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第9 讲 指数与指数函数·综合测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知(
3
❑√7
27)
❑√7+3
=（ ）
A. 9
B. 1
9
C. 3
D.
❑√3
9
2.（2026·南昌·一模）已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相
关数据可以得到经验回归方程为^y =2.8 x + ^a，则（ ）
x
2
4
y
4
7
13
A. 经验回归直线必过点(3.5,7.5)
B. ^a=1.8
C. 当x =6时，预测值^y =14
D. 当x =2时，样本点对应的残差为0.2
3.若关于x的方程9
x+3
x +1-m+1=0有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. [1,+ ∞)
B. [- 5
4 ,+∞)
C. (-∞,3]
D. [1,3]
4.（2026·南京名校·一模）已知a>2，5
a+12
a=13
b，则（ ）
A. a>2>b
B. a>b>2
C. b>a>2
D. b>2，但a和b
的大小关系无法确定
5.函数y =(a-2)
2a
x是指数函数，则（ ）
A. a=1或a=3
B. a=1
C. a=3
D. a>0且a≠1
6.（2025·上进联考·4 月联考）若函数f ( x)=2025
x -a在区间[2026,+∞)上单调递增，则a的取
值范围为（ ）
A. [2026,+ ∞)
B. (0,2026]
C. (-∞,2026)
D. (-∞,2026]
7.（2025·黄冈·9 月调研）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据
国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20∼79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上
认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了
0.5 mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时40 %的速度减少，那么他至
少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.已知函数f ( x)=a
x(a>0,a≠1)在[1,2]内的最大值是最小值的两倍，且
g( x)={
f ( x)+1,
x ≥1
log3 x -1,
0< x<1，则g(
1
3)+ g（2）=（ ）
A. 3或- 3
4
B. 3
C. - 3
4
D. 3或3
4
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错得0 分.
9.（2026·铜陵·模拟）（多选）已知函数f ( x)= 4
x-2
x，若实数m，n满足
f (m)+ f (n)=0(m>n)，则（ ）
A. n<0
B. m+n<- 1
16
C. m< 1
2
D. 3
2 <8
m+8
n<2
10.（2026·沧州十二校·一模）（多选）若函数f ( x)=e
ax -b的图象经过第二、三、四象限，
则（ ）
A. a<0
B. 0<a<1
C. b>1
D. b<0
11.（多选）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是
Pn= P0(1+k )
n(k >-1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增
长率，n为预测期间隔年数，则（ ）
A. 当k ∈(-1,0)，则这期间人口数呈下降趋势
B. 当k ∈(-1,0)，则这期间人口数呈摆动变化
C. 当k = 1
3，Pn≥2 P0时，n的最小值为3
D. 当k =- 1
3，Pn≤1
2 P0时，n的最小值为3
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.（2026·吉安·一模）若4
x=5
y =10，则1
x + 2
y =＿＿＿＿＿＿.
13.不等式2
x
2-2 x -3<(
1
2)
3( x -1)
的解集为＿＿＿＿＿＿.
14.已知f ( x)=
❑√3
x
2+2ax -a-1的定义域为R，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）已知函数f ( x)= 3
x+b
3
x+1是定义域为R的奇函数.
（1） 求实数b的值，并证明f ( x)在R上单调递增；
（2） 已知a>0且a≠1，若对于任意的x1、x2∈[1,3]，都有f ( x1)+ 3
2 ≥a
x2-2恒成立，求实数
a的取值范围.
16.（15 分）已知函数f ( x)= 2
x -2
- x
2
.
（1） 判断函数f ( x)的奇偶性与单调性；
（2） 若对任意x∈R，不等式f ( x
2+mx)+ f （1）>0恒成立，求实数m的取值范围.
17.（15 分）已知函数f ( x)= x(
1
2
x -a + 1
2).
（1） 若函数y = f ( x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)，求实数a的值；
（2） 在（1）的条件下，求关于x的不等式a
x≥f (a)的解集.
18.（17 分）（2025·黄冈·9 月调研）已知函数f ( x)= log2(4
x+1)-mx(m∈R)是偶函数．
（1） 求m的值；
（2） 若g( x)= 4
f ( x)，a>0，b∈R不等式b( g( x))
2-ag( x)+a+b≥0对任意x∈[-1,1]恒成
立，求b
a的取值范围．
19.（17 分）已知函数f ( x)= 1
2
x +2 +
2
4
x - 4 +1+
1
x -1.
（1） 证明：函数f ( x)的图象关于点(1,1)中心对称；
（2） 求不等式f (2 x +3)>f ( x
2)的解集.
