文档文本内容
1
11.3.3 平面与平面平行
课程标准
学习目标
（1）掌握平面与平面的位置关系；
（2）掌握平面与平面平行的判定定理和性质定
理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问
题.
（1）掌握空间两个平面的位置关系，并会判断；
（2）掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定
理，并能应用这两个定理证明一些空间位置关系的
简单命题；
（3）平面与平面平行的判定定理和性质定理的应
用.
知识点01 平面与平面平行的判定定理
1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
(简记为“线面平行⇒面面平行”)
2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α.
3、图形语言：
4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，
则这两个平面平行．
【即学即练1】（23-24 高一下·河南新乡·月考）设
，
为两个平面，则
的充要条件是
（ ）
A．
内有无数条直线与
平行
B．
内有两条相交直线与
平行
2
C．
，
平行于同一条直线
D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】A 选项，若这些无数条直线均平行，此时无法推出
，A 错误；
B 选项，由面面平行的判定定理得到B 正确，故D 错误.
C 选项，如图，
，
平行于同一条直线
，但
，
不平行，C 错误；故选：B
知识点02 平面与平面平行的性质定理
1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
3、图形语言：
4、平面与平面平行其他常用性质推论
（1）平行于同一个平面的两个平面平行.
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.
（3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
【即学即练2】（23-24 高一下·北京·期中）已知平面
，则
是
的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为
，
，
所以由面面平行的性质定理可得
，则充分性成立；
3
因为
，
可知，所以
，则
，
又
，则
，
当
时，由线面平行的性质定理可知
，则必要性不成立；
综上所述，
是
的充分不必要条件.故选：A.
【题型一：面面平行的命题判断】
例1．（23-24 高一下·重庆·期中）已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，对于下列命题正
确的是（ ）
A．
B．
；
C．
D．
.
【答案】B
【解析】选项A：由面面平行的判定定理可知，由于m，n 不一定相交，故A 错误；
选项B：由面面平行的性质定理可知B 正确；
选项C：由线面平行的判定定理可知，m 可能在
内，故C 错误；
选项D：由线面平行的性质定理可知，m，n 可能异面，故D 错误；故选：B.
变式1-1．（23-24 高一下·广东广州·期中）（多选）已知直线，
，平面
，
，则下列说法错误的是
（ ）
A．
，
，则
B．
，
，
，
，则
4
C．
，
，
，则
D．
，
，
，
，
，则
【答案】ABC
【解析】选项A 中，若
，
，则
可能在
内，也可能与
平行，故A 错误；
选项B 中，若
，
，
，
，则
与
也可能相交，故B 错误；
选项C 中，若
，
，
，则
与
也可能相交，故C 错误；
选项D 中，若
，
，
，
，
，
依据面面平行的判定定理可知
，故D 正确．故选：ABC．
变式1-2．（23-24 高一下·重庆·期中）已知
，
表示直线，
，
，
表示平面，则下列推理正确的是
（ ）
A．
，
B．
，
，且
C．
，
，
D．
，
，
，
【答案】C
【解析】对于A，由
，
，得
平行或相交，A 错误；
对于B，由
，
，得
且
或
或
，B 错误；
对于C，由
，
，
，根据面面平行的性质得
，C 正确；
对于D，由
，
，
，
，得
平行或相交，D 错误.故选：C
变式1-3．（23-24 高一下·福建泉州·期中）已知两个不同的平面
和两条不同的直线
，下面四个命
题中，正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
且
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】D
【解析】对于A：若
，
，则
或
，故A 错误；
对于B：当
，
，
，
且
与
相交时
，故B 错误；
5
对于C：若
，
，则
或
与
异面，故C 错误；
对于D：若
，
，根据面面平行的性质定理可得
，故D 正确.故选：D
【方法技巧与总结】
加强对面面平行的判定定理和性质定理的理解，尤其是定理的作用以及定理的必备条件。
解题时，为了更加直观地判断直线、平面的位置关系可通过在“正方体”中寻找特殊位置验证。
【题型二：利用判定定理证明面面平行】
例2．（23-24 高一下·全国·专题练习）已知
矩形
所在的平面，且N，M，O 分别为
，
，
的中点．求证：平面
平面
【答案】证明见解析
【解析】因为N，M，O 分别为
，
，
的中点，所以
，
又因为
平面
，且
平面
，
所以
平面
，
同理
平面
，
又
平面
,
平面
,且
，
所以平面
平面
．
变式2-1．（23-24 高一·全国·专题练习）如图，已知点P 为
所在平面外任一点，点D，E，F 分别在
射线
，
，
上，并且
．求证：平面
平面
．
6
【答案】证明见解析
【解析】因为
，所以
.
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理
平面
.
又因为
，
平面
，
所以平面
平面
.
变式2-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是菱形， AC 与BD
交于点O，点E，F 分别是棱PA，PB 的中点，连接OE，OF，EF．求证：平面
平面PCD．
【答案】证明见解析
【解析】由于点
，
分别是棱
的中点，所以
，
因为
为菱形，
，
，
平面
，
平面
，故
平面
，
又
是
的中点，所以
，
平面
，
平面
，故
平面
，
由于
，
平面
，所以平面
平面
.
变式2-3．（23-24 高一下·全国·专题练习）在圆柱
中，等腰梯形ABCD 为底面圆
的内接四边形，且
，矩形ABFE 是该圆柱的轴截面，CG 为圆柱的一条母线．求证：平面
平面
ADE．
7
【答案】证明见解析
【解析】在圆柱
中，
，
平面
，
平面
，故
平面
；
连接
，因为等腰梯形
为底面圆
的内接四边形，
，
故
，
则
为正三角形，故
，则
，
平面
，
平面
，故
平面
；
又
平面
，
故平面
平面
．
【方法技巧与总结】
利用判定定理证明两平面平行的步骤
第一步：在一个平面内找出两条相交直线；
第二步：证明着两条相交直线分别平行于另一个平面；
第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论。
【题型三：利用性质定理证明线线平行】
例3．（22-23 高三下·四川眉山·月考改编）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
、
分别是棱
，
的中点，且
平面
.证明：
；
8
【答案】证明见解析
【解析】连接
，如图，
∵
、
分别是
、
中点，
∴
为
中位线，
.
面
，
面
，∴
面
.
又∵
面
，
，
与
在同一个平面.
∴面
面
.
又∵面
面
，面
面
，∴
.
变式3-1．（23-24·甘肃·一模改编）如图，空间六面体
中,
，平面
平面
为正方形，求证：
；
【答案】证明见解析
【解析】
平面
平面
，
平面
.
为正方形，
，
同理可得
平面
.
9
平面
平面
，
平面
平面
.
平面
平面
平面
平面
，
.
变式3-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，点
M，N 分别在AC，PB 上，且
，
，作出直线
与
确定的平面与平面
的交
线l，直线l 与
是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明理由．
【答案】平行，证明见解析
【解析】取
的四等分点
且
，连接
，
，
．
，
，
，
，
∵
平面
，
平面
，∴
平面
，
同理可得
平面
，
，
平面
．
平面
平面
，
延长
与
相交于点
，连接
，
直线MN 与PB 确定一个平面
，平面
与平面PAD 的交线l 即直线
，
平面
，
平面
，则有
.
10
变式3-3．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱
被平面
所截，截面为
CDEF，且
，
．证明：
.
【答案】证明见解析
【解析】在直四棱柱
中，平面
平面A1B1C1D1，
平面
，平面
，则
，
而
且
，又
，因此
且
，
则四边形
是平行四边形，所以
，
又
，
，所以
．
【方法技巧与总结】
利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：
第一步：找两个平面，使这两个平面分别经过所证两条直线中的一条；
第二步：判定这两个平面平行（此条件有时题目会直接给出）；
第三步：找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；
第四步：由面面平行的性质定理得出结论。
【题型四：利用性质定理证明线面平行】
例4．（23-24 高三·全国·专题练习）直四棱柱
中，
，求证：
平面
.
11
【答案】证明见解析
【解析】因为直四棱柱
中
，
又
，且
平面
，
平面
，
平面
，
平面
而
，
平面
,
平面
平面
，
又
平面
平面
变式4-1．（23-24 高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱
中，侧面
是矩形，侧面
是菱形，
，
、
分别为棱
、
的中点，
为线段
的中点．证明：
平
面
.
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图所示：
取
的中点
，连接
、
、
，
因为
且
，故四边形
为平行四边形，
所以
且
，
12
因为
为
的中点，所以
且
，
因为
、
分别为
、
的中点，所以
且
，
所以
且
，故四边形
为平行四边形，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
、
分别为
、
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
，
、
平面
，所以平面
平面
，
因为
平面
，故
平面
．
变式4-2．（23-24 高三·全国·专题练习）如图，三棱柱
中，四边形
均为正方形，
分别是棱
的中点，
为
上一点. 证明：
平面
；
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接
，如下图所示：
因为
，且
，
分别是棱
的中点，
所以
，且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又
平面
平面
，所以
平面
，
因为
，且
，
13
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又
平面
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
.
变式4-3．（22-23 高一下·天津北辰·期中）已知在直三棱柱
中，
，且
分别是
，
的中点.证明：
平面
.
【答案】证明过程见解析
【解析】设
是
的中点，连接
和
，
因为
是直三棱柱，所以四边形
是矩形，
因为
是
的中点，所以
，
而
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
是
的中点，所以
，
而
平面
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，
所以平面
平面
，而
平面
，
所以
平面
.
【方法技巧与总结】
如果两个平面平行，那么其中一个平面上的任何直线都与另一个平面平行。因此，如果我们能证明两个平
面平行，就可以间接证明线面平行的关系。通过面面平行的性质定理证明线面平行的关键在于找到并证明
过直线与已知平面平行的平面。
【题型五：面面平行中的动点探究】
例5．（23-24 高二上·四川南充·月考）如图，正方体
的棱长为2，点
是线段
的中点，
14
过点
做平面
，使得平面
平面
，则平面
与正方形
的交线的长度为 ．
【答案】
【解析】取
的中点
，连接
，如下图所示：
因为
平面
平面
，所以
平面
；
因为
平面
平面
，所以
平面
；
又因为
平面
，
，所以平面
平面
．
因此平面
即为平面
，即平面
与正方形
的交线即为
．
所以
．
变式5-1．（23-24 高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥
中，
，
，
平面
．
（1）证明：
．
（2）点
在线段
上，设
，是否存在点
，使得平面
平面
？若不存在，请说明
理由；若存在，求出
的值，并给出证明．
15
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；
；证明见解析
【解析】（1）证明：因为
平面
，
平面
，平面
平面
，所以
.
（2）存在，当点F 满足
时，平面
平面
.
证明如下：因为
，
，所以
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
由（1）知，
，
因为
，
，所以
，
所以四边形
是平行四边形，所以
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
因为
，所以平面
平面
.
变式5-2．（23-24 高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱
中，底面
为正方形，
为棱
的中点，
．
（1）求三棱锥
的体积．
（2）在
上是否存在一点
，使得平面
平面
.如果存在，请说明
点位置并证明.如果不存在，
请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，
为
的中点
【解析】（1）在直四棱柱
中，底面
为正方形，
所以
平面
，所以
.
16
（2）当
为
的中点时满足平面
平面
，
设
，连接
，
因为
为正方形，所以
为
的中点，
又
为棱
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
为
的中点，所以
且
，
所以
为平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，
平面
，
所以平面
平面
.
变式5-3．（23-24 高一下·湖南邵阳·期中）知正方体
中，
、
分别为对角线
、
上
的点，且
（1）求证：
平面
；
（2）若
是
上的点，
的值为多少时，能使平面
平面
？请给出证明.
【答案】（1）证明见解析；（2）当
的值为
时，能使平面
平面
，证明见解析
【解析】（1）连结
并延长与
的延长线交于
点，
17
因为四边形
为正方形，所以
，
故
，所以
，
又因为
，所以
，所以
.
又
平面
，
平面
，故
平面
.
（2）当
的值为
时，能使平面
平面
.
证明：因为
，即有
，故
.所以
.
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，
，
平面
，
所以平面
平面
.
【方法技巧与总结】
探究性问题主要分两类：
（1）结论性：从承认结论入手，探索出命题成立的条件；
（2）存在性：先假设“存在”，若通过推理无矛盾，则“存在”成立，若推出矛盾，则结论为“不存
在”。
一、单选题
1．（22-23 高一下·黑龙江牡丹江·月考）已知平面α∥平面β，直线a⊂α，b⊂β，那么直线a 与直线b 一定
（ ）
A．平行
B．异面
C．垂直
D．不相交
【答案】D
18
【解析】由平面α∥平面β，则两平面没有公共点，
那么直线a 与直线b 一定没有公共点，但可以是平行或异面.故选：D
2．（22-23 高一下·河南省直辖县级单位·月考）设
，
为两个平面，则
的充要条件是（ ）
A．
内有两条直线与
平行
B．
内有无数条直线与
平行
C．
，
平行于同一条直线
D．
内有两条相交直线与
平行
【答案】D
【解析】如图所示正方体
中，
设平面
为
，平面
为
，
显然平面
中有无数条直线与平面
平行，但
，故A、B 错误；
又
，但
，故C 错误；
由面面平行的判定定理和性质定理可知D 正确.故选：D
3．（22-23 高一下·四川巴中·期末）能使平面
与平面
平行的一个条件是（ ）
A．
与
都平行于同一条直线
B．一条直线l 分别与
和
所成的角相等
C．
内有无数条直线都与
平行
D．
内的任何一条直线都与
平行
【答案】D
【解析】对A， 若
与
都平行于同一条直线,则
与
可能平行，也可能相交，故A 错误；
对B，若
与
相交，直线与
和
都平行，
则直线与平面
和
成的角相等，都是
，而此时
与
不平行，故B 错误；
对C，设
与
相交于直线
，则
，则
，
则
内所有与
平行的直线（除外）都与
平行，
即
内有无数条直线都与
平行,而此时
与
不平行，故C 错误.
对D，若
内的任何一条直线都与
平行，
则
与
没有公共点，故
与
平行，故D 正确.故选：D.
4．（23-24 高一下·重庆·期中）设有两条不同的直线
，
和两个不同的平面
，
，则下列命题正确的
19
是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】D
【解析】若
，
，则
，
可以平行、相交或异面，故A 错误；
若
，
，则
或
相交，故B 错误；
若
，
，则
或
，故C 错误；
若
，
，则
，故D 正确．故选：D.
5．（22-23 高一下·宁夏石嘴山·期中）已知a，b，c 为三条不同的直线，
，
，
为三个不同的平面，
则下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，
，
，则
【答案】D
【解析】若
，
，则
或
，故A 选项错误；
若
，
，
，则
或
与
相交，故B 选项错误．
若
，
，则
或
，故C 选项错误；
若
，
，
，
，则
，正确，
证明如下：
，
，
，
，
又
，且
，
，则
，故D 选项正确；故选：D．
6．（22-23 高一下·陕西西安·期中）如图，在长方体
中，
，则
下列说法错误的是（ ）
A．
B．
与
异面
C．
平面
D．平面
平面
【答案】A
【解析】如下图所示，连接
，
20
根据题意，由
可得，
，且
；
同理可得
，且
；
由
，而
，所以
不可能平行于
，即A 错误；
易知
与
不平行，且不相交，由异面直线定义可知，
与
异面，即B 正确；
在长方体
中
，
所以
，即四边形
为平行四边形，所以
，
又
，所以
；
平面
，
平面
，
所以
平面
，即C 正确；
由
，
平面
，
平面
，所以
平面
；
又
，
平面
，
平面
，所以
平面
；
又
，且
平面
，
所以平面
平面
，即D 正确.故选：A
7．（22-23 高一下·河北石家庄·月考）如图所示，在棱长为的正方体
中，
、
分别是
、
的中点，过直线
的平面
平面
，则平面
截该正方体所得截面的面积为
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图1，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，
21
则EF
B1D1，B1D1
BD，所以EF
BD，故EF，BD 在同一平面内，
连接ME，因为M，E 分别为A1D1，B1C1的中点，所以ME
AB，且ME＝AB，
所以四边形ABEM 是平行四边形，所以AM
BE，
又因为
平面BDFE，
平面BDFE，
所以AM
平面BDFE，同理AN
平面BDFE，
因为
，
、
平面
，
所以平面
平面BDFE，
，
，
，
等腰梯形BDFE 如图2，
过E，F 作BD 的垂线，垂足分别为G，H，则四边形EFGH 为矩形，
所以
，
故所得截面的面积为
.故选：B.
8．（22-23 高一下·河南焦作·期末）如图，在三棱柱
中，过
的截面与AC 交于点D，与
BC 交于点E（D，E 都不与C 重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为
的两部分，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为三棱柱
，所以
，面
面
，
22
又因为面
面
，面
面
，
所以
，显然
为三棱台，
设
，
（
），三棱柱
的高为，
则
，
所以三棱柱
体积为
，
三棱台
的体积为
，
.①三棱台
的体积占
，
则
，得
，得
或
，均不符合题意；
②三棱台
的体积占
，
则
，得
，得
或
，
因为
，所以
.故选：C
二、多选题
9．（22-23 高一下·湖南长沙·月考）下列说法不正确的是（ ）
A．若直线
，
不共面，则
，
为异面直线
B．若直线
平面
，则
与
内无数条直线平行
C．若直线
平面
，平面
平面
，则
D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
【答案】CD
【解析】由异面直线的定义可得A 正确；
若直线
平面
，则
内与
平行的直线有无数条，故B 正确；
若直线
平面
，平面
平面
，则
或
，故C 错误；
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故D 错误．故选：CD．
10．（22-23 高一下·吉林·期中）设有两条不同的直线m、n 和两个不同的平面
、
，下列命题中错误的
命题是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】ABC
23
【解析】对于A，若
，
，则
可能平行、异面或相交，A 错误；
对于B，若
，
，
，
，
不一定为相交直线，
只有当
为相交直线时，才可得到
，故B 错误；
对于C，当
，
时，可能是
，推不出一定是
，C 错误；
对于D，若
，
，根据面面平行的性质可知
，D 正确，故选：ABC
11．（23-24 高一下·陕西咸阳·月考）如图，在直三棱柱
中，
分别为所在棱的中点，
，三棱柱
挖去两个三棱锥
后所得的几何体记为
，则
（ ）
A．EG 与
为异面直线
B．
有13 条棱
C．
有7 个顶点
D．平面
平面EFG
【答案】ABD
【解析】对于A 项，因
平面
，
平面
且
,
平面
，
故EG 与
为异面直线,故A 项正确；
对于B 项，组成几何体
的棱有
；
；
共13 条棱，故B 项正确；
对于C 项，几何体
的顶点有
共8 个，故C 项错误；
对于D 项，如图，取
中点
，连接
,
因
,则
是
的中点，
又
分别为所在棱的中点，故得
,
因
,则得
,故
,
则
,又
平面
,而
平面
,故
平面
；
24
易证
,且
,故得
,则
,故
,
又
平面
,而
平面
,故
平面
；
又
,故得平面
平面
,故D 项正确.故选：ABD.
三、填空题
12．（23-24 高一下·广东广州·期中）若平面
与平面
平行，
，则直线
的位置关系为
．
【答案】平行或异面
【解析】∵平面
∥平面
，∴平面
与平面
没有公共点
∵
，∴直线
没有公共点
∴直线
的位置关系是平行或异面
13．（22-23 高一下·贵州贵阳·月考）如图，平面
平面
，平面
，平面
，
，
，
，
，
，则
．
【答案】
/2.5
【解析】因平面
平面
，平面
，平面
，则
，
因
，则
，则
.
14．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图所示，平面
平面β，
，
分别在α，β 内，线段
共点于O，O 在平面α 和平面β 之间，若
，则
的面积为 .
【答案】
/
25
【解析】
相交于点O，所以
确定的平面与平面α，平面β 的交线分别为
，
有
，且
，同理可得
，
，
，
,所以
与
相似，
，
又
，所以
.
四、解答题
15．（22-23 高一下·四川成都·月考）如图，已知点
是正方形
所在平面外一点，
，
分别是
，
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若
中点为
，求证：平面
平面
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）取
的中点
，连接
，
，
因为
是
的中点，所以
且
，
又
是
的中点，
是正方形，
所以
且
，
所以
且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）因为
为
的中点，
是
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
26
又
平面
，
，
平面
，
所以平面
平面
.
16．（22-23 高一下·山东青岛·期中）如图，在平行六面体
中，
为
的中点，
为
的中点．
（1）求证：
∥平面
；
（2）求证：平面
∥平面
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）连接
，交
于
，连接
，
在平行六面体
中，
为平行四边形，
为
中点，
为
的中点，
平面
平面
，
平面
；
（2）在平行六面体
中，
，
，
为
的中点，
为
的中点，
，
为平行四边形，从而
，
平面
平面
，
平面
，
由（1）可知：
平面
，
平面
平面
，且
，
平面
平面
.
27
17．（22-23 高一下·甘肃永昌·期末）如图，在正四面体
中，
，E，F，R 分别是
，
，
的中点，取
，
的中点M，N，Q 为平面
内一点．
（1）求证：平面
平面
；
（2）若
平面
，求线段
的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【解析】（1）证明：因为
，
，
分别是
，
，
的中点，所以
，
平面
，
平面
，所以
平面
．
同理，
平面
，
又因为
，所以平面
平面
．
（2）由（1）可得平面
平面
，若
平面
，则点Q 在线段
上移动，
在
中，
，
，
，
的最小值为R 到线段
的距离，
因为
是等腰三角形，故
的最小值为
．
28
18．（23-24 高一下·云南昆明·期中）如图，已知
是平行四边形
所在平面外一点，
、
分别是
、
的三等分点（
靠近
，
靠近
）；
（1）求证：
平面
．
（2）在
上确定一点
，使平面
平面
，并证明.
【答案】（1）证明见解析；（2）点
为
上靠近点
的三等点时，能使得平面
平面
，证明
见解析
【解析】（1）过点
作
，交
于点
，连接
，
因为
为
的三等分点，可得
，
又因为
为
的三等分点，可得
，
因为
且
，所以
且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又由
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）当点
为
上靠近点
的三等点时，能使得平面
平面
，证明如下：
取
取一点
，使得
，即点
为
上靠近点
的三等点，
在
中，因为
分别为
的三等分点，可得
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
又由（1）知
平面
，且
，
平面
，
所以平面
平面
，
即当点
为
上靠近点
的三等点时，能使得平面
平面
．
29
19．（23-24 高一下·福建福州·期中）正六棱柱
，两条相对侧棱所在的轴截面为正
方形，高为4，记
的中点分别为
．
（1）要经过点
和对角线
将六棱柱锯开，请说明在六棱柱表面该怎样划线，并求截面面积；
（2）证明：
面
；
（3）直线
上是否存在一个点
，使得面
面
？若存在，求出
的长度；若不存在，请说
明理由．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.
【解析】（1）取
的中点
，连接
，
由于
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
所以平面
与平面
的交线平行于
，
而
，所以
，
则四边形
即为所求截面，
，
等腰梯形
的高为
，
所以截面面积为
；
（2）取
、
的中点
、
，连接
，
因为
分别为
的中点，
，
同理
，
因为正六棱柱中
，所以
，
所以四边形
为平行四边形，则
，
又
面
，
面
，所以
面
；
（3）不存在这样的点
，使得面
面
，
30
在正六棱柱中，
所以
为梯形，
连接
延长交
的延长线于点
，
由于
，且
为
的中点，则
，所以
，
因为
，
所以
与
共面且不平行，即
与
相交，即
与面
相交，
故不存在这样的点
，使得面
面
.
