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重难点专训03 函数中的新定义问题
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................2
题型一：狄利克雷函数........................................................................................................................................2
题型二：黎曼函数................................................................................................................................................6
题型三：最值函数................................................................................................................................................8
题型四：利普希兹条件函数..............................................................................................................................13
题型五：k 倍距增/减函数..................................................................................................................................15
题型六：迭代函数..............................................................................................................................................19
题型七：定义新运算..........................................................................................................................................23
题型八：定义新概念..........................................................................................................................................26
题型九：定义新性质..........................................................................................................................................30
重难专题分层过关练..........................................................................................................................36
巩固过关...............................................................................................................................................................36
创新提升...............................................................................................................................................................46
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、解决函数新定义问题
首先需通过举例转化抽象概念：选取简单数值（如 0、1、特殊函数）代入新定义，观察运算结果或
对应关系，将抽象规则具象化，帮助快速把握核心逻辑；同时尝试用自己的语言转述定义，若能清晰描述
其本质（如运算方式、对应法则），则说明理解到位，避免因表述模糊导致偏差。
接着要衔接已有知识：分析新定义与课本中函数性质（如单调性、奇偶性）、运算（如复合函数、分
段函数）的联系与区别，若为课本知识的推广，需明确其适用范围及与原有概念的差异（如定义域拓展、
规则变化）。
最后结合新定义的本质特征，套用或迁移熟悉的解题方法（如数形结合），按定义逐步推导，验证结
果是否符合所有限制条件，确保逻辑严谨。
题型一：狄利克雷函数
典例1-1．波恩哈德·黎曼是德国著名数学家，黎曼函数是他发现并提出的，其解析式为：
，若函数
是定义在实数集上的偶函数，且
对任意x 都有
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】若函数
是定义在实数集上的偶函数，且对任意x 都有
，
可得
，故偶函数
是周期为4 的周期函数，
由
，当
时，
，
，由
且
为无理数，
，
，
所以
故选：D．
典例1-2．黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义
是：
（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），若
是奇函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】∵
是定义在R 上的奇函数，且
，
∴
，∴
，
∴函数
是以
为周期的周期函数，
则
，
，
∴
.
故选：B.
变式1-1．（多选）波恩哈德·黎曼是德国著名的数学家，他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，
开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为
，其解析式为：
，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于
的不等式
的解集为
【答案】ACD
【详解】解:对于选项A，当
时，
，当
时，
，
而
，当
时，
，
若
是无理数，则
是无理数，有
，
若
是有理数，则
是有理数，当
,(
正整数数，
为最简真分数），
则
,（
为正整数数,
为最简真分数）,
此时
，综上:
时，
，所以选项A 正确，
对于选项B，取
，则
,
所以
,所 以选项B 错误，
对于选项C，当
和无理数时，
，显然有
，
当
（
是正整数，
是最简真分数）时，
,
，故
，
当
时，
，有
，
当
时，
，
，有
，
当a 为无理数，
时，
，有
，
综上:
，所以选项C 正确；
对于选项D，若
或
或
内的无理数，此时
，显然
不成立，
当
(
正整数数，
互质)，由
，得到
，
整理得到
.又
正整数，
互质，所以
，所以
，所以选项D 正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：根据黎曼函数的定义，对每个选项的情况分别分成
或
或
内的无理数
以及有理数讨论.
变式1-2．黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的
应用，黎曼函数定义在
上，
．
(1)求
，
，
；
(2)请用描述法写出满足方程
的解集；
(3)解不等式
；
【答案】(1)
，
，
.
(2)
为大于1 的正整数
.
(3)
.
【详解】（1）因为
，
所以
，
，
.
（2）依题意，
，
当
时，
，则方程
无解，
当
为
内的无理数时，
，则方程
无解，
当
（
，
，
为既约真分数）时，则
，
为大于的正整数.
则由方程
，解得
，
为大于的正整数，
综上，方程
，
的解集为
为大于的正整数
.
（3）若
或
或
为
内无理数时，
，
而
，此时
，
若
（
，
，
为既约真分数），
则
，
为大于的正整数，
则
，得
，解得
，
又因为
（
，
，
为既约真分数），所以
，
，
综上，等式
的解为
.
题型二：黎曼函数
典例2-1．记实数
中的最大数为
，最小数为
，则关于函数
的说法中正确的是（ ）
A．方程
有三个根
B．
的单调减区间为
和
C．
的最大值为
D．
的最小值为
【答案】A
【详解】由
的定义作出函数
图象，如图，
由图象可知：
对于A，
的图象与直线
有且仅有三个不同交点，即
有三个根，A 正确；
对于B，
的单调递减区间为
和
，B 错误；
对于C，
，C 正确；
对于D，
无最小值，D 错误.
故选：A
典例2-2．定义
，设函数
，
，记函数
，
且函数
在区间
的值域为
，则
的最大值为（）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】D
【详解】令
,即
,解得
,
令
,即
,解得
或
,
所以
又
，
要使函数
在区间
的值域为
,
当
时,
,当
时,
,
则当
时
的长度取得最大值2.
故选：D.
变式2-1．设
，函数
的最小值为－1，则
.
【答案】e
【详解】①当
时，
，当x 趋于正无穷时，
与
均趋于负无穷，
无最小值，
不符合题意；
②当
时，
，
而
，当
时，
，
所以
的最小值为0，不符合题意；
③当
时，
，
的大致图象如图，设
的最小值为
.
令
，可得
，消去
得
，解得
（舍去）或
.
故答案为：e.
变式2-2．对于实数
，
，
，记
为
，
，
中的最大者，例如：
，
．若非负实数
，
满足
，则
的最小值为 ．
【答案】36
【详解】方法一：（配凑系数法）令
，则
．
为非负实数，且
，
，因此
．
且当
时，
的最小值为36.
方法二：（转化为一元函数）由
得
，
令
，则
，在同一坐标系下画出函数
的图象，如图．则函数
的图象是图中的实
线部分，显然点
是图象的最低点．
题型三：最值函数
典例3-1．已知函数
的定义域为
，若存在常数
，使得对
内的任意
，
，都有
，则称
是“
利普希兹条件函数”.
(1)判断函数
是否为“
利普希兹条件函数”，并说明理由；
(2)若函数
是周期为2 的“
利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的
，均有
.
【答案】(1)
与
是“
利普希兹条件函数”，理由见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由题知，函数
的定义域为
，
所以
，
即
，
所以函数
是“
利普希兹条件函数”；
函数
的定义域为
，
所以
，
，
所以
，
所以函数
是“
利普希兹条件函数”；
（2）若
，
当
，则
；
若
，设
，
则
，
所以对任意的
，都有
，
因为函数
是周期为
的周期函数，
所以对任意的
，都存在
，使得
，
，
所以
，
综上可得对定义域内任意的
，均有
.
【点睛】关键点点睛：本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知
识，紧紧抓住定义.
典例3-2．利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设
定义在
上的函数，若对于
中任意两点
，都有
，则称
是“
-利普希兹条件函
数”.
(1)判断函数
，
在
上是否为“1-利普希兹条件函数”；
(2)若函数
是“
-利普希兹条件函数”，求
的最小值；
(3)设
，若存在
，使
是“2024-利普希兹条件函数”，且关于
的方程
在
上有两个不相等实根，求
的取值范围.
【答案】(1)函数
在
上是，函数
在
上不是
(2)1
(3)
【详解】（1）由题知，函数
，定义域为
，
所以
，
所以函数
在
上是“1-利普希兹条件函数”.
函数
，所以
，
当
时，则
，
函数
在
上不是“1-利普希兹条件函数”.
（2）若函数
是“
利普希兹条件函数”
则对于定义域
上任意两个
，均有
成立，
则
恒成立
因为
，
，所以
，得
，
所以
的最小值为1.
（3）解：因为函数
是“2024-利普希兹条件函数”，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，由
，
得
原方程
在
上有两个不相等实根等价于
①,在
上有两个不相等实根
令
，
，
则①式等价于关于
的方程
在
上有两个不相等实根，
即
，令
,
所以问题等价于直线
与函数
的图象在
上有两个不同的交点，如图.
则
，所以
又
，所以
使得以上不等式成立，
所以
.
【点睛】本题考查了函数新定义问题，函数与方程的综合应用，零点存在性定理的应用和不等式问题，考
查了转化思想和数形结合能力，属于难题.
变式3-1．已知函数
，
，若存在常数k（
），使得对定义域D 内的任意
（
），
都有
成立，则称函数
在其定义域D 上是“k-利普希兹条件函数”
(1)判断函数①
，②
是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
(2)若函数
（
）是“k-利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；
(3)若
是定义在闭区间
上的“2-利普希兹条件函数”，且
，求证：对任意的
都有
．
【答案】(1)
是，
不是
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）对于函数
，
不妨设
，则
，符合题意，
所以函数
是“1-利普希兹条件函数”，
对于函数
，
因为
，
所以函数
不是“1-利普希兹条件函数”；
（2）若函数
（
）是“
利普希兹条件函数”，
则对定义域
内任意
（
），均有
，
即
，
设
，
则
，即
，
因为
，
所以
，所以
所以
的最小值为
；
（3）设
，
当
时，
因为
是定义在闭区间
上的“2-利普希兹条件函数”，
所以
，
当
时，由
，得
，
故
恒成立，综上所述，
，
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数新定义问题，解决本题的关键在于理解“k-利普希兹条件函数”.
变式3-2．若存在常数
，使得对定义域
内的任意
，都有
成
立，则称函数
在其定义域
上是“
利普希兹条件函数”．
(1)请写出一个“
利普希兹条件函数”（要求明确函数的表达式、
的值及定义域
）；
(2)若函数
是“
利普希兹条件函数”，求常数
的取值范围；
(3)判断函数
是否是“
利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由.
【答案】(1)
，定义域
，
等（答案不唯一）
(2)
(3)不是，理由见解析
【详解】（1）解：
，定义域
，
等（答案不唯一）
（2）若函数
是“
利普希兹条件函数”，
则对于定义域
内的任意
，都有
成立，
不妨设
，则
恒成立，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
的取值范围是
；
（3）函数
的定义域是
，
令
，
则
，
而
，
所以
，
所以函数
不是“
利普希兹条件函数”.
题型四：利普希兹条件函数
典例4-1．对正整数
，函数
是小于或等于
的正整数中与
互质的数的数目．此函数以其首名研究者
欧拉命名，故称欧拉函数．例如
，则
（ ）
A．52
B．53
C．54
D．55
【答案】C
【详解】因为
，
所以
．
因为除了3 的倍数外，其他数都与81 互质，
所以
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了函数的新定义，互质的概念，考查了对数的运算，属于中档题.
典例4-2．（多选）若正整数
的公约数只有1，则称
互质.设
为正整数，则函数
表示小于或等
于
且与
互质的正整数的个数，例如，
.函数
以其首位研究者欧拉命名，
称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】因为小于或等于5 的正整数中与5 互质的正整数为1，2，3，4，
小于或等于
的正整数中与
互质的正整数为1，3，7，9 ，所以
，故A 正确；
当
时，
，故B 错误；
因为小于或等于32 的正整数中与32 互质的正整数为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，
21，23，25，27，29，31，共16 个，所以
，故C 正确；
因为当
时，
，故D 错误，
故选：AC.
变式4-1．（多选）欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数n，欧拉函数
表示小于或等
于n且与n互质的正整数的数目．换句话说，
是所有不超过n且与n互素的数的总数．如：
，
．则以下是真命题的有（ ）
A．
的定义域为
，其值域也是
B．
在其定义域上单调递增，无极值点
C．不存在
，使得方程
有无数解
D．
，当且仅当n是素数时等号成立
【答案】ACD
【详解】对于A，根据欧拉函数的定义，可得欧拉函数的定义域为
，其值域也是
，所以A 正确；
对于B，欧拉函数在其定义域上不是单调递增的，如
，所以B 错误;
对于C，由于
的值域为
，所以不存在
，使方程
有无数解,故C 正确;
对于D，因为
的素因数都是大于1，，所以
，当且仅当
时素数时等号成立，故D 正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解欧拉函数的定义和性质，以及与素数的关系.
变式4-2．（多选）已知欧拉函数
，其中
的值等于所有不超过
且与
互质的正整数的
个数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】因为不超过4 且与4 互质的正整数有1，3，所以
，A 正确.
因为不超过10 且与10 互质的正整数有1，3，7，9，所以
，
又因为不超过5 且与5 互质的正整数有1，2，3，4，所以
，B 正确.
因为在
，
，
中，与
互质的正整数只有
，
，
所以
，C 错误，D 正确.
故选：ABD.
题型五：k 倍距增/减函数
典例5-1．已知函数
的定义域为
，若
，都有
，则称函数
为“ 距”
增函数．若函数
，且
是
上的“3 距”增函数，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
函数
，且
是
上的“3 距”增函数，
当
时，
恒成立．
又
为增函数，
．
当
时，
，即
恒成立，
于是
，解得
；
当
时，
，即
恒成立，
整理得
，解得
．
综上，实数
的取值范围为
．
故选：B．
典例5-2．若对于定义域内的任意
，都有
，其中
为正常数，则称函数
为“
距”
增函数，这种性质在数学和物理中都有广泛的应用．
(1)若
，试判断
是否为“2 距”增函数；
(2)假设函数
为“2 距”增函数，求
的最小值．
【答案】(1)是
(2)
【详解】（1）由
得，
故
，即函数
是“2 距”增函数．
（2）因为
，
即
，
所以
对任意
都成立，
故
对任意
都成立，
则易得
．
①当
时，判断
在
上单调递增，
所以
．
②当
时，任取
，且
，
令
，则
由
，得
，
，即
，
，即
，
在
上单调递增，
．
③当
时，由
，得
，
，即
，
，即
，
在
上单调递减，同理可证
在
上单调递增，
．
综上所述，
．
变式5-1．定义：若对定义域内任意
，都有
（
为正常数），则称函数
为“
距”
减函数.
(1)若
，判断
是否为“1 距”减函数，并说明理由；
(2)若
是“
距”减函数，求实数
的取值范围；
(3)已知
，其中
，若
是“2 距”减函数，求实数
的取值范围及
的最大值.
【答案】(1)
是“1 距”减函数，理由见解析
(2)
(3)
；
.
【详解】（1）
是否为“1 距”减函数，
对任意
，
，
因为
，
所以
，即
，
所以
是 “1 距”减函数.
（2）因为
，
又
是“
距”减函数，
所以
恒成立，
因为
，所以
恒成立，
所以
，即
，
解得
.
（3）因为
，其中
，且为“2 距”减函数，
所以当
时，
恒成立，
因为
是减函数，
所以根据复合函数单调性可知
对
恒成立，
当
时，
，即
恒成立，
只需
，即
，解得
，
综上所述
，
又
，
因为
，所以当
时，
在
时取得最小值，最小值为
，
此时函数
的最大值为
，
当
时，
在
时取得最小值，最小值为
，
此时函数
的最大值为
，
综上
.
变式5-2．定义：若对定义域内任意
，都有
（
为正常数），则称函数
为“
距”
增函数.
(1)若
，试判断
是否为“1 距”增函数，并说明理由；
(2)若
是“
距”增函数，求
的取值范围；
(3)若
，其中
，且为“2 距”增函数，求
的最小值.
【答案】(1)
是“1 距”增函数，理由见解析
(2)
(3)当
时，
，当
时，
.
【详解】（1）对任意的
，
故
是“1 距”增函数；
（2）
，
又
为“
距”增函数，
所以
恒成立，
因为
，
所以
恒成立，
所以
，所以
，故
；
（3）因为
，
其中
，且为“2 距”增函数，
所以当
时，
恒成立，
增函数，
当
时，
，
即
恒成立，
，解得
，
当
时，
，
即
恒成立，
所以
，解得
，
所以
.
令
，则
.
①当
时，即
时，
当
时，
②当
时，即
时，
当
时，
综上，当
时，
当
时，
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定
义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现
象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万
变才是制胜法宝.
题型六：迭代函数
典例6-1．记
，若
（
且
），则称
是
的n
次迭代函数．若
，则
（ ）
A．
B．
C．2022
D．2023
【答案】B
【详解】根据题意，
，即
，则
，
，
，故有
，
所以
，故
.
故选：B．
【点睛】准确理解题干给出的“ n 次迭代函数”的概念并正确应用，是解决本题的关键.
典例6-2．（多选）设函数
的定义域为
，若
，记
为
在
上的2 次迭
代，
为
在
上的3 次迭代，依次类推，
为
在
上的
次迭代，即
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
能被17 整除
D．若
，则
【答案】AC
【详解】对于选项A：若
，
则
，
所以
，故A 项正确；
对于选项B：由
，
得
，
所以
，解得
或
，故B 项错误；
对于选项C：若
，则
，
所以
，
所以
能被17 整除，故C 项正确；
对于选项D：若
，
则
，
，
所以
是以2 为一个周期的迭代函数，所以
，故D 项错误．
故选：AC．
【点睛】关键点点睛：准确理解题干给出的“ n 次迭代函数”的概念并正确应用，是解决本题的关键.
变式6-1．已知函数
，
表示函数
的
次迭代函数，
，
.
(1)若
，求
，
，
，
；
(2)若存在正整数
，使得对于任意的正整数
，均有
成立，则称函数
是
次迭代周期函
数，正整数
为函数
的选代周期.若
，求
的选代周期.
【答案】(1)
，
，
，
；
(2)3.
【详解】（1）
，
，
则
，
，
，
易知，继续迭代会出现三个一循环的特点，
……
于是
.易知
（2）
，
，
则
，
，
，
故
的选代周期为.
变式6-2．设
，如果函数
：
的值域也是
，则称之为一个泛函数，并定义其迭代
函数列
：
，
.
(1)请用列表法补全如下函数列；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
1
7
5
3
4
9
10
(2)求证：对任意一个
，存在正整数
（
是与有关的一个数），使得
；
(3)类比排序不等式：
，
，把
中的10 个元素按顺序排成一列记为
，使得10 项数列
：
，
，
，…，
的所有项和最
小，并计算出最小值
及此时对应的
.
【答案】(1)列表见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
1
7
5
3
4
9
10
1
2
9
3
7
5
（2）按泛函数的定义，
①
任取
，则
，所以，其中必有两个相等.
情形一，存在
，则取
即可；
情形二，存在
，由①，得
，
连续应用①
次，即得
，取正整数
即可.
综上，命题得证.
（3）因为
，所以2520 是
的公倍数，
从而2520 是（2）中每个
的倍数，因此
，
，
故
，
由排序不等式，可知当
时，
最小，并且
.
题型七：定义新运算
典例7-1．已知a，
，定义运算“
”：
，设函数
，
，
若函数
的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
由
，
可得
，
即
，
因为
，所以
，解得
，
所以当
时，
，
所以当
时，
.
即
，
因为函数
的图象与
轴恰有两个公共点，
即函数
的图象恰有两个公共点，
在同一坐标系中，作出函数
的图象，如图所示：
由图象知：
，
则实数的取值范围是
故选：A
典例7-2．设
，定义运算“
”和“
”如下：
.若正数m，n，p，
q 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由运算“
”和“
”定义知，
表示数m，n 较小的数，
表示数m，n 较大的数．
当
时，
，故选项A、C 错误；
当
时，
，故选项B 错误；
，且
，
，故选项D 正确；
故选：D.
变式7-1．（多选）定义两个实数间的一种新运算“*”：
，
．当
时，记
．对于任意实数
，给出如下结论，正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABCD
【详解】对于A，可知
，
，
所以
，故A 正确；
对于B，
，
所以
，故B 正确；
对于C，
，
，
所以
，故C 正确；
对于D，设
满足
，所以
且
，
，
从而
，故D 正确.
故选：ABCD．
变式7-2．对于实数
和
，定义运算“*”：
，设
，若函数
（
）恰有三个非零的零点
，
，
，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】当
，即
时，
，
当
，即
时，
，
所以
，
因为
有三个非零的零点，
所以
与
的图象有三个交点且交点横坐标不为零；
即
与函数
有三个交点，
作出
的图象，如图，其中
时，函数
最大值为
，
所以
，
不妨设
，易知
,且
，所以
，
由
，解得
，
所以
，所以
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：本题关键在于将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，注意数形结合.
题型八：定义新概念
典例8-1．（多选）设函数
在
上有定义，对于任一给定的正数
，定义函数
，则称函数
为
的“
界函数”．若给定函数
，
，
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】因为
，
，所以
，
列表解析：
选项
正误
原因
A
√
，
．
B
×
，
．
C
√
，
．
D
√
，
．
故选：ACD.
典例8-2．定义：若函数
对定义域内的每一个值
，在其定义域内都有唯一的
，使得
成立，则称该函数
为“伴随函数”．
(1)判断
是否为“伴随函数”并说明理由；
(2)若函数
在定义域
上为“伴随函数”，求
的值；
(3)已知函数
在定义域
上为“伴随函数”，若
，
，恒有
，求
的取值范围．
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
(3)
【详解】（1）函数
的定义域为
，
取
，则
，此时，不存在
，
使得
，因此，函数
不是“伴随函数”．
（2）因为函数
在定义域
上单调递增且为“伴随函数”，
所以存在
，使得
成立．
若
，则
；
根据题意，存在
，使得
成立，
若
，则
，矛盾．
故
，
所以
．
（3）若
，则当
时，
，
此时，不存在
，使得
，则函数
不是“伴随函数”，
所以
，所以函数
在
上单调递增，
则
．
由“伴随函数”的定义可得
，
因为
，所以
，即
．
当
时，
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
因为
，恒有
，
所以
，即
在
上有解．
令
，则
，则
，
令
，则函数
在
上单调递增，
所以
．
则
，因此实数
的取值范围是
．
变式8-1．欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数
研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数
，如果对于其定义域
中
任意给定的实数
，都有
，并且
，就称函数
为“倒函数”.
(1)判断函数
是不是倒函数，并说明理由；
(2)若函数
是定义在
上的倒函数，且当
时，
，求函数
的解析式.
【答案】(1)函数
是倒函数，理由见解析；
(2)
.
【详解】（1）函数
是倒函数，理由如下：
因为函数
的定义域为
，对任意的
，
函数
是倒函数.
（2）当
时，
，而当
时
，
所以
，
由倒函数的定义
，可得
，
综上，函数
的解析式为
.
变式8-2．对于函数
，若在定义域内存在实数
，满足
，则称
为“局部反比例对
称函数”．
(1)用定义证明函数
在
为单调递增函数；
(2)已知函数
，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由；
(3)若
是定义在区间
上的“局部反比例对称函数”，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
不是“局部反比例对称函数”，理由见解析
(3)
【详解】（1）证明：根据题意，
，设
，则
.
则有
，即
，
所以函数
在
为单调递增函数.
（2）根据题意，
不是“局部反比例对称函数”，理由如下：
已知函数
，若
，则
，
即
，所以
，所以方程
无实数解，
即不存在实数
，使
成立，
故
不是“局部反比例对称函数”.
（3）根据题意，
是定义在区间
上的“局部反比例对称函数”，
则方程
，即
在
上有解.
整理得：
.
令
，由
，得
，
所以问题转化为方程
在
上有解.
设函数
，则其图象开口向上，对称轴为
.
分类讨论：
①当
时，只需
，即
，
解得
，所以
；
②当
时，只需
，即
，
解得
，所以
.
综上，实数
的取值范围为
.
题型九：定义新性质
典例9-1．若函数
满足：对任意
，都有
则称函数
具
有性质P．请判断下列两个命题的真假性（ ）
①已知函数
具有性质P，且值域是一个开区间Ⅰ，则
是奇函数；
②已知函数
具有性质P，
，若
在R 上严格增，则
是奇函数.
A．①真②真
B．①假②假
C．①假②真
D．①真②假
【答案】D
【详解】①是真命题.
首先证明
，
假设
，
令
，其中
，由性质
得
，
故当
时，
，则有
；
当
时，
，则有
；
由
的值域
是开区间，则
，则当
时，必有
，
故
，这与假设矛盾，故假设错误，即
；
其次，证明
是不减函数（任意
，
，都有
）.
证明：假设
不是不减函数，即存在
，
，使得
，
由题意
是定义在
上的函数，则必存在
，使
，
故
，且
，
故由
具有性质
可得
，则
；
且
，则
；
故
，这与假设
矛盾，
所以假设错误，即
是不减函数，得证.
然后，证明
是奇函数.
证明：由题意
具有性质
，又
是
上的不减函数，且值域为开区间
，
则
是连续函数.
先假设函数
不是奇函数，则存在
,使得
，其中
，
设
，
令
，即
.
则由性质
可得，
，
若
，
当
时，由
，
则
，这与
矛盾；
若
，
当
时，由
，
则
，这也与
矛盾；
综上可知，
，即
，这与假设
矛盾.
故假设错误，则函数
是奇函数，又
，
所以，对任意
，都有
，
故
是
奇函数.即①真；
②是假命题.
构造定义在
上的函数
，
，下面证明该函数具有性质
由
，可知
，
不是奇函数，
，且
是严格增函数（如图）.
下面分类证明：
具有性质
.
对任意
，不妨设
，
情况1：
,
，
，不等式成立；
情况2：
，
，
由
，
则
，故
，不等式成立；
情况3：
，
，
由
，
则
，
，不等式成立；
情况4：
，当
时，
恒有
，不等式成立；
情况5：
，
，
，
由
，则
，不等式成立；
情况6：
，
（注意
），
，
由
，
则
，
，不等式成立；
情况7：
，
，
，
由
，
则
，
，不等式成立；
情况8：
，
， 当
时，
恒有
，不等式成立；
情况9：
，
，
，
由
，
则
，
，不等式成立；
情况10：
，
，
恒有
，不等式成立.
因此，
具有性质
，且满足
，
在R 上严格增，
但
不是奇函数，故命题②是假命题.
综上所述，①真②假.
故选：D.
典例9-2．函数
的定义域为
，若存在正实数
，对任意的
，总有
，则称
函数
具有性质
.
(1)分别判断函数
与
是否具有性质
，并说明理由；
(2)已知
为二次函数，且具有性质
，求证：
是偶函数；
【答案】(1)
具有性质
；
不具有性质
.理由见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）
具有性质
；
不具有性质
.理由如下：
对任意
，得
，
所以
具有性质
；
对任意
，得
.
当
时，
，
所以
不具有性质
.
（2）设二次函数
满足性质
，
则对任意
，满足
.
当
时，
，此时b 可以为任何实数；
当
时，
恒成立，所以
，又
，故
.
综上所述，函数
具有性质
时，
，
此时
，即
为偶函数.
变式9-1．对于定义域为A 的函数
，如果存在
，对任意的
，都有
，那么称函数
具有性质
．
(1)判断函数
是否具有性质
，并说明理由；
(2)若函数
具有性质
，求证：
为定值；
(3)若函数
具有性质
，求ab 的最小值．
【答案】(1)函数
不具有性质
，理由见解析
(2)证明见解析
(3)4
【详解】（1）假设函数
具有性质
，因为
的定义域为R，
则存在
，对任意的
，都有
，
所以
，所以
对
恒成立，
所以
，此方程组无解，
所以函数
不具有性质
．
（2）因为函数
具有性质
，且函数定义域为
，
所以存在
，对任意的
，都有
，
即
，所以
，所以
，
所以
，所以
，故
为定值．
（3）因为函数
具有性质
，定义域为
，所以
．
所以对任意的
，都有
．
即
．
所以
，
即
，所以
，
，
当且仅当
，即
时取等号，
则
，解得
，
所以ab 的最小值为4.
变式9-2．定义：给定函数
，若存在实数
，当
有意义时，
总成立，则称函数
具有“
性质”．
(1)判断函数
是否具有“
性质”，若是，写出
的值，若不是，请说明理由；
(2)求证：函数
（
且
）不具有“
性质”；
(3)设定义域为
的奇函数
具有“
性质”，且当
时，
若对
，函数
有5 个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)存在，
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）函数
具有“
性质”．
因为
，且
，
所以
，整理得
．
若函数
具有“
性质”，则可得
解得
所以函数
具有“
性质”，此时
．
（2）假设函数
（
且
）具有“
性质”，
则
，则
解得
，
整理得
，则
，
分别取
，可得
解得
；
分别取
，可得
解得
．
显然
，即对任意
，不存在实数
使得
恒成立，
所以假设不成立，函数
（
且
）不具有“
性质”．
（3）
具有“
性质”，则
，可知
的图象关于点
对称，可得
，即
，
又因为
是定义域为
的奇函数，则
，
可得
，即函数
的周期为2．
令
，则
，
由题意可得，
的图象与直线
在
内有5 个不同的交点，
又
为奇函数，
为
的图象与直线
的一个交点，
所以由图象的对称性可知，
的图象与直线
在
内有2 个不同的交点．
作出
在
内的图象（如图），
当直线
过
时，可得
；直线
过
时，可得
；当直线
过
时，可
得
．
结合图象可知，实数的取值范围为
．
【点睛】利用数形结合求方程解应注意两点：
（1）讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两个函数的图象的交点问题，
但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解；
（2）正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去
数形结合．
巩固过关
1．德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们
对 “函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数
，
有以下四个命题，其中假命题是 （ ）
A．函数
是奇函数
B．
，
，
C．函数
是偶函数
D．
，
，
【答案】A
【详解】对于选项
，若
是有理数，则
也是有理数，则
，因此
不是
奇函数，故
错误；
对于选项B，当
时，
，
，此时
，故B 正确；
对于选项C，若
是有理数，则
；若
是无理数，
，
，
，又
，则
，因此
，
函数
是偶
函数，故
正确；
对于选项D，若
是有理数，
，则
均是有理数，则
；
若
是无理数，
，则
均是无理数，则
，
因此
，故D 正确.
故选：A.
2．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、
牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设
，用
表示不超过x 的最大整数，
则
称为高斯函数.例如：
，
.已知函数
，
，则下列叙
述中正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
在
上是增函数
D．
的值域是
【答案】BC
【详解】依题意，函数
的定义域为
，
对于A，
，
，
，函数
不是偶函
数，A 错误；
对于B，
，则函数
是奇函数，B 正确；
对于C，函数
在
上单调递增，则函数
在R 上是增函数，C 正确；
对于D，由
，得
，则
，
的值域为
，D 错误.
故选：BC
3．（多选）对任意实数
，用
表示函数
和
中的最小值，记为
，则 （ ）
A．
有最大值，无最小值
B．当
的最大值为
C．不等式
的解集为
D．
的单调递增区间为
【答案】BC
【详解】作出函数
的图象， 如图：
对于A：由图象可得
无最大值，无最小值，故A 错误；
对于B：由图象可得，当
时，
的最大值为
，故B 正确;
对于C：由
， 解得
， 由图象可得，不等式
的解集为
， 故C 正确;
对于D： 由图象可得，
的单调递增区间为
， 故D 错误.
故选：BC.
4．（多选）定义
且
．则下列关于函数
的四个结论，正确的是
（ ）
A．函数
的定义域为
，值域为
B．函数
是偶函数且在
上是增函数
C．对任意的
，都有
（k 为常数且
）成立
D．函数
有2 个不同零点
【答案】BCD
【详解】函数
的图象如图1：
所以
,
的图象,
如图2：
函数
的图象如图3 所示：
所以
,故
，故A 错误，
由图3 可知：
且为偶函数，则
为偶函数，
在
上单调递增；B 正确，
由图3 可知，函数
的周期为1，又
为偶函数，
，
所以
；C 对；
为偶函数，当
时，
有一个零点1，
且
，故
在
上有唯一零点，
结合函数
为偶函数，得
共有2 个不同零点，D 对，
故选：BCD.
5．设函数
和
，若两函数在区间
上的单调性相同，则把区间
叫作
的
“稳定区间”，已知区间
为函数
的“稳定区间”，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】根据题意可知，函数
与函数
在区间
上同增或者同减，
①若两函数在区间
上单调递增，则
在区间
上恒成立，
函数
在定义域上单调递减，若
在某区间上单调递增，只能绝对值里面小于等于
0，
即
，可得
解得
；
②若两函数在区间
上单调递减，则
在区间
上恒成立，
即
此时不等式组无解
综上所述，
．
故答案为：
.
6．若闭区间
满足：①函数
在
上单调；②函数
在
上的值域为
，
，
则称区间
为函数
的
次方收缩区间．函数
的
次方的一个收缩区间为 ；若函数
存在
次方收缩区间，则k 的取值范围是 ．
【答案】
且
【详解】由
在R 上单调递增，令函数
的
次方的一个收缩区间为
，
所以
在
上单调递增，且值域为
，故
且
，可得
，
所以函数
的
次方的一个收缩区间为
，
由
在R 上单调递增，令其
次方收缩区间为
且
，对应值域为
，
所以
，即
是
的两个根，记
，
则
，可得
且
.
故答案为：
，
且
7．若函数
满足条件：在定义域内存在
，使得
成立，则称
具有性质
；反之，若
不存在，则称
不具有性质
.
(1)判断函数
是否具有性质
，若具有性质
，求出对应
的值；若不具有性质
，说明
理由；
(2)证明：函数
具有性质
；
(3)已知函数
具有性质
，求a 的取值范围.
【答案】(1)不具有，理由见详解
(2)证明见详解
(3)
【详解】（1）因为
的定义域为
令
，且
，
即
，整理可得
，
因为
，可知方程
无解，
所以函数
不具有性质
.
（2）因为
，
令
，且
，
即
，可得
，
构建
，
因为
在
内单调递增，且
，
可知
在
内单调递增，且
，
可知
在
内存在零点
，
即存在
，使得
，
所以函数
具有性质
.
（3）因为
，显然
，
若
具有性质
，则存在
，使得
，
即
，整理可得
，
令
，则
，
可得
，
因为
，当且仅当
时，等号成立，
则
，即
，
可得
，且
，解得
，
所以a 的取值范围为
．
【点睛】思路点睛：对于新定义问题要读懂题意，并能在新定义的指引下，代入函数，判断方程是否有解.
8．若存在常数
、
，使得函数
对于
同时满足：
，
，则称函数
为“
”类函数．
(1)判断函数
是否为“
”类函数？如果是，写出一组
的值；如果不是，请说明理由；
(2)函数
是“
”类函数，且当
时，
．证明：
是周期函数，并求出
在
上的解析式；
【答案】(1)是“
”类函数，
（答案不唯一）；
(2)证明见解析，
.
【详解】（1）
是“
”类函数，
令
，得
，即
的对称轴为
，
令
，得
，即
的对称中心为
，
当
时，
，
可以是
（答案不唯一）；
（2）
是“
”类函数，
，
，
，
是周期为
的周期函数.
当
时，
，
当
时，
，
.
故
，
9．设
是定义域为
的函数，如果对任意
，
均成立，则
称
是平缓函数．
(1)若
，试判断
是否为平缓函数？并说明理由；
(2)若函数
是平缓函数，且
是以1 为周期的周期函数，证明：对任意的
，均有
．
【答案】(1)是平缓函数，理由见解析；
(2)证明见解析．
【详解】（1）任取
，
，
只需证
，
当
有一个为0 时，不妨设
，则
；
当
都不为0 时，分母利用不等式
，
得
，结合
可得
当且仅当
时取等号成立，但此时
，故严格不等式成立，
因此函数
是
上的平缓函数．
（2）由已知可得
，由于函数
是周期函数，故不妨设
，
当
时，由
为
上的平缓函数得
。
当
时，不妨设
，
此时由
为
上的平缓函数得
.
综上所述，命题得证.
10．已知函数
在区间
上有定义，如果对于任意
，都有
，则称
为上凸函数．若
为上凸函数，则
（
为任意大于2 的正整数，
）．
(1)证明：
为上凸函数；
(2)证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）函数
的定义域为
，任取
，
由均值不等式可得
．
因为
在
上单调递增，
所以
，即
.
由上凸函数定义可知
为上凸函数．
（2）由（1）可得，
为上凸函数，
所以
,
由
，
相加可得
,
所以
.
所以
，
且
，
所以
,即
．
创新提升
1．探索新定义 定义一种新的运算“
”：
，都有
．
(1)对于任意实数
，试判断
与
的大小关系；
(2)已知函数
，
，
，
若
在
上的值域是函数
在
上的值域的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，
，
，
．
（2）由题意得
，
．
设
，
令
，则
，
，
．
设
在
上的值域为
，则
．
，当且仅当
时取等号，
，设
在
的值域为
，则
．
根据题意可知
是
的真子集，
，
解得
且
，即
的取值范围为
．
2．已知函数
的定义域为
，若
，使得
对
都成立，则称
为
型函数．
(1)证明：每一个指数函数
（
且
）都是
型函数；
(2)若函数
是
型函数，求实数
的值；
(3)已知函数
在定义域
上的函数值恒大于0，且
为
型函数，当
时，
．若
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：因为
，
所以
（
且
）是
型函数，
即每一个指数函数都是
型函数．
（2）因为函数
是
型函数，
所以
，
显然
，则
，所以
，
整理得
对于定义域
内任意
恒成立，
所以
，解得
．
（3）因为
为
型函数，所以
，
当
时，
，
因为
，所以
，满足
；
当
时，
恒成立，
令
，则
，所以
在
上恒成立，则
恒成立，
因为
在
上单调递增，且
，故
．
当
时，
，
则
，
因为
，所以
，
令
，则当
时，
恒成立．
由上可知
，所以
在
上恒成立，
则
在
上恒成立，
因为
，当且仅当
时取得等号，所以
．
综上可知，
，故实数
的取值范围为
．
3．若函数
满足：对于任意
是一个三角形的三边长，都有
，
，
也是某个三角形
的三边长，则称
为“保三角形函数”.
(1)判断
，
是否为“保三角形函数”，并说明理由；
(2)如果
是定义在
上的周期函数，且值域为
，判断
是否为“保三角形函数”，并进行证
明.
【答案】(1)
为“保三角形函数”，
不是“保三角形函数”，理由见详解；
(2)
不是“保三角形函数”，证明见详解.
【详解】（1）
为“保三角形函数”，
不是“保三角形函数”，理由如下：
不妨设
，则
，即
因为
是一个三角形的三边长，所以
，
所以
，即
，
又
，所以
，
，
也是某个三角形的三边长，
所以
为“保三角形函数”.
易知
是一个三角形的三边长，
因为
，且
，
所以
不满足定义，即
不是“保三角形函数”.
（2）
不是“保三角形函数”，证明如下：
因为函数
的值域为
，所以
不是常数函数，
所以函数
的最小正周期
，存在
使得
，
取正整数
，则
，
易知
可以是一个三角形的三边长，
因为
，
，
所以
不是任何三角形的三边，
即
不是“保三角形函数”.
4．定义：若函数
满足
，
，
为常数，且
，则称
为
上的“
倍型线性函数”．
(1)判断
是否为
上的“
倍型线性函数”，并说明理由
(2)若
为
上的“ 倍型线性函数”，求
的取值范围
(3)若
是定义域为
的偶函数，且
为定义域上的“
倍型线性函数”，证明：
，
．
【答案】(1)
不是
上的“
倍型线性函数”，理由见解析
(2)
；
(3)证明见解析
【详解】（1）
不是
上的“
倍型线性函数”，
理由如下：假设
是
上的“
倍型线性函数”，
则
，
，
，
不妨令
，则
，即
，
取
，
，则
，
，
因为
，所以
，
与
矛盾，从而假设不成立，
故
不是
上的“
倍型线性函数”；
（2）因为
为
上的“ 倍型线性函数”，
所以
，
，
，
整理得
，
当
时，上式显然成立，
当
时，上式等价于
，
则
，
由
，
，得
，
从而
，
综上所述，
的取值范围为
；
（3）证明：因为
是定义域为
的偶函数，
所以
，
又
是定义域上的“
倍型线性函数”，
所以
，
，
，
当
时，
显然成立，
当
时，不妨设
，
由
，
，可得
；
若
，则由
，
可得
；
若
，
因为
是偶函数，所以
，
则
．
综上所述，
．
5．若存在实数对
，使得等式
对定义域中每一个实数
都成立，则称函数
为“
型函数”.
(1)若函数
是“
型函数”，求
的值；
(2)若函数
是“
型函数”，求
和
的值；
(3)已知函数
，函数
是“
型函数”，对应的实数对
为
，当
时，
.若对任意
时，都存在
，使得
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
，
(3)
【详解】（1）已知函数
是“
型函数”，
根据“
型函数”的定义，
，
因为
，所以
，故
，可得
.
（2）因为函数
是“
型函数”，所以
，即
.
由题意可知
，所以
恒成立，
所以
，解得
，
.
（3）因为函数
是“
型函数”，对应的实数对
为
，所以
.
当
时，
；
当
时，则
.
当
时，
，
在
上单调递减.
故当
时，
，则
在
的值域为
.
因为对任意
时，都存在
，使得
，
所以
在
的值域是
的子集，
根据题意
，在等式
中，令
可得
，解得
，合乎题意；
若函数
在区间
、
上的值域为
、
，则
，
，
对任意的
，则
，则
，且
，即
，
所以，问题等价于函数
在区间
上的值域为
的子集，
当
时，
，其对称轴为
.
①若
，即
，
在
上单调递增，
，
此时
为
的真子集，不合乎题意；
②若
，即
时，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，且
，
，
由题意可知，函数
在
上的值域为
的子集，则有
，
解得
，
③若
，即
，
在
上单调递减，
，
此时
不是
的子集，不合乎题意.
综上：
的取值范围是
.
