【题型突破05：函数与方程】
1．（2025·安徽·一模）已知点(
1
2 , 1
8)在幂函数f (x)= x
α的图象上，则函数h(x)= f (x)+lg x−18的零点所
在区间为（ ）
A．(1.5,2)
B．(2,2.5)
C．(2.5,3)
D．(3,3.5)
2．（2025·云南昭通·一模）若函数f ( x)=e
x+ ln x，满足f (a)f (b)f (c)>0(0<a<b<c)．若函数f ( x)存
在零点x0，则（ ）
A．x0<b
B．x0>b
C．x0<c
D．x0>c
3．（2024·北京昌平·二模）已知p：设函数f (x)在区间(0,+∞)上的图象是一条连续不断的曲线，若
f (1)⋅f (2)>0，则f (x)在区间(1,2)内无零点．能说明p为假命题的一个函数的解析式是 ．
4．（2023·广东深圳·一模）定义开区间(a,b)的长度为b−a．经过估算，函数f (x)= 1
2
x −x
1
3的零点属于开
区间 （只要求写出一个符合条件，且长度不超过1
6的开区间）．
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数f (x)=ln x
x
，若x0∈(1.5,2)，则（ ）
A．f (x0)>f (5−x0)
B．f (x0)<f (5−x0)
C．f (x0)+ f (5−x0)<f (4)
D．以上都不对
命题角度1：函数的零点及所在区间的判断
6．（25-26 高三上·贵州贵阳·月考）已知函数f ( x)的定义域为R，f (1+ x)= f (1−x)，f (2+ x)是奇函数.
且当0≤x ≤1时，f ( x)= x
2，则函数g( x)= f ( x)−lg(|x)+1)的零点个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
7．（2025·陕西西安·模拟预测）定义域为R的函数f (x)满足f (x)=6(x −2k )
2，x∈[2k −1,2k +1)，
k ∈Z，且函数g(x)=a x
2+ x +c满足对任意x1, x2∈R，都有g(x1+ x2)= g(x1)+ g(x2)+2，则方程
f (x)= g(x)解的个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
8．（2025·江苏·三模）已知函数f ( x)满足f ( x +2)= f ( x−2)，且f ( x)={
2cosπ
2 x ,−1< x ≤1
1−|x−2),1< x ≤3 )
，则方程
3 f ( x)= x的实数解的个数为 ．
9．（2025·浙江·二模）定义在(0,+ ∞)上的函数f (x)满足f(
1
x)=−f (x),f(
2
x)=−f (2 x)，当x∈[1,2)时，
f (x)=(x−1)(x−2)，则函数y = f (x)+ 1
4 在区间[1,100)内的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．（2025·山东·一模）已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x)= f (2−x)，且f (1)=−1，当x∈(1,2)时，
f (x)=log2(x−1)+ x，则方程f (x)[f (x)+ 1
x)=0在区间[−2,4)上的根的个数为（ ）
A．9
B．10
C．17
D．12
11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数f ( x)=a( x +1)
2−1，g( x)=cos x +2ax，当x∈(−1,1)时，
曲线y = f ( x)与y = g( x)恰有一个交点，则a=（ ）
A．−1
B．1
2
C．1
D．2
12．（2024·天津·高考真题）设a∈R，函数f (x)=2
❑√x
2−ax−|ax−2)+1.若f (x)恰有一个零点，则a的
取值范围为 ．
13．（2023·天津·高考真题）设a∈R,函数f (x)=a x
2−2 x −|x
2−ax +1),若f (x)恰有两个零点，则a的取
值范围为 ．
14．（2025·江苏·模拟预测）已知函数f (x)={
4 x
2+2 x
e
2 x
, x ≥a
x
3−4 x , x<a )
，若存在实数b，使得关于x 的方程
f (x)=bx恰有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．
命题角度2：确定函数的零点个数
命题角度3：由函数的零点个数求参数
15．（25-26 高三上·上海·月考）已知a∈R，f ( x)= x
ln x ，关于x 的方程f
2( x)+2af ( x)−4 =0有三个实
数解x1, x2, x3，且x1< x2< x3，若满足不等式m<(
x1
ln x1
−1)
2
(
x2
ln x2
−1)(
x3
ln x3
−1)恒成立的最大整数m
为 .
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数f ( x)={
x
2+ 4 x +1, x ≤0
log2 x , x>0 )，则函数y = f (f ( x))+1有 个
零点．
17．（2025·四川巴中·一模）已知函数f ( x)={
|ln x), x>0
x
2+2 x +2, x ≤0)，则方程f (f ( x)−2)=2实数根的个数为
（ ）
A．6
B．7
C．10
D．11
18．（2025·陕西西安·三模）设函数f (x)= x
2+ax +b,g(x)= x
2+cx +d.若函数y = f (g(x))与y = g(f (x))都
没有零点，则函数y = f (f (x))与y = g(g(x))（ ）
A．都没有零点
B．都有零点
C．至少有一个没有零点
D．至少有一个有零点
19．（2021·浙江宁波·二模）设a∈R，函数f (x)={
|x−1), x ≥0,
−x
2+ax , x<0,)若函数y = f (f (x))恰有三个零点，则
实数a的取值范围为（ ）
A．(−2,0)
B．(0,1)
C．[−1,0)
D．(0,2)
20．（20-21 高三下·浙江宁波·月考）已知函数f (x)={
x
2+ 4 x , x ≤0
e
x−1
x , x>0 )
，则函数g(x)= f (f (x)−5)的零点个
数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【多选题】21．（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数f (x)=¿函数g(x)=[f (x))
2−2mf (x)+m
2−1，则下
列结论正确的是（ ）
A．若关于x的方程f (x)=a恰有1 个实数根，则a的取值范围是(6,+∞)
B．若关于x的方程f (x)=a恰有2 个不同的实数根，则a的取值范围是(0,1)∪[2,6)
C．若g(x)有5 个零点，则m的取值范围是(2,3)
D．g(x)可能有6 个零点
命题角度4：嵌套函数的零点问题
命题角度5：函数零点的综合问题
【多选题】22．（2026·陕西西安·一模）已知函数f (x)= x cos x−sin x，x∈{x|0< x< 5π
2 }有两个零点
x1, x2，则下列结论正确的是（）
A．当x∈(0,π
2 )时，f ( x)<0
B．x1+ x2<3π
C．若x2> x1，则x2−x1>π
D．x1sin x2+ x2sin x1<0
【多选题】23．（2022·辽宁·三模）（多选）已知函数f (x)为定义在R上的单调函数，且
f (f (x)−2
x−2 x)=10.若函数g(x)=¿有3 个零点，则a的取值可能为（ ）
A．2
B．7
3
C．3
D．10
3
【多选题】24．（2025·福建南平·三模）已知函数f (x)={
x−1
x , x<0,
x + 1
x , x>0,)
则下列说法中正确的是（ ）
A．f (x)为奇函数
B．任意x≠0，存在a∈R，使得f (x)>ax恒成立
C．若方程f (x)=b(x>0, b∈R)恰有两个不等实根x1, x2，则x1 x2=1
D．若方程f (x)=c (c∈R)恰有三个不等实根x3, x4, x5，则x3+ x4+ x5>3−❑√2
【多选题】25．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数f (x)={
2sin 2π
9
x ,−27
4 ≤x ≤9
4 ,
|log1
2
(x−2)), x> 9
4 , )
若关于x的方程
f (x)=a有四个实数根x1，x2，x3，x4（其中a为实数，x1< x2< x3< x4），则下列结论中正确的是（ ）
A．0<a<2
B．x1+ x2=−9
2
C．x3
2+ x4
2<18
D．x3 x4+3=2(x3+ x4)
