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抛物线与直线：交点与判别式【题集B】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
已知抛物线
图象如图所示，把
的图象沿轴翻折，得到抛物线
的图象，抛物线
与抛物线
的图象合称图象
．
求抛物线
的顶点
坐标．
若直线
与抛物线
有且只有一个交点时，称直线与抛物线
相切．若直线
与抛物线
相切，求的值．
结合图象回答，当直线
与图象
有两个交点时，的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
顶点
坐标为
．
整理得：
．
，
．
把①式代入②整理得：
．
，
．
当直线
与图象
有两个交点时，的取值范围为：
．
【知识点】一次函数与二次函数的交点
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
已知二次函数
在
和
时的函数值相等．
y
O
x
求二次函数解析式．
若一次函数
的图象与二次函数的图象都经过点
，求
和的值．
把二次函数的图象与轴两个交点之间的部分记为图象
，把图象
向左平移
个单位
后得到的图象记为
，请结合图象回答：当（）中得到的直线与图象
有公共点时，求的
取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
，
．
．
（）把
和
代入，得
，
得
．
∴
．
，
，
∴
．
图像
：
，
，
平移后的解析式：
，
．
直线解析式为：
．
如果直线与二次函数相切，则方程
，
有两个相等的解．
，
，即
，与
矛盾，
3
【标注】
∴不相切．
故两交点为
，
．
则
，
．
，
．
∴
．
【知识点】定直线（线段）与动抛物线交点问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
二次函数
的图象经过点
，
，且最低点的纵坐标为
．
求
，和的值．
若直线
经过点
，求的值．
记（）中的二次函数图象在点
，
之间的部分图象为
（包含
，
两点），若直线
与
有公共点，请结合图象探索实数的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
，
．
．
的取值范围是
或
．
∵二次函数过点
，
，
∴可知对称轴为直线
，
∴
，
把
代入
得，
，
∴
，
∴
，
把
代入式中可得，
4
（2 ）
（3 ）
【标注】
，
∴
，
，
．
∵直线
经过点
，
代入式中，得
，
∴
．
∵
会经过
点，
如图：
要使直线
与
有公共点，
则要满足的条件，
①
时，在
点处，
，
∴
．
②
时，在
点处，
，
∴
，
综上，的取值范围是
或
．
【知识点】动直线（线段）与定抛物线交点问题
4. 如图，在直角坐标系
中，若抛物线
为常数)的顶点
位于直线
与轴之间的区域(不包括直线
和轴)，则与直线
交点的个数是（ ）．
5
A.
个
B.
个或个
C.
个、个或个
D. 只有个
【解析】
【标注】
x
y
O
【答案】C
当顶点
位于直线
下方时，与直线
交点个数为，
当顶点
位于直线
上时，与直线
交点个数为，
当顶点
位于直线
上方时，与直线
的交点个数为．
故选．
【知识点】一次函数与二次函数的交点
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在平面直角坐标系中，已如抛物线
，其中
为常数．
当抛物线经过点
时，求该抛物线的解析式．
当抛物线与直线
只有一个交点时，求该抛物线的解析式．
当
时，试通过
的取值范围讨论抛物线与直线
的公共点的个数的情况．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
抛物线得解析式为
．
抛物线得解析式为
．
当
或
时，没有公共点，
当
时，有两个公共点，
当
或
时，有一个公共点．
∵过点
，
∴
，
∴
，
∴抛物线得解析式为
．
∵抛物线与直线
只有一个交点，
∴由
可得
，
由
，可得
，
6
（3 ）
【标注】
∴抛物线得解析式为
．
由
可得
，
由
，可得
，此时只有一个公共点，
在直线
上，当
时，
，
当
时，
，
将
代入抛物线
，得
，
将
代入抛物线
，得
，
①当
时，没有公共点，
②当
时，有两个公共点，
③当
时，有一个公共点，
④当
时，没有公共点．
综上，当
或
时，没有公共点，
当
时，有两个公共点，
当
或
时，有一个公共点．
【知识点】一次函数与二次函数的交点
（1 ）
（2 ）
6. 在平面直角坐标系
中，二次函数
的图象经过点
，
，且顶点的
纵坐标为
．
x
–5 –4 –3 –2 –1
1
2 3
4 5
y
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
O
求
，和的值．
记二次函数图象在点
，
间的部分为
（含点
和点
），若直线
与图象
有公
共点，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
，
．
或
．
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（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
∵图象过
，
，
∴对称轴为直线
．
∵顶点纵坐标为
，
∴设
的解析式为
，
∴
时，
．
∴
，
，
．
x
–4 –3 –2 –1
1
2
3
4
y
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
O
由（）知二次函数与轴交于
，
，
又∵
，当
时，
，
∴
恒过点
．
当
过点
时，代入得
，解得
．
当
过点
时，代入得
，解得
．
由图象知
与图像
有交点时，
或
．
【知识点】一次函数与二次函数的交点
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7. 在平面直角坐标系
中，直线
经过点
，将点
向右平移个单位长度，得到点
，抛物线
的顶点为
．
求
的值和点
的坐标．
求点
的坐标（用含的代数式表示）．
若抛物线与线段
只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
．
或
或
．
∵直线
过点
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
向右平移个单位长度后得到点
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵抛物线经过
且对称轴
，
①
时，
∵抛物线与线段
恰有一个公共点，
∴将
代入抛物线得
，
∴
，
∴
．
②
时，
∵抛物线与线段
恰有一个公共点，
将
代入抛物线得
，
∴
，
∴
．
③当抛物线的顶点在线段
上时，则顶点为
，
∴
，
∴
．
综上所述，
或
或
．
【知识点】一次函数平移变换
8. 在平面直角坐标系
中，一次函数
的图象与轴交于点
，与过点
平行于轴的直
线交于点
，点
关于的对称点为点
．
9
（1 ）
1
2
（2 ）
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
x
–10 –8 –6 –4 –2
2
4
6
8
1
y
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
12
O
求点
和点
坐标．
已知某抛物线的表达式为
．
如果该抛物线顶点在直线
上，求
的值．
如果该抛物线与线段
有公共点，结合函数图象，直接写出
的取值范围．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
点
坐标为
．点
坐标为
．
．
．
∵直线
与轴交于点
，
∴点
坐标为
．
∵直线
与过点
且平行于轴的直线交于点
，
∴点
坐标为
．
∵点
关于直线的对称点为点
，
∴点
坐标为
．
∵抛物线的表达式为
，
∴顶点坐标为
，
∵抛物线顶点在直线
上，
∴
，
∴
．
抛物线开口向上，顶点
在
上移动，
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【标注】
x
–10–8 –6 –4 –2
2
4
6
8 1
y
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
12
O
当
过
时，代入得
，
，
当
过
时，代入得
，
，
由图像知
．
【知识点】一次函数与二次函数的交点
A.
B.
C.
或
D.
或
9.
【解析】
二次函数
的图象与一次函数
（
）的图象有且仅有一个交点，
则实数的取值范围是（ ）．
【答案】D
由题意可知：方程
在
上只有一个解，
当
时，
即
，
，
当
时，
此时
，不满足题意，
当
时，
此时
，满足题意，
当
时，
令
，
令
，
，
令
，
，
，
解得：
，
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【标注】
当
时，此时
或，满足题意，
当
时，此时
或
，不满足题意，
综上所述，
或
．
【知识点】一次函数与二次函数的交点
