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专题04 随机变量的数字特征
题型一：求离散型随机变量的均值
题型二：求离散型随机变量的方差
题型三：均值及方差性质的应用
题型四：两点分布的均值与方差
题型五：二项分布的均值与方差
题型六：超几何分布的均值与方差
题型七：均值方差在决策中的应用
题型八：均值方差中的最值问题
题型一：求离散型随机变量的均值
1．将3 个不同的小球随机放入3 个不同的盒子中，记小球最多的盒子里的小球数目为X，则
．
【答案】
【详解】根据古典概型的求法可知
，
，
，
故
．
故答案为：
．
2．若随机变量X 的分布列如表所示，且
，则
（ ）
X
0
1
3
a
P
0.2
0.3
b
0.2
A．0.6
B．1.2
C．1.5
D．1.8
【答案】B
【详解】由随机变量的分布列的性质可知，
，
由数学期望的定义可得
，
所以
.
故选：B.
3．设离散型随机变量X 可能取的值为1、2、3、4.
．又X 的均值
，
则
＝ .
【答案】
【详解】因为
，
所以
，
又因为
，
所以
，
解得
，
，所以
，
故答案为：
.
4．马老师从课本上抄录的一个随机变量
的分布列如表：
1
2
3
尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，
．
【答案】2
【详解】由题意，设“？”对应的概率为a，则“！”处对应的概率为
，
则
．
故答案为：2
5．游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换
另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲同学命中率为0.6，乙同学命中率为0.8.由抽签确定第1 次
射箭的人选，第1 次射箭是甲、乙的概率均为0.5.
(1)求第2 次射箭的人是甲同学的概率；
(2)甲、乙两位同学一共射箭2 次，用随机变量
表示乙同学射箭的次数，求
的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）第2 次射箭的人是甲同学有以下两种情形：
情形一：第1 次是甲同学，且射中；
情形二：第1 次是乙同学，没射中，
所以第2 次射箭的人是甲同学的概率为
；
（2）由题意可知
，
，
，
，
所以
的分布列如下：
所以
.
6．某工厂生产线上有2 个不合格零件和5 个合格零件，需逐一检测分类.每次随机抽取一个零件检测，检
测后不再放回，当检测出2 个不合格零件或检测出5 个合格零件时停止检测.
(1)求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率；
(2)设
表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求
的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】
【详解】（1）设“第1 次检测出合格零件”为事件
，“第2 次检测出不合格零件”为事件
，
则
，
故在第1 次检测出合格零件的条件下第2 次是不合格零件的概率为
.
（2）由题意
可能的取值为
.
表示前5 次检测出的均为合格零件，则
.
表示停止检测时前5 次中恰有1 个不合格且第6 次为合格，则
.
.
则
的分布列为：
0
1
2
所以
的数学期望
.
题型二：求离散型随机变量的方差
7．根据以往经验，某工程施工期间的降水量
（单位：mm）对工期的影响如表所示．
降水量
工期延误天数
0
2
6
10
若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量
小于300，700，900 的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期
延误天数
的方差为（ ）
A．6.8
B．8.8
C．9.8
D．10.8
【答案】C
【详解】由题意知，
，
，
，
．
故
；
，
另解：也可由
，
所以
．
故工期延误天数
的方差为9.8．
故选：C.
8．随机变量
的分布列如下表，若
，则
（ ）
0
1
2
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由已知可得：
得
．
．
故选：C．
9．已知随机变量
的分布列如下表，则“
”是“
”的（ ）
0
1
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由分布列可得
，
，
若
，则
，此时
，故充分性成立，
若
，则
，解得
或
，故必要性不成立，
因此“
”是“
”的充分不必要条件，
故选：A
10．设随机变量
的分布列如下（其中
），
表示
的方差，则
（ ）
0
1
2
A．有最大值也有最小值
B．有最大值但无最小值
C．无最大值但有最小值
D．无最大值也无最小值
【答案】B
【详解】由分布列，得随机变量
的期望
，
则
，
由
，得当
时，
取得最大值，无最小值.
故选：B.
11．有10 张卡片，其中8 张标有数字
张标有数字5，若从中随机抽出3 张，设这3 张卡片上的数字和为
X，则
．
【答案】3.36
【详解】
，
，
，
则
，
．
故答案为：3.36．
12．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5 个.从袋中随机取出3 个球，已知不全为黑球的概率为
，若记取出3 个球中黑球的个数为
，则
.
【答案】
【详解】设袋中黑球个数为
，则白球个数为
，
则
，故
，
则
的可能取值为1,2,3，
，
，
，
故
，
故答案为：
13．随机变量
的取值为
、、
，若
，
，则
.
【答案】
【详解】设
，
，则
，即
，
则
，
，
由
，
整理得
，而
，解得
，
，
所以
.
故答案为：
.
题型三：均值及方差性质的应用
14．随机变量X 服从两点分布，若
，则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由随机变量
服从两点分布，若
，
根据分布列的性质，可得
，所以A 错误；
又由
，
，所以B 错误；
由
，所以C 正确；
由
，所以D 错误.
故选：C.
15．离散型随机变量
的取值为0，1，2，若
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．0.6
C．0.8
D．1.6
【答案】D
【分析】
【详解】由题知：
.
所以
，
所以
.
故选：D
16．设离散型随机变量
的分布列为
1
2
3
4
5
0.1
0.4
0.2
0.1
若离散型随机变量
满足
，则下列结果正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】由题意有
，得
，
所以
，
，
，
.
故选：BC.
17．已知
，
均为正数，随机变量
的分布列如下表：
0
2
3
则下列结论一定成立的是（ ）（多选）
A．
B．
C．当
时，
取最大值
D．
【答案】BC
【详解】对于A 中，由分布列的性质，可得
，无法确定
与
之间的大小关系，所
以A 错误；
对于B 中，因为
，所以B 正确；
对于C 中，因为
均为正数，所以
，即
，
当且仅当
时，等号成立，所以C 正确；
对于D 中，由方差的性质，可得
，
因为
，可得
，所以
，所以D 错误.
故选：BC.
18．已知随机变量
的概率分布如表且
，则
.
1
2
4
【答案】16
【详解】由概率分布的性质，有
，即
，
又由
，得
，
又
，
所以
，
所以
.
故答案为：
.
19．袋中有
个大小相同的球，其中记上
号的有
个，记上
号的有
个.现从袋中任取一球，
表示所取球的标号.
(1)求
的分布列、均值；
(2)若
，
，求
的值.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】
【详解】（1）由题意可知袋中
号的有
，记上
号的有
个，
由古典概型可知
，
，
，
，
；
的分布列为
的均值
.
（2）
，又因为
，则
，所以
.
题型四：两点分布的均值与方差
20．已知随机变量
服从参数为
的两点分布，且
，则
（ ）
A．0.25
B．0.75
C．0.35
D．0.65
【答案】C
【详解】因为随机变量
服从参数为
的两点分布，
所以
，
又
，所以
.
故选：C.
21．一批产品中次品率为10%，随机抽取1 件，定义
，则
（ ）
A．0.05
B．0.1
C．0.8
D．0.9
【答案】B
【详解】
.
故选：B.
22．已知随机变量
服从两点分布，其中
，若
，则
.
【答案】
/
【详解】根据两点分布的特点得
，
则
，
根据方差的性质得
，
故答案为：
.
23．已知随机变量
均服从两点分布，且
，则下列结论正确的是（ ）
1
0
1
0
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】依题意，
，而
，则
；
，同理
，
，
因此
.
故选：C
24．已知随机变量
服从两点分布，且
，若
，则下列判断正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】∵
，
，∴
，
∵
，
，
二次函数
在区间
上单调递减，
∴
，
，且
.
故选：D
题型五：二项分布的均值与方差
25．已知随机变量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
，
则
，
解得
或
，
当
时，
；
当
时，
.
故选：D.
26．设随机变量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为随机变量
，若
，
解得
，故
.
故选：A.
27．设随机变量
，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由随机变量
，可得
，
因为
，可得
，因为
，所以
，
又由
，可得其对称轴为
，
所以
在
单调递增，所以当
，
取得最大值，最大值为
.
故选：B.
28．（多选）已知随机变量
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．存在
，使得
【答案】ABC
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，
，
，
若
，则
，即
，
因为
，
，
所以
，解得
，故B 正确；
对于C，若
，则
，故C 正确；
对于D，
，
当且仅当
时，
有最大值为，故D 错误.
故选：ABC
29．抛掷一枚质地均匀的骰子4 次，记X 表示掷出的点数为合数的次数，则X 的数学期望
．
【答案】
【详解】记事件A 表示“掷出的点数为合数”，样本空间
，
事件
，故
.
每次掷出的点数为合数的概率不变，抛掷4 次相当于4 次独立重复试验，
，
故
．
故答案为：
30．某专家对某新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5 个坑，每个坑种1 粒种子．经过大量试验，
每个试验组没有发芽的坑数的平均数为1，则估计每粒种子发芽的概率
．
【答案】
/0.8
【详解】由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的概率约为
，
设每组不发芽的坑数为
，则
，
所以每组没有发芽的坑数的平均数约为
，解得
，
所以每粒种子的发芽率约为
．
故答案为：
.
31．随机变量
．若
，则
；若
，则p 的最
大值为 ．
【答案】 4
/0.75
【详解】由
，得
，
，又
，
因此
；
又
，
，则
，
解得
，而
，所以当
时，
.
故答案为：4；
题型六：超几何分布的均值与方差
32．一批笔记本电脑共有
台，其中
品牌台，
品牌
台.如果从中随机挑选
台，设这
台电脑中
品牌的台数为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】依题意，
的可能值有
.
则
，
，
.
则
的分布列为：
可得
.
故选：D
33．已知在
的二项展开式中，只有第6 项的二项式系数最大，若在展开式中任取3 项，其中
有理项的个数为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】在
的二项展开式中只有第6 项的二项式系数最大，则
，
可得
的二项展开式的通项
，
当
为整数时，该项为有理项，
因为
且
，所以当
时，
分别为2，
，
，是整数，
即有理项有3 项，
从11 项中任取3 项，其中有理项的个数
服从参数为
（总体个数），
（有理项个数），
（抽取个数）的超几何分布，
根据超几何分布的期望公式
，可得
.
故选：B.
34．（多选）袋中有10 个大小相同的球，其中6 个黑球，4 个白球，现从中任取4 个球，记随机变量X 为
其中白球的个数，随机变量Y 为其中黑球的个数，若取出一个白球得2 分，取出一个黑球得1 分，随机变
量Z 为取出4 个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】由题意知X，Y 均服从于超几何分布，且
，
，
故
；
从而
，故选项A 正确；
，
，
，故选项B 错误，C 正确；
，故选项D 正确；
故选：ACD.
35．一批排球共有30 个，其中有7 个不合格．从这批排球中随机抽取8 个，记抽到的不合格的排球个数为
，则
．
【答案】25
【详解】依题意得
服从超几何分布，且
，
，
，则
，
故
．
故答案为：25.
36．从4 名男生和2 名女生中任选3 人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3 人中女生的人数，求：
(1)“所选3 人中女生人数
”的概率；
(2)X 的期望与方差.
【答案】(1)
(2)
；
【分析】
【详解】（1）“所选3 人中女生人数
”的概率：
．
（2）
从4 名男生和2 名女生中任选3 人参加演讲比赛，
设随机变量
表示所选3 人中女生的人数，
的可能取值为0，1，2，
，
，
，
的分布列为：
0
1
2
的均值
．
的方差
．
37．2020 年5 月1 日开始，新版《北京市生活垃圾管理条例》正式实施，垃圾分类标准为厨余垃圾、可回
收物、有害垃圾和其他垃圾四类.生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1 吨废纸可再造出0.8 吨好纸，
降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了北京市某垃圾处理厂2020 年6 月至12 月生活
垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如图所示：
(1)现从2020 年6 月至12 月中随机选取1 个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过
4.0 吨的概率；
(2)从2020 年6 月至12 月中任意选取2 个月，记
为选取的这2 个月中废纸的回收量超过3.7 吨的月份的
个数.求
的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】
【详解】（1）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0 吨”为事件
，
由图知，只有8 月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0 吨，∴
（2）6 月至12 月废纸的回收量超过3.7 吨的月份有7 月、8 月、10 月，共3 个月.
∴
的所有可能取值为0，1，2.
，
，
，
∴
的分布列为：
0
1
2
∴数学期望
.
题型七：均值方差在决策中的应用
38．（多选）2025 年春节假期期间，某超市举办了购物抽奖活动，设置有甲、乙两个抽奖箱，甲箱中有9
张奖券，其中6 张写着“谢谢惠顾”，3 张写着“金额50 元”；乙箱中有8 张奖券，6 张写着“谢谢惠
顾”，2 张写着“金额100 元”（设两箱内的奖券大小一样，无区分）．现有三种抽奖方案供选择：方案
—：从甲箱中随机抽取一张奖券，若抽到“金额50 元”奖券，则停止抽奖，若抽到“谢谢惠顾“奖券，再
从乙箱内随机抽取一张奖券，无论抽奖结果如何，都停止抽奖，按抽到的奖券金额领奖；方案二：从乙箱
中随机抽取一张奖券，若抽到“金额100 元”奖券，则停止抽奖，若抽到“谢谢惠顾”奖券，再从甲箱内
随机抽取一张奖券，无论抽奖结果如何，都停止抽奖，按抽到的奖券金额领奖；方案三：从甲、乙箱内各
随机抽取一张奖券，按单张奖券上最高金额领奖．某顾客有一次抽奖机会，他等可能地选择三种抽奖方案
中的一种，则下列说法正确的是（ ）
A．若该顾客选择方案三，则他抽到有奖奖券的概率为
B．该顾客抽到“金额100 元”奖券的概率，只有方案三最大
C．该顾客领取的奖券金额为50 元的概率小于
D．根据领取的奖券金额的期望值越大越有利，该顾客应选择方案二或方案三
【答案】ACD
【详解】A 选项，从甲箱中随机抽取一张奖券，是“谢谢惠顾”奖券的概率为
，
是“金额50 元”奖券的概率为
；
从乙箱中随机抽取一张奖券，是“谢谢惠顾”奖券的概率为
”，
是“金额100 元”奖券的概率为
，
已知该顾客选择方案三，则他抽到有奖奖券的概率
，A 项正确；
B 选项，当该顾客选择方案三时，抽到“金额100 元”奖券的概率
，
当该顾客选择方案一时，抽到“金额100 元”奖券的概率
；
当该顾客选择方案二时，抽到“金额100 元”奖券的概率
．
，B 项错误．
C 选项，当该顾客选择方案一时，领取的奖券金额为50 元的概率
；
当该顾客选择方案二时，领取的奖券金额为50 元的概率
；
当该顾客选择方案三，领取的奖券金额为50 元的概率
，
所以该顾客领取的奖券金额为50 元的概率为
，C 项正确．
D 选项，对于方案一，设该顾客领取的奖券金额为
，则
的可能取值为0，50，100，
则
，
，
，
所以
；
对于方案二，设该顾客领取的奖券金额为
，则
的可能取值为0，50，100，
则
，
，
，
所以
；
对于方案三，设该顾客领取的奖券金额为
，则
的可能取值为
，
，
，
则
，
，
，
所以
．因为
，
所以根据领取的奖券金额的期望值越大越有利，该顾客应选择方案二或方案三，D 项正确．
故选：ACD．
39．某科技公司计划推出一款基于大模型的智能客服系统，需从“自研大模型方案”和“采购第三方大模
型方案”中选择最优方案，系统收益受用户满意度影响，而满意度与大模型的“推理准确性”有关；当推
理准确性高时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.7，0.2，0.1；当推理准确性低
时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.2，0.3，0.5．根据测试数据，该公司自研
大模型方案准确性高的概率为0.6，采购第三方大模型方案准确性高的概率为0.4（两方案的准确性概率独
立，仅用于各自场景的计算）．两种方案的收益（单位：万元，含研发、采购成本）如表．
用户满意度
自研方案收益
采购方案收益
高满意
120
80
中满意
50
40
低满意
(1)分别计算两种方案用户“高满意”，“中满意”、“低满意”的概率；
(2)分别计算两种方案的期望收益；
(3)根据期望收益，该公司应选择哪种方案？并说明理由．
【答案】(1)答案见解析；
(2)自研方案、采购方案的期望收益分别为
万元、
万元；
(3)自研方案，理由见解析.
【分析】
【详解】（1）若事件
分别表示“高满意”、“中满意”、“低满意”，
对于自研方案“准确性高”为事件
，准确性高的概率为
，则准确性低的概率为
，
由题意
，
，
该方案“高满意”的概率为
，
“中满意”的概率为
，
“低满意”的概率为
；
对于采购方案“准确性高”为事件
，准确性高的概率为
，则准确性低的概率为
，
由题意
，
，
该方案“高满意”的概率为
，
“中满意”的概率为
，
“低满意”的概率为
；
（2）由题设及（1），自研方案期望收益为
万元，
采购方案期望收益为
万元；
（3）选择自研方案，理由如下：
由（2）所得的期望知
，故该公司应选择自研方案.
40．某环境监测机构负责筛查某地区水体中的一种特定有毒污染物．已知一个水样中该污染物超标的概率
为
，该检测方法有如下特性：若水样确实超标，检测结果呈阳性（提示超标）的概率为
；若水样
未超标，检测结果呈阴性（提示未超标）的概率为
．为节约成本，监测人员采用“混合检测”方案：
将3 份水样混合后进行一次检测，若混合样本检测呈阴性，则认为3 份水样均未超标，不再进行下一步检
测；若混合样本检测呈阳性，则需对这3 份水样逐一进行检测，以确定具体是哪一份水样超标．记
为在
此方案下，为确定3 份水样的最终结果所需的检测次数．
(1)求一份水样在检测中结果呈阳性的概率；
(2)求随机变量
的分布列；
(3)与传统逐一检测方案（每份水样检测一次，共需要3 次）相比，此混合检测方案平均能减少多少次检测？
（参考数据
，计算结果精确到
）
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
次
【分析】
【详解】（1）记事件
为“水样超标”，事件
为“检测呈阳性”．
由题意，
，
所以
，由全概率公式得
．
因此，一份水样在检测中结果呈阳性的概率为
．
（2）随机变量
表示检测次数，可能取值为1，4．
混合样本检测呈阴性时，可能有两种情况：
①若混合样本未超标，则检测呈阴性的概率为
；
②若混合样本超标，则至少有一份水样超标，检测为阴性的概率为
，
则
，
若混合样本检测呈阳性，则
．
所以
．
所以随机变量
的分布列为：
1
4
（3）混合检测方案的平均检测次数为
，
．
所以此混合检测方案平均能减少
次检测．
41．某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现
设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性.从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取
1000 条数据，整理如图所示：
日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修.对单台设备的不同状态，这
三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：
操作经济损失设备状态
保留观
察
停机更换
检查维修
完好
0
10
5
损坏
12
5
7
假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立.
(1)已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；
(2)该工厂现有2 台设备出现发热情况，准备对这2 台设备都进行检查维修,记检查维修这2 台设备给工厂带
来的总经济损失为
千元，求
的分布列和数学期望
；
(3)该工厂的某车间现有2 台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况.下面有三种
维护这2 台设备的操作方案：
发热情况操作方案编号
发热
未发热
①
检查维修
保留观察
②
停机更换
检查维修
③
停机更换
保留观察
如果你是该工厂的老板，你如何决策?
【答案】(1)
；
(2)分布列见解析，
；
(3)①，理由见解析.
【分析】
【详解】（1）设“一台设备未出现发热情况，设备损坏”为事件
，则
；
（2）依题意，一台设备出现发热情况，设备损坏的概率为
，设备正常的概率为
，
由题意知，
.
离散型随机变量
的分布列为：
10
12
14
（3）使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号为①，理由如下：
记采用不同方案，这2 台设备给工厂带来的总经济损失为
千元，
采用方案①：
的取值为：5，7，17，19，
，
，
，
，
故采用方案①，总经济损失的期望
采用方案②：
的取值为：10，12，15，17，
，
，
，
，
故采用方案②，总经济损失的期望
采用方案③：
的取值为：5，10，17，22，
，
，
，
，
故采用方案③：总经济损失的期望
.
综上，
，故采用方案①，可使得总经济损失的期望最小
42．某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300 元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：
抽奖箱设置3 个红球和2 个白球，每次抽取2 个球．若抽中2 个白球，返现金50 元；若抽中1 个红球和1
个白球，返现金30 元；若抽中2 个红球，返现金20 元．
(1)顾客A 恰好消费了300 元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X 的分布列与数学期望；
(2)顾客B 消费了1000 元．
①顾客B 获得返现金额为90 元的概率是多少?
②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B 应选择哪种方案更优惠?
（备注：不能同时参加抽奖和打折活动）
【答案】(1)分布列见解析，
(2)①
；②打折更划算
【分析】
【详解】（1）由题意X 可能取值为20，30，50，
则
，
，
，
则X 的分布列如下表：
X
20
30
50
P
由期望公式可得
；
（2）①由题意刚好可以抽三次，获得90 元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30 元或者两次20 元，
一次50 元，
则概率为
；
②若打九折，需支付金额为：
（元）
由（1）知每次抽中的均值为29 元，则抽取三次总的均值为：
（元），
因为
，故打折更划算．
题型八：均值方差中的最值问题
43．设
随机变量X 的分布列如表所示，则E(X) （ ）
X
1
2
3
P
A．有最大值
，最小值
B．有最大值
，最小值
C．有最大值
，没有最小值
D．无最大值，有最小值
【答案】A
【详解】依题意，
，则
，
则
，
当
时，
，
，则
，
所以
有最大值
，最小值
，A 正确，BCD 错误.
故选：A
44．已知随机变量X 的分布列为
X
2
4
10
15
P
0.1
m
0.3
(1)求m 的值；
(2)求
；
(3)若
，且
，求n 的最小值．
【答案】(1)
(2)10
(3)95
【分析】
【详解】（1）由
，得
．
（2）所以
．
（3）
．
因为
，
所以由
，得
，即
，
又
，所以n 的最小值为95．
45．已知盒中有质地相同的2 个红球和3 个黑球，游戏规则如下：有放回地随机取2 次，每次取1 个球，2
次取到的球都是红球，则中一等奖，2 次取到的球中只有1 个红球，则中二等奖，其余情况不中奖.
(1)甲有放回地随机取2 次球，每次取1 个，求甲中二等奖的概率；
(2)假设一、二等奖的奖金分别为12 元，6 元，每次游戏（取2 个球）收费
（
）元，从游戏举办方
可获利的角度考虑，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)5
【分析】
【详解】（1）甲中二等奖即取出的2 个球恰好一红一黑.
每次取到红球的概率为
，每次取到黑球的概率为
.
因此中二等奖的概率为
（二等奖）=
.
（2）设每次游戏可获得的奖金金额为
，则
的所有可能取值为0，6，12，
，
，
，
则
，
从获利角度考虑，需满足收费
大于期望奖金，即
，
又
为正整数，所以
的最小值为5.
46．3 月14 日为国际数学日，也称为
节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动
是“数学知识竞赛”，竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3 道题，若答对题目不少
于5 道题，则获得1 个积分．已知甲、乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是
和
，且每道题答对与否互不影响．
(1)若
，
，求甲、乙同学这一组在一轮竞赛中获得1 个积分的概率；
(2)若
，且每轮比赛互不影响，进行n 轮比赛后，甲、乙同学这一组获得的积分为X 分．若
恒成立，求n 的最小值．
【答案】(1)
(2)20
【详解】（1）假设同学甲和同学乙答对的题目个数分别为
，
，
所以所求概率为
，
所以他们在一轮竞赛中获得1 个积分的概率为
；
（2）由（1）可知
，
整理可得
，
因为
，
，且
，
所以
，
，
令
，则
，
所以
，
，则
，
当
时，
恒成立，
在
上单调递增，
所以当
时，
取得最小值
，
设在n 轮比赛中，甲、乙两同学获得1 个积分的轮数为
，则
服从
，
又
，所以
，则由
，
即
，解得
，
因为
为正整数，所以n 的最小值为
．
47．某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从1，2，3，…，10 中随机抽取的
3 个不同数，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：每张彩票只能中奖一次（按照最高奖励算），若3 个数的
积为2 的倍数且不为3 的倍数，也不是5 的倍数时，中三等奖；若3 个数的积为5 的倍数且不为3 的倍数时，
中二等奖；若3 个数的积既为3 的倍数，又为4 的倍数，又为7 的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖．
假设每张彩票售价为
元，且获得三、二、一等奖的奖金分别为2 元，3 元，10 元，从出售该彩票
可获利的角度考虑，
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】若获得三等奖，则可能情况有：
2
①，4，8 中出现3 个；
2
②，4，8 中出现2 个，1，7 中出现1 个；
2
③，4，8 中出现1 个，1，7 中出现2 个．则获得三等奖的概率
．
若获得二等奖，则可能情况有：
5
①，10 中出现1 个，1，2，4，7，8 中出现2 个；
5
②，10 中出现2 个，1，2，4，7，8 中出现1 个．则获得二等奖的概率
．
若获得一等奖，则可能情况有：
①一个7，且3，9 中出现1 个，4，8 中出现1 个；
②一个7，一个6，且2，4，8，10 中出现1 个．则获得一等奖的概率
．
设一张彩票的奖金为
元，则
的可能取值为
，
由题可知不中奖的概率为
，
，
，
．
的分布列为
0
2
3
10
P
所以
，
若要盈利，则
，又
，所以
的最小值为2．
故选：B.
48．某超市计划每天订购一种面包，每个面包的成本价为4 元，售价为7 元，当天如果没有售完，剩余的
面包以每个2 元的价格处理掉．根据销售经验，每天需求量与当天超市的客流量有关：如果超市的客流量
不低于5000，需求量为150 个；如果超市的客流量位于区间
，需求量为100 个：如果超市的客
流量低于3000，需求量为60 个．为了确定订购计划，统计了前100 天的客流量数据，得到下面的频数统
计表：
客
流
量
天
数
6
14
27
23
21
9
以超市的客流量位于各区间的频率作为客流量位于该区间的概率．
(1)求该超市这种面包一天的需求量不少于100 个的概率：
(2)若该超市计划每天订购这种面包120 个，求一天销售这种面包的利润的数学期望；
(3)设该超市一天销售这种面包的利润为Y（单位：元）．当该超市这种面包一天的进货量n（单位：个）
为多少时，Y 的数学期望达到最大值？
【答案】(1)
(2)250
(3)100 个
【分析】
【详解】（1）根据题意这种面包一天的需求量不少于100 个对应的客流量不少于3000，则其概率为：
故该超市这款新面包日需求量不少于100 个的概率为
．
（2）若该超市计划每天订购这种面包120 个，设这款新面包的日利润为X，
则依题意，日利润X 的可能值有三种，分别为：
当客流量在5000 以上时，
；
当客流量位于区间
时，
；
当客流量低于3000 时，
，
分别对应的概率为：
；
；
；
所以该超市计划每天订购这种面包120 个，一天销售这种面包的利润的数学期望
．
（3）根据题意，这种面包的需求量不多于150 个，按需求量60，100，150 分类讨论：
①当
，
，
此时，该超市一天销售这种面包的利润为Y 的数学期望:
，函数单调递增.
当
时，取最大值，此时
；
②
时：
当客流量在3000 以上时，
，
；
当客流量低于3000 时，
，
.
此时，该超市一天销售这种面包的利润为Y 的数学期望:
函数单调递增，当
时，
.
③
当客流量在5000 以上时，
，
;
当客流量位于区间
时，
,
;
当客流量低于3000 时，
，
.
此时，该超市一天销售这种面包的利润为Y 的数学期望:
，函数单调递减，当
时取最大值，
.
综上，可以发现当
时，
该超市一天销售这种面包的利润的数学期望
取得最大值：
．
