第9 讲 指数与指数函数 · 分类练习
考点一：指数运算及指数方程、指数不等式
考法1：指数幂的运算与化简
1.已知(
3
❑√7
27)
❑√7+3
=（ ）
A. 9
B. 1
9
C. 3
D.
❑√3
9
2.下列结论中，正确的是（ ）
A. 设a>0，则a
4
3 ⋅a
3
4 =a
B. 若m
8=2，则m=±
8√2
C. 若a+a
-1=3，则a
1
2 +a
- 1
2 =± ❑√5
D.
4√(2- π )
4=2- π
3.(
9
16)
-0.5
+
❑√(2- π )
2+(2
3)
2
3 ×(
2
3)
1
4 ×(
2
3)
3
4 =（ ）
A. π
B. 2+ π
C. 4 - π
D. 6- π
4.（2026·吉安·一模）若4
x=5
y =10，则1
x + 2
y =＿＿＿＿＿＿.
考法2：解指数方程与求参数
5.（2026·南昌·一模）若3
a=2，则a所在的范围是（ ）
A. (-1,0)
B. (0, 1
2 )
C. ( 1
2 ,1)
D. (1,2)
6.（2025·优创名校·4 月联考）已知i为虚数单位，6
x=|2❑√2- 4i|，6
y =20i
8+2i
6，则x + y =
（ ）
A. 3
2
B. 1
2 + log644
C. 3+ log62
D. 5
2
7.甲、乙两人解关于x的方程2
x+b⋅2
- x+c =0，甲写错了常数b，得到的根为x =-2或
x = log2 17
4 ，乙写错了常数c，得到的根为x =0或x =1，则原方程的根是（ ）
A. x =-2或x = log23
B. x =-1或x =1
C. x =0或x =2
D. x =-1或x =2
8.（2026·铜陵·模拟）（多选）已知函数f ( x)= 4
x -2
x，若实数m，n满足
f (m)+ f (n)=0(m>n)，则（ ）
A. n<0
B. m+n<- 1
16
C. m< 1
2
D. 3
2 <8
m+8
n<2
9.（2026·合肥一六八·一模）若非零实数x , y满足2 x +3 y - xy =0且m=3
y =2
x，则m的值为＿
＿＿＿＿＿.
考法3：解指数不等式与比较大小
10.（2026·南京六合·一模）已知a>2，5
a+12
a=13
b，则（ ）
A. a>2>b
B. a>b>2
C. b>a>2
D. b>2，但a和b的大小关系无法确定
11.不等式2
x
2-2 x -3<(
1
2)
3( x -1)
的解集为＿＿＿＿＿＿.
12.不等式10
x-6
x-3
x≥1的解集为＿＿＿＿＿＿.
考点二：指数函数的图像及性质
考法4：指数函数的概念与图像识别
13.函数y =(a-2)
2a
x是指数函数，则（ ）
A. a=1或a=3
B. a=1
C. a=3
D. a>0且a≠1
14.函数f ( x)=(e
ax -b)
2的大致图像如图，则实数a,b的取值只可能是（ ）
A. a>0,b>1
B. a>0,0<b<1
C. a<0,b>1
D. a<0,0<b<1
15.（2026·沧州十二校·一模）（多选）若函数f ( x)=e
ax-b的图象经过第二、三、四象限，
则（ ）
A. a<0
B. 0<a<1
C. b>1
D. b<0
16.（多选）函数f ( x)=2
x+ a
2
x (a∈R)的图象可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
考法5：指数函数的性质及应用
17.（2025·上进联考·4 月联考）若函数f ( x)=2025
| x -a|在区间[2026,+∞)上单调递增，则a
的取值范围为（ ）
A. [2026,+ ∞)
B. (0,2026]
C. (-∞,2026)
D. (-∞,2026]
18.（2026·郑州·二模）已知8
x =5，则x的值所在的区间是（ ）
A. (0, 1
2 )
B. ( 1
2 , 2
3 )
C. ( 2
3 , 3
4 )
D. ( 3
4 , 4
5 )
19.（多选）已知函数f ( x)=
2
x
2
x+1，则（ ）
A. 函数f ( x)是增函数
B. 曲线y = f ( x)关于(0, 1
2 )对称
C. 函数f ( x)的值域为(0, 1
2 )
D. 曲线y = f ( x)有且仅有两条斜率为1
5的切线
20.已知f ( x)=
❑√3
x
2+2ax -a-1的定义域为R，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
考法6：指数函数模型的实际应用
21.（2025·黄冈·9 月调研）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根
据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及
以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达
到了0.5mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时40 %的速度减少，那
么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477
）（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
22.（多选）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是
Pn= P0(1+k )
n(k >-1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增
长率，n为预测期间隔年数，则（ ）
A. 当k ∈(-1,0)，则这期间人口数呈下降趋势
B. 当k ∈(-1,0)，则这期间人口数呈摆动变化
C. 当k = 1
3，Pn≥2 P0时，n的最小值为3
D. 当k =- 1
3，Pn≤1
2 P0时，n的最小值为3
考点三：指数函数中的恒成立问题
考法7：指数不等式恒成立求参数范围
23.已知函数f ( x)=2
x , x∈R，若不等式f
2( x)+ f ( x)-m>0在R上恒成立，则实数m的取值范
围是＿＿＿＿＿＿.
24.设f ( x)= 2
x -2
- x
2
，当x∈R时，f ( x
2+mx)+ f （1）>0恒成立，则实数m的取值范围是＿
＿＿＿＿＿.
25.已知不等式4
x -a⋅2
x+2>0，对于a∈(-∞,3]恒成立，则实数x的取值范围是＿＿＿＿＿
＿.
考点四：指数函数的综合问题
考法8：指数函数与奇偶性、单调性的综合
26.已知函数f ( x)= 1
2
x +2 +
2
4
x - 4 +1+
1
x -1，则不等式f (2 x +3)>f ( x
2)的解集为（ ）
A. (-2,1)∪(1,+ ∞)
B. (-1,1)∪(3,+∞)
C. (- 1
2 ,1)∪(3,+∞)
D. (-3,1)∪(3,+ ∞)
27.设f ( x)= x(
1
2
x -a + 1
2). 若函数y = f ( x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+ ∞)，则关于x的不等式
a
x≥f (a)的解集为＿＿＿＿＿＿.
28.已知函数f ( x)=b+ 2a-1
2
x -a
(a>0)的图象关于坐标原点对称，则a+b=＿＿＿＿＿＿.
29.已知函数f ( x)= 3
x+b
3
x+1是定义域为R的奇函数.
（1）求实数b的值，并证明f ( x)在R上单调递增；
（2）已知a>0且a≠1，若对于任意的x1, x2∈[1,3]，都有f ( x1)+ 3
2 ≥a
x2-2恒成立，求实数a
的取值范围.
考法9：构造函数及其他综合应用
30.（多选）点M ( x1, y1)在函数y =e
x的图象上，当x1∈[0,1)，则
y1+1
x1-1 可能等于（ ）
A. -1
B. -2
C. -3
D. 0
31.已知实数a,b满足4
a+2a=3，log2
3√3b+1+b= 2
3，则a+ 3
2 b=＿＿＿＿＿＿.
32.（2025·河北五个一·4 月联考）若实数a,b满足2
a-2
b=5，则3a-b的最小值为＿＿＿＿
＿＿.
