重难点17 平面向量中的四心问题与奔驰定理
【全国通用】
【题型1 重心问题】..................................................................................................................................................3
【题型2 垂心问题】..................................................................................................................................................3
【题型3 内心问题】..................................................................................................................................................4
【题型4 外心问题】..................................................................................................................................................5
【题型5 奔驰定理】..................................................................................................................................................5
1、平面向量中的四心问题与奔驰定理
三角形中的四心问题是平面向量中的重要问题，包括：重心问题、垂心问题、内心问题和外心问题四
大类型，是高考的重点、热点内容，在高考复习中，对于四心问题要学会灵活求解.
奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三
角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用，在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用和求解.
知识点
1 四心问题
1．三角形的重心及向量表示
(1)重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.
(2)重心的向量表示：如图，在△ABC 中，点P 为△ABC 重心
.
(3)重心坐标公式：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC 的重心坐标为P
.
2．三角形的垂心及向量表示
(1)垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.
(2)垂心的向量表示：如图，在△ABC 中，点P 为△ABC 垂心
.
3．三角形的内
心
及向量表示
(1)内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.
(2)内心的向量表示：如图，在△ABC 中，三角形的内心在向量
所在的直线上，点P 为△ABC
内心
.
4．三角形的外
心
及向量表示
(1)外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距离
相等.
(2)外心的向量表示：如图，在△ABC 中，点P 为△ABC 外心
.
知识点
2 奔驰定理
1．奔驰定理
如图，已知P 为△ABC 内一点，且满足
，则有△APB、△APC、△BPC 的面积
之比为
.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理” .这个定理对于利用平面
向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
2．三角形的四心与奔驰定理的关系
(1)O 是△ABC 的重心：
.
(2)O 是△ABC 的垂
心
：
.
(3)O 是△ABC 的内心：
.
(4)O 是△ABC 的外心：
.
【题型1 重心问题】
【例1】（2025·吉林·二模）在△ABC中，点D 为AB的中点，点O 为△ABC的重心，则⃗OA +⃗OB =
（ ）
A．⃗CO
B．⃗OD
C．2⃗CO
D．2⃗DO
【变式1-1】（2025·全国·二模）点O , P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足⃗OP =⃗OA +⃗OB+⃗OC，
则直线OP经过△ABC的（ ）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
【变式1-2】（2025·重庆·模拟预测）已知点G是△ABC的重心，点M是线段AC的中点，若⃗
GM = λ⃗AB+ μ⃗AC，则λ+ μ=（ ）
A．1
12
B．1
6
C．−1
6
D．−1
12
【变式1-3】（2025 高一·全国·专题练习）已知△ABC，O为平面内任意一点，动点P满足
5⃗OP =[(2+ λ)⃗OA +(2+ λ)⃗OB+(1−2 λ)⃗OC)，则点P的轨迹一定经过（ ）
A．△ABC的内心
B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心
D．△ABC的外心
【题型2 垂心问题】
【例2】（25-26 高一·全国·假期作业）如图，已知O是△ABC的垂心，且⃗OA +2⃗OB+ 4⃗OC =⃗0，则
cos B =（ ）
A．
❑√2
3
B．1
3
C．2
3
D．
❑√3
3
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知平面上四个点A ,B ,C , D，其中任意三个不共线．若⃗
AB⋅⃗AD =⃗AC ⋅⃗AD，则直线AD一定经过三角形ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【变式2-2】（2025 高一·全国·专题练习）已知O为△ABC所在平面内一点，动点H满足：⃗
OH =⃗OA + λ(⃗
AB
|⃗AB)
2sin2B
+)⃗
AC
|⃗AC)
2sin2C)
，其中λ∈[0,+ ∞)，则动点H的轨迹一定通过△ABC的
（ ）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【变式2-3】（2025 高三下·全国·专题练习）如图，已知O是△ABC的垂心，且⃗OA +2⃗OB+3⃗OC =⃗0，则
tan∠BAC :tan∠ABC :tan∠ACB等于（ ）
A．1:2:3
B．1:2:4
C．2:3:4
D．2:3:6
【题型3 内心问题】
【例3】（2025·四川南充·三模）已知点P 在△ABC所在平面内，若⃗
PA ⋅(⃗
AC
|⃗AC |
−⃗
AB
|⃗AB|
)=⃗PB⋅(⃗
BC
|⃗BC |
−⃗
BA
|⃗BA |
)=0，则点P 是△ABC的（ ）
A．外心
B．垂心
C．重心
D．内心
【变式3-1】（24-25 高一下·山东菏泽·期中）已知O 为△ABC的内心，三个角对应的边分别为a,b,ca，
b，c，已知a=3，b=2❑√3，c =5，则⃗BO⋅⃗AC =（ ）
A．❑√6−7
B．−2
C．2❑√3−8
D．3 ❑√2−9
【变式3-2】（2025 高三·全国·专题练习）在△ABC中， 若I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于D，
则有AB
AC = BD
DC
称之为三角形的内角平分线定理， 现已知AC =2，BC =3，AB = 4且⃗AI = x⃗AB+ y⃗AC，
则实数x + y =（ ）
A．1
B．1
3
C．2
3
D．2
【变式3-3】（24-25 高一下·河南南阳·期中）在△ABC中，若⃗OQ =⃗OA + λ(⃗
AB
|⃗AB)
+⃗AC
|⃗AC))
，λ∈[0,+∞)
，则Q点的轨迹必经过△ABC的（ ）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
【题型4 外心问题】
【例4】（2025·新疆·一模）已知平面向量 ⃗OA
，⃗OB
满足|⃗OA)=|⃗OB)=2
，⃗OA ⋅⃗OB =−2
，点D 满足⃗
DA =2⃗OD，E 为△AOB的外心，则⃗OB⋅⃗ED的值为（ ）
A．−16
3
B．−8
3
C．8
3
D．16
3
【变式4-1】（2025·广东佛山·一模）在△ABC中，设⃗AC
2−⃗AB
2=2⃗AM ⋅(⃗AC −⃗AB)，那么动点M的轨
迹必通过△ABC的（ ）
A．垂心
B．内心
C．重心
D．外心
【变式4-2】（2025 高三·全国·专题练习）设P是△ABC所在平面内的一点，若⃗
AB⋅(⃗CB+⃗CA )=2⃗AB⋅⃗CP，且|⃗AP|=|⃗CP|，则点P是△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【变式4-3】（2025 高三·全国·专题练习）设O 为△ABC 的外心，且满足2⃗OA +3⃗OB+ 4⃗OC =⃗0，
|⃗OA)=1，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①⃗OB⋅⃗OC =−7
8；②|⃗AB)=
❑√6
2
；③cos2∠BAC =−7
2 cos2∠ACB．
A．3
B．2
C．1
D．0
【题型5 奔驰定理】
【例5】（24-25 高一下·湖北武汉·期末）奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若△BOC、△AOC、
△AOB的面积分别记为S1
、S2
、S3
，则S1⋅⃗OA + S2⋅⃗OB+ S3⋅⃗OC =⃗0.“奔驰定理”是平面向量中一个非
常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，
已知O是△ABC的垂心，且2⃗OA +3⃗OB+ 4⃗OC =⃗0，则tan A =（ ）
A．
❑√6
4
B．
❑√6
2
C．3 ❑√6
4
D．❑√6
【变式5-1】（2025·安徽·三模）平面上有△ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将△OAB，
△OBC，△OCA的面积分别记作Sc
，Sa
，Sb
，则有关系式Sa⋅⃗OA + Sb⋅⃗OB+ Sc⋅⃗OC =⃗0．因图形和奔
驰车的logo很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，
c，若满足a⋅⃗OA +b⋅⃗OB+c⋅⃗OC =⃗0，则O 为△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【变式5-2】（24-25 高一下·河南·期末）已知O是△ABC内的一点，若△BOC ,△AOC ,△AOB的面积分
别记为S1,S2,S3
，则S1⋅⃗OA + S2⋅⃗OB+ S3⋅⃗OC =⃗0.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o很相似，
故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且⃗OA +2⃗OB+3⃗OC =⃗0，则
tan∠BAC :tan∠ABC :tan∠ACB =（ ）
A．1:2:3
B．1:2:4
C．2:3:4
D．2:3:6
【变式5-3】（24-25 高三上·河南南阳·期中）奔驰定理：已知O是ΔABC内的一点，ΔBOC，ΔAOC，
ΔAOB的面积分别为S A
，SB
，SC
，则S A⋅⃗OA + SB⋅⃗OB+ SC⋅⃗OC =⃗0．“奔驰定理”是平面向量中一个
非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo 很相似，故形象地称
其为“奔驰定理”若O是锐角ΔABC内的一点，A，B，C是ΔABC的三个内角，且点O满足⃗
OA ⋅⃗OB =⃗OB⋅⃗OC =⃗OC ⋅⃗OA，则必有（ ）
A．sin A ⋅⃗OA +sin B⋅⃗OB+sinC ⋅⃗OC =⃗0
B．cos A ⋅⃗OA +cos B⋅⃗OB+cosC ⋅⃗OC =⃑0
C．tan A ⋅⃗OA + tan B⋅⃗OB+ tanC ⋅⃗OC =⃗0
D．sin 2 A ⋅⃗OA +sin 2B⋅⃗OB+sin 2C ⋅⃗OC =⃗0
一、单选题
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知点O是非等边△ABC的外心，P是平面ABC内的一点且⃗
OA +⃗OB+⃗OC =⃗OP，则P是△ABC的（ ）
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心
2．（2025 高一·全国·专题练习）已知O为△ABC所在平面内一点，若
tan A ×⃗OA +tan B×⃗OB+tanC ×⃗OC =⃗0，则点O是△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
3．（24-25 高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O 为△ABC内的一点，△BOC，
△AOC，△AOB的面积分别为S A
，SB
，SC
，则S A⋅⃗OA + SB⋅⃗OB+ SC⋅⃗OC =⃗0．因其几何表示酷似奔驰
的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O 为△ABC的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知a=3，
b=2❑√3，c =5，则⃗BO⋅⃗AC =（ ）
A．2❑√3−8
B．−2
C．❑√6−7
D．3 ❑√2−9
4．（24-25 高一下·河南南阳·期末）已知在△ABC中，AB = BC =3, AC边上的高为❑√5,O是△ABC的内
心，若⃗AO =m⃗AB+n⃗AC (m,n∈R)，则n
m =（ ）
A．3
4
B．
❑√5
3
C．4
3
D．3
5
5．（24-25 高一下·广东东莞·期中）点O , N , P ,Q在△ABC所在平面内，满足|⃗OA)=|⃗OB)=|⃗OC)，⃗
NA +⃗NB+⃗NC =⃗0，⃗PA ⋅⃗PB =⃗PB⋅⃗PC =⃗PC ⋅⃗PA，⃗QA ⋅(⃗
AC
|⃗AC)
−⃗AB
|⃗AB))=⃗QB⋅(⃗
BC
|⃗BC)
−⃗BA
|⃗BA))=0.则
点O , N , P ,Q依次为△ABC的（ ）
A．重心、外心、内心、垂心
B．外心、重心、内心、垂心
C．重心、垂心、外心、内心
D．外心、重心、垂心、内心
6．（24-25 高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常
优美的结论.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为S A，SB
，SC，且S A⋅⃗M A + SB⋅⃗MB+ SC⋅⃗MC = 0
→.若M为△ABC的垂心，3⃗M A + 4⃗MB+5⃗MC = 0
→，则
cos∠AMB =（ ）
A．−
❑√6
3
B．−
❑√6
6
C．
❑√6
6
D．
❑√6
3
7．（24-25 高一下·安徽马鞍山·阶段练习）在△ABC中，AB = AC =5,BC =8, P为△ABC内的一点，⃗
AP = x⃗AB+ y⃗AC，则下列说法正确的是（ ）
A．若P 为△ABC的重心，则2 x + y = 2
3
B．若P 为△ABC的外心，则⃗PB⋅⃗BC =32
C．若P 为△ABC的垂心，则x + y =−7
9
D．若P 为△ABC的内心，则x + y = 5
8
8．（24-25 高一下·上海青浦·期末）已知D为△ABC所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为
（ ）
①若⃗DA +⃗DB+⃗DC =⃗0，则D为△ABC内心
②若(⃗
AB
|⃗AB)
+⃗AC
|⃗AC))⋅⃗BC =0，则△ABC为等腰三角形
③若⃗DA ⋅⃗DB =⃗DB⋅⃗DC =⃗DC ⋅⃗DA，则D为△ABC的外心
④若⃗AD = λ(⃗
AB
|⃗AB)sin B
+⃗
AC
|⃗AC)sinC)(λ∈R)，则点D的轨迹一定经过△ABC的重心
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多选题
9．（24-25 高一下·湖北·阶段练习）已知O，H 在△ABC所在平面内|⃗OA)=|⃗OB)=|⃗OC)=3
，⃗
HA ⋅⃗HB =⃗HB⋅⃗HC =⃗HC ⋅⃗HA，OH =1，记BC =a，CA =b，AB =c，则下列说法正确的是（ ）
A．O 为△ABC的外心
B．H 为△ABC的内心
C．⃗OH =⃗OA +⃗OB+⃗OC
D．a
2+b
2+c
2=81
10．（24-25 高一下·江苏常州·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应
的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”：已知M是
△ABC内一点，△BMC ,△AMC ,△AMB的面积分别为S A ,SB,SC
，且S A⋅⃗MA + SB⋅⃗MB+ SC⋅⃗MC =⃗0.
则下列说法正确的是（ ）
A．若S A:SB:SC =1:1:1，则M为△ABC的重心
B．若S A:SB:SC =1:2:3，则⃗AM = 1
3⃗AB+ 1
2⃗AC
C．若⃗AM = 1
4⃗AB+ 1
3⃗AC，则S A
S△ABC
= 1
3
D．若M为△ABC的内心，且3⃗MA + 4⃗MB+ ❑√5⃗MC =⃗0，则cosC = 5
6
11．（24-25 高一下·辽宁沈阳·期中）已知△ABC的外心为O，垂心为H，则下列说法正确的是（ ）
A．若|⃗OA)=|⃗OB)=|⃗OC)=1，且4⃗OA +3⃗OB+2⃗OC =⃗0，则⃗OA ⋅⃗OC =−11
16
B．若∠B = 2π
3 ,⃗OB =m⃗OA +n⃗OC，则m+n的取值范围为(1, 2)
C．⃗AH与⃗
AB
|⃗AB)cos B
+⃗
AC
|⃗AC)cosC
不共线
D．若2⃗HA +3⃗HB+ 4⃗HC =⃗0，则cos∠AHB =−
❑√7
7
三、填空题
12．（24-25 高三上·天津河北·期中）已知△ABC中，点G ,O分别是△ABC的重心和外心，且⃗
AG⋅⃗AO = 4 ,|⃗AG)=2，则边BC的长为 .
13．（24-25 高一下·广东茂名·期末）如图，P 为△ABC的内心，cos∠BAC = 1
5
，△BPC、△APC、
△APB的面积分别为S A
、SB
、SC
，且S A⋅⃗PA + SB⋅⃗PB+ SC⋅⃗PC =⃗0.若⃗AP = x⃗AB+ y⃗AC，则x + y的最
大值为
.
14．（24-25 高二上·四川广安·开学考试）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理
对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”
的内容如下：如图，已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S A，SB，SC，则
S A⋅⃗OA + SB⋅⃗OB+ SC⋅⃗OC =⃗0．若O是锐角△ABC内的一点，A，B，C是△ABC的三个内角，且O点
满足⃗OA ⋅⃗OB =⃗OB⋅⃗OC =⃗OC ⋅⃗OA，则下列说法正确的是
（填序号）.
①O是△ABC的垂心；②∠BOC + A <π；
③|⃗OA):|⃗OB):|⃗OC)=cos A :cos B:cosC；④tan A ⋅⃗OA +tan B⋅⃗OB+tanC ⋅⃗OC =⃗0
四、解答题
15．（24-25 高一下·浙江温州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中
点，记⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b，且DM =1，DN =2，∠MDN =60°.
(1)试用向量⃗a，⃗b表示⃗DM，⃗DN；
(2)①求|⃗a)，|⃗b)的值；②设O为△ADM的内心，若⃗AO = x⃗a+ y⃗b(x , y ∈R)，求y
x
的值.
16．（24-25 高一下·山东青岛·期中）在△ABC中，M , N为△ABC所在平面内的两点，
AB =3, AC =2❑√2,∠BAC = π
4
，⃗MC = 1
3⃗BC ，⃗NA +⃗NC =⃗0．
（1）以⃗AB
和⃗A C
作为一组基底表示⃗NM
，并求|⃗NM )；
（2）D为直线MN上一点，设⃗CD = x⃗AB+ y⃗A C( x , y ∈R)，若直线CD经过△ABC的垂心，求x , y．
17．（24-25 高一下·山西·阶段练习）奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车
logo 相似，因此得名.如图，P 是△ABC内的任意一点，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，总有优美等
式：⃗PA ⋅S△PBC +⃗PB⋅S△PAC +⃗PC ⋅S△PAB=⃗0.
(1)若P 是△ABC的内心，2b=3a= 4 c，延长AP 交BC 于点D，求AP
PD
；
(2)若P 是锐角△ABC的外心，A =2B，⃗PB = x⃗PA + y⃗PC，求x + y的取值范围.
18．（24-25 高一下·福建南平·期末）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是
△ABC的外心．
(1)当AB =2时，求⃗AO ⋅⃗AB
；
(2)对于任意的m，n，p，q∈R，用向量方法证明不等式(m
2+n
2)( p
2+q
2)≥(mp+nq)
2（当且仅当
mq =np时，等号成立）；
(3)若⃗AC
2⃗
AB
2 (⃗AB⋅⃗AO)+⃗AB
2⃗
AC
2 (⃗AC ⋅⃗AO)= 5
2⃗AO
2，求sin B+3sinC的最大值．
19．（24-25 高一下·安徽合肥·阶段练习）已知a，b，c 为△ABC三个内角A，B，C 的对边，且
c = 4 ,b=5,a=6，线段BC边对应的高为AD，△ABC内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H．
(1)求△ABC中高AD的长度；
(2)若∠BAC的角平分线交BC于E，求证：⃗AE =
AC
AB+ AC⃗AB+
AB
AB+ AC⃗AC；
(3)欧拉线定理：设△ABC的重心，外心，垂心分别是G，O，H，则G，O，H 三点共线，且
|OH )=3|OG)．请合理运用欧拉线定理，求⃗AH ·⃗AI的值．
