文档文本内容
1
3.1.3 函数的奇偶性
课程标准
学习目标
1.理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运
用函数图象理解和研究函数的生质；学会判
断函数的奇偶性；
2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学
生观察、归纳、抽象的能力，参透数形结合
的数学思想.
3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊
到一般的概括归纳问题的能力.
1.奇函数、偶函数的定义；
2.判断函数奇偶性的步骤；
3.奇函数、偶函数图象的对称性；
知识点01 奇、偶函数的定义
偶函数
奇函数
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D 内的任意一个x，都有－x∈D，且
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
结论
则称y＝f(x)为偶函数
则称y＝f(x)为奇函数
定义域特征
定义域关于原点对称
等价形式
若f(x)≠0，则＝－1⇔f(x)为奇函数，＝1⇔f(x)为偶函数
注：利用定义法判断函数奇偶性的步骤
(1)一看定义域．定义域D 要具有对称性，即对∀x∈D，－x∈D，也就是说奇、偶函数的定义域要关
于原点对称，定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数．
2
(2)二看等式．当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系：
①f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数；
②f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数；
③f(－x)≠±f(x)⇔f(x)是非奇非偶函数；
④f(－x)＝±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，且D 关于原点
对称．
【即学即练1】（山东省潍坊市国开中学、日照市莒县某高中校级联考2023-2024 学年高三上学期春季高
考阶段性检测数学试题）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【即学即练2】（2024·云南昆明·高一校考期中）已知函数
，点
，
是
图象
上的两点．
(1)求
，
的值；
(2)判断函数
的奇偶性，并说明理由．
知识点02 奇、偶函数的图像特征(几何意义)
（1）奇函数的图像特征(几何意义)
奇函数的图像关于原点对称；反之，结论也成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数．
（2）偶函数的图像特征(几何意义)
偶函数的图像关于y 轴对称；反之，结论也成立，即图像关于y 轴对称的函数一定是偶函数．
注：(1)若f(x)是奇函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，－f(x))也在其图像上．
(2)若f(x)是偶函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，f(x))也在其图像上．
【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）已知函数
是定义在R 上的偶函数，且当
时，
.
(1)现已画出函数
在
轴及
轴左侧的图象，如图所示，请把函数
的图象补充完整，并根据图象
写出函数
的单调递增区间；
3
(2)写出函数
的值域．
易错 判断奇偶性时忽略定义域致错
1．判断函数f(x)＝(1＋x)的奇偶性．
【题型1：函数奇偶性的判断】
例1.（2024·青海西宁·高一校考阶段练习）下列函数中是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．（2024·全国·高一随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并加以证明：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
4
(4)
；
(5)
；
(6)
；
(7)
；
(8)
.
变式2．（2023·全国·高一专题练习）函数
的奇偶性是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
变式3．．（2024·江西·高三宁冈中学校考期中）设函数
，
的定义域都为
，且
是奇函数，
是偶函数，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
变式4．（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知函数
．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)用定义法证明：
在
上单调递增；
变式5．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
，且
．
(1)判断并证明函数
在其定义域上的奇偶性．
(2)证明函数
在
上是增函数．
5
(3)画出
在
上的图象，并求在
上值域．
【方法技巧与总结】
函数奇偶性判断的方法
(1)定义法：
(2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y 轴对称．则函数为偶函
数．此法多用在解选择、填空题中．
(3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两
个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
(4)分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断
方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断
与
的关系.首先要特别注意
与
的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，
与
对应不同的表达式，而它们的结果按奇
偶函数的定义进行比较.
【题型2：函数奇偶性的图像特征】
例2．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．【多选】（2024·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考期中）已知定义在
上的函数
，对任意
实数
满足
，且
时，
，则下列说法中，正确的是
（ ）
6
A．2 是
的周期
B．
不是
图象的对称轴
C．
D．
是
图象的对称中心
变式2．（2024·湖北黄冈·高一校考期中）已知定义在
上的奇函数
，当
时，
．
(1)求函数
在
上的表达式；
(2)画出函数
的大致图象；
(3)直接写出函数
的值域和单调区间．
(4)若方程
a 有两个实数根，直接写出a 的取值范围．
【方法技巧与总结】
函数奇偶性的图像特征
根据奇偶函数在原点一侧的图像求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图
像的对称性作出函数在定义域另一侧的图像，根据图像特征求解问题．
【题型3：利用函数奇偶性求参数】
例3．（2024·福建泉州·高一校考期中）若
是偶函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．1
D．3
变式1．（2024·全国·高一随堂练习）已知函数
是偶函数，求实数a 的值．
变式2．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数
是定义在区间
上的偶函
数，则
．
变式3．（2023·四川绵阳·高一期中）若函数
为奇函数，则
.
变式4．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
是定义在
上的奇函数，
则
．
变式5．（2024·辽宁·高三校联考开学考试）已知函数
是定义在
上的偶函数，则
（ ）
A．1
B．
C．0
D．2
变式6．（2023 秋·上海松江·高一校考期末）若函数
是定义在
上的奇函数，则
.
7
变式7．（2024·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数
是偶函数，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
变式8．（2023 春·陕西安康·高三校考阶段练习）若
是奇函数，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
变式9．（2023 春·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知函数
是定义在
上的偶函数，且
．
(1)求
的值；
(2)求使
成立的实数
的取值集合．
【方法技巧与总结】
利用函数奇偶性求参数的解题思路
奇、偶函数的定义既是判断函数是否具有奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一
个性质，解题时要注意奇、偶函数的定义的正用和逆用．利用函数的奇偶性求参数一般有如下两种题型．
(1)定义域含参，需根据定义域关于坐标原点对称列式求解．
(2)解析式含参，需根据f(x)＝f(－x)或f(x)＝－f(－x)列式，比较各项的系数求解．
【题型4：利用函数奇偶性求值】
例4．（2024·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知
是定义在R 上的偶函数，且当
时，
，
则
.
变式1．（2024·广东·高三学业考试）函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
，则
.
变式2．（2023 秋·全国·高一专题练习）设
为
上的奇函数，且当
时，
，则
（ ）
A．12 B．
C．13 D．
变式3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
，则
.
变式4．（2024·江苏连云港·高一统考期中）已知
，其中
为常数，若
，则
8
．
变式5．（2023·全国·高一专题练习）已知
，
，则
（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-5
变式6．（2023·全国·高一专题练习）已知函数
的最大值为
，最小值为
，则
的
值等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
变式7．（2024·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）设函数
，若
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
由函数的奇偶性求函数值
由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用
或
求
解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。
【题型5：利用函数奇偶性求解析式】
例5．（2024·海南海口·高一海口一中校考期中）已知函数
为奇函数，且当
时
，则当
时，
．
变式1．（2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期中）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
在
上的解析式为 .
变式2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
是定义在
上的偶函数，且当
时，
，则
的解析式为 .
变式3．（2024·全国·高一专题练习）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
.
(1)求函数
在
上的解析式；
(2)若函数
在区间
单调递增，求实数
的取值范围.
变式4．（2024·高一课时练习）已知
是R 上的偶函数，且当
时，
，求
的
9
解析式．
变式5．（2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考期中）已知函数
（
）是偶函数．当
时，
．
(1)求函数
的解析式；
(2)记
在区间
上的最小值为
，求
的表达式．
变式6．（2024·全国·高一专题练习）（1）函数
是定义域为R 的奇函数，当
时，
，
求
的解析式；
（2）设
是偶函数，
是奇函数，且
，求函数
的解析式．
变式7．（2023·全国·高一专课时练习）若定义在R 上的偶函数
和奇函数
满足
．则
．
【方法技巧与总结】
利用函数奇偶性求函数解析式的方法
已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如
下：
(1)求哪个区间上的解析式，x 就设在那个区间上；
(2)把x 对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；
(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).
注意：若奇函数定义域包含0，则必有f(0)＝0.
【题型6：函数单调性与奇偶性的综合应用】
例6．（2024·全国·高一专题练习）已知定义在
上的偶函数
在
上是减函数，若
，则实数
的取值范围是 .
变式1．（2024·江苏常州·高三常州市第三中学校联考阶段练习）已知奇函数
在
上单调递减，
且
，则不等式
的解集为 ．
变式2．（2024·广东深圳·高三校考阶段练习）已知
是奇函数，且在
上是增函数．又
，
则
的解集为（ ）
A．
B．
10
C．
D．
变式3．（2024·江西·高三宁冈中学校考期中）定义在
上的偶函数
在
上单调递减，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4．（2024·北京东城·高一校考期中）若定义在R 上的奇函数
在
上是增函数，又
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5．（2024·河南·校联考模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，且
在
上单调递增，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6．（2024·天津·高一校考期中）已知函数
是定义在
上的偶函数，若对于任意不等实数
，不等式
恒成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
变式7．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数
，则不等式
的解集
为 ．
变式8．（2024·河南郑州·高三校考阶段练习）设函数
，则使得
成立的x
的取值范围是 .
变式9．（2023 春·云南迪庆·高一统考期末）设定义在
上的奇函数
在区间
上单调递减，若
，则实数
的取值范围是 .
变式10．（2023 秋·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知函数
定义域为
，且
的
11
图象关于
对称，当
时，
单调递减，则关于
的不等式
的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
变式11．（2023·全国·高一专题练习）定义在
上的偶函数
满足：对任意的
，
有
，则
、
、
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式12．（2023 秋·全国·高一专题练习）已知函数
是偶函数，当
时，
恒成立，设
，
，
，则
的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
1、函数奇偶性和单调性的关系
(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的
单调性．
(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的
单调性．
2、利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利
用单调性脱掉“f”求解．
(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即
可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
【题型7：抽象函数的奇偶性】
例7.【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知函数
，
均为定义在
上的奇函数，且
，
，则（ ）
A．
是奇函数 B．
是奇函数
C．
是偶函数 D．
是偶函数
12
变式1．【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知函数
的定义域为
，
为奇函数，且对于
任意
，都有
，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数 D．
为奇函数
变式2．（2023 秋·黑龙江牡丹江·高一校考期末）设函数
是增函数，对于任意x，
都有
．
（1）写一个满足条件的
并证明；
（2）证明
是奇函数；
（3）解不等式
．
一、单选题
1．（24-25 高三上·山西朔州·阶段练习）已知函数
是定义域为
的奇函数，当
时，
.若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·广东惠州·模拟预测）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，
，则
（ ）
A．4050
B．4048
C．4044
D．4036
4．（24-25 高一上·全国·随堂练习）已知函数
为奇函数，则
等于（ ）
13
A．
B．1
C．0
D．2
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
是定义域为
的奇函数，满足
，
若
，则
（ ）
A．－2
B．0
C．2
D．4
6．（23-24 高一上·贵州·阶段练习）已知函数
为定义在
上的奇函数，且在
为减函数，在
为增函数，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 高一上·江苏·专题练习）已知定义在
上的奇函数
，当
时，
单调递增，若不等式
对任意实数恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·江苏镇江·开学考试）已知定义域为R 的函数
，满足
，且
，则以下选项错误的是（ ）
A．
B．
图象关于
对称
C．
图象关于
对称
D．
为偶函数
9．（24-25 高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数
，若
为奇函数，则
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
二、多选题
10．（23-24 高一上·福建龙岩·阶段练习）下列函数是偶函数，且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所
示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．在
平面直角坐标系中，若一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，则称这个函数为这个圆的
“太极函数”，下列说法中正确的有（ ）
14
A．对于一个半径为1 的圆，其“太极函数”仅有1 个
B．函数
可以同时是无数个圆的“太极函数”
C．函数
不可能是某个圆的“太极函数”
D．函数
是某个圆的“太极函数”
12．（2025·吉林长春·一模）定义在
的函数
满足
，且当
时，
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
在
上单调递增
C．
D．
13．（23-24 高一上·河北沧州·阶段练习）已知定义在
上的偶函数
满足
，当
时，
，则（ ）
A．
的图像关于点
对称
B．
C．当
时，
D．
在
上单调递减
14．（24-25 高三上·山东菏泽·开学考试）已知函数
的定义域均为
的图象关于
对称，
是奇函数，且
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
15．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知定义在
上的奇函数
在
上单调递减，
且
，则满足
的
的取值范围是 ．
16．（23-24 高一上·吉林·阶段练习）若函数
是R 上的奇函数，且在
上是增函数，又
，
15
则
的解集是 .
17．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
若
，则实数a 的取值
范围是 ．
18．（2024 高一·全国·专题练习）已知函数
为偶函数，则
．
19．（23-24 高一上·安徽淮北·期中）已知函数
是定义在R上的奇函数，且
，若对任意的
，当
时，有
成立，则不等式
的解集为 ．
20．（23-24 高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
，则
的解集为 .
四、解答题
21．（24-25 高一上·全国·课堂例题）已知函数y = f (x)是定义在R 上的奇函数，且当
时，
.现已画出函数
在y 轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补全函数y = f (x)的图象；
(2)根据图象写出函数y = f (x)的单调递增区间；
(3)根据图象写出使
的x 的取值集合.
22．（2024 高一上·江苏·专题练习）函数
是
上的奇函数，且当
时，函数的解析式为
.
(1)求
的值；
(2)用定义证明
在
上是减函数；
(3)当
时，求函数的解析式.
23．（2024 高一上·江苏·专题练习）已知函数
，其中
.
(1)当函数
的图象关于点
成中心对称时，求
的值；
(2)若函数
在
上单调递减，求
的取值范围；
16
(3)若
，求函数
在区间
上的值域.
24．（23-24 高一上·浙江宁波·期中）黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并
提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在
上，
．
(1)请用描述法写出满足方程
的解集；（直接写出答案即可）
(2)解不等式
；
(3)探究是否存在非零实数
，使得
为偶函数？若存在，求k，b 应满足的条件；若不存在，
请说明理由．
25．（23-24 高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，函数
在
轴左侧的图象如图所示，请根据图象；
(1)画出
在
轴右侧的图象，并写出函数
的单调区间；
(2)写出函数
的解析式；
(3)若函数
，求函数
的最小值.
26．（23-24 高二下·河南安阳·期末）世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景
区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.
湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1 是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2 是
由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在
轴上方的图
象对应的函数解析式可能为（ ）
17
A．
B．
C．
D．
