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平行四边形【章节复习】压轴题--菱形与全等综合
【C6】
1
2
（1 ）
（2 ）
1.
1
（1 ）
【解析】
在菱形
和等边
中，
，
是
的中点．
如图，点
在
边上时．
图
判断
的形状，并证明．
请连接
，若
，
，求
的长．
如图，当点
在
的延长线上时，连结
、
．试判断
、
有怎样的关系，并给予
证明．
图
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
直角三角形；证明见解析．
．
．
如图，
是直角三角形，
图
理由是：∵四边形
是菱形，
，
∴
，
∵
是等边三角形，
∴
，
∴
，
2
2
（2 ）
∴
是直角三角形．
如图，过
作
于
，
图
∵
，
，
∴
，
∴
，
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
是等边三角形，
∴
，
由勾股定理得：
，
由①知：
是直角三角形，且
是
的中点，
∴
．
如图，
，
图
理由是：
延长
交
于点
，连接
，
，
∵
，
是等边三角形，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
3
【标注】
∵
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】菱形的性质
【知识点】菱形与全等综合
【知识点】勾股定理
【知识点】直接用勾股求边长
【知识点】ASA
【知识点】SAS
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
2. 在菱形
中，
．
如图，点
为线段
的中点，连接
、
．若
，求线段
的长．
如图，
为线段
上一点（不含
、
两点），以
为边向上构造等边三角形
，线段
与
交于点
，连接
、
，
为线段
的中点，连接
、
，判断
与
的数量关系，并证明你的结论．
4
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
在（）的条件下，若
，请直接写出
的最小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．证明见解析．
．
过
作
交
延长线于
，
∵四边形
为菱形，
，
∴
，
∵
为
中点，
，
∴
，
∴
，
则
，
，
又∵
，
∴
，则
．
延长
至
，使
，连接
、
．过
作
交
于，
则
≌
，
∴
，
又∵
，
，
，
∴
，
≌
，
∴
，且
，
又∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
．
，
∴最小值为．
5
【标注】【知识点】菱形与全等综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
四边形
是菱形，点
在
上、点
在
上，连接
、
相交于点
，
．
图
图
图
如图，若
，点
和点
重合，求证：
．
如图，求证：
．
如图，若
，
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
易证
≌
．
过点
作
于点
，
过点
作
于点
， ∵
，
， ∴
，
6
（3 ）
【标注】
在四边形
中，
， 又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
过点
作
交
于
，连接
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∵
，
∴
，
由第二问可知：
，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∵
，
设
，
，
，
过点
作
于点
，
∴
，
，
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】菱形与全等综合
菱形
