专题07
双曲线压轴题（学生版）
1.双曲线的定义
平面内与两个定点
1
2
,
F F 的距离的差的绝对值
．．．．．等于常数（大于零且小于
1
2
F F ）的点的轨迹叫做双曲线
（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为
1
2
1
2
2 (0
2
)
M
MF
MF
a
a
F F
．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当
1
2
2a
F F
时，点的轨迹是以
1F 和
2
F 为端点的两条射线；当2
0
a
时，点的轨迹是线段
1
2
F F 的
垂直平分线．
（3）
1
2
2a
F F
时，点的轨迹不存在．
2.双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
标准方程
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1(
0,
0)
y
x
a
b
a
b
图形
焦点坐标
1(
,0)
F
c
，
2( ,0)
F c
1(0,
)
F
c
，
2(0, )
F
c
对称性
关于x ，y 轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
1(
,0)
A
a
，
2( ,0)
A a
1(0, )
A
a ，
2(0,
)
A
a
范围
x
a
y
a
实轴、虚轴
实轴长为2a ，虚轴长为2b
离心率
2
2
1
(
1)
c
b
e
e
a
a
A2
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渐近线方程
令
2
2
2
2
0
x
y
b
y
x
a
b
a
，
焦点到渐近线的距离为b
令
2
2
2
2
0
y
x
a
y
x
a
b
b
，
焦点到渐近线的距离为b
点和双曲线
的位置关系
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
1,
(
,
)
1,
(
,
)
1,
(
,
)
x
y
x
y
x
y
a
b
x
y
点
在双曲线内
（含焦点部分）
点
在双曲线上
点
在双曲线外
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
1,
(
,
)
1,
(
,
)
1,
(
,
)
x
y
y
x
x
y
a
b
x
y
点
在双曲线内
（含焦点部分）
点
在双曲线上
点
在双曲线外
共焦点的双
曲线方程
2
2
2
2
2
2
1(
)
x
y
a
k
b
a
k
b
k
2
2
2
2
2
2
1(
)
y
x
a
k
b
a
k
b
k
共渐近线的
双曲线方程
2
2
2
2
(
0)
x
y
a
b
2
2
2
2
(
0)
y
x
a
b
切线方程
0
0
0
0
2
2
1,(
,
)
x x
y y
x
y
a
b
为切点
0
0
0
0
2
2
1,(
,
)
y y
x x
x
y
a
b
为切点
切线方程
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中
2x 换为
0x x ，
2y 换成
0y y
便得．
切点弦所在
直线方程
0
0
0
0
2
2
1,(
,
)
x x
y y
x
y
a
b
为双曲线
外一点
0
0
0
0
2
2
1,(
,
)
y y
x x
x
y
a
b
为双曲线外一点
点
0
0
(
,
)
x
y
为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式
设直线与双曲线两交点为
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
AB
k
k
．
则弦长
2
1
2
1
2
2
1
1
1
(
0)
AB
k
x
x
y
y
k
k
，
2
1
2
1
2
1
2
4
x
x
x
x
x x
a
，其中“ a ”是消“ y ”后关于“ x ”的一元二
次方程的“
2x ”系数．
通径
通径（过焦点且垂直于
1
2
F F 的弦）是同支中的最短弦，其长为
2
2b
a
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焦点三角形
双曲线上一点
0
0
(
,
)
P x
y
与两焦点
1
2
,
F F 构成的
1
2
PF F
成为焦点三角形，
设
1
2
F PF
，
1
1
PF
r
，
2
2
PF
r
，则
2
1 2
2
cos
1
b
rr
，
1 2
2
0
2
1 2
0
,
1
sin
sin
,
2
1
cos
tan 2
PF F
c y
x
b
S
rr
b
c x
y
焦点在轴上
焦点在轴上，
焦点三角形中一般要用到的关系是
1 2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 (2
2 )
1
sin
2
2
cos
PF F
PF
PF
a
a
c
S
PF
PF
F PF
F F
PF
PF
PF PF
F PF
等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线
a
b
离心率
2
e
两渐近线互相垂直渐近线方程为y
x
方程可设为
2
2
(
0)
x
y
．
题型一
双曲线的标准方程
（1）一动圆P 过定点
0,6
M
，且与已知圆N ：
2
2
6
36
x
y
相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
9
27
x
y
B．
2
2
1
9
27
y
x
C．
2
2
1
9
27
x
y
D．
2
2
1
9
27
y
x
（2）已知一个动圆P 与两圆
2
2
1 :
2
1
C
x
y
和
2
2
2 :
2
4
C
x
y
都外切，则动圆P 圆心的轨迹方程为
（
）
A．
2
2
4
4
1(
0)
15
y
x
x
B．
2
2
4
4
1
15
y
x
C．
2
2
4
4
1(
0)
9
7
x
y
x
D．
2
2
4
4
1
9
7
x
y
（3）已知
1
2
,
F F 是双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
E
a
b
a
b
的左，右焦点，点P 在E 上，D 是线段
1
2
F F 上点，若
1
2
1
2
,
:
1: 2,
4
3
F PF
F D F D
PD
，则当
1
2
PF F
△
面积最大时，双曲线E 的方程是（
）
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A．
2
2
1
12
9
x
y
B．
2
2
1
9
12
x
y
C．
2
2
1
3
6
x
y
D．
2
2
1
6
3
x
y
（4）已知P 是圆
2
2
1 :
3
16
F
x
y
上的一动点，点
2 3,0
F
，线段
2
PF 的垂直平分线交直线
1
PF 于点Q ，
则Q 点的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
5
4
x
y
B．
2
2
1
4
9
x
y
C．
2
2
1
4
5
x
y
D．
2
2
1
0
4
5
x
y
x
练习题
（1）已知两圆
2
2
2
2
1
2
4
9,
4
9
C
x
y
C
x
y
：
：
，动圆C 与圆
1
C 外切，且和圆
2
C 内切，则动圆C 的圆
心C 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
3
7
9
y
x
x
B．
2
2
1
9
7
y
x
C．
2
2
1
7
9
x
y
D．
2
2
1
3
9
7
x
x
y
（2）已知
0,7
A
，
0, 7
B
，
12,2
C
，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，则椭圆的另一个焦点F 的轨
迹方程为（
）
A．
2
2
1
1
48
x
y
y
B．
2
2
1
48
x
y
C．
2
2
1
1
48
y
x
x
D．
2
2
1
48
y
x
（3）已知抛物线
2
8
y
x
的焦点F 与双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的一个焦点重合，且与双曲线在第一象
限交于点P ，若
5
PF ，则双曲线的方程为（
）
A．
2
2
1
3
x
y
B．
2
2
1
3
y
x
C．
2
2
1
32
36
x
y
D．
2
2
1
36
32
x
y
（4）动圆P 过定点M(0，2)，且与圆N：
2
2
2
4
x
y
相内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
0
3
x
y
y
B．
2
2
1
3
x
y
C．
2
2
1
0
3
y
x
y
D．
2
2
1
3
y
x
（5）在矩形ABB A
中，
8
A A
，AB＝6，把边AB 分成n 等份，在B B
的延长线上，以B B
的n 分之一为
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单位长度连续取点．过边AB 上各分点和点A作直线，过延长线上的对应分点和点A 作直线，这两条直线
的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P 的坐标满足的方程是（
）
A．
2
2
1
4,
0
16
36
x
y
x
y
B．
2
2
1
8,
0
64
16
x
y
x
y
C．
2
2
1
4,
0
16
9
x
y
x
y
D．
2
2
1
8,
0
64
36
x
y
x
y
题型二
双曲线的最值问题
例2（1）已知
1F ，
2
F 分别为双曲线
2
2
1
5
4
x
y
的左、右焦点，
3,1
P
为双曲线内一点，点A 在双曲线的右支
上，则
2
AP
AF
的最小值为（
）
A．37
4
B．
37
4
C．37
2 5
D．
37
2 5
（2）设点P 是圆
2
2
3
1
x
y
上的一动点，
0,2
A
，
0, 2
B
，则PB
PA
的最小值为（
）．
A．4 5
5
B．8 5
5
C．6
D．12
（3）已知向量
(
1, 5
),
(
1, 5
)
a
x
y b
x
y
，满足a
b
的动点
( , )
M x y 的轨迹为E ，经过点
(2,0)
N
的
直线l 与E 有且只有一个公共点A ，点P 在圆
2
2
(
2 2)
1
x
y
上，则AP 的最小值为（
）．
A．3
2 2
B．
2
1
C．2 2
2
D．1
（4）在直角坐标系xOy 中，,
A B 是双曲线
2
2
:
1
4
x
C
y
的两条渐近线上的动点，满足点A 在第一象限，点
B 在第四象限，且直线AB 与C 的右支有交点.
(1)求AB 的最小值；
(2)设P 是直线AB 与C 的一个交点且AP
PB
.记C 上的点到C 的焦点的距离的取值集合为S，若5
S
，
求AOB
面积的取值范围.
练习题
（1）设
1F ，
2
F 为双曲线C：
2
2
1
3
x
y
的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当
1
QF
PQ
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取最小值时，
2
QF 的值为（
）
A．
3
2
B．
3
2
C．6
2
D．
6
2
（2）P 是双曲线
2
2
9
16
x
y
=1 的右支上一点，M、N 分别是圆
2
2
(
5)
1
x
y
和
2
2
(
5)
x
y
=4 上的点，则
|
|
|
|
PM
PN
的最大值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
（3）已知双曲线E ：
2
2
1
x
y
，双曲线C 与E 共渐近线且经过点
5,1
(1)求双曲线C 的标准方程．
(2)如图所示，点P 是曲线C 上任意一动点（第一象限），直线PA
x
轴于点A ，PB
y
轴于点B ，直线AB 交
曲线E 于点Q（第一象限），过点Q 作曲线E 的切线交PB 于点K ，交y 轴于点J ，求
KQA
BQJ
S
S
△
△
的最小值．
题型三离心率的取值及其范围
例3：（1）已知过坐标原点的直线l 与双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
相交于A，B 两点，点A 在第一象限，
经过点A 且与直线l 垂直的直线与双曲线C 的另外一个交点为M ，点N 在y 轴上，
//
BN NM
，点O为坐标
原点，且
2
7
ON
OA NO
，则双曲线C 的离心率
.
（2）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的右焦点为F ，关于原点对称的两点A、B 分别在双曲线的左、
右两支上，
0
AF FB
，3BF
FC
，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（
）
A．10
3
B．
10
2
C．
5
2
D．2 3
3
（3）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为
1
2
,
F F ，且两条曲线在第一象限的交点
为P ，
1
2
PF F
△
是以
1
PF 为底边的等腰三角形，若
1
24
PF
，椭圆与双曲线的离心率分别为
1
2
,
e e ，则
1 2
3e e 的
取值范围是（
）
A．1 ,
9
B．
1,
C．1 ,
3
D．1 ,
2
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（4）已知双曲线E:
2
2
2
2
1
x
y
a
b
,其左右顶点分别为
1A ,
2
A ,P 在双曲线右支上运动,若
1
2
A PA
的角平分线交x
轴于D 点,
2
A 关于PD 的对称点为
3
A ,若仅存在2 个P 使直线
3A D 与E 仅有一个交点,则E 离心率的范围为(
)
A．(1,
2)
B．( 2,2)
C．( 2,
)
D．(2,
)
练习题
（1）已知
1
2
,
F F 分别是双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点，过点
2
F 作直线
1
2
AB
F F
交C 于
,
A B 两
点. 现将C 所在平面沿直线
1
2
F F 折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后
,
A B 两点的对应点分别为
,
A B
，
且
1
A F B
若1
cos
25
1
cos
16
，则C 的离心率为（
）
A．
3
B．2 2
C．3
D．3 2
（2）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
，点B 的坐标为
0,b ，若C 上的任意一点P 都满足PB
b
，则C 的
离心率取值范围是（
）
A．
5
1
1,
2
B．
5
1,
2
C．1, 2
D．
2,
（3）已知
1
2
F
F
，分别是双曲线
2
2
2
2
:
1(
0
0)
y
x
C
a
b
a
b
，
的左，右焦点，点M 在双曲线上，
1
2
MF
MF
，圆
2
2
2
2
3
:
(
)
2
O x
y
a
b
，直线
1
MF 与圆O相交于
,
A B 两点，直线
2
MF 与圆O相交于,
P Q 两点，若四边形APBQ
的面积为
2
2 7b ，则C 的离心率为（
）
A．
6
2
B．3 2
4
C．3
2
D．9
8
题型四
双曲线的实际应用题
例4（1）3D 打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D 打印的双
曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3 的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的
上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径
为（
）
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A．
574 cm
8
B．
287 cm
8
C．
574 cm
4
D．
287 cm
4
（2）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：
1F ，
2
F 是双曲线的左､右焦
点，从
2
F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过
1F ；当P 异于
双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分
1
2
FPF
.若双曲线C 的方程为
2
2
1
9
16
x
y
，则下列结论正确的是
（
）
A．射线n 所在直线的斜率为k ，则
4 4
,
3 3
k
B．当m
n
时，
1
2
32
PF
PF
C．当n 过点
7,5
Q
时，光线由
2
F 到P 再到Q 所经过的路程为13
D．若点T 坐标为
1,0 ，直线PT 与C 相切，则
2
12
PF
（3）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如
左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.
封闭曲线E（如右图）是由椭圆
1
C ：
2
2
1
8
4
x
y
和双曲线
2
C ：
2
2
1
3
x
y
在y 轴右侧的一部分（实线）围
成.光线从椭圆
1
C 上一点
0P 出发，经过点
2
F ，然后在曲线E 内多次反射，反射点依次为
1P ，
2P ，
3P ，
4P ，…
若
0P ，
4P 重合，则光线从
0P 到
8P 所经过的路程为
.
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（4）为捍卫钓鱼岛及其附属岛屿的领土主权，中国派出舰船“唐山号”、“石家庄号”和“邯郸号”在钓鱼岛领
海巡航.某日，正巡逻在A 处的“唐山号”突然发现来自P 处的疑似敌舰的某信号，发现信号时“石家庄号”和“邯
郸号”正分别位于如图所示的B、C 两处，其中A 在B 的正东方向相距6 海里处，C 在B 的北偏西30°方向
相距4 海里处.由于B、C 比A 距P 更远，因此，4 秒后B、C 才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每
秒1 海里），试确定疑似敌舰相对于A 点“唐山号”的位置.
（5）某市轨道交通s 号线的线路示意图如图所示，已知M、N 是东西方向主干道边两个景点，P、Q 是南
北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O 均为5 2 km，线路AB 段上的任意一点到景点N 的距
离比到景点M 的距离都多10km，线路BC 段上的任意一点到O 的距离都相等，线路CD 段上的任意一点到
景点Q 的距离比到景点P 的距离都多10km，以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求轨道交通s 号线的线路示意图所在曲线的方程：
(2)规划部门在设计s 号线线路的一个站点G 时，考虑到景点Q 为客流量巨大的热门景点，为了最大程度便
于轨道交通s 号线的乘客到达景点Q，应该如何设置站点G 的位置？
练习题
（1）某校兴趣小组运用计算机对轮船由甲地海湾行驶入乙地海湾进行了一次模拟试验.如图，乙地海湾的入
口处有暗礁，其中线段AA1，B1B，CC1，D1D 分别关于坐标轴或原点对称，线段B1B 的方程为y=x，x∈[a，
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b]，b>a>0，过O 有一条航道.有一艘正在甲地海湾航行的轮船准备进入乙地海湾，在点M（-
5
2
a，0）处
测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N（
5
2
a，0）处晚1 s（设海面上声速为a m/s）.若该船沿着当前的
航线航行（不考虑轮船的体积），则兴趣小组观察到轮船当前航线所在的轨迹是什么?
（2）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，
被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点
1F ､
2
F 的椭圆
与双曲线构成，现一光线从左焦点
1F 发出，依次经与反射，又回到了点
1F ，历时3 秒；若将装置中
的去掉，如图②，此光线从点
1F 发出，经两次反射后又回到了点
1F ，历时t 秒；已知与的离心率
之比为2：5，则t
.
（3）如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另
一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的
反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点
1
2
,
F F 的椭圆
1
C 与双曲线
2
C 构成，
已知
1
C 与
2
C 的离心率之比为2:5.现一光线从右焦点
2
F 发出，依次经
1
C 与
2
C 的反射，又回到了点
2
F ，历时
8
3 10
秒.将装置中的
2
C 去掉，如图④，此光线从点
2
F 发出，经
1
C 两次反射后又回到了点
2
F ，历
时
.秒
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题型五
双曲线的综合应用题
例1（1）已知O 为坐标原点，双曲线C:
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为
6
2
，
点
1
1
,
P x y
是C 的右支上异于顶点的一点，过F2 作
1
2
FPF
的平分线的垂线，垂足是M，|
|
2
MO
，若双
曲线C 上一点T 满足
1
2
5
FT F T
，则点T 到双曲线C 的两条渐近线距离之和为（
）
A．2 2
B．2 3
C．2 5
D．2 6
（2）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥
曲线.已知椭圆
1
C ：
2
2
2
1 0
2
4
x
y
b
b
，双曲线
2
C 是椭圆
1
C 的“姊妹”圆锥曲线，
1e ，
2e 分别为
1
C ，
2
C 的
离心率，且
1 2
15
4
e e
，点M，N 分别为椭圆
1
C 的左、右顶点，设过点
4,0
G
的动直线l 交双曲线
2
C 右支A，
B 两点，若直线AM，BN 的斜率分别为
AM
k
，
BN
k
.
(1)求双曲线
2
C 的方程；
(2)试探究
AM
k
与
BN
k
的
AM
BN
k
k
是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
(3)求
2
2
3
AM
BN
w
k
k
的取值范围.
（3）已知左、右焦点分别为
1
2
,
F F 的双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
，其实轴长为8，其中一条渐近线的斜率
为3
4 ．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)若点P 为双曲线C 右支上除顶点外的任意一点，证明：双曲线C 在点P 处的切线PT 平分
1
2
FPF
．
练习题
（1）已知直线:
(
0)
l y
kx k
与双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
相交于A，B 两点，点A 在第一象限，经过点
A 且与直线l 垂直的直线与双曲线C 的另外一个交点为M ，点N 在y 轴上，
//
BN NM
，点O为坐标原点，
且
2
7
ON
OA NO
，则双曲线C 的渐近线方程为（
）
A．
3
y
x
B．
5
y
x
C．
6
y
x
D．
7
y
x
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（2）已知点A 为圆
2
2
:
2 10
6
0
C x
y
x
上任意一点，点B 的坐标为
10,0
，线段AB 的垂直平分线
与直线AC 交于点D ．
(1)求点D 的轨迹E 的方程；
(2)设轨迹E 与x 轴分别交于
1
2
,
A A 两点（
1A 在
2
A 的左侧），过
3,0
R
的直线l 与轨迹E 交于
,
M N 两点，直线
1A M 与直线
2
A N 的交于P ，证明：P 在定直线上．
（3）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
2 ，点
3, 1
M
在双曲线C 上.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若F 为双曲线的左焦点，过点F 作直线l 交C 的左支于
,
A B 两点.点
4,2
P
，直线AP 交直线
2
x 于
点Q .设直线
,
QA QB 的斜率分别
1
2
,
k k ，求证：
1
2
k
k
为定值.
（4）已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
实轴的一个端点是P ，虚轴的一个端点是Q ，直线PQ与双曲线的一条
渐近线的交点为1 1
,
2 2
.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线
1 (0
1)
y
kx
k
k
与曲线C 有两个不同的交点
,
A
B O
、
是坐标原点，求OAB
的面积最小值.
1.已知圆M ：
2
2
2
4
x
y
，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点
2,0
A
，线段PA 的垂直平分线l 与直
线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1(
2)
4
12
x
y
x
B．
2
2
1
4
12
x
y
C．
2
2
1(
1)
3
y
x
x
D．
2
2
1
3
y
x
2．动圆M 与圆
1
C ：
2
2
5
25
x
y
和圆
2
C ：
2
2
5
1
x
y
均外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
2
4
21
x
y
x
B．
2
2
1
2
4
21
x
y
x
C．
2
2
1
3
9
16
x
y
x
D．
2
2
1
3
9
16
x
y
x
3.已知
0,4
A
，双曲线
2
2
1
4
5
x
y
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 是双曲线左支上一点，则
2
|
|
PA
PF
的
最小值为（
）
A．5
B．7
C．9
D．11
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4.若点P 在曲线
2
2
1 :
1
16
9
x
y
C
上，点Q 在曲线
2
2
2
:
5
1
C
x
y
上，点R 在曲线
2
2
3 :
5
1
C
x
y
上，则
PQ
PR
的最大值是（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
5.已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F 、
2
F ，以
2
F 为圆心的圆与x 轴交于
1F ，B
两点，与y 轴正半轴交于点A，线段
1
AF 与C 交于点M．若BM 与C 的焦距的比值为
31
3
，则C 的离心率
为（
）
A．
3
1
2
B．3
2
C．
5
1
2
D．
7
1
2
6.直线l 与双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左，右两支分别交于点A，B，与双曲线的两条渐近线分别交于点C，
D（A，C，D，B 从左到右依次排列），若OA
OB
，且|
|
AC ，|
|
CD ，|
|
DB 成等差数列，则双曲线的离心
率的取值范围是（
）
A．
10 ,
2
B．2 2, 10
C．
10 ,2 3
2
D．
10,
7.如图，一个光学装置由有公共焦点
1
2
,
F F 的椭圆C 与双曲线C构成，一光线从左焦点
1F 发出，依次经过C
与C 的反射，又回到点
1F .，历时m 秒；若将装置中的C去掉，则该光线从点
1F 发出，经过C 两次反射后
又回到点
1F 历时n 秒，若C的离心率为C 的离心率的4 倍，则m
n
.
8.已知双曲线C：
2
2
2
1(
0)
2
x
y
b
b
一个焦点F 到渐近线的距离为
2 ．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点
2,0 的直线l 与双曲线C 的右支交于A，B 两点，在x 轴上是否存在点N，使得NA NB
为定值？如
果存在，求出点N 的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．
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9.已知直线l ：y
kx
t
与双曲线C ：
2
2
1
4
5
x
y
相交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线分别
与x ，y 轴相交于A ，B 两点．
(1)若
1
t ，且点M ，N 都在双曲线的右支上，求k 的取值范围；
(2)若AOB
（O为坐标原点）的面积为81
2 ，且
0
k
，求k 的取值范围．
10.设双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为F，
2
2
1
a
b
，O为坐标原点，过F 的直线l 与C 的右支相
交于A，B 两点.
(1)若
2
2
b
，求C 的离心率e的取值范围；
(2)若
AOB
恒为锐角，求C 的实轴长的取值范围.
11.已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
的两条渐近线分别为1
1
2
:
2 , :
2
l y
x l y
x
.
(1)求双曲线E 的离心率；
(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线1
2
,
l l 于
,
A B 两点（
,
A B 分别在第一，四象限），且OAB
的面积
恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E 的方程；若
不存在，说明理由.
12.已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的焦距为2 6 ，且焦点到近线的距离为1.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)若动直线l 与双曲线C 恰有1 个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于
,
P Q 两点，O为坐标原点，
证明：
OPQ
△
的面积为定值.
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