【题型突破04：抽象函数的综合问题】
1．（25-26 高一上·江苏南京·月考）函数f (x)和g(x)的定义域均为R，已知y = f (x)为偶函数，y = g(x)+1
为奇函数，对于∀x∈R，均有f (x)+ g(x)= x
2+ 4，则f (4)g(4)=（ ）
A．21
B．−21
C．121
D．0
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性可得出关于f (4)、g(4)的方程组，解出这两个函数值，即可得出f (4)g(4)的值.
【详解】函数f (x)和g(x)的定义域均为R，函数y = f (x)为偶函数，则f (−4)= f (4)，
因为函数y = g(x)+1为奇函数，所以g(−4)+1=−g(4)−1，可得g(−4)=−g(4)−2，
因为f (x)+ g(x)= x
2+ 4，所以f (4)+ g(4)= 4
2+ 4 =20①，
f (−4)+ g(−4)=(−4)
2+ 4 =20，即f (4)−g(4)−2=20，可得f (4)−g(4)=22②，
联立①②可得f (4)=21，g(4)=−1，故f (4)g(4)=−21.
故选：B.
2．（25-26 高三上·重庆·月考）已知函数 f (x) 及其导函数 f
′ (x) 的定义域均为 R ，若 x−f (x +2) 为
偶函数， f (1−2 x) 为奇函数，则 f
′ (2025)+ f
′ (2027)= .
【答案】2
【分析】通过偶函数、奇函数的条件推导函数等式，求导后得到导数的对称与周期性质，利用周期性化简
目标值并求和.
【详解】由x−f (x +2)为偶函数，得x−f (x +2)=−x−f (−x +2)，
整理得f (x +2)−f (−x +2)=2 x，两边求导得f
′ (x +2)+ f
′ (−x +2)=2①.
由f (1−2 x)为奇函数，得f (1−2 x)=−f (1+2 x)，令t =2 x，
则f (1−t )=−f (1+t )， 两边求导得f
′ (1−t )= f
′ (1+t )，
即f
′ (2−x)= f
′ (x)，故f
′ (−x +2)= f
′ (x).
命题角度1：抽象函数的值（或值
将f
′ (−x +2)= f
′ (x)代入①，得f
′ (x +2)+ f
′ (x)=2，
由此得f
′ (x + 4)=2−f
′ (x +2)=2−(2−f
′ (x))= f
′ (x)，即f
′ (x)周期为4.
f
′ (2025)= f
′ (4×506+1)= f
′ (1)，f
′ (2027)= f
′ (4×506+3)= f
′ (3)，
由f
′ (3)=2−f
′ (1)，得f
′ (2025)+ f
′ (2027)= f
′ (1)+2−f
′ (1)=2.
故答案为：2
3．（25-26 高三上·广东广州·期中）已知定义域为R的函数f (x)满足f (−x)=−f (x)，f (2+ x)+ f (4−x)=0，
当0≤x ≤3时，f (x)= x
2+ax，则f (8)=（ ）
A．−2
B．2
C．−3
D．3
【答案】A
【分析】依题意可得f (x)为奇函数，再由f (2+ x)+ f (4−x)=0，推出f (x)是周期为6的周期函数，由
f (3)=0求出a的值，最后根据周期性计算可得.
【详解】因为定义域为R的函数f (x)满足f (−x)=−f (x)，则f (x)为奇函数，
又f (2+ x)+ f (4−x)=0，所以f (2+ x)=−f (4−x)= f (x−4)，
所以f (x)= f (x +6)，则f (x)是周期为6的周期函数，
又因为f (2+1)+ f (4−1)=0，即f (3)=0，
又当0≤x ≤3时，f (x)= x
2+ax，所以f (3)=3
2+3a=0，解得a=−3，
所以f (x)= x
2−3 x (0≤x ≤3)，
所以f (8)= f (6+2)= f (2)=2
2−3×2=−2.
故选：A
4．（24-25 高二下·山西吕梁·期末）已知定义在R上的函数f ( x)和g( x)，满足f (3 x +3)为偶函数，
g(2 x +5)−1为奇函数，若f (1)+ g(1)=5，则f (5)−g(9)= ．
【答案】3
【分析】由题意可得f (−3 x +3)= f (3 x +3)及g(−2 x +5)−1=−g(2 x +5)+1，令x = 2
3可得f (1)= f (5)，
令x =2可得g(1)−1=−g(9)+1，代入f (1)+ g(1)=5可得结果.
【详解】若f (3 x +3)为偶函数，g(2 x +5)−1为奇函数，
则f (−3 x +3)= f (3 x +3)，g(−2 x +5)−1=−g(2 x +5)+1，
令x = 2
3，则f (−2+3)= f (2+3)，即f (1)= f (5)，
令x =2，则g(−4 +5)−1=−g(4+5)+1，即g(1)−1=−g(9)+1，
又因为f (1)+ g(1)=5，所以f (5)−g(9)= f (1)+ g(1)−2=3．
故答案为：3．
5．（20-21 高二下·福建福州·期末）若对∀x , y ∈R，有f ( x + y)= f ( x)+ f ( y)−4，函数
g( x)= 2sin x
cos x +1 + f ( x)在区间[−2021,2021]上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
【答案】B
【分析】利用已知条件可得f ( x)+ f (−x)=8，则m( x)= f ( x)−4为奇函数，构造h( x)= g( x)−4即可知
为奇函数，又由[−2021,2021]上g( x)存在最大、最小值，易知h( x)最小、最大值的和为0，即可求g( x)
最大、最小值的和.
【详解】由题设，f ( x−x)= f (0)= f ( x)+ f (−x)−4且f ( x +0)= f ( x)= f ( x)+ f (0)−4，
∴f (0)= 4，则f ( x)+ f (−x)=8，
∴m( x)= f ( x)−4为奇函数，令h( x)= g( x)−4 = 2sin x
cos x +1 +m( x)，
∴h(−x)= 2sin(−x)
cos(−x)+1 +m(−x)=−2sin x
cos x +1 −m( x)=−h( x)，即h( x)是奇函数，
∴h( x)在[−2021,2021]上的最小、最大值的和为0，即g( x)max−4+ g( x)min−4 =0，
∴g( x)max+ g( x)min=8.
故选：B
【点睛】关键点点睛：由题设求出f ( x)+ f (−x)=8，构造奇函数h( x)= g( x)−4，根据区间内存在最值
可知h( x)max+h( x)min=0，进而求g( x)最值的和.
6．（25-26 高一上·全国·期末）已知f (x)是定义在实数集R上的函数，在(0,+∞)内单调递增，f (2)=0，且
函数f (x−1)关于点(1,0)对称，则不等式xf (1−x)<0的解集是（ ）
A．(−∞,−2)∪(−1,0)∪(2,+∞)
B．(−∞,−2)∪(2,+∞)
C．(−∞,−1)∪(0,1)∪(3,+ ∞)
D．(−∞,−1)∪(3,+∞)
【答案】C
【分析】先根据f (x−1)的对称性判断出f (x)的奇偶性，再结合f (x)的单调性求解不等式的解集.
【详解】因为f (x−1)关于点(1,0)对称，根据函数图象平移的性质可知，
函数f (x)的图象是由函数f (x−1)的图象向左平移1 个单位得到的，
所以函数f (x)的图象关于原点(0,0)对称，所以函数f (x)是奇函数，
所以f (−2)=−f (2)=0且f (x)在(−∞,0)内也单调递增.
当x>0时，要使得不等式xf (1−x)<0成立，则f (1−x)<0，
根据函数f (x)的单调性，可得1−x<−2或0<1−x<2，
解得x>3或−1< x<1，又x>0，所以x>3或0< x<1；
当x<0时，要使得不等式xf (1−x)<0成立，则f (1−x)>0，
根据函数f (x)的单调性，可得−2<1−x<0或1−x>2，
命题角度2：抽象函数的单调性
解得1< x<3或x<−1，又x<0，所以x<−1.
综上可得不等式的解集为(−∞,−1)∪(0,1)∪(3,+∞).
故选：C.
7．（2025 高一上·江苏·专题练习）已知函数y = f (x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+ ∞)，对任意的
x1, x2∈(0,+ ∞), x1≠x2，都有
x2f (x2)−x1f (x1)
x2−x1
>0，若函数y = f (x +1)的图象关于点(−1,0)成中心对称，
且f (1)= 4，则不等式f (x)> 4
x 的解集为（ ）
A．(−1,0)∪(0,1)
B．(−1,0)∪(1,+ ∞)
C．(−∞,−1)∪(0,1)
D．(−∞,−1)∪(1,+∞)
【答案】B
【分析】由题意，构造函数g(x)= xf (x)，判断函数g(x)的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性
解不等式即可.
【详解】由函数y = f (x +1)图象关于点(−1,0)中心对称，
知函数f (x)图象关于点(0,0)中心对称，所以f (x)为奇函数.
令g(x)= xf (x)，则g(−x)=−xf (−x)= xf (x)= g(x)，所以g(x)为偶函数，
对于∀x1, x2∈(0,+ ∞)，有
g(x2)−g(x1)
x2−x1
>0(x1≠x2)，
所以g(x)在(0,+ ∞)上单调递增，
则g(x)在(−∞,0)上单调递减.
由f (1)= 4，得g(1)= 4，g(−1)= 4，
当x>0时，f (x)> 4
x 变形为xf (x)>4，即g(x)>g(1)，解得x>1；
当x<0时，f (x)> 4
x 变形为xf (x)<4，即g(x)<g(−1)，解得−1< x<0，
综上，不等式f (x)> 4
x 的解集为(−1,0)∪(1,+∞).
故选：B.
【多选题】8．（25-26 高三上·河南·月考）已知函数f (x)的定义域为(−1,1)，满足
f (x)+ f ( y)= f(
x + y
1+ xy)−1，当x∈(0,1)时，f (x)>−1，且f(
1
2)=0，则（ ）
A．f (0)=1
B．f(
4
5)=1
C．f (x)+1是奇函数
D．f (x)是增函数
【答案】BCD
【分析】x = y =0即可判断A；令x = y = 1
2即可判断B；令y =−x，结合奇函数的定义即可判断C；令
g(x)= f (x)+1，令0< x< y <1，利用作差法判断g( y),g(x)的大小，即可得出函数g(x)的单调性，即可判
断D.
【详解】对于A，令x = y =0，则f (0)+ f (0)= f (0)−1，
所以f (0)=−1，故A 错误；
对于B，令x = y = 1
2，则2f(
1
2)= f(
1
5
4)
−1= f(
4
5)−1=0
，
所以f(
4
5)=1，故B 正确；
对于C，令y =−x，则f (x)+ f (−x)= f (0)−1=−2，
所以f (x)+1=−f (−x)−1=−[f (−x)+1)
所以f (x)+1为奇函数，故C 正确；
对于D，令g(x)= f (x)+1，则g(x)为奇函数，
令0< x< y <1，
则g( y)−g(x)= g( y)+ g(−x)= f ( y)+1+ f (−x)+1= f(
y −x
1−xy)+1，
因为0< x< y <1，所以y −x>0,0< xy <1, y −1<0, x +1>0，
所以y −x
1−xy >0，y −x
1−xy −1= xy + y −x−1
1−xy
= ( y −1)(x +1)
1−xy
<0，
所以0< y −x
1−xy <1，
又因为当x∈(0,1)时，f (x)>−1，
所以当x∈(0,1)时，g(x)>0，
所以g( y)−g(x)= f(
y −x
1−xy)+1>0，即g( y)>g(x)，
所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，
又g(x)是奇函数，且g(0)= f (0)+1=0，
所以函数g(x)为增函数，即函数f (x)是增函数，故D 正确.
故选：BCD.
9．（25-26 高一上·江西·月考）已知定义在(−∞,0)∪(0,+ ∞)上的函数f (x)满足f (xy)+ 1
2 = f (x)+ f ( y)，
且当x>1时，f (x)> 1
2，则下列说法错误的是（ ）
A．f (−1)= 1
2
B．f (x)为偶函数
C．若f (x +2)< 1
2，则x<−3或x>−1
D．f (−2024)>f (−2023)
【答案】C
【分析】利用赋值法可判断A；结合偶函数的定义可判断B；由题意判断出函数在(−∞,0)上单调递减，可
判断D；结合函数的奇偶性以及单调性解不等式f (x +2)< 1
2，可判断C.
【详解】因为f (xy)+ 1
2 = f (x)+ f ( y)，令x = y =1，得f (1)+ 1
2 = f (1)+ f (1)，即f (1)= 1
2，
令x = y =−1，得f (1)+ 1
2 = f (−1)+ f (−1)，即得f (−1)= 1
2，所以A正确;
令y =−1，得f (−x)+ 1
2 = f (x)+ f (−1)= f (x)+ 1
2，即得f (−x)= f (x)，
所以f (x)为偶函数，所以B正确；
任取x1, x2∈(−∞,0)且x1> x2，则
x2
x1
>1，
则f (x2)= f(
x2
x1
× x1)，故f(
x2
x1
× x1)= f(
x2
x1)+ f (x1)−1
2，
则f (x2)−f (x1)= f(
x2
x1)−1
2，而x>1时，f (x)> 1
2，
故f(
x2
x1)−1
2 >0，则f (x2)>f (x1)，
所以f (x)在(−∞,0)上单调递减，结合−2024<−2023，所以f (−2024)>f (−2023)，所以D 正确；
由以上分析可知f (x)为偶函数，在(−∞,0)上单调递减，则在(0,+∞)上单调递增，
由f (x +2)< 1
2 = f (1)，可得|x +2)<1且x +2≠0，得−3< x<−2或−2< x<−1，所以C 错误.
故选：C.
10．（25-26 高三上·安徽·月考）已知f
′ (x)是定义在R 上的奇函数f (x)的导数，且g(x)= f
′ (x)−2e
x+2 x也
是定义在R 上的奇函数，则关于a 的不等式g(2a+1)+ g(a−5)<0的解集为（ ）
A．(−∞, 4
3)
B．(
4
3 ,+∞)
C．(−1, 4
3)
D．(
4
3 ,2)
【答案】B
【分析】根据g(x)为奇函数，得到f
′ (x)+ f
′ (−x)=2e
x+2e
−x，结合f
′ (x)−f
′ (−x)=0，得到
f
′ (x)=e
x+e
−x，故g(x)=−e
x+e
−x+2 x，求导，结合基本不等式得到g(x)为R 上的减函数，利用奇偶性
和单调性得到不等式，求出答案.
【详解】g(x)= f
′ (x)−2e
x+2 x，
g(x)= f
′ (x)−2e
x+2 x是定义在R 上的奇函数，
故f
′ (x)−2e
x+2 x + f
′ (−x)−2e
−x−2 x =0，
故f
′ (x)+ f
′ (−x)=2e
x+2e
−x.
因为f (x)是定义在R 上的奇函数，所以f (x)+ f (−x)=0，
求导得f
′ (x)−f
′ (−x)=0，与f
′ (x)+ f
′ (−x)=2e
x+2e
−x联立得
f
′ (x)=e
x+e
−x，故g(x)=e
x+e
−x−2e
x+2 x =−e
x+e
−x+2 x，
此时g
′ (x)=−e
x−e
−x+2≤−2
❑√e
x⋅e
−x+2=0，
故g(x)为R 上的减函数，
而g(2a+1)+ g(a−5)<0等价于g(2a+1)<−g(a−5)= g(5−a)，
即2a+1>5−a，解得a> 4
3 .
故选：B
11．（25-26 高一上·安徽黄山·期末）定义在R上的函数f (x)，g(x)满足f ( x)+ g(2−x)=5，
g( x)−f ( x−4)=3，且函数g(x +2)为偶函数，则f (1)+ f (2)+ f (3)+⋯+ f (2025)= ．
【答案】2025
【分析】题意可得函数的周期与对称轴，可得函数在自变量取整数时的函数值，可得答案.
【详解】因为g(x +2)为偶函数，所以g( x +2)= g(−x +2)，又f ( x)+ g(2−x)=5，
所以f ( x)+ g(2+ x)=5，①
又因为g( x)−f ( x−4)=3，
用x +2替换x得g( x +2)−f ( x−2)=3，②
因此①−②可得f ( x)+ f ( x−2)=2③，
用x +2替换x得f (x +2)+ f (x)=2④，
④−③得f ( x +2)−f ( x−2)=0，即f ( x +2)= f ( x−2)⇒f ( x + 4)= f ( x)，
因此函数f (x)是周期为4的周期函数，
又因为f ( x)+ g(2−x)=5，f (−x)+ g(2+ x)=5，g( x +2)= g(−x +2)，
因此f (x)= f (−x)，即f (x)为偶函数，
又因为f (x +2)+ f (x)=2，因此f (1)+ f (−1)=2f (1)=2⇒f (1)=1，
f (1)+ f (3)=2，f (2)+ f (4)=2，即f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)= 4，
f (1)+ f (2)+ f (3)+⋯+ f (2025)=506×4 + f (2025)=2024+ f (1)=2025．
故答案为：2025．
12．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知定义域为R 的函数f (x)与g(x)满足：f (x)−g(x)= x，且f (x +1)
命题角度3：抽象函数的奇偶性与周期
是奇函数，g(x +2)是偶函数，则f (2025)=（ ）
A．-1
B．2024
C．2025
D．2026
【答案】B
【分析】由函数f (x)与g(x)的关系及f (x)，g(x)的对称性，得到g(x)的周期性，利用g(x)周期性可求解.
【详解】∵f (x +1)是奇函数∴f (x +1)=−f (−x +1),∴f (x)=−f (2−x)，∴f (1)=−f (1),∴f (1)=0.
∵g(x)= f (x)−x ,∴g(2−x)= f (2−x)−(2−x)
∴g(x)+ g(2−x)= f (x)+ f (2−x)−2=−2,又g(x +2)是偶函数∴g(x +2)= g(−x +2)，
∴g(x +2)+ g(x)=−2∴g(x + 4)+ g(x +2)=−2
∴g(x + 4)= g(x)，g(x)是周期为4 的周期函数，∴g(2025)= g(1)，又∵g(1)= f (1)−1=−1,
∴g(2025)=−1
因为f (x)−g(x)= x所以f (2025)= g(2025)+2025=2024.
故选：B
13．（25-26 高一上·江苏苏州·期中）已知函数f (x)的定义域为R，且f (x +2)−2为奇函数，f (3 x +1)为偶
函数.若f (1)=0，则f (1)+ f (2)+⋯+ f (102)的值为 .
【答案】202
【分析】根据f (x +2)−2为奇函数推出f (x +2)+ f (−x +2)= 4，得出的图象关于点(2,2)对称；根据
f (3 x +1)为偶函数，推出f (x +1)= f (−x +1)，得出f (x)的图象关于直线x =1对称，综合推出f (x)为周期
是4 的周期函数.根据周期函数的性质，计算一个周期的函数值，从而得出结论.
【详解】由题意得f (x +2)−2为奇函数，所以f (x +2)−2+ f (−x +2)−2=0，
即f (x +2)+ f (−x +2)= 4，所以函数f (x)关于点(2,2)中心对称.
由f (3 x +1)为偶函数，所以可得f (x +1)= f (−x +1)，所以函数f (x)关于直线x =1对称，所以
f (x)= f (2−x)，
又因为函数f (x)关于点(2,2)中心对称，所以f (x +2)+ f (2−x)= 4，
所以f (x +2)+ f (x)= 4，从而f (x + 4)= 4−f (x +2)= 4−(4−f (x))= f (x)，所以函数f (x)为周期为4 的函
数.
因为f (1)=0，所以f (1)+ f (3)= 4，则f (3)= 4，因为f (x)关于直线x =1对称，所以f (3)= f (−1)= 4，
又因为f (x)关于点(2,2)对称，所以f (2)=2，又因为f (4)= f (−2)= f (0)，
又因为f (−2)= f (−2+ 4)= f (2)=2，所以f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)=8，
所以f (1)+ f (2)+⋯+ f (102)= 100
4 ×[f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4))+ f (1)+ f (2)= 100
4 ×8+0+2=202.
故答案为：202.
14．（25-26 高三上·重庆·期中）已知函数f (x)的定义域为R，且f (x +2)−2为奇函数，f (x +1)为偶函数．
若f (1)=0，则f (1)+ f (2)+⋅⋅⋅+ f (102)的值为 ．
【答案】202
【分析】根据题中f (x +2)−2为奇函数，f (x +1)为偶函数，从而可得出f (x)为周期为4 的函数，从而可求
解.
【详解】由题意得f (x +2)−2为奇函数，所以f (x +2)−2+ f (−x +2)−2=0，
即f (x +2)+ f (−x +2)= 4，所以函数f (x)关于点(2,2)中心对称，
由f (x +1)为偶函数，所以可得f (x +1)= f (−x +1)，
所以函数f (x)关于直线x =1对称，所以f (x)= f (2−x)，
又因为函数f (x)关于点(2,2)中心对称，所以f (x +2)+ f (2−x)= 4，
所以f (x +2)+ f (x)= 4，从而f (x + 4)= 4−f (x +2)= 4−(4−f (x))= f (x)，
所以函数f (x)为周期为4 的函数，
因为f (1)=0，所以f (1)+ f (3)= 4，则f (3)= 4，
因为f (x)关于直线x =1对称，所以f (3)= f (−1)= 4，
又因为f (x)关于点(2,2)对称，所以f (2)=2，
又因为f (4)= f (−2)= f (0)，
又因为f (−2)= f (−2+ 4)= f (2)=2，所以f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)=8，
所以f (1)+ f (2)+⋅⋅⋅+ f (102) = 100
4 ×[f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4))+ f (1)+ f (2)=202.
故答案为：202
15．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数f ( x)的定义域为R，且
f ( x + y)+ f ( x−y)= f ( x)f ( y),f (1)=1，则∑
k =1
2025
❑f (k )=（ ）
A．－3
B．－2
C．0
D．1
【答案】B
【分析】根据抽象函数的等式和相关条件，通过赋值求得f (0)=2，推得函数f ( x)为偶函数，以及函数
f ( x)的一个周期为6，依次求出f (2),f (3),f (4),f (5),f (6)的值，利用函数的周期性即可求得答案.
【详解】因为f ( x + y)+ f ( x−y)= f ( x)f ( y)，令x =1, y =0可得，2f (1)= f (1)f (0)，所以f (0)=2，
令x =0可得，f ( y)+ f (−y)=2f ( y)，即f ( y)= f (−y)，所以函数f ( x)为偶函数，
令y =1得，f ( x +1)+ f ( x−1)= f ( x)f (1)= f ( x)，则有f ( x +2)+ f ( x)= f ( x +1)，
从而可得f ( x +2)=−f ( x−1)，f ( x−1)=−f ( x−4)，故f ( x +2)= f ( x−4)，
即f ( x)= f ( x + 6)，所以函数f ( x)的一个周期为6．
因为f (2)= f (1)−f (0)=1−2=−1，f (3)= f (2)−f (1)=−1−1=−2,
f (4)= f (−2)= f (2)=−1，f (5)= f (−1)= f (1)=1, f (6)= f (0)=2，
所以f (1)+ f (2)+⋯+ f (6)=0．
因为2025 除以6 余3，所以∑
k =1
2025
❑f (k )= f (1)+ f (2)+ f (3)=1−1−2=−2．
故选：B．
【多选题】16．（25-26 高一上·云南·期中）已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，f (x−2)为偶函数，
g(x)+ g(4−x)=0，f ( x)= g( x−2)+ 4，g(1)=1，则（ ）
A．f (−7)=−5
B．f ( x)= f ( x +24)
C．g(x)的图象关于点(2,0)对称
D．f (x)的图象关于点(4,4)对称
【答案】BCD
【分析】先由g(x)+ g(4−x)=0可得C 正确，再由f ( x)= g( x−2)+ 4及f (x−2)为偶函数可得BD 正确，
A 错误.
【详解】对于A：因为f (x−2)为偶函数，所以f (−x−2)= f ( x−2)，则f (−7)= f (3)，
再由f ( x)= g( x−2)+ 4，令x =3，得f (3)= g(1)+ 4 =5，所以f (−7)=5，故A 错误；
对于C：因为g(x)+ g(4−x)=0，所以g(x)的图象关于点(2,0)对称，故C 正确；
对于D：由f ( x)= g( x−2)+ 4，得g( x−2)= f ( x)−4，所以g( x)= f ( x +2)−4，
g(4−x)= f (6−x)−4，且g(x)+ g(4−x)=0，所以f ( x +2)−4+ f (6−x)−4 =0，即
f ( x +2)+ f (6−x)=8，
所以f ( x)+ f (8−x)=8，所以f (x)的图象关于点(4,4)对称，故D 正确；
对于B：由f (x−2)为偶函数，得f (−x−2)= f ( x−2)，即f ( x)= f (−x−4)，
且f ( x)+ f (8−x)=8，所以f (−x−4)+ f (8−x)=8，
以−x代替x，得f ( x−4)+ f ( x +8)=8——①.再以x +12代替x，得f ( x +8)+ f ( x +20)=8——②，
联立①②得f ( x−4)= f ( x +20)，再以x + 4代替x，得f ( x)= f ( x +24)，故B 正确.
故选：BCD.
17．（2026·陕西宝鸡·一模）已知函数f (x)，g(x)的定义域为R，且g(x)+ f (−x +2)=1，
f (x)−g(x +1)=1，若y = f (x)的图像关于直线x =1对称，则以下说法正确的有 ．
①g(−x)=−g(x) ②∀x∈R ,f (x)= f (x + 4)
③g(−3
2)=0 ④f (x +2026)+ f (−x−2025)=2
【答案】②③④
【分析】利用对称性、奇偶性和周期性的性质，结合f (x)与g(x)之间的关系，逐项判断即可．
【详解】因为g(x)+ f (−x +2)=1，所以g(x +1)+ f (−x +1)=1；
又因为f (x)−g(x +1)=1，所以f (x)+ f (1−x)=2；
所以f (x +2026)+ f (−x−2025)=2，所以④正确；
命题角度4：抽象函数的对称性
因为y = f (x)的图像关于直线x =1对称，
所以f (1−x)= f (1+ x)，所以f ( x)+ f (1+ x)=2，
用x +1替换x可得f ( x +1)+ f ( x +2)=2，
所以f ( x)= f ( x +2)，
所以f (x)的周期为T =2 ，所以∀x∈R ,f (x)= f (x + 4)，所以②正确；
因为y = f (x)的图像关于直线x =1对称,
所以f (−x)= f (2+ x)，所以f (−x)= f ( x)，所以f (x)是偶函数；
因为g(x)+ f (−x +2)=1，所以g(x)+ f (x)=1；
所以g(−x)+ f (−x)=1，f (x)是偶函数，
所以g(−x)=1−f (−x)=1−f (x)= g(x)，所以①错误；
因为f (x)+ f (1−x)=2，所以f(
1
2)+ f(1−1
2)=2，所以f(
1
2)=1；
因为f (x)是偶函数，所以f(−1
2)=1；
因为f (x)的周期为T =2，所以f(−3
2)=1；
因为g(x)+ f (x)=1，所以g(−3
2)+ f(−3
2)=1；
所以g(−3
2)=0，所以③正确；
故答案为：②③④.
【多选题】18．（25-26 高一上·福建漳州·月考）函数f (x)对∀x∈R，f (x +2)= f (4−x)，且f (x +6)为
奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若x∈(0,3)时f (x)=2
x，则f (8)= 4 B．f (x)的周期为6
C．f (x)的图象关于(−6,0)中心对称
D．f (2025)+ f (3)=0
【答案】CD
【分析】对于A 选项，首先通过奇偶性得f (−x +6)=−f (x +6)，然后根据已知条件通过赋值进行求解；
对于B 选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可；对于C 选项，通过奇偶性可得函数关于(6,0)中心
对称，再根据函数周期性即可判断正误；对于D 选项，利用函数周期性可得f (2025)= f (9)，再根据
f (−x +6)=−f (x +6)通过赋值可得f (9)=−f (3)，进而可以判断选项正误.
【详解】对于A，已知f (x +6)为奇函数，则有f (−x +6)=−f (x +6)，
令x =−2，得f (8)=−f (4)，
又f (x +2)= f (4−x)，令x =0，得f (4)= f (2)，
x∈(0,3)时f (x)=2
x，因此可得f (8)=−f (4)=−f (2)=−2
2=−4，故A 错误；
对于B，已知f (x +6)为奇函数，则有f (−x +6)=−f (x +6)，
又f (x +2)= f (4−x)，则有f (x)= f (6−x)，由此可得f (x)=−f (x +6)，
而f (x +12)=−f (x +6)=−(−f (x))= f (x)，可得f (x)的一个周期为12，
若f (x)的周期为6，则有f (x +6)= f (x)= f (6−x)，得f (x +6)为偶函数，与题意不符，故B 错误；
对于C，已知f (x +6)为奇函数，则有f (−x +6)=−f (x +6)，则可得函数f (x)的图象关于(6,0)中心对称，
又函数f (x)的周期为12，所以f (x)的图象关于(−6,0)中心对称，故C 正确；
对于D，已知函数f (x)的周期为12，则有f (2025)= f (168×12+9)= f (9)，
又f (−x +6)=−f (x +6)，令x =3，得f (9)=−f (3)，
则f (2025)+ f (3)= f (9)+ f (3)=−f (3)+ f (3)=0，故D 正确.
故选：CD
【多选题】19．（25-26 高三上·江西赣州·期中）已知函数f (x),g(x)的定义域均为R，且
g(x)=2f (x +1)−2，2f (x)+ g(x−3)=2．若y = f (x)的图象关于直线x =1对称，且f (1)=3，现有四个
结论其中结论正确的为（ ）
A．g(0)= 4
B．4 为g(x)的周期
C．g(x)的图象关于点(2,0)对称
D．g(3)=0
【答案】ABD
【分析】根据题目条件，以及赋值法，根据函数周期性，对称性，逐一判断各选项正误，求出结果.
【详解】由题意可知f (1)=3，当x =0时，g(0)=2f (1)−2= 4，所以A 正确；
用x +1替换x，代入2f (x)+ g(x−3)=2得2f (x +1)+ g(x−2)=2，即2f (x +1)=2−g(x−2)，
代入得g(x)=2f (x +1)−2=2−g(x−2)−2=−g(x−2)，
则g(x)=−g(x−2)=−[−g(x−4))= g(x−4)，所以4 为g(x)的周期，所以B 正确；
因为y = f (x)的图象关于直线x =1对称，由g(x)=2f (x +1)−2，可知y = g(x)关于x =0对称，可得
g(x)= g(−x)，
则g(x)= g(−x)=−g(x−2)，即g(x)的图象关于点(−1,0)对称，因为y = g(x)关于x =0对称，所以g(x)的
图象关于点(1,0)对称，
又因为4 为g(x)的周期，所以y = g(x)的对称中心为(−1+ 4 k ,0),(1+ 4 k ,0)k ∈Z，所以C 错误；
由g(−x)=−g(x−2)可知，当x =1时，g(−1)=0，因为4 为g(x)的周期，所以g(−1)= g(3)=0，所以D
正确；
故选：ABD.
【多选题】20．（25-26 高一上·重庆·期中）已知f ( x)的定义域为R ,f (1+ x)= f (1−x)，且f ( x +2)为奇
函数，则（ ）
A．f ( x)关于x =1对称
B．f ( x)为偶函数
C．f (4)=0
D．
f (7−2 x)= f (3+2 x)
【答案】ACD
【分析】利用对称性定义判断A；探讨函数的周期判断CD；利用函数既是奇函数又是偶函数的特征判断
B.
【详解】由定义在R 上的函数f ( x)满足f (1+ x)= f (1−x)，即f (2−x)= f ( x)，
由f ( x +2)为奇函数，得f (2−x)=−f ( x +2)，则f ( x +2)=−f ( x)，f ( x + 4)=−f ( x +2)= f ( x)，即
f ( x)周期为4，
对于A，由f (1+ x)= f (1−x)，得f ( x)图象关于x =1对称，A 正确；
对于C，由f (2−x)=−f ( x +2)，得f (2)=0，则f (4)= f (0)=−f (2)=0，C 正确；
对于D，f (6−x)= f (2−x)= f ( x)，则f (3−x)= f (3+ x)，
因此f (3+2 x)= f (3−2 x)= f (7−2 x)，D 正确；
对于B，由f (1+ x)= f (1−x)，得f (2+ x)= f (−x)，则f (−x)=−f ( x)，
若f ( x)为偶函数，则f (−x)= f ( x)，因此f ( x)=0对任意x∈R成立，而没有条件能确保f ( x)=0恒成立，
B 错误.
故选：ACD
【多选题】21．（25-26 高三上·四川成都·期中）已知函数f (x)及其导函数g(x)的定义域均为R.且f (x)为非
常数函数，f (x)+ f (x +2)=6，g(2 x +1)为奇函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．g(1)=0
B．g(x +2)= g(2−x)
C．f (x +3)= f (x)
D．∑
i=1
100
f (i)=300
【答案】ABD
【分析】由奇函数的性质判断出g( x)的图象关于点(1,0)对称可判断A，对f (x)+ f (x +2)=6求导得出
g( x)的对称性判断B，由对称性得出周期性判断C，结合周期性求值判断D．
【详解】A：因为g(2 x +1)为奇函数，所以g(−2 x +1)=−g(2 x +1)，即g(−x +1)=−g( x +1)，
即g(1−x)+ g(1+ x)=0，所以g( x)的图象关于点(1,0)对称且定义域为R，所以g(1)=0，A 正确；
B：由f (x)+ f (x +2)=6，两边求导得f
′( x)+ f
′( x +2)=0，即g( x)+ g( x +2)=0，
又g( x)的图象关于点(1,0)对称，得g( x)+ g(−x +2)=0，所以g( x +2)= g(2−x)，B 正确；
C：因为g(2 x +1)为奇函数，即g(x +1)为奇函数，则g(−x +1)=−g( x +1)，
所以g(−x +1)+ g( x +1)=0⇔f
′(−x +1)+ f
′( x +1)=0，则−f (−x +1)+ f ( x +1)=C（C为常数），
当x =0时，C =−f (1)+ f (1)=0，即f ( x +1)= f (−x +1)，故f ( x +1)为偶函数，
所以f ( x)的图象关于直线x =1对称，则f ( x +2)= f (−x)，又f ( x)+ f ( x +2)=6，
所以f ( x)+ f (−x)=6，所以f ( x)的图象关于点(0,3)成中心对称，
由f ( x)+ f ( x +2)=6得f ( x +2)=6−f ( x)，所以f ( x + 4)=6−f ( x +2)=6−(6−f ( x))= f ( x)，C 错误；
命题角度5：抽象函数与导数
D：由f ( x)+ f ( x +2)=6得f (1)+ f (3)=6，f (2)+ f (4)=6，
所以f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)=12，又f ( x + 4)= f ( x)，
所以∑
i=1
100
f (i)=25[f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4))=25×12=300，D 正确．
故选：ABD
22．（25-26 高三上·福建泉州·期中）已知函数f (x)的定义域为R，且满足y = f(x + 3
2)−2为奇函数，f (x)
的导函数为g(x)，函数y = g(x−1)的图象关于点(2,1)中心对称，则f(
3
2)+ g(2024)=（ ）
A．3
B．−3
C．1
D．−1
【答案】A
【分析】根据奇函数性质确定f(
3
2)的值，由函数对称性推出g( x)的性质，进而求得g(2024)的值，最后
计算两者之和.
【详解】已知y = f(x + 3
2)−2为奇函数，根据奇函数的性质得：f(−x + 3
2)−2=−[f(x + 3
2)−2)，
整理得：f(−x + 3
2)+ f(x + 3
2)= 4，这说明函数f ( x)的图象关于点(
3
2 ,2)中心对称，
令x =0得：f(
3
2)+ f(
3
2)= 4，解得f(
3
2)=2，
由−f
′(−x + 3
2)+ f
′(x + 3
2)=0，即g(x + 3
2)= g(−x + 3
2)，说明g( x)的图象关于直线x = 3
2对称，可得
g(1)= g(2)，
根据图象变换的规律，由y = g(x−1)的图象关于点(2,1)中心对称，
即g( x)的图象关于点(1,1)中心对称，g(1)=1，
则g(x)的周期为T = 4×|
3
2 −1)=2，g(2024)= g(2)= g(1)=1，
故f(
3
2)+ g(2024)=2+1=3.
故选：A.
23．（25-26 高三上·山东德州·月考）已知函数f ( x)的定义域为R，其导函数为g( x)，若函数f (2 x +2)为
偶函数，函数g( x−1)为偶函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数f ( x)关于x =2轴对称
B．函数f ( x)关于(−1,f (−1))中心对称
C．若f (−2)=1,f (5)=−1，则g(26)+ f (16)=−2
D．若当−1≤x ≤2时，f ( x)=e
x +1−1，则当14≤x ≤17时，f ( x)=e
17−x−1
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义及复合函数求导得出轴对称和中心对称，进而求出周期求解判
断各选项.
【详解】对于A，由函数f ( x)的定义域为R，函数f (2 x +2)为偶函数，得f (2 x +2)= f (−2 x +2)，
即f ( x +2)= f (−x +2)，因此函数f ( x)的图象关于x =2轴对称，A 正确；
对于B，由函数g( x−1)为偶函数，得g(−x−1)= g( x−1)，由g( x)是函数f ( x)的导函数，
得f
′(−x−1)−f
′( x−1)=0，即[ f (−x−1)+ f ( x−1)]
′ =0，则f (−x−1)+ f ( x−1)=2C，
C = f (−1)，因此函数f ( x)的图象关于(−1,C )，即(−1,f (−1))中心对称，B 正确；
对于C，由选项A 得f ( x + 4)= f (−x)，由选项B 得f ( x−2)+ f (−x)=2C，
则f ( x + 4)=−f ( x−2)+2C，即f ( x +6)=−f ( x)+2C，因此f ( x +12)=−f ( x +6)+2C
=−[−f ( x)+2C ]+2C = f ( x)，即函数f ( x)是周期为12 的周期函数，又f
′( x +12)= f
′( x)，
即g( x +12)= g( x)，函数g( x)是周期为12 的周期函数，则f (16)= f (4)= f (0)，
又f (−2)+ f (0)=2f (−1)=2f (5)=−2，于是f (0)=−2−f (−2)=−2−1=−3，
由f ( x +2)= f (−x +2)，得g( x +2)=−g(−x +2)，则g(2)=0，g(26)= g(2)=0，
因此g(26)+ f (16)= g(2)+ f (0)=−3，C 错误；
对于D，当14≤x ≤17时，−1≤16−x ≤2，f ( x)= f ( x−12)= f [ 4−( x−12)]
= f (16−x)=e
17−x−1，D 正确.
故选：C
【多选题】24．（25-26 高三上·贵州·月考）已知函数f (x)及其导函数f
′ (x)的定义域均为R，记g(x)= f
′ (x)．
若f (1−x)为偶函数，g(x +3)为奇函数，则（ ）
A．g(x)的图象关于点(1,0)对称
B．g(x)的周期为2
C．g(2025)=0
D．f (x)的图象关于直线x =3对称
【答案】ACD
【分析】由f (1−x)为偶函数，推出−f
′ (1−x)= f
′ (1+ x)，即−g(1−x)= g(1+ x)，判断A；由g(x +3)为
奇函数，可得−g(1−x)= g(1+ x)，继而推出g(x)= g(x + 4)，判断B；利用周期求函数值，判断C；结合
导数和原函数的关系推出f (6−x)= f ( x)，判断D.
【详解】因为f (1−x)为偶函数，所以f (1−x)= f (1+ x)，则−f
′ (1−x)= f
′ (1+ x)，
即−g(1−x)= g(1+ x)，则g(x)的图象关于点(1,0)对称，A 正确；
因为g(x +3)为奇函数，所以g(−x +3)=−g( x +3)，故g(−x)=−g( x +6)，
结合−g(1−x)= g(1+ x)，得−g(−x)= g(2+ x)，即得−g(2+ x)=−g(x +6)，∴g(x)= g(x + 4)，
即g(x)的周期为4，B 错误；
对于C，g(2025)= g(4×506+1)= g(1)，
由−g(1−x)= g(1+ x)，令x =0，得−g(1)= g(1)，∴g(1)=0，故g(2025)=0，C 正确；
对于D，由g(−x +3)=−g( x +3)知g(x)的图象关于(3,0)对称，
即g(6−x)=−g( x)，即f
′(6−x)=−f
′( x)，即得−f (6−x)=−f ( x)+c，（c 为常数），
令x =3，则−f (3)=−f (3)+c，∴c =0，即得f (6−x)= f ( x)，
故f (x)的图象关于直线x =3对称，D 正确，
故选：ACD
25．（25-26 高三上·福建三明·月考）已知函数f (x)及其导函数f
′ (x)的定义域为R，若f
′ (2)=8，函数
f (2 x +1)和f
′ (x +2)均为偶函数，则∑
i=1
2025
f
′ (i)的值为 .
【答案】0
【分析】根据为f (2 x +1)偶函数，得出f
′ (x)关于(1,0)中心对称，再根据f
′ (x +2)为偶函数，得出关于x =2
对称，两者结合得出周期，再利用对称性和周期性，结合赋值法计算即可.
【详解】f (2 x +1)为偶函数，则f (2 x +1)= f (−2 x +1)，左右两边同时求导得，
2f
′ (2 x +1)=−2f
′ (−2 x +1)，将2 x +1看作整体得f
′ (x)=−f
′ (2−x)①，
将y = f
′ (x +2)图象向右平移2 个单位得到y = f
′ (x)，
因为y = f
′ (x +2)为偶函数，则y = f
′ (x)图象关于x =2对称，即f
′ (x)= f
′ (4−x)②，
①②两式联立得−f
′ (2−x)= f
′ (4−x)，即−f
′ (x)= f
′ (x +2)，
用x +2代替x得−f
′ (x +2)= f
′ (x + 4)，故f
′ (x)= f
′ (x + 4)，即y = f
′ (x)的周期为4，
因f
′ (2)=8，则①式中令x =1有f
′ (1)=0，令x =0有f
′ (0)=−f
′ (2)=−8，
②式中令x = 4有f
′ (4)= f
′ (0)=−8，令x =3有f
′ (3)= f
′ (1)=0，
则∑
i=1
2025
f
′ (i)=506[f
′ (1)+ f
′ (2)+ f
′ (3)+ f
′ (4))+ f
′ (1)=0
故答案为：0.
