文档文本内容
1
矩形的性质与判定 题集
1. 矩形性质的探索
【注】：加粗部分是矩形特有的性质
已知四边形
是矩形，图中有4个直角三角形，分别是
有4个等腰三角形，分别是
所以，矩形的有关问题可以转化为等腰三角形和直角三角形（利用勾股定理）来解决
【思考】：
矩形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？是中心对称图形吗？
图形
性质
符号表示
矩形
边
对边平行且相等
，
，
角
四个角都是直角
对角线
对角线相等
对角线互相平分
≌
≌
≌
≌
，
≌
1.
【解析】
如图，矩形
的对角线
，
相交于点
，
，
．则矩形对角线的长等
于 ．
【答案】
∵四边形
是矩形，
∴
，
，
，
∴
，
∵
，
2
【标注】
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
．
【知识点】等边三角形的判定
【知识点】矩形的性质
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，矩形
的对角线
，
的交点为
，点
为
边的中点，
，如果
，那么对角线
的长为（ ）．
【答案】C
在矩形
中，
∵
,
,
,
∴
,
∵点
为
中点，∴
∵
，
,
∴
∴
【知识点】中位线定理及其应用
【知识点】30°特殊角的性质应用
【知识点】矩形的性质
【能力】推理论证能力
3. 为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如下左图）：用钉子将四根木条钉成一个平行
四边形框架
，并在
与
、
与
两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定．课上，李老师右手拿
住木条
，用左手向右推动框架至
（如下右图）． 观察所得到的四边形，下列判断正确
的是（ ）．
3
A.
B.
的长度变小
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】C
由题意可知，所得到的四边形是矩形，根据矩形的性质可知答案为．
【知识点】矩形的性质
4.
【解析】
【标注】
如图，点
是矩形
的对角线
的中点，
是
边的中点．若
，
，则线段
的长为 ．
【答案】
∵四边形
是矩形，
∴
，
，
∴
，即
．
【知识点】矩形的性质
【知识点】勾股树
【知识点】勾股数
A.
盆
B.
盆
C.
盆
D.
盆
5. 八年级（）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线
用了
盆红花，还需要从花房运来红花（ ）．
4
【解析】
【标注】
【答案】A
∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴一条对角线用了
盆红花，中间一盆为对角线交点，
，
∴还需要从花房运来红花
盆．
故选：
．
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
【知识点】矩形的性质
6.
【解析】
如图，矩形
的周长为
，
，
为等腰直角三角形，
，则
．
【答案】
∵矩形
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵矩形
的周长为
，
∴
，
∴
，
5
【标注】
∴
．
【知识点】矩形的性质
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】AAS
【能力】推理论证能力
7.
【解析】
【标注】
如图，
是矩形
的对角线，
、
分别是
、
的中点．若
，则
的长
为 ．
【答案】
连接
，
∵四边形
是矩形，
∴
又∵
、
分别是
、
的中点，
，
∴
，
∴
．
【知识点】矩形的性质
8. 如图，矩形
中，
，
，则图中五个小矩形的周长之和为（ ）．
6
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】D
由题意可知，
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】矩形的性质
【知识点】矩形的周长与面积
总
总
A. 对边相等
B. 对角相等
C. 对角线相互平分
D. 对角线相等
9.
【解析】
【标注】
下列性质是矩形具备但平行四边形不具备的是（ ）．
【答案】D
平行四边形的对角线不一定相等．
【知识点】平行四边形性质综合应用
【知识点】矩形的性质
【能力】推理论证能力
10. 如图，矩形
中，
于
，
，则
的度数为（ ）．
7
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】D
已知
，
，
又因为
，所以
，
根据矩形的性质可得
．
所以
．
【能力】运算能力
【知识点】矩形的性质
A.
B.
C.
D.
11.
【解析】
如图，在矩形
中，
，
是
上一点，且
，则
的度数是（
）．
【答案】C
∵
，
，
∴
，
在
中，
，即
．
又∵在
中，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
8
【标注】
在
中，
．
【知识点】30°特殊角的性质应用
【知识点】矩形的性质
12.
【解析】
【标注】
如图所示，已知长方形
，
，
，过对角线
的中点
作
垂直平分
线
，分别交
、
于点
、
，则
的长为 ．
【答案】
如图，连接
，
∵
垂直平分
，
∴
，
设
，则
，
在
中，
，
即：
，
解得：
，
∴
的长为
．
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
【知识点】勾股定理
【知识点】方程思想在勾股定理的应用
【知识点】矩形的性质
【思想】转化与化归思想
9
A.
B.
C.
D. 不能确定
13.
【解析】
【标注】
如图，已知矩形
，
，
，点
，
分别是
，
上的点，点
，
分别
是
，
的中点，当点
在
上从
向
移动而点
不动时，若
，则
（ ）．
【答案】B
连接
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
又∵
中，
为
中点，
为
中点，
∴
，
∴
．
【知识点】矩形的性质
2. 矩形的判定
【总结】
①证明一个四边形是矩形，一般情况下，先证明它是一个平行四边形，然后证明“一个内角是直角”或
“对角线相等”即可．
②若直接证明一个四边形是矩形，只要证明“三个内角是直角”即可．
③对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
10
A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
B. 有三个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
1.
【解析】
【标注】
下列命题错误的是（ ）．
【答案】C
对角线相等的平行四边形是矩形．
【知识点】矩形的判定-从平行四边形
2.
【解析】
【标注】
如图，在平行四边形
中，下列条件：
①
；②
；③
；④
．
能说明平行四边形
是矩形的有 （填写序号）．
【答案】①④
对角线相等的平行四边形是矩形，故①正确，
邻边相等的平行四边形是菱形，故②不正确，
∵
，∴
，故③不正确，
有一个直角的平行四边形是矩形，故④正确，
故答案为：①④．
【知识点】矩形的判定-从平行四边形
3. 已知：线段
，
，
．
求作：矩形
．
以下是小林同学的作业：
11
【解析】
【标注】
小林：①以点
为圆心，
长为半径作弧；
②点
为圆心，
长为半径作弧；
③两弧在
上方交于点
，连接
，
．
四边形
即为所求矩形．（如图）
图
根据小林的作图过程，填写下面推理的依据：
证明：∵
，
，
∴四边形
为平行四边形，（ ）
又∵
，
∴平行四边形
为矩形．（ ）
【答案】对边相等的四边形是平行四边形 ; 有一个角是直角的平行四边形是矩形
∵
，
，
∴四边形
为平行四边形，（对边相等的四边形是平行四边形）
又∵
，
∴平行四边形
为矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
【知识点】矩形的判定-从平行四边形
4. 如图，在
中，
，
平分
．四边形
是平行四边形，
交
于点
，连接
．求证：四边形
是矩形．
【答案】证明见解析．
12
【解析】
【标注】
∵
，
平分
，
∴
，
．
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∴
，
，
∴四边形
是平行四边形．
∵
，
∴
，
∴平行四边形
是矩形．
【知识点】矩形的判定-从平行四边形
5.
【解析】
在平行四边形
中，点
、
分别在
、
上，且
，连接
，
．若
，求证：四边形
为矩形．
【答案】证明见解析．
∵
为平行四边形，
∴
，
，
．
∵
，
∴
，
≌
，
∵
，
∴
为平行四边形，
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
为矩形．
13
【标注】【知识点】矩形的判定-从四边形
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，四边形
中，对角线
、
相交于点
，
，
，且
．
求证：四边形
是矩形．
若
交
于
，
，则
的度数是多少？
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴四边形
是矩形．
∵
，
，
∴
∵四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】矩形的性质
【知识点】矩形的判定-从四边形
【能力】推理论证能力
7. 如图，将平行四边形
的边
延长到点
，使
，连接
，交
于点
．
14
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
≌
．
若
，连接
、
，求证：四边形
是矩形．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
∵
，
，
，
∴
≌
（
）．
∵
，
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
又∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴四边形
是矩形．
【知识点】矩形的判定-从平行四边形
15
