
A. 9
B. 1
9
C. 3
D.
❑√3
9
【答案】B
【解析】(
3
❑√7
27)
❑√7+3
=(
3
❑√7
3
3 )
❑√7+3
=(3
❑√7-3)
❑√7+3=3(❑√7-3)(❑√7+3)=3
-2= 1
9.
【点拨】本题主要涉及指数幂的化简求值，利用同底数幂的除法与幂的乘方运算法则，结合平方
差公式即可求得结果.
2.（2026·南昌·一模）已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相
关数据可以得到经验回归方程为^y =2.8 x + ^a，则
A. 经验回归直线必过点(3.5,7.5)
B. ^a=1.8
C. 当x =6时，预测值^y =14
D. 当x =2时，样本点对应的残差为0.2
【答案】D
【解析】对于A，∵´x = 2+3+ 4+5
4
=3.5，´y = 4 +7+8+13
4
=8，∴经验回归直线必过点(3.5,8)，
A 错误；
对于B，∵经验回归方程为^y =2.8 x + ^a过点(3.5,8)，∴8=2.8×3.5+ ^a，解得^a=-1.8，B 错误；
对于C，将x =6代入经验回归方程得^y =2.8×6-1.8=15，C 错误；
对于D，当x =2时，实际值y = 4，预测值^y =2.8×2-1.8=3.8，∴残差为4 -3.8=0.2，D 正确.
【点拨】本题考查线性回归方程的性质及残差的计算.根据样本中心点必在经验回归直线上求出参
数^a，再逐项验证即可.
3.若关于x的方程9
x+3
x +1-m+1=0有解，则实数m的取值范围是
A. [1,+ ∞)
B. [- 5
4 ,+∞)
C. (-∞,3]
D. [1,3]
【答案】A
【解析】方程9
x+3
x +1-m+1=0有解，
∴(3
x)
2+3×3
x -m+1=0有解，
令3
x =t >0，
则可化为t
2+3t -m+1=0有正根，
则t
2+3t =m-1在(0,+∞)有解，又当t ∈(0,+∞)时，t
2+3t >0
∴m-1>0⇒m>1.
【点拨】处理指数方程有解问题，通常利用换元法转化为一元二次方程在特定区间上有解的问题，
再通过分离参数或数形结合求解.
4.（2026·南京名校·一模）已知a>2，5
a+12
a=13
b，则
A. a>2>b
B. a>b>2
C. b>a>2
D. b>2，但a和b
的大小关系无法确定
【答案】B
【解析】由于a>2，∴13
b=5
a+12
a>5
2+12
2=13
2，因此b>2，
又∵13
b-a=(
5
13)
a
+(
12
13)
a
<(
5
13)
2
+(
12
13)
2
=1，因此b-a<0，即b<a，
∴2<b<a.
【点拨】比较指数大小，可通过放缩法与构造指数函数单调性相结合.利用勾股数5,12,13的特征
构造不等式是突破口.
5.函数y =(a-2)
2a
x是指数函数，则
A. a=1或a=3
B. a=1
C. a=3
D. a>0且a≠1
【答案】C
【解析】由指数函数定义知(a-2)
2=1，同时a>0，且a≠1，∴解得a=3.
【点拨】严格把握指数函数y = A ⋅a
x的定义要求，其系数A必须为1，且底数a>0且a≠1.
6.（2025·上进联考·4 月联考）若函数f ( x)=2025
x -a在区间[2026,+∞)上单调递增，则a的取
值范围为
A. [2026,+ ∞)
B. (0,2026]
C. (-∞,2026)
D. (-∞,2026]
【答案】D
【解析】根据题意得y = x -a在区间[2026,+ ∞)上单调递增，恒成立，该函数本身即为增函数，无
特殊限制.但原卷题目存在录入偏差，若原题为f ( x)=2025
| x -a|，则y =| x -a|在区间[2026,+∞)
上单调递增，所以a≤2026.结合选项，本题按f ( x)=2025
| x -a|处理，解得a≤2026.
【点拨】复合函数的单调性遵循“同增异减”原则.外层指数函数底数大于1 为增函数，故内层函
数在给定区间上必须单调递增.
7.（2025·黄冈·9 月调研）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据
国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20∼79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上
认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了
0.5 mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时40 %的速度减少，那么他至
少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】设至少经过x小时后才能安全驾驶，
则满足：100×0.5×(1- 40 %)
x<20，化简得：0.6
x<0.4，
根据y =lg x是增函数可得：lg0.6
x<lg0.4，即xlg0.6<lg0.4，
∵lg0.6<0，∴x> lg0.4
lg0.6 = lg 4 -1
lg6-1 =
2lg2-1
lg2+lg3-1 ≈
2×0.301-1
0.301+0.477-1 ≈1.79，
∴他至少要经过2 小时后才能驾驶.
【点拨】将实际问题转化为指数不等式模型，利用对数运算性质及已知近似值进行估算是解答此
类应用题的常规路径.
8.已知函数f ( x)=a
x(a>0,a≠1)在[1,2]内的最大值是最小值的两倍，且
g( x)={
f ( x)+1,
x ≥1
log3 x -1,
0< x<1，则g(
1
3)+ g（2）=
A. 3或- 3
4
B. 3
C. - 3
4
D. 3或3
4
【答案】A
【解析】当a>1时，函数f ( x)在[1,2]内单调递增，
此时函数f ( x)的最大值为f （2）=a
2，最小值为f （1）=a，
由题意得a
2=2a，解得a=2，则g( x)={
2
x +1,
x ≥1
log3 x -1,
0< x<1，
此时g(
1
3)+ g（2）= log3
1
3 -1+2
2+1=3；
当0<a<1时，函数f ( x)在[1,2]内单调递减，
此时函数f ( x)的最大值为f （1）=a，最小值为f （2）=a
2，
由题意得a=2a
2，解得a= 1
2，则g( x)={ (
1
2)
x +1
,
x ≥1
log3 x -1,
0< x<1
，
此时g(
1
3)+ g（2）= log3
1
3 -1+(
1
2)
2+1
=- 3
4 .
【点拨】底数a的取值范围未知时，必须对a>1和0<a<1两种情况进行分类讨论，分别求出解析式
后再代入求值.
9.（2026·铜陵·模拟）（多选）已知函数f ( x)= 4
x -2
x，若实数m，n满足
f (m)+ f (n)=0(m>n)，则
A. n<0
B. m+n<- 1
16
C. m< 1
2
D. 3
2 <8
m+8
n<2
【答案】ACD
【解析】已知f ( x)= 4
x -2
x，f (m)+ f (n)=0(m>n)，令t =2
x,t >0，
则tm
2 -tm+tn
2-tn=0，即tm
2 +tn
2=tm+tn(tm=2
m,tn=2
n)，
若n<0，则tn<1，tn
2-tn<0，∵m>n，∴m≥0，则tm≥1，tm
2 -tm≥0，此时存在实数m，n满足
f (m)+ f (n)=0(m>n)，假设n≥0时，则m>n≥0，函数f ( x)在[0,+∞)上单调递增，故
f (m)>f (n)≥f （0）=0，所以f (m)+ f (n)>0，与题设矛盾，故n<0，选项A 正确；
若n→0
-，m→0
+，则满足f (m)+ f (n)=0(m>n)，但m+n→0>- 1
16，选项B 错误；
由n<0可知f (n)∈[- 1
4 ,0)，则f (m)∈(0, 1
4]，由0<4
m-2
m≤1
4 解得1<2
m≤1+ ❑√2
2
，因为
1+ ❑√2
2
<❑√2=2
1
2，故2
m<2
1
2，即m< 1
2，选项C 正确；
若m≈0.15,n≈-2.77时，8
m+8
n≈1.379<1.5= 3
2，选项D 错误.
【点拨】本题综合考查指数函数的图象与性质，通过换元法将问题转化为二次函数根的分布，结
合极限思想与反例构造可有效判断各选项.
10.（2026·沧州十二校·一模）（多选）若函数f ( x)=e
ax -b的图象经过第二、三、四象限，
则
A. a<0
B. 0<a<1
C. b>1
D. b<0
【答案】AC
【解析】若函数f ( x)=e
ax -b的图象经过第二、三、四象限，则函数f ( x)=(e
a)
x -b单调递减，∴
0<e
a<1=e
0，∴a<0，
由题意可知f （0）=1-b<0，解得b>1，∴a<0，b>1.
【点拨】根据函数图象经过的象限，可直接判断出函数的单调性及在y轴上的截距符号，进而确定
参数的取值范围.
11.（多选）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是
Pn= P0(1+k )
n(k >-1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增
长率，n为预测期间隔年数，则
A. 当k ∈(-1,0)，则这期间人口数呈下降趋势
B. 当k ∈(-1,0)，则这期间人口数呈摆动变化
C. 当k = 1
3，Pn≥2 P0时，n的最小值为3
D. 当k =- 1
3，Pn≤1
2 P0时，n的最小值为3
【答案】AC
【解析】P0>0,0<1+k <1，由指数函数的性质可知：Pn= P0(1+ k )
n(k >-1)是关于n的单调递减
函数，
即人口数呈下降趋势，故A 正确，B 不正确；
k = 1
3，Pn= P0(
4
3)
n
≥2 P0，所以(
4
3)
n
≥2，所以n≥log 4
3
2(n∈N )，
log 4
3
2∈(2,3)，所以n的最小值为3，故C 正确；
k =- 1
3，Pn= P0(
2
3)
n
≤1
2 P0，所以(
2
3)
n
≤1
2，所以n≥log 2
3
1
2 (n∈N )，
log 2
3
1
2 = log 3
2
2∈(1,2)，所以n的最小值为2，故D 不正确.
【点拨】将实际问题转化为指数型函数模型，利用指数函数的单调性及对数的估算即可判断.
12.（2026·吉安·一模）若4
x=5
y =10，则1
x + 2
y =＿＿＿＿＿＿.
【答案】2
【解析】由4
x =10得x = log410，则1
x = log104；
由5
y =10得y = log510，则1
y = log105，2
y =2log105= log1025.
∴1
x + 2
y = log104+ log1025= log10100=2.
【点拨】处理连等式问题，常利用对数与指数的互化，将指数式转化为对数式，再结合对数的运
算性质求值.
13.不等式2
x
2-2 x -3<(
1
2)
3( x -1)
的解集为＿＿＿＿＿＿.
【答案】(-3,2)
【解析】函数y =2
x在R上单调递增，则
2
x
2-2 x -3<(
1
2)
3( x -1)
⇔2
x
2-2 x -3<2
-3( x -1)⇔x
2-2 x -3<-3( x -1)，
即x
2+ x -6<0，解得-3< x<2，
所以原不等式的解集为(-3,2).
【点拨】解指数不等式的核心是“化同底”，然后利用指数函数的单调性转化为代数不等式求解.
14.已知f ( x)=
❑√3
x
2+2ax -a-1的定义域为R，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】[-1,0]
【解析】∵f ( x)=
❑√3
x
2+2ax -a-1的定义域为R，
∴3
x
2+2ax -a-1≥0对任意x∈R恒成立，
即3
x
2+2ax -a≥1=3
0恒成立，
即x
2+2ax -a≥0对任意x∈R恒成立，
∴Δ= 4 a
2+ 4 a≤0，则-1≤a≤0.
【点拨】偶次根式有意义的条件是被开方数非负，结合指数函数的单调性，将问题转化为一元二
次不等式恒成立问题，利用判别式求解.
15.（13 分）已知函数f ( x)= 3
x+b
3
x+1是定义域为R的奇函数.
（1） 求实数b的值，并证明f ( x)在R上单调递增；
（2） 已知a>0且a≠1，若对于任意的x1、x2∈[1,3]，都有f ( x1)+ 3
2 ≥a
x2-2恒成立，求实数
a的取值范围.
【答案】（1）b=-1，证明见解析 （2）[
1
2 ,1)∪(1,2]
【解析】（1） 因为函数f ( x)= 3
x+b
3
x+1
是定义域为R的奇函数，
则f （0）= 1+b
2
=0，解得b=-1，此时f ( x)= 3
x -1
3
x+1
=1-
2
3
x+1，...............................................2 分
对任意的x∈R，3
x+1>0，即函数f ( x)的定义域为R，
f (- x)= 3
- x -1
3
- x+1
= 3
x(3
- x -1)
3
x(3
- x+1)
= 1-3
x
1+3
x =- f ( x)，即函数f ( x)为奇函数，合乎题意，.....................4 分
任取t1、t2∈R且t1<t2，则0<3
t1<3
t2，
所以，f (t1)- f (t2)=(1-
2
3
t1+1)-(1-
2
3
t2+1)=
2(3
t1-3
t2)
(3
t1+1)(3
t2+1)
<0，则f (t1)<f (t2)，
所以，函数f ( x)在R上单调递增...........................................................................................................7 分
（2） 由（1）可知，函数f ( x)在[1,3]上为增函数，
对于任意的x1、x2∈[1,3]，都有f ( x1)+ 3
2 ≥a
x2-2，则a
x2-2- 3
2 ≤f （1）= 1
2，.........................9 分
∴a
x2-2≤2，
因为x2∈[1,3]，则x2-2∈[-1,1]..................................................................................................10 分
当0<a<1时，则有a
-1≤2，解得1
2 ≤a<1；.......................................................................................11 分
当a>1时，则有a≤2，此时1<a≤2....................................................................................................12 分
综上所述，实数a的取值范围是[
1
2 ,1)∪(1,2]...............................................................................13 分
【点拨】判断或证明函数的单调性，通常利用定义法作差比较.处理不等式恒成立问题，常通过分
离变量或利用函数的最值进行转化.
16.（15 分）已知函数f ( x)= 2
x -2
- x
2
.
（1） 判断函数f ( x)的奇偶性与单调性；
（2） 若对任意x∈R，不等式f ( x
2+mx)+ f （1）>0恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）奇函数，单调递增 （2）(-2,2)
【解析】（1） 由函数f ( x)= 2
x -2
- x
2
= 1
2 ⋅(2
x -2
- x)= 1
2[2
x -(
1
2)
x
]，
∵y1=2
x , y2=-(
1
2)
x
均为在R上的增函数，故函数f ( x)是在R上的单调递增函数，....................3 分
且满足f (- x)=2
- x -1-2
x -1=-(2
x -1-2
- x -1)=- f ( x)，所以函数f ( x)为奇函数..............................6 分
（2） 因为f ( x
2+mx)+ f （1）>0，即f ( x
2+mx)>- f （1）= f (-1)，..................................9 分
又f ( x)是在R上的单调递增函数，
可得x
2+mx>-1恒成立，即x
2+mx +1>0在x∈R上恒成立，......................................................12 分
则满足m
2- 4<0，即m
2<4，解得-2<m<2，
所以实数m的取值范围是(-2,2)........................................................................................................15 分
【点拨】利用奇偶性与单调性解不等式，关键是将不等式转化为f ( A )>f (B)的形式，再利用单调
性脱去函数符号“f ”.
17.（15 分）已知函数f ( x)= x(
1
2
x -a + 1
2).
（1） 若函数y = f ( x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)，求实数a的值；
（2） 在（1）的条件下，求关于x的不等式a
x≥f (a)的解集.
【答案】（1）a=2 （2）[ log23,+ ∞)
【解析】（1） 若a≤0，对任意的x∈R，2
x -a>0，则函数f ( x)的定义域为R，不合乎题意，2 分
所以，a>0，由2
x -a≠0可得x≠log2a，..............................................................................................4 分
因为函数y = f ( x)的定义域为{x∣x≠1}，所以，log2a=1，解得a=2...........................................7 分
（2） 由（1）知，f ( x)= x(
1
2
x -2 + 1
2)，则f (a)= f （2）=2(
1
2
2-2 + 1
2)=3，.........................10 分
由a
x≥f (a)可得2
x≥3，........................................................................................................................12 分
解得x ≥log23.
因此，不等式a
x≥f (a)的解集为[ log23,+ ∞)...................................................................................15 分
【点拨】根据函数的定义域求参数，需分析分母不为零的条件.解指数不等式时，若底数不相同且
无法化为同底，可直接利用对数的定义求解.注：原卷解析中计算f （2）时存在失误，正确应为
f （2）=2(
1
2
0 + 1
2)=3，从而解得x ≥log23.
18.（17 分）（2025·黄冈·9 月调研）已知函数f ( x)= log2(4
x+1)-mx(m∈R)是偶函数．
（1） 求m的值；
（2） 若g( x)= 4
f ( x)，a>0，b∈R不等式b( g( x))
2-ag( x)+a+b≥0对任意x∈[-1,1]恒成
立，求b
a的取值范围．
【答案】（1）m=1 （2）[
3
17 ,+∞)
【解析】（1） ∵f ( x)是偶函数，∴f ( x)= f (- x)，即log2(4
x+1)-mx = log2(4
- x+1)+mx，2 分
即log2(
4
x+1
4
- x+1)=2mx，而log2(
4
x+1
4
- x+1)= log24
x =2 x，.................................................................5 分
∴m=1．..................................................................................................................................................7 分
（2） ∵m=1，∴f ( x)= log2(4
x+1)- x = log2(
4
x+1
2
x )= log2(2
x+2
- x)，....................................9 分
∴g( x)= 4
f ( x)=(2
x+ 1
2
x)
2
，又∵x∈[-1,1]，∴2
x∈[
1
2 ,2]，
而对勾函数p(t )=t + 1
t ,t >0在(0,1)上单调递减，在(1,+ ∞)上单调递增，
∴当t ∈[
1
2 ,2]，p(t )∈[2, 5
2]，∴g( x)∈[4 , 25
4 ]，.................................................................12 分
∵b( g( x))
2-ag( x)+a+b≥0，∴b
a g
2( x)- g( x)+1+ b
a ≥0，
∴b
a ≥g( x)-1
g
2( x)+1，令c = g( x)-1，∴
g( x)-1
g
2( x)+1
=
c
c
2+2c +2
=
1
c + 2
c +2，c∈[3, 21
4 ]，.............15 分
而c + 2
c 在[3, 21
4 ]上单调递增，
1
c + 2
c +2在[3, 21
4 ]上单调递减，
∴b
a ≥3
17 ，∴b
a的取值范围是[
3
17 ,+ ∞)．........................................................................................17 分
【点拨】利用偶函数的定义求出参数后，通过换元法将指数函数转化为对勾函数求值域，再利用
分离参数法将恒成立问题转化为求函数最值问题.
19.（17 分）已知函数f ( x)= 1
2
x +2 +
2
4
x - 4 +1+
1
x -1.
（1） 证明：函数f ( x)的图象关于点(1,1)中心对称；
（2） 求不等式f (2 x +3)>f ( x
2)的解集.
【答案】（1）证明见解析 （2）(-1,1)∪(3,+∞)
【解析】（1） 依题意，x≠1，f ( x)=
2
x
4
x - 4
+
x
x -1，....................................................................2 分
故f (1+ x)+ f (1- x)=
2
x +1
4
x +1- 4
+1+ 1
x +
2
1- x
4
1- x - 4
+1- 1
x =
2
x +1
4
x +1- 4
+
2
x +1
4 - 4
x +1 +2=2，.....................6 分
故函数f ( x)的图象关于点(1,1)中心对称............................................................................................8 分
（2） 当x>1时，y = 1
2
x +2，y =
2
4
x - 4，y =1+
1
x -1单调递减，
故f ( x)在(1,+ ∞)上单调递减，且f ( x)= 1
2
x +2 +
2
4
x - 4 +1+
1
x -1 >1，............................................11 分
函数f ( x)的图象关于(1,1)中心对称，f ( x)在(-∞,1)上单调递减，f ( x)<1，.........................13 分
而f (2 x +3)>f ( x
2)，故2 x +3< x
2<1或x
2<1<2 x +3或1<2 x +3< x
2，.......................................15 分
解得-1< x<1或x>3，故所求不等式的解集为(-1,1)∪(3,+∞).................................................17 分
【点拨】利用函数图象的中心对称性与单调性解抽象不等式，需根据对称中心将定义域划分为两
个区间，结合函数值与对称中心纵坐标的大小关系分类讨论.
