文档文本内容
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2.2.1 不等式及其性质
课程标准
学习目标
1、掌握不等式5 个性质与5 个推论.
2、掌握用配方法、作差法、综合法、反证
法、分析法证明不等式.
3、熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方
法证明不等式.
1、掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法
等熟悉思想方法.
2、反证法是一种间接证明的方法，如推论5 中用到
的方法.
3、灵活选用不等式5 个性质与5 个推论。
知识点01 不等式的定义
我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不
等号的式子，称为不等式．
【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）已知a 克糖水中含有b 克糖（a>b>0），再添加m 克糖
（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.
【答案】
，证明见解析
【分析】将不等关系表示为不等式，进而由作差法证明即可.
【详解】解：
.
2
证明:
，
，
，
.
知识点02 实数大小比较
符号表示
a－b>0⇔a>b，
a－b＝0⇔a＝b，
a－b<0⇔a<b.
【即学即练2】（2024·全国·高一专题练习）设
，则
的大小关
系为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
，
，
.又
，故
．
综上可得：
．故选：
.
知识点03 不等式的性质
性质1(可加性) 如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质2(可乘性) 如果a>b，c>0，那么ac>bc.
性质3(可乘性) 如果a>b，c<0，那么ac<bc.
性质4(传递性) 如果a>b，b>c，那么a>c.
注：如果性质4 中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？
(1)如果性质4 中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果a≥b 且
b>c，那么a>c；如果a>b 且b≥c，那么a>c.
(2)如果两个不等式都带有等号，那么有若a≥b 且b≥c，则a≥c，其中a＝c 时必有a＝b 且b＝c.
推论1(移项法则) 如果a＋b>c，那么a>c－b.
不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．
推论2(同向可加性) 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
我们把a>b 和c>d(或a<b 和c<d)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式．
3
推论3(同向同正可乘性) 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
推论4(可乘方性) 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1).
推论5(可开方性) 如果a>b>0，那么>.
注：(1)推论2 可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不
等式同向．推论2 是同向不等式相加法则的依据．
(2)同向不等式可以相加但不能相减，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需
要特别注意的是，由a>b，c<d，不能得到a＋c>b＋d，但可以得到a－c>b－d.这是因为若c<d，则－c>－
d，又a>b，所以a－c>b－d.
【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）如果
那么下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，不等式两边同时减去
得
，D 正确，
若
，则AB 错误，若
，C 错误．故选：D．
【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）设
，
，求
，
，
的范围.
【答案】
，
，
【解析】∵
，
，
∴
，
，
，
，
∴
，
，
∴
.
故
，
，
．
知识点04 综合法、分析法与反证法
（1）综合法
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合
法．
（2）分析法
从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后得到题设的已知条件或已被证明的事
实，这种证明问题的方法通常称为分析法．
（3）反证法
4
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论的
方法通常称为反证法．
注：综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法．
(1)综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p 是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是
不断寻找必然成立的结论．
(2)分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p 是需要证明的
结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．
【即学即练5】（2024·全国·高一专题练习）已知
，求证：
．
【答案】见解析
【解析】
．
，
，
，
，
，
，
．
，同理得
，
，
．
又
，
．
难点：用反证法证明命题
示例：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤，
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不
成立．
②所以一个三角形中不能有两个直角．
③假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
其正确顺序为________．
【解析】用反证法证明命题的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，从而
得到正确的命题．故填③①②.
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【题型1：比较大小】
（一）作差法
例1．（2024·青海西宁·高二统考期末）已知
，
，则a，b 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】A
【分析】利用作差法并结合不等式的性质，可得答案.
【详解】因为
所以
，所以
，即
.
故选：A.
变式1．（2024·湖北武汉·高一华中师大一附中期中）已知a 为实数，
，
，则
M，N 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】用作差法结合配方法比较大小．
【详解】
，所以
．
故选：A．
变式2.（2024·高一校考课时练习）已知
，试比较
与
的值的大小．
【答案】
时，
；
时，
．
【解析】
，可得
，
6
当
时，
，
，则
，即
；
当
时，
，则
，即
．
综上可得
时，
；
时，
．
变式3．（2024·高一校考课时练习）比较
与
的大小，其中
.
【答案】
【分析】两式作差，因式分解变形，根据已知确定差的符号，即可判断两式大小.
【详解】
因为
，所以
，
所以
，
即
.
变式4．（2024·全国·高一假期作业）比较大小：
(1)
和
；
(2)
和
，其中
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用做差法比较大小即可；
（2）利用做差法比较大小即可．
【详解】（1）因为
，所以
；
（2）因为
，所以
，
所以
.
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M＝
，N＝
，则M 与N 的大小关系为
（ ）
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A．M>N
B．M<N
C．M≤N
D．M，N 大小关系不确定
【答案】B
【分析】平方后作差比较大小即可.
【详解】
，
∴M<N.
故选：B.
（二）作商法
例2．（2024·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x＝
－
，y＝
－
，则x，y 之间的大小关
系是（ ）
A．x＞y
B．x＝y
C．x＜y
D．x，y 的关系随c 而定
【答案】C
【分析】应用作商法比较
的大小关系即可.
【详解】由题设，易知x，y＞0，又
，
∴x＜y.
故选：C.
变式1．（2024·全国·高三专题练习）设
，比较
与
的大小
【答案】
【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1 进行比较即可.
【详解】
，
，
，
.
变式2.（2024·全国·高三专题练习）已知
，
，试比较
与
的大小；
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【答案】
（当且仅当
时取等号）
【解析】由
，当且仅当
时等号成立，
所以
（当且仅当
时取等号）.
变式3．（2024·江苏·高一假期作业）已知
，试比较
和
的大小.
【答案】
【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算
，从而可得
，进而可求解.
【详解】（方法1）因为
，所以
.
所以
.
因为
，所以
，即
；
（方法2）所以
，
又
，
所以
, 所以
.
【方法技巧与总结】
1、比较两数大小
比较两实数a，b 的大小，只需确定它们的差a－b 与0 的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比
较两实数a，b 的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b 的符号，变形的常用方法有配方、分
解因式等．
2、用作差法比较两个实数大小的四步曲
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注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．
【题型2：不等式的性质应用】
例3.（2024·高一校考课时练习）已知
，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析：因为
，所以
，故A 正确；
对于B：当
时
，故B 错误；
对于C：当
，
，显然满足
，但是
，故C 错误；
对于D：当
，
，显然满足
，但是
，故D 错误；故选：A
变式1．【多选】（2024·贵州贵阳·高二统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AD
【分析】举反例排除BC，利用不等式的性质判断AD，从而得解.
【详解】对于A 选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A 正确；
对于B 选项，例如：
，
，但是
，所以B 错误；
对于C 选项，当
时，
，所以C 错误；
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对于D 选项，因为
，所以
，又
，所以
，所以D 正确.
故选：AD．
变式2．（2024·辽宁·高二校联考期末）已知
，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断C、D，利用特殊值判断A、B.
【详解】因为
，所以
，故D 正确；
对于A：若
，
，满足
，此时
，故A 错误；
对于B：若
，
，满足
，此时
，故B 错误；
对于C：因为
，所以
，故C 错误；
故选：D
变式3．（2024·高一校考课时练习）对于实数a，b，c，有下列说法①若
，则
；②若
，
则
；③若
，则
；④若
，
则
.其中正确的是 (填序号)
【答案】②③④
【分析】利用不等式的性质可逐一判定.
【详解】当
时，可以判定①错误；
因为
，所以
故不等式两边可同时除以
，不变号，故②正确；
因为
，所以对于
不等式两边同时乘以
，不等式变号，故
，不等式两边同时乘以
，
不等式变号，故
，所以
成立，故③正确；
因为
，
，所以
，故
，故④正确.
故答案为：②③④.
变式4．【多选】（2024·山东滨州·高二统考期末）已知实数
，则下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【分析】根绝不等式的基本性质逐一进行判断，要注意不等式性质成立的条件.
【详解】对于选项A，当
时，若
，则
，错误；
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对于选项B，若
，故
，则
，正确；
对于选项C，若
则
，
所以
，正确；
对于选项D,
，
当
时，
，但是的符号与
的符号不确定，
所以
与
大小关系不确定，错误.
故选：BC.
变式5．【多选】（2024·河北保定·高二校联考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，由
，可得
，所以
，所以A 正确；
对于B 中，若
，
，
则
，
所以
，所以B 不正确；
对于C 中，若
，则
，
所以C 正确；
对于D 中，若
，则
，
所以D 正确．
故选：ACD.
变式6．（2024·云南玉溪·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
12
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.
【详解】对于A，若
，则
，故A 错误；
对于B，若
，
，则
，故B 错误；
对于C，若
，
，可得
，故C 正确；
对于D，若
，
，
，则
，故D 错误.
故选：C．
变式7．【多选】（2024·广西玉林·高二统考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，则
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质，结合作差法即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A,由
,若
时，不一定
，故A 错误，
对于B，若
，所以
故
，所以
，故B
正确，
对于C,由
得
，又
，所以
，故C 正确，
对于D，由于
，无法确定
的正负，所以
的正负无法确定，故
与
的大小无法确定，
故D 错误，
故选：BC
变式8．【多选】（2024·福建三明·高二统考期末）已知
，
，则下列四个不等式中，一定
成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质,结合作差法逐个判断各个选项即可．
【详解】对于A，
，
，
，
，
，即
，故A 正确；
对于B，
，
，
，故B 正确；
13
对于C，取
，
，
，则
，故C 错误；
对于D，
，
，
，
，即
，故D 正确．
故选：ABD．
变式9．【多选】（2024·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）已知实数a，b，c，若
，则下
列不等式不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】举特例即可否定选项A，B，D，利用不等式的性质判断C，从而得解.
【详解】当
，
时，满足
，但
，故A 错误；
当
，
时，满足
，但
，故B 错误；
因
，
，由不等式性质得
，故C 正确；
当
时，
不成立，故D 错误.
故选：ABD.
变式10．【多选】（2024·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】AB
【分析】根据不等式性质及特值法即可作出判断
【详解】对于
，因为
，
，所以
，故
正确；
对于
，因为
，所以
，
又
，所以
，故B 正确；
对于C，因为
，所以
，
又
，所以
，故C 错误；
对于D，当
时，满足
，
但
，此时
，故D 错误，
故选：AB
变式11．【多选】（2024·江西九江·高二统考期末）已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式性质判断各个选项即可.
【详解】因为
，所以
正确；
由不等式的倒数法则可知
，两边同乘以
，得
，C 错误；
由
，得
，D 正确，
故选：ABD.
变式12.（2024·广西）已知
，则下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】为正数，为负数，所以
，
，
，
所以
.故选：C
【方法技巧与总结】
不等式性质的应用
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条
件；二是取值要简单，便于验证计算．
【题型3：利用不等式性质求范围】
例4．（2024·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）已知
,则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用不等式的基本性质即可求得答案
【详解】因为
,所以
,
由
,得
,
故选：A
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变式1．（2024·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）已知实数x﹐y 满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，解得
，根据不等式性质求出
.
【详解】设
，
则
，解得
，
因为
，
，
所以
，
所以
，即
.
故选：B
变式2．（2024·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知
，
，则
的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】由不等式的基本性质求解即可
【详解】解：
，
，
则
，
，
故由不等式的可加性可知，
，
故
的取值范围是
．
故答案为：
．
变式3.【多选】（2024·湖南长沙）已知
，
，则下列正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】AB
【解析】因为
，
，
所以
，
，
16
则
，
，
，
即
，
，
，则
；
故AB 正确，CD 错.
变式4．（2024·河北保定·高二校联考期末）已知
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，由待定系数法确定其系数，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】设
，则
，所以
，因为
，
所以
．因为
，所以
，
故
．
故选：A
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知
，
，分别求
，
，
，
的取值范
围．
【答案】详见解析.
【分析】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解.
【详解】因为
，
，
所以
，
即
的取值范围是
．
由
，
，
得
，
所以
的取值范围是
．
由
，
，
得
，
所以
的取值范围是
．
易知
，
而
17
则
，
所以
的取值范围是
．
变式6．【多选】（2024·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）若实数a，b 满足
，
则下列说法正确的有（ ）
A．
的取值范围为
B．
的取值范围是
C．
的取值范围是
D．
的取值范围是
【答案】ABC
【分析】利用不等式的性质判断AB；求得
，然后利用不等式的性质判断CD；
【详解】由
，两式相加得
，即
，故A 正确；
由
，得
，又
，两式相加得
，即
，故B 正确；
设
，
所以
，解得
，则
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，即
，故C 正确，D 错误.
故选：ABC.
变式7.（2024·全国·高三专题练习）
，
，则
的最小值是___________.
【答案】
【解析】设
，
则
，解得
，
所以，
，
18
因此，
的最小值是
.
【方法技巧与总结】
利用不等式性质求范围的一般思路
(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解．
【题型4：证明不等式】
例5．（2024·全国·高一假期作业）用综合法证明:如果
，那么
【答案】证明见解析
【分析】根据综合法的要求执因索果，逐步推导证明即可.
【详解】证明:
，即
显然
，即
.
（2024·全国·高一假期作业）已知
，证明：
.
【答案】证明见解析.
【解析】∵
，
，
，
，
.
变式1．（2024·湖南长沙·高一校考阶段练习）若
，
，
，求证：
.
【答案】证明见解析.
【分析】因为
，所以
，又
，先得出
，再得出
，
由不等式的同号可乘性即可证明.
【详解】证明：因为
，所以
，
又因为
，
所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得
，
19
所以
，
所以
，
因为
，
，
所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得
.
又
，所以
，
所以
由不等式的同号可乘性可得
.
变式2．（2024·江苏连云港·高一赣榆一中校考阶段练习）（1）已知
，
，
．求证：
；
（2）已知
，
，求证：
．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【分析】（1）利用不等式的性质证明即可；
（2）利用作差法证明即可．
【详解】（1）因为
，所以
又因为
，所以
所以
又因为
，所以
．
（2）
因为
，
，所以
，
因此
，从而
，即
．
变式3．（2024·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．
(1)
，bd＞0，求证：
；
(2)已知a＞b＞c＞0，求证：
．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明；
20
（2）先用作差法证明
，然后根据不等式的性质证明
即可得到.
【详解】（1）证明：
，
因为，
，所以，
，
又bd＞0，所以，
，
即
.
（2）证明：因为a＞b＞c＞0，
所以有，
，
，
，
则，
，
即有，
成立；
因为，
，所以，
，
又
，所以，
成立.
所以，有
.
变式4．（2024·全国·高一假期作业）（1）已知
，且
，证明：
．
（2）证明：
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；
(2)等价于证明
+
+
，对不等式两边同时平方后只需证明
，
再平方即可证明.
【详解】证明：（1）由
，且
，
所以
，且
所以
，所以
，
即
；所以
，即
．
（2）要证
，
只需证
，
21
即证
；
即证
，
即证
；即证
，显然成立；
所以
．
变式5．（2024·全国·高一假期作业）证明下列不等式：
(1)已知
，求证
(2)已知
，求证：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明．
【详解】（1）证明：
，
，
，
，
又因为
，即
，
所以
.
（2）证明：
，
，
；
又
，
，
；
.
【方法技巧与总结】
1、证明不等式的解题策略
(1)简单不等式的证明可直接由已知条件并利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．
(2)对于不等号两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作
差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．
2、不等式的证明方法
(1)作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小；
(2)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法
(3)反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立；
(4)分析法：从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需的条件为已知条件或一个明
显成立的事实，从而得出要证的命题成立。
22
一、单选题
1．（2024 高二下·福建龙岩·阶段练习）若
，且
，则下列各式中，恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用不等式性质推理判断即得.
【详解】由
，得
，而
，则
，C 错误，D 正确；
取
，满足
，且
，而选项AB 中不等式无意义，AB 错误.
故选：D
2．（2024 高一上·北京·期末）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】由条件结合充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】由
，可得：
若
，则
，当
时，
，故不能推出
；
若
，则当
时，
，可得
，也不能推出
．
综上所述，“
”是“
”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
3．（2024·河南驻马店·二模）已知
，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
23
【答案】D
【分析】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小.
【详解】当
时，
，且
，故
，C 项错误；
因为
，
，所以
，故B 项错误；
，故D 项正确.
故选：D.
4．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质计算可得.
【详解】由题意可知，
,
所以
.
故选：D.
5．（2024 高一上·山东·专题练习）已知
，则下列结论错误的是（ ）
A．
的取值范围为
B．
的取值范围为
C．
的取值范围为
D．
取值范围为
【答案】B
【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】因为
，
，
所以
，
，
，
所以
的取值范围为
，
的取值范围为
，故A 正确，B 错误；
因为
，
，
所以
，
，
，
所以
的取值范围为
，
的取值范围为
，故C 正确，D 正确.
故选：B
6．（2024 高二下·安徽·学业考试）若
，
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
24
【分析】取特殊值作反例，可判断A、B、C 项；根据不等式的性质可判断D 项.
【详解】对于A，取
，
，则
，
，显然
，但是
，A 项错误；
对于B，取
，
，
，满足
，
，
，
，但
，B 项错误；
对于C，取
，
，但
，故C 项错误；
对于D，若
，
，则
，故D 正确.
故选：D.
7．（2024 高一下·安徽芜湖·开学考试）已知实数m，n，p 满足
，且
，则下
列说法正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意,将所给等式变形,得到
,推导出
,然后利用作差法比较大小,结合二
次函数的性质证出
,从而得出正确结论.
【详解】因为
,
移项得
,
所以
,
可得
,
由
,得
,
可得
,
可得
.
综上所述,不等式
成立,
故选:B.
二、多选题
8．（2024 高一上·江苏常州·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．已知
，则
D．
为互不相等的正数，且
，则
25
【答案】ACD
【分析】利用不等式的性质，逐个进行判断即可.
【详解】对于A，由
，知
，由不等式的性质可得，
，因此A 正确；
对于B，令
，则
，
，
显然
，因此B 错误；
对于C，由
，又
，
，
则
，即
，因此C 正确；
对于D，由
为互不相等的正数，则
，又
，
，
即
，
，即
，
，
又
，
，即
，因此D 正确；
故选：ACD.
9．（2024 高一下·广西南宁·期末）已知实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用不等式的性质进行分析即可.
【详解】由
，知必有
，所以
两边同乘以a，得
，故A 正确；
因为b 的符号不能确定，所以
不一定正确，故B 错误；
由
两边同乘以c，得
，故C 正确；
当
，
时，满足
且
，但
，故D 错误．
故选：AC．
10．（25-26 高一上·全国·单元测试）下列命题叙述正确的是（ ）
A．
，当
时，
B．
，当
时，
C．
，当
时，
D．
，当
时，
26
【答案】CD
【分析】对于ABD 选项，取特殊值进行判断；对于C 选项，利用作差法比较大小.
【详解】对于A，取
，满足
，且
，
此时
，
，故A 错误；
对于B，取
，满足
，
此时
，则
，故B 错误；
对于C，因为
，当
时，
，
所以
，则
，故C 正确；
对于D，存在
，
，满足
，故D 正确.
故选：CD.
三、填空题
11．（24-25 高一上·上海·随堂练习）某种服装，平均每天可以销售20 件，每件获利44 元，在每件降价幅
度不超过10 元的情况下，若每件降价1 元，每天可多卖出5 件，如果每天获利1600 元，每件应降价
元．
【答案】4
【分析】设每件应降价
元，然后求出每件获得利润和平均每天可以销售件数可得答案.
【详解】设每件应降价
元，则每件获利
元，
平均每天可以销售
件，所以
，解得
．
故答案为：4.
12．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若
，
，则下列不等式中成立的是 （填上正确的
序号）．
①
；②
；③
；④
．
【答案】③
【分析】先给出
，
，
作为①，②，④的反例，然后根据不等式的性质即可证明③正确.
【详解】当
，
，
时，有
，但
，
，
，故①，②，④
错误；
27
由于
，
，故
，故③正确.
故答案为：③.
13．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由不等式的性质可得
，取绝对值即可求解.
【详解】
，
，则
，
将不等式
的两边同时乘以
，可得
，
，
故答案为：
.
14．（2024 高二下·湖南张家界·期末）记
为
，
，中最小的数.已知
，且
，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】假设最小值为t 然后得到2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z，三式相加，得出t≤
，最后判断即可.
【详解】设t=min{y-x,z-y,1-z},
则t≤y-x, 即2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z,
三式累加可得：4t≤1+(y-2x) ≤1,所以t≤
.
取
显然满足
且
,此时t=
所以
故答案为：
四、解答题
15．（2024 高一·上海·课堂例题）已知实数a、b、c 满足
，且
.求证：
且
.
【答案】证明见解析
【分析】根据不等式的性质求证即可.
28
【详解】由于实数a、b、c 满足
，且
，
所以
，即
，
，即
，
综上，
且
16．（2024 高一·全国·课后作业）若
，求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】作商法证明不等式.
【详解】证明：∵a>b>0，
∴
，且
．
∴作商得：
．
∴
．
17．（2024 高一·上海·课堂例题）已知
，求证：
.
【答案】证明见解析
【分析】结合立方和公式及
，利用作差法即可证明.
【详解】
，
因为
，所以
，又
，所以
，
所以
.
18．（2024 高一上·云南曲靖·期末）已知
，
，且
，证明：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式，求得
，进而证得
.
（2）化简
，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得
.
【详解】（1）
，
因为
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立，
所以
；
29
（2）
，
由（1）有
，有
，
，有
，
，
有
，当且仅当
时等号成立，
所以
．
19．【多选】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）
，运算“
”为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】ABCD
【分析】由运算“
”的定义分别计算判断A、B、C，用分析法分别从条件和结论出发证明得到D.
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，
，
所以
，故C 正确；
对于D，若
，则
，
，
30
要证
，只需要证
，即证
，
即证
，即证
，即证
，
因为
，
，所以上式成立，所以
，故D 正确.
故选：ABCD.
20．（2024 高一上·全国·专题练习）
，
，，
，设
，
证明：
.
【答案】证明见解析
【分析】直接将每个分式缩小，即可证明
；通过
可得
，且类似可以
得到其它三个不等式，然后相加即可证明
.
【详解】因为
，故
，
，
，
.
故有
；
由于
，
故
，同理还有
，
31
所以
.
这就证明了
.
21．（24-25 高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题：
(1)若
、
、
.
①求证：
；
②求证：
；
③在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足
所求式
？若能，请直接写出该代
数式；若不能，请说明理由.
(2)设
，求证：
成立的充要条件是
.
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；③能找到，
(2)证明见解析
【分析】（1）①根据
的符号去绝对值即可证不等式成立；②根据同向不等式相加和同向同正的不等式
可相乘的性质可证明不等式成立；③在
的两边同时乘以
得
，
在
的两边同时乘以
得
，即可证明
.
（2）证明充分性：如果
，则有
和
两种情况，分别证明即可；证明必要性：若
且
，则
，化简即可.
【详解】（1）①∵
，且
、
，
∴
，∴
；
②∵
，∴
，
又
，∴
，
∴
，
∴
，
∵
、
，
32
∴
，由（1）知
，
∴
，
∴
；
③∵
，
，
∴
或
（只要写出其中一个即可）；
（2）①充分性：如果
，则有
和
两种情况，
当
时，当
时，则
、
，等式成立，
当
时，则
、
，等式成立，
当
时，等式成立，
当
时，即
、
或
、
，
当
、
时，
、
，等式成立，
当
、
时，
、
，等式成立，
∴当
时，等式成立，
∴当
时，
成立，
②必要性：若
且
，则
，
即
，则
，故
，
综上所述，
是等式
成立的充要条件.
