重难点02 函数性质的灵活运用（举一反三专项训练）
【全国通用】
【题型1 函数的单调性及其应用】..........................................................................................................................3
【题型2 函数的最值问题】......................................................................................................................................4
【题型3 函数的奇偶性的综合应用】......................................................................................................................4
【题型4 函数图象的识别及应用】..........................................................................................................................5
【题型5 对称性与周期性的综合应用】..................................................................................................................6
【题型6 类周期函数】..............................................................................................................................................7
【题型7 抽象函数的性质及其应用】......................................................................................................................7
【题型8 函数性质的综合应用】..............................................................................................................................8
【题型9 函数新定义】..............................................................................................................................................9
1、函数性质的灵活运用
函数及其性质是高考数学的重点、热点内容.从近三年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、对
称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式
相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解.
对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性、周期性等，主要考察方向是：
判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，
考查难度较大，需要灵活求解，高考一轮复习时需要加强这方面的训练.
知识点
1
函数的单调性与最值问题的解题策略
1．求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2．函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
(3)函数单调性的几条常用结论：
①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；
②若f(x)和g(x)均为增（或减）函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增（或减）函数；
函数性质的灵活运用
考点1
③若f(x)>0 且f(x)为增函数，则函数
为增函数，
为减函数；
④若f(x)>0 且f(x)为减函数，则函数
为减函数，
为增函数．
3．求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4．复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
知识点
2
函数的奇偶性及其应用
1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式
(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函
数，如f ( x)+ g( x),f ( x)−g( x),f ( x)× g( x),f ( x)÷ g( x)．
对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)
偶=偶．
(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．
(5)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
．
④函数
或函数
．
2．函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数
或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
知识点
3
函数的周期性与对称性的常用结论
1．函数的周期性常用结论(a 是不为0 的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2 a ；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2 a ；
(4)若f(x+a)=
，则T=2a；
(5)若f(x+a)=
，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线
对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点
对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点
对称.
3．函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数y=f(x)有两条对称轴
，
，则函数y=f(x)是周期函数，且
；
(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心
，则函数y=f(x)是周期函数，且
；
(3)若函数y=f(x)有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数y=f(x)是周期函数，且
.
知识点
4
抽象函数及其解题策略
1．抽象函数及其求解方法
我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象
函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一
身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.
【题型1 函数的单调性及其应用】
【例1】（2026·四川绵阳·模拟预测）下列函数中，是偶函数，且在(−∞,0)上单调递减的是（ ）
A．y = x
2
B．y = x
−2
C．y =2
x
D．y = log2 x
【变式1-1】（2026·甘肃天水·一模）函数y =2
❑√−x
2+ x +2的单调递增区间是（ ）
A．(−∞, 1
2)
B．(−∞,−1]
C．[−1，1
2)
D．[−1，2)
【变式1-2】（2026·广东肇庆·一模）已知f ( x)=e
x−e
−x，若f (x +1)+ f (x−1)>0成立，则x 的取值范围
是（ ）
A．(0,+∞)
B．(1,+∞)
C．(−1,+∞)
D．(−∞,0)∪(0,+∞)
【变式1-3】（2026·山东日照·一模）定义在R上的函数y = f (x)满足以下条件：①f (−x)−f (x)=0；②对
任意x1, x2∈[0,+ ∞)，当x1≠x2
时都有f (x1)−f (x2)
x1−x2
>0．则f (−❑√5),f (π),f (−3)的大小关系是（ ）
A．f (π)>f (−3)>f (−❑√5)
B．f (π)>f (−❑√5)>f (−3)
C．f (π)<f (−3)<f (−❑√5)
D．f (π)<f (−❑√5)<f (−3)
【题型2 函数的最值问题】
【例2】（2026·湖南·模拟预测）已知函数f (x)，则“∀x∈(0,+∞)，f (x)≥2”是“f (x)在(0,+∞)上的
最小值为2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式2-1】（2026·宁夏陕西·模拟预测）已知函数f (x +1)=2
x−2
−x，则f (x)在[−1,1)上的最大值为
（ ）
A．3
2
B．15
4
C．0
D．1
【变式2-2】（2026·江西宜春·一模）已知函数f (x)= log2(x
2−2ax)在[2,4)上的最小值是1，则a=
__________.
【变式2-3】（2026·广东肇庆·二模）已知函数f (x)={
2
−x+1,
x<1
x
2−6 x + 4 ,
x ≥1)
，则f (x)的最小值是
__________.
【题型3 函数的奇偶性的综合应用】
【例3】（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数f (x)= a
x+1
x⋅3
x
（a>0）是奇函数，则a=（ ）
A．1
3
B．1
C．3
D．9
【变式3-1】（2026·福建南平·二模）已知f (x)是定义在R上且周期为4 的奇函数，当−2< x<0时，
f (x)=e
x，则f (2)+ f (ln2)=（ ）
A．-2
B．−1
2
C．1
2
D．2
【变式3-2】（2026·陕西渭南·三模）已知f (x)是定义在R上的奇函数，f (x +1)是偶函数，则f (2026)=
（ ）
A．0
B．−2
C．2
D．4
【变式3-3】（2026·贵州贵阳·二模）已知f ( x)是定义在R上的偶函数，且对任意x1, x2∈[0,+ ∞), x1≠x2
，总有f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
<0，则不等式f (2m−1)<f (m)的解集为（ ）
A．(−∞, 1
3 )∪(1,+ ∞)
B．(1,+∞)
C．( 1
3 ,1)
D．(−∞,1)
【题型4 函数图象的识别及应用】
【例4】（2026·山东枣庄·三模）函数f (x)= x(e
−x−e
x)
x
2−1
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A．y = sin2 x
x
2+1
B．y =
x
x
2+1
C．y = cos x
x
2+1
D．y =e
x+e
−x
2(e
x−e
−x)
【变式4-2】（2026·四川成都·一模）已知定义在R上的奇函数f ( x)在[0,+ ∞)上的图象如图所示，则不等
式( x−❑√3)f ( x)>0的解集为（ ）
A．(−3,0)∪(❑√3,3)
B．(−3,0)∪(0,3)
C．(−∞,−3)∪(0,3)
D．(−∞,−3)∪(❑√3,3)
【变式4-3】（2026·陕西渭南·三模）函数f (x)= 3 x−x
3
2+cos x
的部分图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型5 对称性与周期性的综合应用】
【例5】（2026·江西九江·一模）定义在R上的函数f (x)满足：①对任意x∈R，都有
f (2+ x)= f (1)−f (−x)；②f (2 x)的图象关于直线x =1对称：③f (2)=1,f(
3
2)=
❑√2
2 ．则下列说法正确的
是（ ）
A．f (x +2)是奇函数
B．f (x +1)是偶函数
C．f(−1
2)=−
❑√2
2
D．∑
k =1
2025
f(
k
2)=0
【变式5-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）定义域为R 的函数f ( x)，其图象关于直线x =1对称，已知
f ( x +2)−1为奇函数，且f (1)=0，则∑
k =1
2025
f (k )=（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【变式5-2】（2026·湖南·一模）已知f (x),g(x)均为定义在R上的函数，
f (x−1)+ g(x)= x ,f (x)+1= g(1−x)+ x，若f (2 x +1)的图象关于直线x =−1对称，且g(0)=1，则
∑
i=1
30
g(i)的值是（ ）
A．463
B．464
C．465
D．466
【变式5-3】（2026·四川成都·模拟预测）函数f (x)对任意x∈R，f (x +2)= f (4−x)，且f (x +6)为奇函
数，给出下列说法，其中错误的个数为（ ）
（1）若x∈(0,3)时，f (x)=2
x，则f (8)= 4；
（2）f (x)的周期为6；
（3）f (x)的图象关于点(−6,0)对称；
（4）f (2025)+ f (3)≠0.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【题型6 类周期函数】
【例6】（25-26 高一上·江西吉安·期末）设函数f (x)的定义域为R，且f (x + 4)=2f (x)，当x∈(0,4)时，
f (x)=2 x
2−8 x，若对于∀x∈(−∞,t )，都有f (x)≥−3
2
恒成立，则t 的取值范围是（ ）
A．(−∞,−7)
B．(−∞,−5)
C．(−∞,−3)
D．(−∞,−1)
【变式6-1】（2025·云南昆明·二模）定义“函数y = f (x)是D上的a级类周期函数” 如下: 函数
y = f (x), x∈D，对于给定的非零常数 a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有
af (x)= f (x +T )恒成立，此时T为f (x)的周期. 若y = f (x)是[1,+ ∞)上的a级类周期函数，且T =1，当
x∈[1,2)时，f (x)=2 x +1,且y = f (x)是[1,+∞)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．[
5
6 ,+ ∞)
B．[2,+∞)
C．[
5
3 ,+∞)
D．[10,+ ∞)
【变式6-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）定义在R上的函数f (x)满足f (x +1)= 1
2 f (x)，且当x∈[0,1)时，
f (x)=1−|2 x−1).当x∈[m,+∞)时，f (x)≤3
32
，则m的最小值为（ ）
A．27
8
B．29
8
C．13
4
D．15
4
【变式6-3】（2025·江西新余·一模）若函数y = f ( x)，x∈M对于给定的非零实数a，总存在非零常数T
，使得定义域M内的任意实数x，都有af ( x)= f ( x +T )恒成立，此时T为f ( x)的假周期，函数y = f ( x)是
M上的a级假周期函数，若函数y = f ( x)是定义在区间[0，+ ∞)内的3 级假周期函数且T =2，当
x∈[0,2)，f ( x)={
1
2 −2 x
2,0≤x ≤1
f (2−x),1< x<2)
，函数g( x)=−2ln x + 1
2 x
2+ x +m，若∃x1∈[6,8)，
∃x2∈(0，+∞)使g( x2)−f ( x1)≤0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−∞, 13
2 ]
B．(−∞,12)
C．(−∞,39)
D．[12,+∞)
【题型7 抽象函数的性质及其应用】
【例7】（2026·甘肃·模拟预测）已知偶函数f (x)满足：f
2(x)+ f
2(x +2)= 4，且f (x)f(x + 1
2)>0，若
f (2)<0，则f (2025)=（ ）
A．1
B．❑√2
C．−❑√2
D．−1
【变式7-1】（2026·河南·模拟预测）已知f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意x , y，都有
f (x)+ f ( y)= f (x + y)+a，则a=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．−1
【变式7-2】（2026·江苏南京·三模）已知定义在R上的非常数函数f ( x)满足：对于任意x , y ∈R都有：
f (x + y)= f (x)f ( y)+ f (x)+ f ( y)，f (1)=e−1.下列选项正确的是（ ）
A．f (x)是奇函数
B．f (x)是偶函数
C．f (0)=−1
D．f (2)=e
2−1
【变式7-3】（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为{x|x≠0))的函数f (x)满足
f (x + y)[f (x)+ f ( y))= f (x)f ( y)，f (1)=2，且当x∈(0,+∞)时，f (x)>0恒成立，则下列结论正确的是
（ ）
A．f(
2
3)=6
B．f (2 x)=2f (x)
C．f (x)为奇函数
D．f (x)在区间(0,+∞)是单调递增函数
【题型8 函数性质的综合应用】
【例8】（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，且f (x +1)为奇函数，当x<1时，
f (x)=e
x−e，则关于a的不等式f (a
2−a−1)≥0的解集为（ ）
A．[−1,2)
B．[−2,1)
C．(−∞,−1)∪[2,+ ∞)
D．(−∞,−2)∪[1,+ ∞)
【变式8-1】（2026 高三上·陕西延安·专题练习）已知偶函数f (x)的定义域为R，对任意的x满足
f (−x)= f (x +2)，且f (x)在区间(−1,0)上单调递减，若a= log43，b= log3
❑√2
81
，c = 1
4 log❑√22❑√2，则f (a)
，f (b)，f (c)的大小关系为（ ）
A．f (c)>f (a)>f (b)
B．f (c)>f (b)>f (a)
C．f (a)>f (b)>f (c)
D．f (a)>f (c)>f (b)
【变式8-2】（2026·广东广州·一模）已知函数f (x)的定义域为R，且f (x +1)+ f (x−1)=2,f (x +2)为偶函
数，若f (0)=2，则∑
k =1
115
f (k )=（ ）
A．116
B．115
C．114
D．113
【变式8-3】（25-26 高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数f (x)的定义域为R ,f (2 x +1)为奇函数，
f (x)+ f (x +2)=2f (1)，则（ ）
A．f (x)为奇函数
B．f (x)的图象关于直线x =3对称
C．f (2 x)的最小正周期为4
D．f (2 x)的图象关于点(
1
2 ,0)对称
【题型9 函数新定义】
【例9】（2026·甘肃定西·模拟预测）若定义在Z上的函数f (x)满足对任意x , y ∈Z均有
f (x + y)= f (x)f (2−y)+ f (2−x)f ( y)，则称f (x)为“S−2函数”.已知f (x)为“S−2函数”，且f (2)=1
，f (−1)<0，则f (0)+ f (47)=（ ）
A．−
❑√2
2
B．0
C．
❑√2
2
D．1
【变式9-1】（2026·上海浦东新·模拟预测）设函数f (x)的定义域为D，若存在实数T (T )>0)，使得对于任
意x∈D，都有f (x)<f (x +T )，则称f (x)为＂T −严格增函数＂，对于＂T −严格增函数＂，有以下四个
结论：
①＂T－严格增函数＂f (x)一定在D上严格增；
②＂T－严格增函数＂f (x)一定是＂nT －严格增函数＂（其中n∈N
∗，且n≥2）
③函数f (x)=[x)是＂T −严格增函数＂（其中[x)表示不大于x的最大整数）
④函数f (x)= x−[x)不是＂T −严格增函数＂（其中[x)表示不大于x的最大整数）
其中，正确的结论个数有（ ）．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式9-2】（2026·上海·模拟预测）设函数f (x)的定义域为R，若对任意实数x，恒有f (f (x))+ f (x)=2 x
成立，则称函数具有“性质Ω”．
(1)若一次函数f (x)=ax +b具有性质Ω，其中a>0，求实数a，b的值；
(2)若函数f (x)具有性质Ω，且f (x)在R上严格增，证明：f (x)= x；
(3)若具有性质Ω的函数f (x)满足：存在常数M >0，使得对任意x∈R，都有|f (x)−x)≤M．证明：具有
该性质的函数f (x)是唯一的，并写出其解析式．
【变式9-3】（2026·上海长宁·二模）设连续函数y = f (x)定义域为I，区间D⊆I，记函数y = f (x)在区间
D上的最大值为M f (D)，最小值为mf ( D).
(1)设f (x)=e
x−ax，D =(−1,1)，若mf (D)= f (0)，求实数a的值；
(2)设f (x)= x
3−3 x
2，D =[t ,t +2)，若M f (D)−mf (D)= 4，且−1≤t ≤1，求t的值；
(3)已知f (0)=0，f (1)=1，且对任意闭区间D⊆[0,1)，M f (D)与mf ( D)均存在.
求证：“y = f (x)在区间[0,1)上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间D1、D2⊆[0,1)，当
M f (D1)= M f (D2)，且mf (D1)=mf (D2)时，均有D1= D2
.”
一、单选题
1．（2026·上海黄浦·一模）下列函数中，既是偶函数、又在[0,1)上严格减的函数是（ ）
A．y =−x
B．y =−|x)
C．y = x
2
D．y =2
−x
2．（2026·安徽合肥·一模）若f (x)=¿是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．(1,+∞)
B．[1,+∞)
C．(2,+∞)
D．[2,+ ∞)
3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，且f (x−2)是奇函数，f (2 x−1)是偶函数，
则f (2026)=（ ）
A．−2
B．0
C．1
D．2
4．（2026·广西柳州·一模）已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)= 2
x+2
−x
4|x)−3
B．f (x)= 2
x−2
−x
3−4|x)
C．f (x)= 2
x−2
−x
4|x)−3
D．f (x)=
x
|x)−1
5．（2026·四川成都·三模）已知y = f (x +1)是定义在R上的周期为2 的偶函数，当x∈[1,2)时，
f (x)=log2 x，设a= f(
1
2)，b= f(
4
3)，c = f(−5
4)，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．c<a<b
C．b<c<a
D．c<b<a
6．（2026·广东·模拟预测）已知f (x)是R上的奇函数，f (x−1)−f (3−x)=0，若f (x)在[0,1)上单调递
增，且f (1)=2，则f (x)在R上的最小值是（ ）
A．−4
B．−3
C．−2
D．−1
7．（2026·海南·模拟预测）已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)= x
3−8，则不等式
(x−1)f (x)≤0的解集为（ ）
A．[−2,2)
B．(−∞,−2)∪[1,2)
C．[−2,0)∪[1,2)
D．[−2,1)∪[2,+∞)
8．（2026·福建宁德·二模）设f (x)是定义在R上的函数，若∀x1, x2∈R，当|x1)<|x2)时，f (x1)<f (x2)
，称函数f (x)具有性质M，则下列函数具有性质M的是（ ）
A．f (x)= x +sin x
B．f (x)={
−x , x ≤0
x
3+1, x>0)
C．f (x)=|
1
2
x+1
−1
2)
D．f (x)=(x−1)e
x
二、多选题
9．（2026·甘肃·模拟预测）已知函数f (x)= 2 x−1
x−1
，则（ ）
A．f (x)的图象关于点(1,2)对称
B．f (x)的图象关于直线y =−x +3对称
C．f (x)的值域为(−∞,2)∪(2,+ ∞)
D．f (x)在定义域上单调递减
10．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数f (x)是定义域为R 的偶函数且f (x)>0，f (0)= 1
2
，且满足
f (x +2)=
1
f (x)，则（ ）
A．f (x)是周期函数
B．直线x =2是f (x)图象的一条对称轴
C．f (3)=3
D．∑
i=1
10
f (i)=12
11．（2026·安徽·模拟预测）已知定义域为R 的函数f (x)的图象关于直线x = 3
2
对称，且对任意的x∈R，
恒有f (x)+ f (x +3)= f (2031)．若f (7)=1，则下列说法正确的是（ ）
A．f (x)的一个周期为3
B．直线x = 9
2
为f (x)的图象的一条对称轴
C．f (3)=0
D．∑
i=1
2026
f (i)=1
三、填空题
12．（2026·安徽安庆·模拟预测）设f (x)是周期为4 的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x)=−x (1−x)，则
f(−9
2)=__________．
13．（2026·河北雄安·三模）函数f (x)=
1
2
x−2
的图象的对称中心为__________．
14．（2026·福建三明·二模）已知f ( x)是定义在R上的奇函数，f (−2)=−4，若g( x)= f ( x)
x
在(0,+∞)
上单调递增，则不等式f ( x)≤2 x的解集为__________.
四、解答题
15．（2026·上海黄浦·三模）已知函数f (x)=m⋅2
x+2
−x．
(1)判断函数f (x)=m⋅2
x+2
−x的奇偶性并说明理由；
(2)当m=1时，若存在x∈(0,+ ∞)，使得f (x)=t ⋅2
x+1成立，求实数t 的取值范围；
16．（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数f ( x)为定义在R上的偶函数，且x ≥0，f ( x)= x
2−mx +1.
(1)若m=1，求函数f ( x)解析式；
(2)求函数f ( x)在[1,3]的最小值；
(3)若函数y = f ( x)在(0,4)有两个不同的零点，求m 的取值范围.
17．（2026·湖南湘潭·二模）已知a 为实数，记f ( x)=e
x+e
−ax.
(1)当a=0时，定义在R上的奇函数y = g( x)满足：当x>0时，g( x)= f ( x)，求y = g( x)的解析式；
(2)若函数y = f ( x)为偶函数，且对于任意x∈[0,2]，关于x 的不等式f ( x
3+ x −t )>f (2)恒成立，求实数t
的取值范围；
(3)求证：“a>1”是“存在正数x0，使得函数y = f ( x)在x = x0处取到最小值”的充要条件.
18．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：若定义域为R 的连续函数f (x)满足对任意x1，x2∈R，当
|x1|＜) x2)时，都有|f (x1))＜|f (x2))，则称函数f (x)为“绝对值严格增函数”．
(1)若f (x)为“绝对值严格增函数”，试判断f (x)是否可能具有周期性；
(2)求证：f (x)=a|x)为“绝对值严格增函数”是g(x)= ln (x−1)+ 2a x
2−1
x−1
始终在h(x)=2 x +3图像上方的
充要条件；
(3)若“绝对值严格增函数”f (x)的值域为[m,1)且在[0,﹢∞)上为严格增函数，试讨论f (x)的奇偶性．
19．（2026·上海·三模）设s,t ∈R，对于定义域为D 的函数y = f (x)与y = g(x)，h(x)= sf (x)+tg(x)，若
函数y =h(x)是区间D 上的单调函数，则称y = f (x)与y = g(x)在区间D 上满足“性质M (s,t )”．
(1)设D =[2,+∞)，f (x)= x
2，g(x)= x，若y = f (x)与y = g(x)在区间D 上满足“性质M (1,t )”，求t 的取
值范围；
(2)设s>0，D =(0,1)，f (x)= x，g(x)=−3
2 x
．若y = f (x)与y = g(x)在区间D 上满足“性质M (s,t )”，
求t
s
的取值范围；
(3)设D =R，若对任意s、t，函数y = f (x)与y = g(x)在R上都满足“性质M (s,t )”．求证：存在不全为零
的实数A、B，使得函数y = Af (x)+ Bg(x)为常值函数．
