第26 讲 导数同构 · 分类练习
考点一：同构变形与解方程、求值
考法1：构造同构解方程或求值
1.（2026·安徽A10 联盟·5 月模拟）已知正实数x , y满足ln(2 x)+ ln y = x +2 y -2，则x
y - y
x =
（ ）
A. √2
4
B. 1
2
C. √2
2
D. 1
2.设x , y ∈R，满足{
( x -1)
5+2 x +sin( x -1)=3
( y -1)
5+2 y +sin( y -1)=1，则x + y =（ ）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
3.在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方
程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于a的方程ae
a-2=e
4和关于b的方程
b(ln b-2)=e
3 λ -1(a,b∈R
+)可化为同构方程，则ab的值为（ ）
A. e
8
B. e
C. ln6
D. 1
4.（2026·山东济宁·三模）已知实数x , y满足y
x -1+( x -1)(ln y -1)= ln( x -1)，则y的取值范
围是＿＿＿＿＿＿.
考点二：利用同构比较大小与求最值
考法2：利用同构比较大小
5.已知a,b,c∈( 1
e ,+∞)，且ln5
a =-5ln a，ln3
b =-3ln b，ln2
c =-2ln c，则（ ）
A. b<c<a
B. c<b<a
C. a<c<b
D. a<b<c
6.已知0< x< y <π，且e
ysin x =e
xsin y，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的
是（ ）
A. cos x +cos y <0
B. cos x +cos y >0
C. cos x>sin y
D. sin x>sin y
考法3：利用同构求函数最值
7.（2025·江西萍乡·二模）已知定义在R上的函数f ( x)满足：f ( π
2 )= 1
2e，且∀x , y ∈R，
都有e
sin x⋅f ( y)-e
sin y⋅f ( x)≥(e
2sin x -e
2sin y)⋅f ( x)⋅f ( y)恒成立，则f ( x)的最大值为
（ ）
A. 1
2e
B. 1
e
C. e
D. 2e
8.（2025·河北NT20·二模）若存在x1∈(1,+ ∞)，x2∈(e ,+∞)使得x1 x2=e
x1⋅ln x2成立，则
4 x1- x2的最大值为（ ）
A. 4 ln 2-2
B. 4 ln 2- 4
C. 8 ln 2-2
D. 8 ln 2- 4
9.（2026·湖南师大附中·5 月模拟）已知函数f ( x)= x e
x , g( x)=e x(1+ ln x)，若
f ( x1)= g( x2)=m,m>0，则x1⋅x2⋅ln m的最小值为（ ）
A. - 1
e
2
B. 1
e
2
C. -1
D. e
2
10.（2025·河北衡水中学·综合评价）若正实数a,b满足a(ln b- ln a+a)≥be
a-1，则1
ab的最小
值为＿＿＿＿＿＿.
11.已知f ( x)= x
2023.设实数m>0，若对任意的正实数x，不等式f (e
mx)≥f ( ln x
m )恒成立，则m
的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考点三：利用同构研究零点与交点问题
考法4：利用同构研究函数零点或方程根的个数
12.（2026·华中师大一附中·5 月模拟）已知关于x的方程2e
λx+( λ -1)x + ln 2
x =0有两个不等
实根，则λ的取值范围为（ ）
A. (0,e
2)
B. (0, 1
e )
C. (0, 1
2e )
D. (0, 1
e
2 )
考法5：利用同构求函数交点问题
13.已知函数f ( x)= ax
e
x 和g( x)= ln x
ax 有相同的最大值b.
（1）求a,b；
（2）证明：存在直线y =m，其与两条曲线y = f ( x)和y = g( x)共有三个不同的交点，并且
从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
14.已知函数f ( x)=ax(1- ln x)和g( x)= b ln x
x
有相同的最大值，并且ab=e.
（1）求a,b；
（2）证明：存在直线y =k，其与两条曲线y = f ( x)和y = g( x)共有三个不同的交点，且从
左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
考点四：利用同构解决不等式恒成立问题
考法6：指对数混合同构求参数范围
15.（2026·山东东营·二模）已知函数f ( x)=e
x +m- ln x +m,m∈R，若f ( x)≥0恒成立，则m
的取值范围为（ ）
A. (-1,+ ∞)
B. [-1,+ ∞)
C. (-∞,-1]
D. (-∞,-1)
16.（2026·湖南湘一名校联盟·二模）若关于x的方程e
x =a ln( x -1)+a ln a-a在(1,+ ∞)上有
解，则实数a的取值范围是（ ）
A. (0,2]
B. [2,+∞)
C. (0,e
2]
D. [e
2,+ ∞)
17.（2026·河北衡水·4 月检测）若∀x∈(0,+∞)，(a+2e
x)x ≥e
x[2ln(ax)+1]，则a的取值
范围为＿＿＿＿＿＿.
18.完成下列各问
（1） 已知函数f ( x)= x e
x -a( x + ln x)，若f ( x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是＿＿＿＿
＿＿；
（2） 已知函数f ( x)= x e
x -a( x + ln x +1)，若f ( x)≥0恒成立，则正数a的取值范围是＿＿
＿＿＿＿；
（3） 已知函数f ( x)= x e
x+e -a( x + ln x +1)，若f ( x)≥0恒成立，则正数a的取值范围是＿
＿＿＿＿＿；
（4） 已知不等式x e
x -a( x +1)≥ln x对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是＿＿＿＿
＿＿；
（5） 已知函数f ( x)= x
be
x -a ln x - x -1( x>1)，其中b>0，若f ( x)≥0恒成立，则实数a与b
的大小关系是＿＿＿＿＿＿；
（6） 已知函数f ( x)=ae
x - ln x -1，若f ( x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿
＿；
（7） 已知函数f ( x)=ae
2 x - ln 2 x -1，若f ( x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是＿＿＿＿
＿＿；
（8） 已知不等式e
x-1≥kx + ln x，对∀x∈(0,+∞)恒成立，则k的最大值为＿＿＿＿＿＿；
（9） 若不等式ax + x e
-ax - ln x -1≥0对x>0恒成立，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿；
考法7：其他类型同构求参数范围
19.（2026·河北沧州十二校·一模）已知函数f ( x)=e
x，g( x)= ln x
x （e为自然对数的底数，
e≈2.71828⋯）
（1） 证明：当x∈(-2,0)时，f ( x)< 1
3 x +1；
（2） 关于x的方程f [ g( x)]=e x
a的一个实数根为x = x0，其中x0∈(e
-2,1)，
①求实数a的取值范围；
②证明：1
a <ln 1
x0
< 1+√1+9a
3a
.
考点五：利用同构证明不等式与极值点偏移
考法8：利用同构证明不等式
20.已知函数f ( x)=ax ln x - x +1，a∈R.
（1） 讨论f ( x)的单调区间；
（2） 当p>q>1时，证明q ln p+ ln q< p ln q+ ln p.
21.已知函数f ( x)=e
2 x- 1
x .
（1） 讨论函数f ( x)的零点的个数；
（2） 证明：x e
2 x - ln x -2 x -
1
x +1 >0.
考法9：利用同构处理极值点偏移问题
22.（2026·广东梅州·一模）已知函数f ( x)= 1
x -aln x - x，g( x)= x ln x - x +1.
（1）若f ( x)在(0,+∞)上单调递减，求a的取值范围；
（2）若曲线y = f ( x)与y = g( x)在x =1处有相同的切线，
（i）求a的值；
（ii）若f ( x1)= g( x2)，证明：x1⋅x2≤1.
23.（2026·江西南昌·一模）已知函数f ( x)=- x ln x +(ln a+1)x.
（1）求函数f ( x)的单调区间；
（2）设函数f ( x)的零点为x0，设曲线y = f ( x)在( x0,0)处的切线为y =kx +m，求证：
f ( x)≤kx +m.
（3）当1
e ≤a≤1时，设∀x1, x2∈(0,+ ∞)，且满足f ( x1)- f ( x2)=1，求证：e
x2-e
x1> 1
a.
24.（2026·浙江强基联盟·3 月联考）已知函数f ( x)=e
x，g( x)= x
ln x （e为自然对数的底数，
e≈2.71828⋯）
（1）证明：当x∈(-2,0)时，f ( x)< 1
3 x +1；
（2）关于x的方程f [ g( x)]=e x
a的一个实数根为x = x0，其中x0∈(e
-2,1)，
①求实数a的取值范围；
②证明：1
a <ln 1
x0
< 1+√1+9a
3a
.
25.（2026·湖南湘一名校联盟·二模）已知函数f ( x)= x ln x.
（1）求函数f ( x)的单调区间；
（2）若过点P(a,0)可作曲线y = f ( x)的两条切线，求a的取值范围；
（3）若曲线y = f ( x)的切线l过点P(a,0)，其中a>1，求证：曲线上除切点外的点都在直线
l的上方.
