文档文本内容
1
抛物线与直线：交点与判别式【题集A】
1.
【解析】
【标注】
当
取何值时，抛物线
与直线
：①有两个公共点；②只有一个公共点；③没有公
共点．
【答案】①
有两个公共点
②
只有一个公共点
③
没有公共点.
联立
与
，得
，
化简得：
①若有两个公共点，则
解得：
.
②若只有一个公共点，则
解得：
③若没有公共点，则
解得：
.
【知识点】动直线（线段）与定抛物线交点问题
2.
【解析】
已知抛物线
交轴于
、
两点，且点
在点
的左边，直
线
经过点
．若函数
的图象与轴只有一个公共点，则线段
的长
为 ．
【答案】
∵
在
上，
∴
，
，
，
∴
，
令
，得
或
，
2
【标注】
∵函数图像与轴只有一个公共点，
∴抛物线
的顶点在轴上，且与轴有公共点
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，即
．
【知识点】动直线（线段）与定抛物线交点问题
3.
【解析】
【标注】
在平面直角坐标系中，函数
的图形为
，
关于原点对称的图像为
，
与
组
成的图形称为，则直线
（为常数）与的公共点最多有 个，最少有 个．
【答案】 ;
非常小时，直线
（为常数）与
没有交点，与
有一个交点，所以直线
（
为常数）与有一个交点；
直线
经过
的顶点时，与
有一个交点，共有两个交点；
直线
（为常数）与
有两个交点时，直线
（为常数）与的交点共有3个交点．
故直线
（为常数）与的公共点最多有个，最少有个．
【知识点】动直线（线段）与定抛物线交点问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 如图是二次函数
的图象，其顶点坐标为
．
求出图象与轴的交点
，
的坐标．
在二次函数的图象上是否存在点
，使
，若存在，求出
点的坐标；若不
存在，请说明理由．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图
象，请你结合这个新的图象回答：当直线
与此图象有两个公共点时，直接写出的
取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
或
．
或
．
因为
是二次函数
的顶点坐标，
所以
，
令
，解之得
，
．
，
两点的坐标分别为
，
．
在二次函数的图象上存在点
，使
设
，则
，
又
，
，即
，
二次函数的最小值为
，
．
当
时，
或
．
故
点坐标为
或
．
或
．
【知识点】动直线（线段）与定抛物线交点问题
5. 在平面直角坐标系
中，点
是二次函数
的图象的顶点，一次函数
的图象与轴、轴分别交于点
、
．
4
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
请你求出点
、
、
的坐标．
若二次函数
与线段
恰有一个公共点，求
的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
和
，
．
，当
或
时，抛物线与线段
只有一个交点．
，
∴抛物线的顶点坐标为
，
直线
与轴和轴的交点坐标分别为
和
．
把
代入抛物线的表达式中得到
．
①当
时，
，说明抛物线的对称轴左侧总与线段
有交点，
∴只需要抛物线对称轴右侧与线段
无交点即可，如图，只需要当
时，抛物线的函
数值
即可，
∴
．
又∵
，
∴当
时，抛物线与线段
只有一个交点．
5
【标注】
②当
时，如图，只需
即可，
解得
．
综上，当
或
时，抛物线与线段
只有一个交点．
【知识点】一次函数与二次函数的交点
（1 ）
（2 ）
6. 在平面直角坐标系
中，抛物线
与轴交于点
，顶点为点
，点
与点
关于抛
物线的对称轴对称．
求直线
的解析式．
点
在抛物线上，且点
的横坐标为．将抛物线在点
，
之间的部分（包含点
，
）记为
图象
，若图象
向下平移
个单位后与直线
只有一个公共点，求的取值范围．
6
（1 ）
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵抛物线
与轴交于点
，
∴点
的坐标为
．
∵
，
∴抛物线的对称轴为直线
，顶点
的坐标为
．
又∵点
与点
关于抛物线的对称轴对称，
∴点
的坐标为
，且点
在抛物线上．
设直线
的解析式为
．
∵直线
经过点
和点
，
∴
，解得
．
∴直线
的解析式为
．
∵抛物线
中，
当
时，
，
∴点
的坐标为
．
∵直线
中，
7
【标注】
当
时，
，
当
时，
，
∴如图，点
的坐标为
，点
的坐标为
．
设点
平移后的对应点为点
，点
平移后的对应点为点
．
当图象
向下平移至点
与点
重合时，点
在直线
上方，此时
；
当图象
向下平移至点
与点
重合时，点
在直线
下方，此时
．
结合图象可知，符合题意的的取值范围是
．
【知识点】一次函数与二次函数的交点
7.
【解析】
已知函数
（
是常数），若一次函数
的图象与该函数的图象恰好只有
一个交点，则交点坐标为 ．
【答案】
，
或
，
①当
时，函数
为一次函数
，
令：
，解得
，∴交点为
，
．
②当
时，函数
为二次函数．若一次函数
的图象与函数
的图象只有一个交点，令
，即
，
8
【标注】
由
，得
，此时交点为
，
．
故答案为：
，
或
，
．
【知识点】一次函数与二次函数的交点
（1 ）
（2 ）
（3 ）
8.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知关于的方程
．
求证：无论
取任何实数时，方程恒有实数根．
若关于的二次函数
的图象与轴两交点间的距离为时，求
抛物线的解析式．
在同一直角坐标系
中，画出（）中函数图象示意图，结合图象解决问题：当直线
与（）中的函数图象只有两个交点时，求的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
或
．
或
时或
．
①当
时， 方程为
，解得
，
∴
时，方程有实数根．
②当
时，
则一元二次方程的根的判别式，
，
∴当
时，方程有实数根，
故无论
取任何实数时，方程恒有实数根．
设
，
为抛物线
与轴两交点的横坐标，
则
，
，
则
9
（3 ）
【标注】
，
由
，得
，
∴
或
，
∴
或
，
∴所求解析式为
或
．
在（）的条件下
与抛物线
，
组成的图象只有两个交点，
结合图像求的取值范围． 当
，
联立
，
得：
有
，
得
，
同理，当
时，
联立
，
得：
，
有
，得
，
由图像可知，当
或
时，
直线
与（）中的函数图象只有两个交点，
联立
，
当
时，
解得有
或
，
当
时，
，
∴过抛物线交点
，
的直线为
，
综上所述，当
或
时或
时，
直线
与（）中的函数图象只有两个交点．
【知识点】一次函数与二次函数的交点
10
9.
【解析】
【标注】
对于关于的方程
，当
时，我们可以把它的根理解为二次函数
与轴的交点的横坐标．
（）抛物线
与轴的交点坐标为
和
，则方程
的解为 ．
（）同样的道理，对于关于的方程
，我们可以把它的根
理解为二次函数
与一次函数
的交点的横坐标．若
与
只有一个交点，则的值是 ．
（）若关于的方程
在
范围内只有一个解，则的取值范围
是 ．
【答案】
或
;
;
或
（）抛物线与轴的交点，即为
时，方程的解，
因此
或．
（）抛物线上直线只有一个交点，联立
即可，
，
，
，
，解得
．
（）利用数形结合，如图所示，
①平移
与抛物线相切时，
（同（）），
②过
时，
，
，
过
时，
，
，
∴
．
∴
或
．
【能力】推理论证能力
